Bài giảng toán rời rạc phần tính liên thông của đồ thị

Ñoà thò 7.4. Tính lieân thoâng Taøi lieäu naøy ñöôïc soaïn theo saùch Toaùn hoïc rôøi raïc öùng duïng trong tin hoïc , K. H. Rosen, ngöôøi dòch: Phaïm Vaên Thieàu vaø Ñaëng Höõu Thònh, Nhaø xuaát baûn Khoa hoïc vaø kyõ thuaät, 1998. Taøi lieäu löu haønh noäi boä 10/01/15 7.4. Tính lieân thoâng 1 Ñöôøng ñi – Ñònh nghóa 1. Ñöôøng ñi ñoä daøi n töø u tôùi v, vôùi n laø moät soá nguyeân döông, trong moät ñoà thò voâ höôùng laø moät daõy caùc caïnh e1, e2,…, en cuûa ñoà thò sao cho f(e1) = {x0, x1}, f(e2) = {x1, x2},…, f(en) = {xn − 1, xn}, vôùi x0 = u vaø xn = v . ° ° ° Khi ñoà thò laø ñôn, ta kyù hieäu ñöôøng ñi baèng daõy caùc ñænh x0, x1,…, xn . Ñöôøng ñi ñöôïc goïi laø chu trình neáu noù baét ñaàu vaø keát thuùc taïi cuøng moät ñænh, töùc laø u = v. Ñöôøng ñi hay chu trình goïi laø ñôn neáu noù khoâng chöùa cuøng moät caïnh quaù moät laàn. 10/01/15 7.4. Tính lieân thoâng 2 Ñöôøng ñi – Ví duï 1. ° a, d, c, f, e laø ñöôøng ñi ñôn ñoä daøi 4 vì {a, d}, {d, c}, {c, f}, {f, e} ñeàu laø caùc caïnh. ° d, e, c, b khoâng laø ñöôøng ñi vì {e, c} khoâng laø caïnh. ° b, c, f, e, b laø chu trình ñoä daøi 4 vì {b, c}, {c, f}, {f, e}, {e, b} laø caùc caïnh vaø ñöôøng ñi naøy baét ñaàu vaø keát thuùc taïi b. ° a, b, e, d, a, b ñoä daøi 5 khoâng laø ñöôøng ñi ñôn vì chöùa caïnh {a, b} hai laàn. b c a d 10/01/15 e 7.4. Tính lieân thoâng f 3 Ñöôøng ñi – Ñònh nghóa 2. Ñöôøng ñi ñoä daøi n, vôùi n nguyeân döông, töø u tôùi v trong ña ñoà thò coù höôùng laø daõy caùc caïnh e1, e2,…, en cuûa ñoà thò sao cho f(e1) = (x0, x1), f(e2) = (x1, x2 ),…, f(en) = (xn − 1, xn ), vôùi x0 = u vaø xn = v . ° ° ° Khi khoâng coù caïnh boäi trong ñoà thò, ta kyù hieäu ñöôøng ñi naøy baèng daõy caùc ñænh x0, x1, x2,…, xn . Ñöôøng ñi baét ñaàu vaø keát thuùc taïi cuøng moät ñænh ñöôïc goïi laø moät chu trình. Ñöôøng ñi hay chu trình goïi laø ñôn neáu noù khoâng chöùa cuøng moät caïnh quaù moät laàn. 10/01/15 7.4. Tính lieân thoâng 4 Tính lieân thoâng trong ñoà thò voâ höôùng – Ñònh nghóa 3. Moät ñoà thò voâ höôùng ñöôïc goïi laø lieân thoâng neáu coù ñöôøng ñi giöõa moïi caëp ñænh phaân bieät cuûa ñoà thò. – Ví duï 2. ° Ñoà thò G laø lieân thoâng, ñoà thò H laø khoâng lieân thoâng. a b b a c e d f c g e G 10/01/15 f d 7.4. Tính lieân thoâng H 5 Tính lieân thoâng trong ñoà thò voâ höôùng – Ñònh lyù 1. Giöõa moïi caëp ñænh phaân bieät cuûa moät ñoà thò voâ höôùng lieân thoâng luoân coù ñöôøng ñi ñôn. – Moät ñoà thò khoâng lieân thoâng laø hôïp cuûa hai hay nhieàu ñoà thò con lieân thoâng, moãi caëp caùc ñoà thò con naøy khoâng coù ñænh chung. Caùc ñoà thò con lieân thoâng rôøi nhau nhö vaäy ñöôïc goïi laø caùc thaønh phaàn lieân thoâng cuûa ñoà thò ñang xeùt. 10/01/15 7.4. Tính lieân thoâng 6 Tính lieân thoâng trong ñoà thò voâ höôùng – Ví duï 3. Ñoà thò G laø hôïp cuûa ba ñoà thò con lieân thoâng rôøi nhau G1, G2, G3. G2 G1 10/01/15 7.4. Tính lieân thoâng G3 7 Tính lieân thoâng trong ñoà thò voâ höôùng – Ñænh caét (hay ñieåm khôùp) laø ñænh khi xoaù ñi cuøng vôùi taát caû caùc caïnh lieân thuoäc vôùi noù seõ taïo ra moät ñoà thò con môùi coù nhieàu thaønh phaàn lieân thoâng hôn ñoà thò xuaát phaùt. – Caïnh caét (hay caàu) laø caïnh khi boû ñi seõ taïo ra moät ñoà thò con môùi coù nhieàu thaønh phaàn lieân thoâng hôn ñoà thò xuaát phaùt. 10/01/15 7.4. Tính lieân thoâng 8 Tính lieân thoâng trong ñoà thò voâ höôùng – Ví duï 4. Tìm caùc ñænh caét vaø caïnh caét cuûa G. ° Caùc ñænh caét laø b, c, e. ° Caùc caïnh caét laø {a, b} vaø {c, e}. a d f g b c e h G 10/01/15 7.4. Tính lieân thoâng 9 Tính lieân thoâng trong ñoà thò coù höôùng – Ñònh nghóa 4. Ñoà thò coù höôùng goïi laø lieân thoâng maïnh neáu coù ñöôøng ñi töø a tôùi b vaø töø b tôùi a vôùi moïi ñænh a vaø b cuûa ñoà thò. – Ñònh nghóa 5. Ñoà thò coù höôùng goïi laø lieân thoâng yeáu neáu coù ñöôøng ñi giöõa hai ñænh baát kyø cuûa ñoà thò voâ höôùng neàn. 10/01/15 7.4. Tính lieân thoâng 10 Tính lieân thoâng trong ñoà thò coù höôùng – Ví duï 5. ° G laø lieân thoâng maïnh. ° H laø khoâng lieân thoâng maïnh vì khoâng coù ñöôøng ñi coù höôùng töø a tôùi b, nhöng laø lieân thoâng yeáu. b a b a c e d G 10/01/15 c e d H 7.4. Tính lieân thoâng 11 Ñöôøng ñi vaø söï ñaúng caáu – Duøng ñöôøng ñi vaø chu trình ñeå xeùt xem hai ñoà thò coù ñaúng caáu hay khoâng. ° Baát bieán ñaúng caáu: soá ñænh, soá caïnh, baäc cuûa ñænh ° Baát bieán ñaúng caáu: chu trình ñôn vôùi ñoä daøi ñaëc bieät. ° Duøng ñöôøng ñi ñeå xaây döïng aùnh xaï giöõa hai ñoà thò. – Ví duï 6. Hai ñoà thò G vaø H coù laø ñaúng caáu khoâng? u1 u2 u6 u3 u5 G 10/01/15 v1 v6 v2 v3 v5 u4 7.4. Tính lieân thoâng v4 H 12 Ñöôøng ñi vaø söï ñaúng caáu u1 v1 u2 u6 u3 u5 v6 v2 v3 v5 u4 v4 G H Caû G vaø H coù ba baát bieán baèng nhau: soá caïnh, soá ñænh, baäc cuûa caùc ñænh (4 ñænh baäc 3, vaø 2 ñænh baäc 2). Tuy nhieân H coù chu trình ñôn ñoä daøi 3, coøn G khoâng coù chu trình ñôn ñoä daøi 3. Vaäy G vaø H laø khoâng ñaúng caáu. 10/01/15 7.4. Tính lieân thoâng 13 Ñöôøng ñi vaø söï ñaúng caáu – Ví duï 7. Hai ñoà thò G vaø H coù laø ñaúng caáu khoâng? u2 v1 u3 u1 u4 u5 v5 v2 v3 v4 G H G vaø H ñeàu coù 5 ñænh vaø 6 caïnh, 2 ñænh baäc 3 vaø 3 ñænh baäc 2; caû hai ñeàu coù 1 chu trình ñôn ñoä daøi 3, 1 chu trình ñôn ñoä daøi 4, vaø 1 chu trình ñôn ñoä daøi 5. Ñeå tìm pheùp ñaúng caáu coù theå coù, ñi theo ñöôøng ñi qua taát caû caùc ñænh sao cho caùc ñænh töông öùng coù cuøng baäc. Ví duï: u1, u4, u3, u2, u5 trong G vaø u3, v2, v1, v5, v4 trong H. Ñònh nghóa aùnh xaï f : f(u1) = u3 , f(u4) = v2 ,… Kieåm tra f laø pheùp ñaúng caáu. 10/01/15 7.4. Tính lieân thoâng 14 Ñeám ñöôøng ñi giöõa caùc ñænh – Ñònh lyù 2. Cho G laø moät ñoà thò vôùi ma traän lieàn keà A theo thöù töï caùc ñænh v1, v2 ,…, vn (vôùi caùc caïnh voâ höôùng hoaëc coù höôùng hay laø caïnh boäi, coù theå coù khuyeân). Soá caùc ñöôøng ñi khaùc nhau ñoä daøi r töø vi tôùi vj , trong ñoù r laø moät soá nguyeân döông, baèng giaù trò cuûa phaàn töû (i, j) cuûa ma traän Ar . 10/01/15 7.4. Tính lieân thoâng 15 Ñeám ñöôøng ñi giöõa caùc ñænh – Ví duï 8. Coù bao nhieâu ñöôøng ñi ñoä daøi 4 töø a tôùi d trong ñoà thò ñôn G? a b d c Ñoà thò G 10/01/15 7.4. Tính lieân thoâng 16 Ñeám ñöôøng ñi giöõa caùc ñænh • Ma traän lieàn keà cuûa G, theo thöù töï a, b, c, d, laø A= A4 = 10/01/15 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 8 0 0 8 0 8 8 0 0 8 8 0 8 0 0 8 A2 = 2 0 0 2 0 2 2 0 0 2 2 0 2 0 0 2 a14 = 8. Vaäy coù ñuùng 8 ñöôøng ñi ñoä daøi 4 töø a tôùi d. 7.4. Tính lieân thoâng 17 [...].. .Tính liên thông trong đồ thò có hướng – Ví dụ 5 ° G là liên thông mạnh ° H là không liên thông mạnh vì không có đường đi có hướng từ a tới b, nhưng là liên thông yếu b a b a c e d G 10/01/15 c e d H 7.4 Tính liên thông 11 Đường đi và sự đẳng cấu – Dùng đường đi và chu trình để xét xem hai đồ thò có đẳng cấu hay không ° Bất biến đẳng cấu: số đỉnh, số cạnh, bậc của đỉnh ° Bất biến... đẳng cấu 10/01/15 7.4 Tính liên thông 14 Đếm đường đi giữa các đỉnh – Đònh lý 2 Cho G là một đồ thò với ma trận liền kề A theo thứ tự các đỉnh v1, v2 ,…, vn (với các cạnh vô hướng hoặc có hướng hay là cạnh bội, có thể có khuyên) Số các đường đi khác nhau độ dài r từ vi tới vj , trong đó r là một số nguyên dương, bằng giá trò của phần tử (i, j) của ma trận Ar 10/01/15 7.4 Tính liên thông 15 Đếm đường... nhiêu đường đi độ dài 4 từ a tới d trong đồ thò đơn G? a b d c Đồ thò G 10/01/15 7.4 Tính liên thông 16 Đếm đường đi giữa các đỉnh • Ma trận liền kề của G, theo thứ tự a, b, c, d, là A= A4 = 10/01/15 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 8 0 0 8 0 8 8 0 0 8 8 0 8 0 0 8 A2 = 2 0 0 2 0 2 2 0 0 2 2 0 2 0 0 2 a14 = 8 Vậy có đúng 8 đường đi độ dài 4 từ a tới d 7.4 Tính liên thông 17 ... chu trình đơn với độ dài đặc biệt ° Dùng đường đi để xây dựng ánh xạ giữa hai đồ thò – Ví dụ 6 Hai đồ thò G và H có là đẳng cấu không? u1 u2 u6 u3 u5 G 10/01/15 v1 v6 v2 v3 v5 u4 7.4 Tính liên thông v4 H 12 Đường đi và sự đẳng cấu u1 v1 u2 u6 u3 u5 v6 v2 v3 v5 u4 v4 G H Cả G và H có ba bất biến bằng nhau: số cạnh, số đỉnh, bậc của các đỉnh (4 đỉnh bậc 3, và 2 đỉnh bậc 2) Tuy nhiên H có chu trình đơn độ... đỉnh, bậc của các đỉnh (4 đỉnh bậc 3, và 2 đỉnh bậc 2) Tuy nhiên H có chu trình đơn độ dài 3, còn G không có chu trình đơn độ dài 3 Vậy G và H là không đẳng cấu 10/01/15 7.4 Tính liên thông 13 Đường đi và sự đẳng cấu – Ví dụ 7 Hai đồ thò G và H có là đẳng cấu không? u2 v1 u3 u1 u4 u5 v5 v2 v3 v4 G H G và H đều có 5 đỉnh và 6 cạnh, 2 đỉnh bậc 3 và 3 đỉnh bậc 2; cả hai đều có 1 chu trình đơn độ dài 3, ... thò liên thông rời gọi thành phần liên thông đồ thò xét 10/01/15 7.4 Tính liên thông Tính liên thông đồ thò vô hướng – Ví dụ Đồ thò G hợp ba đồ thò liên thông rời G1, G2, G3 G2 G1 10/01/15 7.4 Tính. .. Một đồ thò vô hướng gọi liên thông có đường cặp đỉnh phân biệt đồ thò – Ví dụ ° Đồ thò G liên thông, đồ thò H không liên thông a b b a c e d f c g e G 10/01/15 f d 7.4 Tính liên thông H Tính liên. .. 7.4 Tính liên thông Tính liên thông đồ thò có hướng – Đònh nghóa Đồ thò có hướng gọi liên thông mạnh có đường từ a tới b từ b tới a với đỉnh a b đồ thò – Đònh nghóa Đồ thò có hướng gọi liên thông