Bài giảng toán rời rạc phần tính liên thông của đồ thị

° Đường đi hay chu trình gọi là đơn nếu nó không chứa cùng một cạnh quá một lần... Một đồ thị vô hướng được gọi là liên thông nếu có đường đi giữa mọi cặp đỉnh phân biệt của đồ thị...

Đồ thị

7.4 Tính liên thông

Tài liệu này được soạn theo sách Toán học rời rạc ứng dụng trong tin học, K H

Rosen, người dịch: Phạm Văn Thiều và Đặng Hữu Thịnh, Nhà xuất bản Khoa học

và kỹ thuật, 1998.

08/13/24 7.4 Tính liên thông 2

Đường đi

– Định nghĩa 1 Đường đi độ dài n từ u tới v, với n là một số

nguyên dương, trong một đồ thị vô hướng là một dãy các cạnh

e1, e2,…, e n của đồ thị sao cho f(e1) = {x0, x1}, f(e2) = {x1, x2},…,

f(e n ) = {x n  1 , x n }, với x0 = u và x n = v

° Khi đồ thị là đơn, ta ký hiệu đường đi bằng dãy các đỉnh x0,

x1,…, x n

° Đường đi được gọi là chu trình nếu nó bắt đầu và kết thúc tại cùng một đỉnh, tức là u = v.

° Đường đi hay chu trình gọi là đơn nếu nó không chứa cùng

một cạnh quá một lần

Đường đi

– Ví dụ 1.

° a, d, c, f, e là đường đi đơn độ dài 4 vì {a, d}, {d, c}, {c, f}, {f, e} đều là các cạnh.

° d, e, c, b không là đường đi vì {e, c} không là cạnh.

° b, c, f, e, b là chu trình độ dài 4 vì {b, c}, {c, f}, {f, e}, {e, b} là các cạnh và đường đi này bắt đầu và kết thúc tại b.

° a, b, e, d, a, b độ dài 5 không là đường đi đơn vì chứa cạnh

08/13/24 7.4 Tính liên thông 4

Đường đi

– Định nghĩa 2 Đường đi độ dài n, với n nguyên dương, từ u tới

v trong đa đồ thị có hướng là dãy các cạnh e1, e2,…, e n của đồ

thị sao cho f(e1) = (x0, x1), f(e2) = (x1, x2 ),…, f(e n ) = (x n  1 , x n ), với

x0 = u và x n = v

° Khi không có cạnh bội trong đồ thị, ta ký hiệu đường đi

này bằng dãy các đỉnh x0, x1, x2,…, x n

° Đường đi bắt đầu và kết thúc tại cùng một đỉnh được gọi

là một chu trình.

° Đường đi hay chu trình gọi là đơn nếu nó không chứa

cùng một cạnh quá một lần.

Tính liên thông trong đồ thị vô hướng

– Định nghĩa 3 Một đồ thị vô hướng được gọi là liên thông nếu

có đường đi giữa mọi cặp đỉnh phân biệt của đồ thị.

– Ví dụ 2.

° Đồ thị G là liên thông, đồ thị H là không liên thông.

e

c

f d

e g

f

b a

c

d

08/13/24 7.4 Tính liên thông 6

Tính liên thông trong đồ thị vô hướng

– Định lý 1 Giữa mọi cặp đỉnh phân biệt của một đồ thị vô hướng liên thông luôn có đường đi đơn

– Một đồ thị không liên thông là hợp của hai hay nhiều đồ thị con liên thông, mỗi cặp các đồ thị con này không có đỉnh chung Các đồ thị con liên thông rời nhau như vậy được gọi là các

thành phần liên thông của đồ thị đang xét.

Tính liên thông trong đồ thị vô hướng

– Ví dụ 3 Đồ thị G là hợp của ba đồ thị con liên thông rời nhau

G1, G2, G3

G1

G2

G3

08/13/24 7.4 Tính liên thông 8

Tính liên thông trong đồ thị vô hướng

– Đỉnh cắt (hay điểm khớp) là đỉnh khi xoá đi cùng với tất cả

các cạnh liên thuộc với nó sẽ tạo ra một đồ thị con mới có nhiều thành phần liên thông hơn đồ thị xuất phát.

– Cạnh cắt (hay cầu) là cạnh khi bỏ đi sẽ tạo ra một đồ thị con

mới có nhiều thành phần liên thông hơn đồ thị xuất phát.

Tính liên thông trong đồ thị vô hướng

– Ví dụ 4 Tìm các đỉnh cắt và cạnh cắt của G.

° Các đỉnh cắt là b, c, e.

° Các cạnh cắt là {a, b} và {c, e}.

g f

h e

c b

d a

G

08/13/24 7.4 Tính liên thông 10

Tính liên thông trong đồ thị có hướng

– Định nghĩa 4 Đồ thị có hướng gọi là liên thông mạnh nếu có đường đi từ a tới b và từ b tới a với mọi đỉnh a và b của đồ thị – Định nghĩa 5 Đồ thị có hướng gọi là liên thông yếu nếu có

đường đi giữa hai đỉnh bất kỳ của đồ thị vô hướng nền

Tính liên thông trong đồ thị có hướng

– Ví dụ 5

° G là liên thông mạnh.

° H là không liên thông mạnh vì không có đường đi có hướng

từ a tới b, nhưng là liên thông yếu.

c d

e

b a

c d

e

b a

08/13/24 7.4 Tính liên thông 12

Đường đi và sự đẳng cấu

– Dùng đường đi và chu trình để xét xem hai đồ thị có đẳng cấu hay không

° Bất biến đẳng cấu: số đỉnh, số cạnh, bậc của đỉnh

° Bất biến đẳng cấu: chu trình đơn với độ dài đặc biệt

° Dùng đường đi để xây dựng ánh xạ giữa hai đồ thị

– Ví dụ 6 Hai đồ thị G và H có là đẳng cấu không?

u6

u4

u2

v5

v6

v4

v3

v2

Đường đi và sự đẳng cấu

u6

u4

u2

v5

v6

v4

v3

v2

Cả G và H có ba bất biến bằng nhau: số cạnh, số đỉnh, bậc của các đỉnh (4 đỉnh bậc 3, và 2 đỉnh bậc 2) Tuy nhiên H có chu trình đơn độ dài 3,

08/13/24 7.4 Tính liên thông 14

Đường đi và sự đẳng cấu

– Ví dụ 7 Hai đồ thị G và H có là đẳng cấu không?

G và H đều có 5 đỉnh và 6 cạnh, 2 đỉnh bậc 3 và 3 đỉnh bậc 2; cả hai đều

có 1 chu trình đơn độ dài 3, 1 chu trình đơn độ dài 4, và 1 chu trình đơn độ dài 5 Để tìm phép đẳng cấu có thể có, đi theo đường đi qua tất cả các đỉnh

Kiểm tra f là phép đẳng cấu.

v1

u2

Đếm đường đi giữa các đỉnh

– Định lý 2 Cho G là một đồ thị với ma trận liền kề A theo thứ

tự các đỉnh v1 ,v2 ,…,v n (với các cạnh vô hướng hoặc có hướng hay là cạnh bội, có thể có khuyên) Số các đường đi khác

nhau độ dài r từ v i tới v j , trong đó r là một số nguyên dương, bằng giá trị của phần tử (i, j) của ma trận A r .

08/13/24 7.4 Tính liên thông 16

Đếm đường đi giữa các đỉnh

– Ví dụ 8 Có bao nhiêu đường đi độ dài 4 từ a tới d trong đồ thị đơn G?

Đồ thị G

c d

Đếm đường đi giữa các đỉnh

• Ma trận liền kề của G, theo thứ tự a, b, c, d, là

0 1 1 0

A = 1 0 0 1

1 0 0 1

0 1 1 0

2 0 0 2

A2 = 0 2 2 0

0 2 2 0

2 0 0 2

8 0 0 8

A4 = 0 8 8 0

0 8 8 0

8 0 0 8

a14 = 8 Vậy có đúng 8 đường đi

độ dài 4 từ a tới d.