Bài giảng Toán rời rạc Phần V & VI - GVC ThS.Võ Minh Đức

Định nghĩa 1: Hệ thức truy hồi đối với dãy số {an} là công thức biểu diễn an qua một hay nhiều số hạng đi trước của dãy.. Dãy số được gọi là lời giải hay nghiệm của hệ thức truy hồi nếu

CH2: Có thể ĐN hai khái niệm trên không

dùng đệ quy được không?

TOÁN RỜI RẠC

CH1: Đọc giá trị của dãy số gồm các giai

thừa của một số, bắt đầu từ 0:

0, 1, 2, 6, 12, 20, ,n!

a1, a2, a3, a4…an

TOÁN RỜI RẠC

1 Định nghĩa 1:

Hệ thức truy hồi đối với dãy số {an} là công thức biểu diễn an qua một hay nhiều số hạng đi trước của dãy Dãy số được gọi là lời giải hay nghiệm của hệ thức truy hồi nếu các số hạng của nó thỏa mãn hệ thức truy hồi này

CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1(Lãi kép): Giả sử một người

gửi 10.000 đô la vào tài khoản của mình tại một ngân hàng với lãi suất kép 11% mỗi năm Sau 30 năm anh

ta có bao nhiêu tiền trong tài khoản của mình?

Gọi Pn là tổng số tiền có trong tài khoản sau n năm Vì số tiền có trong tài khoản sau n năm bằng số có sau n  1 năm cộng lãi suất của năm thứ n, nên ta thấy dãy {Pn} thoả mãn hệ thức truy hồi sau:

Pn = Pn-1 + 0,11Pn-1 = (1,11)Pn-1với điều kiện đầu P0 = 10.000 đô la Từ đó suy ra Pn = (1,11)n.10.000

Thay n = 30 cho ta P = 228922,97 đô la

VÍ DỤ 2

Tìm hệ thức truy hồi và cho điều kiện đầu

để tính số các xâu nhị phân độ dài n và không có hai số 0 liên tiếp

Có bao nhiêu xâu nhị phân như thế có độ dài bằng 5?

Gọi an là số các xâu nhị phân (np) độ dài

n và không có hai số 0 liên tiếp

Ta có:

Số các xâu np độ dài n và không có hai số

0 liên tiếp (an) = số các xâu np như thế kết

Giả sử n  3

* bn chính là số xâu np như thế, độ dài n 

1 và thêm số 1 vào cuối của chúng Hỏi có tất cả là bao nhiêu xâu?

* cn là số các xâu np có bit thứ n  1 bằng

1, nếu không thì chúng có hai số 0 ở hai bit cuối cùng Hỏi có tất cả là bao nhiêu xâu như thế ?

2 Giải các hệ thức truy hồi.

Định nghĩa 2: Một hệ thức truy hồi

tuyến tính thuần nhất bậc k là hệ thức truy hồi có dạng:

an = c1an-1 + c2an-2 + + ckan-ktrong đó c1, c2, , ck là các số thực

Pn = (1,11)Pn-1 là tuyến tính bậc nhất

an = an-1+ an-2 là tuyến tính thuần nhất bậc 2

an = an-5 là tuyến tính thuần nhất bậc 5

Cho ví dụ một hệ thức không phải là

Phương trình:

rk - c1rk-1 - c2rk-2 - Ck-1r - ck = 0 được gọi là phương trình đặc trưng của hệ thức truy hồi an = c1an-1 + c2an-2+ + ckan-k, nghiệm của nó gọi là nghiệm đặc trưng của hệ thức truy hồi

Cho c1, c2, , ck là các số thực Giả sử rằng phương trình đặc trưng:

r k - c1r k-1 - c2r k-2 - ck-1r - ck = 0

có k nghiệm phân biệt r1, r2, , rk Khi đó dãy {an} là nghiệm của hệ thức truy hồi an = c1an-1 + c2an-2 + + ckan-k

khi và chỉ khi

an = 1r1n + 2r2n + + krkn , với n = 1, 2, trong đó 1, 2, , k là các hằng số.

Ví dụ Tìm công thức hiển của các số

Do đó các số Fibonacci được cho bởi công

) 2

Ví dụ Tìm công thức hiển của các số

Fibonacci

Với các điều kiện đầu: a0 = 0 và a1 = 1

Từ (1) Ta có: α1+ α2 = 0 = a0

) 1 (

) 2

5

1 (

) 2

5 ,

Từ 2 phương trình trên, ta được:

) 2

5

1 (

) 2

5

1 (

Ví dụ Tìm công thức hiển của các số

Fibonacci

n

n n

2

5

1 ( 5

5 )

2

5

1 ( 5

Hãy tìm nghiệm của hệ thức truy hồi an = 6a

n-1 - 11an-2 + 6an-3 với điều kiện ban đầu a0 = 2,

Chơi trò chơi đoán số:

1 Em hãy nghĩ trong đầu một số lớn hơn 100 và

nhỏ hơn 200 (gọi SV).

2 Số em nghĩ là 150 (nhỏ hơn hoặc lớn hơn)

…

Đây chính là bài toán chia để trị

VI QUAN HỆ CHIA ĐỂ TRỊ

 Chia: Chia bài toán cần giải thành nhiều bài

toán con độc lập.

 Trị: Giải các bài toán con

 Tổng hợp: Xây dựng lời giải bài toán từ lời

giải hoặc kết quả của các bài toán con.

Vấn đề đặt ra là giải các bài toán con như thế

BÀI TOÁN tìm kiếm nhị phân -> thuật toán

BÀI TOÁN nhân hai số nguyên -> thuật toán (về nhà đọc sách tr.84)

Các thuật toán này gọi là các thuật toán chia để trị.

Giả sử f(n) và g(n) là hai hàm số xác định trên tập các số nguyên dương Nếu tồn tại

số nguyên dương n0 và hằng số C sao cho:

Giả sử f là một hàm tăng thỏa mãn hệ thức truy hồi f(n)= af(n/b)+c, với mọi

n chia hết cho b với a, b là các số nguyên và a>=1, b>1, c là số thực dương Khi đó:

(

1 )

n f

Giả sử f là một hàm tăng thỏa mãn hệ thức truy hồi f(n)= 5f(n/2)+3, hãy tìm f(2k), trong đó k là số nguyên dương và đánh giá f(n).

) (

)