Bài giảng toán rời rạc phần mở đầu về cây

Cây là một đồ thị vô hướng, liên thông và không có chu trình.... Một đồ thị vô hướng là một cây nếu giữa mọi cặp đỉnh của nó luôn tồn tại đường đi đơn duy nhất... – Một đỉnh đặc biệt của

8.1 Mở đầu về cây

Tài liệu này được soạn theo sách Toán học rời rạc ứng dụng trong tin học, K H

Rosen, người dịch: Phạm Văn Thiều và Đặng Hữu Thịnh, Nhà xuất bản Khoa học

và kỹ thuật, 1998.

Tài liệu lưu hành nội bộ

– Định nghĩa 1 Cây là một đồ thị vô hướng, liên thông và không

có chu trình

– Ví dụ 1 Đồ thị nào là cây?

a

c

b

d

a

c

b

d

a

c

b

d

a

c

b

d

– Mọi đồ thị liên thông và không có chu trình đơn đều là cây

– Đồ thị không có chu trình đơn và không liên thông được gọi là

rừng Mỗi thành phần liên thông của rừng là một cây.

Đồ thị sau có 3 thành phần liên thông

• Định lý 1 Một đồ thị vô hướng là một cây nếu giữa mọi cặp đỉnh của nó luôn tồn tại đường đi đơn duy nhất

– Một đỉnh đặc biệt của cây được gọi là gốc.

  gán cho mỗi cạnh một hướng từ gốc đi ra

– Cây cùng với gốc sinh ra đồ thị có hướng gọi là cây có gốc.

– Chọn gốc khác nhau sẽ tạo ra các cây có gốc khác nhau

d

b

a

c

e

a

d c

e g

f

b

c

e a

d g f

b

• Giả sử T là cây có gốc,

– Nếu v là đỉnh khác gốc của T, thì cha của v là đỉnh u duy nhất sao cho có một cạnh có hướng từ u đến v, khi đó v được gọi là

con của u.

– Các đỉnh có cùng cha được gọi là anh em

– Tổ tiên của đỉnh khác gốc là các đỉnh trên đường đi từ gốc tới

đỉnh này

– Con cháu của đỉnh v là các đỉnh có v là tổ tiên

– Các đỉnh của cây gọi là lá nếu nó không có con

– Các đỉnh có con được gọi là đỉnh trong

– Nếu a là đỉnh của một cây, thì cây con với gốc a là đồ thị con của cây đang xét, bao gồm a và các con cháu của nó cùng tất cả các cạnh liên thuộc với các con cháu của a.

• Ví dụ 2 Cha của c, con của g, anh em của h, các tổ tiên của e, con cháu của b, tất cả các đỉnh trong, tất cả các lá? Cây con với gốc tại

g?

b

i

a

g

i

T, cây có gốc

• Định nghĩa 2.

– Cây có gốc được gọi là cây m-phân nếu tất cả các đỉnh trong của nó không có hơn m con

– Cây có gốc được gọi là m-phân đầy đủ nếu mọi đỉnh trong có đúng m con

– Cây m-phân với m = 2 được gọi là cây nhị phân.

• Ví dụ 3 Cây nào là cây m-phân đầy đủ?

T1

T2

T3

T4

– Cây có gốc được sắp (hay cây có gốc có thứ tự) là cây có gốc

trong đó các con của mỗi đỉnh trong được sắp xếp theo một thứ tự nhất định

° con của mỗi đỉnh trong được sắp từ trái qua phải khi vẽ

– Trong cây nhị phân được sắp,

° các đỉnh trong có 2 con: con thứ nhất gọi là con bên trái, con thứ hai gọi là con bên phải

° cây có gốc tại con bên trái của một đỉnh gọi là cây con bên

trái của đỉnh này;

° cây có gốc tại con bên phải của một đỉnh gọi là cây con bên

phải của đỉnh này.

Cây như là các mô hình

• Ví dụ 5 Hydrocarbon no và cây

– Đồ thị có thể dùng để biểu diễn một phân tử:

° nguyên tử được tượng trưng bỡi đỉnh

° liên kết giữa các nguyên tử được tượng trưng bỡi cạnh

– Hydrocarbon no: C n H 2n+2

° nguyên tử carbon được biểu diễn bằng đỉnh bậc 4

° nguyên tử hydro được biểu diễn bằng đỉnh bậc 1

° số đỉnh:

• 3n + 2

° số các cạnh trong đồ thị:

• (4n + 2n + 2) / 2 = 3n + 1

° đồ thị liên thông và số cạnh nhỏ hơn số đỉnh 1 đơn vị nên nó là cây

Cây như là các mô hình

• Ví dụ 5 (tiếp theo)

° Khi n = 4, có đúng 2 cây không đẳng cấu, vậy có đúng 2 đồng phân dạng C4H10

C C C C

H H

H

H H

H H

H

C

C H

C C

H

H

H

H

H H

H

H H

Cây như là các mô hình

• Ví dụ 8 Các bộ xử lý song song kết nối kiểu cây

– Mạng liên kết n = 2 k  1 bộ xử lý

° Bộ xử lý biểu diễn bằng đỉnh không là gốc hoặc lá có ba liên kết hai chiều

° Bộ xử lý biểu diễn bởi gốc có hai liên kết hai chiều

° Bộ xử lý biểu diễn bởi lá có một liên kết hai chiều – Tính toán song song:

° Cộng 8 số bằng 3 bước: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8

P1

P3

P2

Những tính chất của cây

– Định lý 2 Cây với n đỉnh có đúng n 1 cạnh.

– Định lý 3 Cây m-phân đầy đủ với i đỉnh trong sẽ có tất cả

n = m i + 1 đỉnh.

i: số các đỉnh trong, l: số các lá

– Định lý 4 Cây m-phân đầy đủ với

(i) n đỉnh có

i = (n  1) / m đỉnh trong,

l = ((m  1)n + 1) / m lá

(ii) i đỉnh trong có

n = m i + 1 đỉnh,

l = (m  1)i + 1 lá

(iii) có n = (m l  1) / (m  1) đỉnh và i = (l  1) / (m  1) đỉnh

Những tính chất của cây

– Mức của đỉnh v trong cây có gốc là độ dài của đường đi duy nhất

từ gốc tới nó; mức của gốc được định nghĩa là 0

– Độ cao của cây là mức cao nhất của tất cả các đỉnh.

– Cây m-phân có gốc và độ cao h được gọi là cân đối nếu tất cả các lá đều ở mức h hoặc h  1.

Những tính chất của cây

• Ví dụ 10 Mức của mỗi đỉnh trong cây có gốc sau? Độ cao của cây?

Những tính chất của cây

• Ví dụ 11 Cây nào trong các cây có gốc sau là cân đối?

Những tính chất của cây

– Định lý 5 Có nhiều nhất m h lá trong cây m-phân với độ cao h.

– Hệ quả 1

° Nếu cây m-phân cao h có l lá, khi đó h  log m l

° Nếu cây m-phân đầy đủ và cân đối, khi đó h = log m l

° ( x là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hay bằng x.)