Bài giảng toán rời rạc phần mở đầu về cây

Caây 8.1. Môû ñaàu veà caây Taøi lieäu naøy ñöôïc soaïn theo saùch Toaùn hoïc rôøi raïc öùng duïng trong tin hoïc , K. H. Rosen, ngöôøi dòch: Phaïm Vaên Thieàu vaø Ñaëng Höõu Thònh, Nhaø xuaát baûn Khoa hoïc vaø kyõ thuaät, 1998. Taøi lieäu löu haønh noäi boä 10/01/15 8.1. Môû ñaàu veà 1 – Ñònh nghóa 1. Caây laø moät ñoà thò voâ höôùng, lieân thoâng vaø khoâng coù chu trình.. – Ví duï 1. Ñoà thò naøo laø caây? a b a a b b a b d c d e f G1 10/01/15 c f e c d c d e f e f G2 8.1. Môû ñaàu veà G3 G4 2 – Moïi ñoà thò lieân thoâng vaø khoâng coù chu trình ñôn ñeàu laø caây – Ñoà thò khoâng coù chu trình ñôn vaø khoâng lieân thoâng ñöôïc goïi laø röøng. Moãi thaønh phaàn lieân thoâng cuûa röøng laø moät caây. Ñoà thò sau coù 3 thaønh phaàn lieân thoâng 10/01/15 8.1. Môû ñaàu veà 3 • Ñònh lyù 1. Moät ñoà thò voâ höôùng laø moät caây neáu giöõa moïi caëp ñænh cuûa noù luoân toàn taïi ñöôøng ñi ñôn duy nhaát. 10/01/15 8.1. Môû ñaàu veà 4 – ∀ – – Moät ñænh ñaëc bieät cuûa caây ñöôïc goïi laø goác. ⇒ gaùn cho moãi caïnh moät höôùng töø goác ñi ra Caây cuøng vôùi goác sinh ra ñoà thò coù höôùng goïi laø caây coù goác. Choïn goác khaùc nhau seõ taïo ra caùc caây coù goác khaùc nhau. f g a d b b T 10/01/15 c e a d e b a c c f g e Vôùi goác a 8.1. Môû ñaàu veà f d g Vôùi goác c 5 • Giaû söû T laø caây coù goác, – Neáu v laø ñænh khaùc goác cuûa T, thì cha cuûa v laø ñænh u duy nhaát sao cho coù moät caïnh coù höôùng töø u ñeán v, khi ñoù v ñöôïc goïi laø con cuûa u. – Caùc ñænh coù cuøng cha ñöôïc goïi laø anh em – Toå tieân cuûa ñænh khaùc goác laø caùc ñænh treân ñöôøng ñi töø goác tôùi ñænh naøy – Con chaùu cuûa ñænh v laø caùc ñænh coù v laø toå tieân – Caùc ñænh cuûa caây goïi laø laù neáu noù khoâng coù con – Caùc ñænh coù con ñöôïc goïi laø ñænh trong – Neáu a laø ñænh cuûa moät caây, thì caây con vôùi goác a laø ñoà thò con cuûa caây ñang xeùt, bao goàm a vaø caùc con chaùu cuûa noù cuøng taát caû caùc caïnh lieân thuoäc vôùi caùc con chaùu cuûa a. 10/01/15 8.1. Môû ñaàu veà 6 • Ví duï 2. Cha cuûa c, con cuûa g, anh em cuûa h, caùc toå tieân cuûa e, con chaùu cuûa b, taát caû caùc ñænh trong, taát caû caùc laù? Caây con vôùi goác taïi g? a g b f c d g h e ò i ò i k h k l l m T, caây coù goác 10/01/15 8.1. Môû ñaàu veà 7 m • Ñònh nghóa 2. – Caây coù goác ñöôïc goïi laø caây m-phaân neáu taát caû caùc ñænh trong cuûa noù khoâng coù hôn m con – Caây coù goác ñöôïc goïi laø m-phaân ñaày ñuû neáu moïi ñænh trong coù ñuùng m con – Caây m-phaân vôùi m = 2 ñöôïc goïi laø caây nhò phaân. 10/01/15 8.1. Môû ñaàu veà 8 • Ví duï 3. Caây naøo laø caây m-phaân ñaày ñuû? T2 T1 T4 T3 10/01/15 8.1. Môû ñaàu veà 9 – Caây coù goác ñöôïc saép (hay caây coù goác coù thöù töï) laø caây coù goác trong ñoù caùc con cuûa moãi ñænh trong ñöôïc saép xeáp theo moät thöù töï nhaát ñònh. ° con cuûa moãi ñænh trong ñöôïc saép töø traùi qua phaûi khi veõ. – Trong caây nhò phaân ñöôïc saép, ° caùc ñænh trong coù 2 con: con thöù nhaát goïi laø con beân traùi, con thöù hai goïi laø con beân phaûi ° caây coù goác taïi con beân traùi cuûa moät ñænh goïi laø caây con beân traùi cuûa ñænh naøy; ° caây coù goác taïi con beân phaûi cuûa moät ñænh goïi laø caây con beân phaûi cuûa ñænh naøy. 10/01/15 8.1. Môû ñaàu veà 10 Caây nhö laø caùc moâ hình • Ví duï 5. Hydrocarbon no vaø caây. – Ñoà thò coù theå duøng ñeå bieåu dieãn moät phaân töû: ° nguyeân töû ñöôïc töôïng tröng bôõi ñænh ° lieân keát giöõa caùc nguyeân töû ñöôïc töôïng tröng bôõi caïnh – Hydrocarbon no: CnH2n+2 ° ° ° ° ° 10/01/15 nguyeân töû carbon ñöôïc bieåu dieãn baèng ñænh baäc 4 nguyeân töû hydro ñöôïc bieåu dieãn baèng ñænh baäc 1 soá ñænh: • 3n + 2 soá caùc caïnh trong ñoà thò: • (4n + 2n + 2) / 2 = 3n + 1 ñoà thò lieân thoâng vaø soá caïnh nhoû hôn soá ñænh 1 ñôn vò neân noù laø caây 8.1. Môû ñaàu veà 11 Caây nhö laø caùc moâ hình • Ví duï 5. (tieáp theo) ° Khi n = 4, coù ñuùng 2 caây khoâng ñaúng caáu, vaäy coù ñuùng 2 ñoàng phaân daïng C4H10 H H H Butan 10/01/15 C C H H C C C H H H C H H C H H H H H H Isobutan 8.1. Môû ñaàu veà H C H H 12 H Caây nhö laø caùc moâ hình • Ví duï 8. Caùc boä xöû lyù song song keát noái kieåu caây – Maïng lieân keát n = 2k − 1 boä xöû lyù ° Boä xöû lyù bieåu dieãn baèng ñænh khoâng laø goác hoaëc laù coù ba lieân keát hai chieàu ° Boä xöû lyù bieåu dieãn bôûi goác coù hai lieân keát hai chieàu ° Boä xöû lyù bieåu dieãn bôûi laù coù moät lieân keát hai chieàu – Tính toaùn song song: ° Coäng 8 soá baèng 3 böôùc: x + x + x + x + x + x + x + x 1 2 3 4 5 6 7 8 P1 P3 P2 P4 10/01/15 P5 P6 8.1. Môû ñaàu veà P7 13 Nhöõng tính chaát cuûa caây – Ñònh lyù 2. Caây vôùi n ñænh coù ñuùng n − 1 caïnh. – Ñònh lyù 3. Caây m-phaân ñaày ñuû vôùi i ñænh trong seõ coù taát caû n = m i + 1 ñænh. i: soá caùc ñænh trong, l: soá caùc laù – Ñònh lyù 4. Caây m-phaân ñaày ñuû vôùi (i) n ñænh coù i = (n − 1) / m ñænh trong, l = ((m − 1)n + 1) / m laù (ii) i ñænh trong coù n = m i + 1 ñænh, l = (m − 1)i + 1 laù (iii) coù n = (m l − 1) / (m − 1) ñænh vaø i = (l − 1) / (m − 1) ñænh trong. 10/01/15 8.1. Môû ñaàu veà 14 Nhöõng tính chaát cuûa caây – Möùc cuûa ñænh v trong caây coù goác laø ñoä daøi cuûa ñöôøng ñi duy nhaát töø goác tôùi noù; möùc cuûa goác ñöôïc ñònh nghóa laø 0. – Ñoä cao cuûa caây laø möùc cao nhaát cuûa taát caû caùc ñænh. – Caây m-phaân coù goác vaø ñoä cao h ñöôïc goïi laø caân ñoái neáu taát caû caùc laù ñeàu ôû möùc h hoaëc h − 1. 10/01/15 8.1. Môû ñaàu veà 15 Nhöõng tính chaát cuûa caây • Ví duï 10. Möùc cuûa moãi ñænh trong caây coù goác sau? Ñoä cao cuûa caây? 10/01/15 8.1. Môû ñaàu veà 16 Nhöõng tính chaát cuûa caây • Ví duï 11. Caây naøo trong caùc caây coù goác sau laø caân ñoái? 10/01/15 8.1. Môû ñaàu veà 17 Nhöõng tính chaát cuûa caây – Ñònh lyù 5. Coù nhieàu nhaát mh laù trong caây m-phaân vôùi ñoä cao h. – Heä quaû 1. ° Neáu caây m-phaân cao h coù l laù, khi ñoù h ≥ log l . m ° Neáu caây m-phaân ñaày ñuû vaø caân ñoái, khi ñoù h = logm l . ° ( x laø soá nguyeân nhoû nhaát lôùn hôn hay baèng x.) 10/01/15 8.1. Môû ñaàu veà 18 [...]... 10 Mức của mỗi đỉnh trong cây có gốc sau? Độ cao của cây? 10/01/15 8.1 Mở đầu về 16 Những tính chất của cây • Ví dụ 11 Cây nào trong các cây có gốc sau là cân đối? 10/01/15 8.1 Mở đầu về 17 Những tính chất của cây – Đònh lý 5 Có nhiều nhất mh lá trong cây m-phân với độ cao h – Hệ quả 1 ° Nếu cây m-phân cao h có l lá, khi đó h ≥ log l m ° Nếu cây m-phân đầy đủ và cân đối, khi đó h = logm l ° (... 10/01/15 8.1 Mở đầu về 14 Những tính chất của cây – Mức của đỉnh v trong cây có gốc là độ dài của đường đi duy nhất từ gốc tới nó; mức của gốc được đònh nghóa là 0 – Độ cao của cây là mức cao nhất của tất cả các đỉnh – Cây m-phân có gốc và độ cao h được gọi là cân đối nếu tất cả các lá đều ở mức h hoặc h − 1 10/01/15 8.1 Mở đầu về 15 Những tính chất của cây • Ví dụ 10 Mức của mỗi đỉnh trong cây có gốc... và số cạnh nhỏ hơn số đỉnh 1 đơn vò nên nó là cây 8.1 Mở đầu về 11 Cây như là các mô hình • Ví dụ 5 (tiếp theo) ° Khi n = 4, có đúng 2 cây không đẳng cấu, vậy có đúng 2 đồng phân dạng C4H10 H H H Butan 10/01/15 C C H H C C C H H H C H H C H H H H H H Isobutan 8.1 Mở đầu về H C H H 12 H Cây như là các mô hình • Ví dụ 8 Các bộ xử lý song song kết nối kiểu cây – Mạng liên kết n = 2k − 1 bộ xử lý ° Bộ xử... lá có một liên kết hai chiều – Tính toán song song: ° Cộng 8 số bằng 3 bước: x + x + x + x + x + x + x + x 1 2 3 4 5 6 7 8 P1 P3 P2 P4 10/01/15 P5 P6 8.1 Mở đầu về P7 13 Những tính chất của cây – Đònh lý 2 Cây với n đỉnh có đúng n − 1 cạnh – Đònh lý 3 Cây m-phân đầy đủ với i đỉnh trong sẽ có tất cả n = m i + 1 đỉnh i: số các đỉnh trong, l: số các lá – Đònh lý 4 Cây m-phân đầy đủ với (i) n đỉnh có i... với độ cao h – Hệ quả 1 ° Nếu cây m-phân cao h có l lá, khi đó h ≥ log l m ° Nếu cây m-phân đầy đủ và cân đối, khi đó h = logm l ° ( x là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hay bằng x.) 10/01/15 8.1 Mở đầu về 18 .. .Cây như là các mô hình • Ví dụ 5 Hydrocarbon no và cây – Đồ thò có thể dùng để biểu diễn một phân tử: ° nguyên tử được tượng trưng bỡi đỉnh ° liên kết giữa các nguyên tử được tượng trưng bỡi cạnh – Hydrocarbon no: CnH2n+2 ° ° ... gốc 10/01/15 8.1 Mở đầu m • Đònh nghóa – Cây có gốc gọi m-phân tất đỉnh m – Cây có gốc gọi m-phân đầy đủ đỉnh có m – Cây m-phân với m = gọi nhò phân 10/01/15 8.1 Mở đầu • Ví dụ Cây m-phân đầy đủ?... thông gọi rừng Mỗi thành phần liên thông rừng Đồ thò sau có thành phần liên thông 10/01/15 8.1 Mở đầu • Đònh lý Một đồ thò vô hướng cặp đỉnh tồn đường đơn 10/01/15 8.1 Mở đầu – ∀ – – Một đỉnh đặc... tính chất • Ví dụ 10 Mức đỉnh có gốc sau? Độ cao cây? 10/01/15 8.1 Mở đầu 16 Những tính chất • Ví dụ 11 Cây có gốc sau cân đối? 10/01/15 8.1 Mở đầu 17 Những tính chất – Đònh lý Có nhiều mh m-phân