BÀI TẬP - Toán rời rạc và Nhập môn lý thuyết đồ thị ppsx

Xác định số lượng các đỉnh, số lượng các cạnh, và bậc của các đỉnh trong các đồ thị sau.. Tìm tổng các bậc của các đỉnh trong các đồ thị ở các Bài 2.1, và kiểm chứng rằng nó bằng hai lầ

Trang 1

Tài liệu học tập dành cho sinh viên

Khoa CNTT - UEF

Phiên bản 1.0

Trang 3

A Bài tập củng cố lý thuyết 4

1Quan hệ và các tính chất của nó 4

2Quan hệ n-ngôi và ứng dụng 4

B Bài tập thực hành trên máy tính 4

C Viết tiểu luận 4

CHƯƠNG 2 ĐỒ THỊ 5

1Giới thiệu 5

2Các thuật ngữ đồ thị 6

3Biểu diễn các đồ thị và sự đẳng cấu đồ thị 9

4Tính liên thông 10

5Các đường đi Euler và Hamilton 12

6Các bài toán đường đi ngắn nhất 14

CHƯƠNG 4 ĐỘ PHỨC TẠP TÍNH TOÁN 16

1Dãy và phép tính tổng 16

2Độ tăng của hàm 17

3Thuật toán 18

Trang 4

LỜI GIẢI

VÀ HƯỚNG DẪN 23

CHƯƠNG 1 QUAN HỆ 24

1Quan hệ và các tính chất của nó 24

2Quan hệ n-ngôi và ứng dụng 24

CHƯƠNG 2 ĐỒ THỊ 25

1Giới thiệu 25

2Tiêu đề mục 2 26

Trang 5

PHẦN 1 BÀI TẬP

Trang 6

CHƯƠNG 1

QUAN HỆ

A Bài tập củng cố lý thuyết

1 Quan hệ và các tính chất của nó

Bài 1.1 Nội dung

…

2 Quan hệ n-ngôi và ứng dụng

…

B Bài tập thực hành trên máy tính

Bài 1 Nội dung

….

C Viết tiểu luận

….

Trang 7

CHƯƠNG 2

ĐỒ THỊ

1 Giới thiệu

Bài 1.1 Với mỗi trường hợp sau, vẽ các mô hình đồ thị biểu diễn các

đường bay và nói rõ về loại đồ thị được dùng Trong đó lịch bay mỗi ngày như sau:

- Từ TP.HCM: có một chuyến đến Hà Nội, một chuyến đến Đà Nẵng, một chuyến đến Phú Quốc, một chuyến đến Nghệ An, một chuyến đến Hải Phòng;

- Từ Hà Nội: có hai chuyến đến TP.HCM, một chuyến đến Đà Nẵng, một chuyến đến Nghệ An, một chuyến đến Hải Phòng;

- Từ Đà Nẵng: có một chuyến đến Hải Phòng, hai chuyến bay đến TP.HCM; một chuyến đến Hà Nội;

- Từ Nghệ An: có một chuyến đến Hà Nội, một chuyến đến TP.HCM;

- Từ Hải Phòng: có một chuyến đến Hà Nội, một chuyến đến TP.HCM,

và một chuyến đến Đà Nẵng;

- Từ Phú Quốc: có một chuyến đến TP.HCM

a) Đồ thị biểu diễn các thành phố có chuyến bay giữa chúng

b) Đồ thị biểu diễn số chuyến bay hoạt động giữa các thành phố, cộng với một khuyên biểu thị chuyến du lịch đặc biệt ngắm cảnh thành phố, cất và hạ cánh tại Phú Quốc

c) Đồ thị biểu diễn đầy đủ thông tin về hướng bay và số chuyến bay giữa các thành phố

Bài 1.2 Xác định xem đồ thị nào sau đây là đồ thị đơn, đa đồ thị, đồ thị

có hướng

Trang 8

Bài 1.3 Trong trận đấu vòng tròn, đội H thắng đội G, đội C, và đội A;

đội G thắng đội A và đội C; đội C thắng đội A Hãy mô hình hóa kết quả này bằng một đồ thị có hướng

…

2 Các thuật ngữ đồ thị

Bài 2.1 Xác định số lượng các đỉnh, số lượng các cạnh, và bậc của các

đỉnh trong các đồ thị sau Cho biết đỉnh nào là đỉnh cô lập, đỉnh nào là đỉnh treo

a)b

Trang 9

Bài 2.2 Tìm tổng các bậc của các đỉnh trong các đồ thị ở các Bài 2.1, và

kiểm chứng rằng nó bằng hai lần số các cạnh trong đồ thị

Bài 2.3 Có thể tồn tại một đồ thị đơn có 15 đỉnh, mỗi đỉnh có bậc bằng 5

không? Tại sao?

Bài 2.4 Trong một buổi chiêu đãi, mọi người đều bắt tay nhau Chứng tỏ

rằng tổng số người được bắt tay là một số chẵn Giả sử không ai tự bắt tay mình

Bài 2.5 Xác định số đỉnh, số cạnh, số bậc vào và số bậc ra của mỗi đỉnh

đối với đồ thị có hướng sau

a

b)b

Trang 10

Bài 2.6 Hãy xác định tổng các bậc vào và tổng các bậc ra các đỉnh của

đồ thị trong bài 2.5 một cách trực tiếp Chứng tỏ rằng chúng đều bằng tổng các cạnh của đồ thị

Bài 2.7 Đồ thị sẽ có bao nhiêu cạnh nếu nó có các đỉnh bậc 4, 3, 3, 2, 2

Bài 2.9 Vẽ tất cả các đồ thị con của đồ thị sau.

Bài 2.10 Tìm hợp của các cặp đồ thị đơn sau

a

b

ab

cde

da)

Trang 11

3 Biểu diễn các đồ thị và sự đẳng cấu đồ thị

Bài 3.1 Dùng danh sách kề biểu diễn các đồ thị sau.

Bài 3.2 Biểu diễn các đồ thị trong bài 3.1 bằng ma trận kề.

Bài 3.3 Vẽ các đồ thị ứng với ma trận kề được cho như sau.

dc

e

dg

cb)

Trang 12

4 Tính liên thông

Bài 4.1 Các danh sách đỉnh sau đây có tạo nên đường đi trong đồ thị

bên dưới hay không? Đường đi nào là đơn? Đường đi nào là chu trình?

Độ dài của các đường đi này là bao nhiêu?

Trang 13

Bài 4.2 Các danh sách đỉnh sau đây có tạo nên đường đi trong đồ thị

bên dưới hay không? Đường đi nào là đơn? Đường đi nào là chu trình?

Độ dài của các đường đi này là bao nhiêu?

a) (a, b, e, c, b)

b) (a, d, a, d, a)

c) (a, d, b, e, a)

d) (a, b, e, c, b, d, a)

Bài 4.3 Xác định xem các đồ thị đã cho có liên thông không.

Bài 4.4 Có bao nhiêu thành phần liên thông trong các đồ thị ở các Bài

tập 4.3? Tìm các thành phần liên thông đó

Trang 14

5 Các đường đi Euler và Hamilton

Bài 5.1 Xác định xem có tồn tại chu trình Euler trong các đồ thị sau hay

không Vẽ chu trình đó khi nó tồn tại

Bài 5.2 Xác định xem các đồ thị trong Bài 5.1 có đường đi Euler không

Vẽ các đường đi đó nếu có

Bài 5.3 Xác định xem có thể vẽ các bức tranh sau bằng một nét liền,

không nhấc bút lên khỏi mặt giấy không?

Bài 5.4 Xác định sự tồn tại chu trình Euler trong các đồ thị có hướng

sau Vẽ các chu trình này nếu chúng tồn tại

Trang 15

Bài 5.5 Xác định xem đồ thị có hướng trong Bài 5.4 có đường đi Euler

hay không Vẽ các đường đi Euler này nếu có

Bài 5.6 Xác định đồ thị đã cho có chứa chu trình Hamilton hay không

Nếu có hãy tìm một chu trình như thế Nếu không có hãy giải thích lý do

vì sao không tồn tại

Trang 16

Bài 5.7 Đồ thị trong Bài 5.6 có đường đi Hamilton không? Nếu có, hãy

tìm đường đó Nếu không có, cho biết lý do tại sao không tồn tại một đường đi như vậy

6 Các bài toán đường đi ngắn nhất

Bài 6.1 Tìm chiều dài của đường đi ngắn nhất giữa a và z trong đồ thị có

trọng số sau đây

Trang 17

Bài 6.2 Tìm độ dài của đường đi ngắn nhất giữa các cặp đỉnh sau đây

trong các đồ thị có trọng số ở Bài 6.1

a) a và d b) a và f c) c và f d) b và z

Viết các chương trình với các đầu vào và đầu ra như sau:

Bài 1 Một đồ thị cho trước bởi danh sách kề Xác định bậc các đỉnh của

đồ thị này

Bài 2 Một đồ thị cho trước bởi danh sách kề Xác định xem đồ thị này

có là đồ thị lưỡng phân hay không?

Bài 3 Một đồ thị cho trước bởi danh sách kề Xây dựng ma trận kề mô tả

đồ thị đó

Bài 4 Một đồ thị cho trước bởi ma trận kề Liệt kê các cạnh của đồ thị

này

Trang 18

Bài 1 Tìm hiểu nguồn gốc và sự phát triển của lý thuyết đồ thị trước thế

kỷ 20

Bài 2 Tìm hiểu một số thuật toán hiện có để xác định tính đẳng cấu của

hai đồ thị, cùng với độ phức tạp tính toán của những thuật toán này Hiện nay, thuật toán nào trong số đó có hiệu quả cao nhất

Bài 3 Tìm hiểu bài toán người đưa thư (travelling salesman problem) Bài 4 Tìm hiểu bài toán tô màu đồ thị (graph coloring).

Bài 1.3 Liệt kê 10 số hạng đầu của các dãy sau:

a) Dãy có được bằng cách bắt đầu từ 10 và các số hạng sau là các số hạng đứng trước trừ đi 3

b) Dãy có số hạng thứ n là tổng của n số nguyên dương đầu tiên

c) Dãy có số hạng thứ n là 3n – 2n

Trang 19

các số hạng sau được tạo ra bởi một công thức hay quy luật đơn giản nào

đó

Bài 1.5 Đối với mỗi liệt kê các số nguyên sau đây, hãy tìm một công

thức hay luật đơn giản để tạo ra các số hạng của dãy số nguyên bắt đầu với liệt kê đã cho

Trang 20

Bài 2.3 Chứng minh rằng

3

x 2x2x 1

Bài 2.5 Chứng minh rằng x3 là O(x4) nhưng x4 không phải là O(x3)

Bài 2.6 Xác định xem x3 có là O(g(x)) hay không đối với các hàm g sau:a) g(x) = x2 b) g(x) = x3/2

c) g(x) = x2 + x3 d) g(x) = x2 + x4

Bài 2.7 Chứng minh rằng nếu f(x) là O(x) thì f(x) cũng là O(x2)

Bài 2.8 Cho k là một số nguyên dương Chứng minh rằng 1k + 2k + … +

Bài 3.2 Trình bày thuật toán chỉ dùng các lệnh gán để đổi chỗ bộ ba (x,

y, z) thành (y, z, x) Cần dùng tối thiểu bao nhiêu lệnh gán?

Bài 3.3 Liệt kê tất cả các bước cần tiến hành để tìm (nhị phân) số 7

trong dãy số đã sắp tăng 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11

Bài 3.4 Trình bày thuật toán tìm số nguyên nhỏ nhất trong một dãy hữu

hạn các số tự nhiên

Trang 21

tử nhỏ nhất trong một danh sách hữu hạn các số nguyên, trong đó các số nguyên không nhất thiết phải khác nhau.

Bài 3.6 Trình bày thuật toán tìm cả số lớn nhất lẫn số bé nhất trong dãy

hữu hạn các số nguyên

4 Độ phức tạp của thuật toán

Bài 4.1 Viết thuật toán dùng để xếp bốn số hạng đầu của một danh sách

có độ dài tuỳ ý theo thứ tự tăng dần Chứng minh rằng thuật toán này có

độ phức tạp thời gian là O(1), được tính thông qua số lượng các phép so sánh được sử dụng

Bài 4.2 Xác định số lượng phép nhân được dùng để tính x bắt đầu với 2 k

x rồi bình phương liên tiếp (để tìm x2, x4, …) Cách này có hiệu quả hơn cách nhân x với chính nó một số lần thích hợp hay không?

Bài 4.3 a) Chứng tỏ thuật toán sau có khả năng xác định số lượng bit 1

trong xâu bit S

Procedure đếm_bit(S: xâu_bit)

end {count sẽ là số lượng các bit 1 trong S}

Các phép toán của dòng lệnh S := S AND (S – 1) đều là phép toán bit.b) Cần phải thực hiện bao nhiêu phép AND bit để tìm số lượng bit 1 trong một xâu bit có độ dài bằng n

Bài 4.4 Phương pháp Horner dùng để tính giá trị đa thức anxn + an-1xn-1 +

… + a1x + a0 tại x = c như sau:

Procedure Horner(c, a0, a1, …, an: những số thực)

Trang 22

y := y*c + an-i

{y = ancn + an-1cn-1 + … + a1c + a0}

a) Tính giá trị 3x2 + x + 1 tại x = 2 bằng cách thực hiện từng bước thuật toán trên

b) Có chính xác bao nhiêu phép nhân và phép cộng được thuật toán đó

sử dụng để tính giá trị một đa thức bậc n ở x = c? (không kể các phép cộng được dùng để tăng biến vòng lặp.)

Bài 4.5 Một thuật toán sẽ mất bao nhiêu thời gian để giải một bài toán

có kích thước n, nếu thuật toán đó dùng 2n2 + 2n phép tính bit, mỗi phép mất 10-9 giây, với các giá trị của n như sau:

a) 10 b) 20 c) 50 d) 100

Bài 4.6 Xác định số lượng phép so sánh ít nhất (hay hiệu năng trong

trường hợp tốt nhất)

a) cần thiết để xác định số lớn nhất trong một dãy số nguyên

b) được dùng để xác định vị trí một phần tử trong dãy có n số hạng khi dùng thuật toán tìm kiếm nhị phân

5 Các kỹ thuật thiết kế thuật toán

Bài 5.1 Đưa ra một thuật toán đệ quy để tính tổng của n số nguyên

dương đầu tiên

Bài 5.2 Đưa ra một thuật toán đệ quy để tìm số lớn nhất của tập hữu hạn

các số nguyên

Bài 5.3 Đưa ra thuật toán đệ quy để tìm a trong đó a là một số thực và 2 n

n là một số nguyên dương (Gợi ý: Dùng đẳng thức n 1  n 2

a   a )

Bài 5.4 Thành lập một thuật toán đệ quy để tìm số hạng thứ n của dãy

được định nghĩa: a0 = 1, a1 = 2, a2 = 3, và an = an-1 + an-2 + an-3 với n = 3, 4,

5, …

6 Độ phức tạp thuật toán qua các ví dụ

Bài 6.1 Nhân (1110)2 với (1010)2 bằng thuật toán nhân nhanh Karatsuba

Bài 6.2 Tính thời gian thực hiện của các đoạn chương trình sau:

Trang 23

Viết các chương trình với các đầu vào và đầu ra như sau:

Bài 1 Cho a, r và n là các số nguyên không âm Tìm tổng của cấp số

nhân a, ar, ar2, …, arn

Bài 2 Nhập một xâu ký tự Xuất ra nghịch đảo của nó.

Bài 3 Cho trước một số thực a và số nguyên không âm n Dùng đệ quy

tính an

Bài 4 Cho hai số nguyên không đồng thời bằng không Tìm ước chung

nhỏ nhất của chúng bằng phép đệ quy

Bài 5 Cho một danh sách các số nguyên và một phần tử x, xác định vị

trí x trong danh sách bằng cách cài đặt đệ quy thuật toán tìm kiếm nhị phân

Bài 6 Cho trước một số nguyên không âm n Dùng phương pháp đệ quy

Trang 24

Bài 1 Trình bày khái niệm gốc của khái niệm O Giải thích về cách mà

tác giả và những người khác đã dùng khái niệm này

….

Trang 25

PHẦN 2 LỜI GIẢI

VÀ HƯỚNG DẪN

Trang 26

CHƯƠNG 1

QUAN HỆ

1 Quan hệ và các tính chất của nó

…

2 Quan hệ n-ngôi và ứng dụng

…

….

Trang 28

…

2 Tiêu đề mục 2

…

….

Định dạng
Số trang	29
Dung lượng	692,28 KB