Bài giảng Toán rời rạc 2 - Đồ thị Euler, đồ thị Hamilton

Bài giảng Toán rời rạc 2 - Đồ thị Euler, đồ thị Hamilton cung cấp cho người học các khái niệm, chứng minh đồ thị là Euler, thuật toán tìm chu trình Euler, kiểm nghiệm thuật toán, chứng minh đồ thị là nửa Euler,... Mời các bạn cùng tham khảo.

ĐỒ THỊ EULER ĐỒ THỊ HAMILTON Toán rời rạc Nội dung • Đồ thị Euler • Đồ thị Hamilton Đồ thị Euler Khái niệm đồ thị Euler (1/2) • Định nghĩa – Chu trình đơn đồ thị G qua cạnh đồ thị lần gọi chu trình Euler – Đường đơn G qua cạnh lần gọi đường Euler – Đồ thị gọi đồ thị Euler có chu trình Euler – Đồ thị có đường Euler gọi nửa Euler • Ví dụ 1: Khái niệm đồ thị Euler (2/2) • Ví dụ 2: Điều kiện cần đủ để đồ thị Euler • Đồ thị vơ hướng – Đồ thị vơ hướng liên thông G= đồ thị Euler đỉnh G có bậc chẵn • Đồ thị có hướng – Đồ thị có hướng liên thông yếu G= đồ thị Euler tất đỉnh có bán đỉnh bậc bán đỉnh bậc vào (điều làm cho đồ thị liên thông mạnh) Chứng minh đồ thị Euler • Với đồ thị vơ hướng: – Kiểm tra đồ thị có liên thơng hay khơng? • Kiểm tra DFS(u) = V BFS(u) = V l iên thông – Kiểm tra bậc đỉnh có phải số chẵn hay khơng? • Với ma trận kề, tổng phần tử hàng u�(cột u) bậc đỉnh u • Với đồ thị có hướng: – Kiểm tra đồ thị có liên thơng yếu hay khơng? • Kiểm tra đồ thị vơ hướng tương ứng liên thơng, • Kiểm tra tồn đỉnh u∈V để DFS(u)=V BFS(u)=V? – Kiểm tra tất đỉnh có thỏa mãn bán bậc bán bậc vào hay khơng? • Với ma trận kề, bán bậc đỉnh u deg+(u) số số hàng u, bán bậc vào đỉnh u deg-(u) số số cột u Ví dụ với đồ thị vơ hướng • Cho đồ thị vơ hướng biểu diễn dạng ma trận kề hình Chứng minh đồ thị Euler • Vì BFS(1) = { 1, 2, 6, 3, 5, 7, 4, 11, 8, 10, 12, 9, 13} = V Do vậy, G liên thơng • Ta lại có: • • • • • • • deg(1) = deg(13) = deg (2) = deg(3) = deg(4) = deg(5) = deg(6) = deg(7) = deg(8) = deg(9) = deg(10) = deg(11) = deg(12) = Ví dụ với đồ thị có hướng • Cho đồ thị có hướng biểu diễn dạng ma trận kề hình Chứng minh đồ thị Euler Thuật tốn tìm chu trình Euler 10 Ví dụ với đồ thị có hướng • Cho đồ thị có hướng biểu diễn dạng ma trận kề hình Chứng minh đồ thị nửa Euler 18 Thuật tốn tìm đường Euler (1/2) • Thuật tốn tìm đường Euler chu trình Euler khác điểm đầu vào thuật tốn • Đối với thuật tốn tìm chu trình Euler, đầu vào thuật tốn đỉnh uV • Đối với thuật tốn tìm đường trình Euler, đầu vào thuật toán đỉnh uV – đỉnh bậc lẻ đồ thị vơ hướng – đỉnh uV có deg+ (u)-deg- (u)=1 đồ thị có hướng, 19 Thuật tốn tìm đường Euler (2/2) 20 Kiểm nghiệm thuật toán (1/3) • Tìm đường Euler đồ thị có hướng liên thông yếu biểu diễn dạng ma trận kề hình bên • Khi đó, đỉnh u có deg+(u)-deg-(u)=1 đỉnh 21 Kiểm nghiệm thuật toán (2/3) 22 Kiểm nghiệm thuật toán (3/3) 23 Cài đặt thuật tốn • Thủ tục Init(): đọc liệu theo khn dạng biểu diễn ma trận kề • Thủ tục Kiemtra(): Kiểm tra xem G có nửa Euler hay khơng • Thủ tục EulerPath (u) : Xây dựng đường Euler bắt đầu đỉnh u (đỉnh bậc lẻ đầu tiên) Xem code minh họa 24 Đồ thị Hamilton Định nghĩa đồ thị Hamilton • Đường qua tất đỉnh đồ thị, đỉnh lần gọi đường Hamilton • Chu trình bắt đầu đỉnh v đó, qua tất đỉnh lại đỉnh lần, sau quay trở lại v, gọi chu trình Hamilton • Đồ thị gọi đồ thị Hamilton có chu trình Hamilton • Đồ thị gọi đồ thị nửa Hamilton có đường Hamilton 26 Vài lưu ý • Cho đến nay, chưa tìm tiêu chuẩn để nhận biết đồ thị có phải đồ thị Hamilton hay khơng • Cho đến nay, chưa có thuật tốn hiệu để kiểm tra đồ thị có phải đồ thị Hamilton hay khơng 27 Thuật tốn tìm tất chu trình Hamilton (1/2) • Thuật tốn liệt kê tất chu trình Hamilton bắt đầu đỉnh k 28 Thuật tốn tìm tất chu trình Hamilton (2/2) • Khi đó, việc liệt kê chu trình Hamilton thực sau: 29 Kiểm nghiệm thuật tốn • Với đồ thị G= bên trái cho ta tìm kiếm chu trình Hamilton bên phải 30 Cài đặt thuật tốn • Xem code minh họa 31 Bài tập • Làm tập từ đến Tài liệu giảng dạy mơn Tốn rời rạc 32 ... Hamilton • Đồ thị gọi đồ thị Hamilton có chu trình Hamilton • Đồ thị gọi đồ thị nửa Hamilton có đường Hamilton 26 Vài lưu ý • Cho đến nay, chưa tìm tiêu chuẩn để nhận biết đồ thị có phải đồ thị. .. – Đồ thị gọi đồ thị Euler có chu trình Euler – Đồ thị có đường Euler gọi nửa Euler • Ví dụ 1: Khái niệm đồ thị Euler (2/ 2) • Ví dụ 2: Điều kiện cần đủ để đồ thị Euler • Đồ thị vơ hướng – Đồ thị. ..Nội dung • Đồ thị Euler • Đồ thị Hamilton Đồ thị Euler Khái niệm đồ thị Euler (1 /2) • Định nghĩa – Chu trình đơn đồ thị G qua cạnh đồ thị lần gọi chu trình Euler – Đường