Bài giảng Toán kĩ thuật Chương 3 - ĐH Cần Thơ

Chương 3 CHUỖI FOURIER VÀ BIẾN ĐỔI FOURIER Nội dung • Một số dạng tín hiệu quan trọng • Khái niệm hàm tuần hoàn • Chuỗi Fourier • Tích phân Fourier – Biến đổi Fourier • Phân tích phổ tín hiệu Moọt soỏ daùng tớn hieọu quan troùng Tớn hiu xung vuụng gúc (t) Hm dc (Ramp function) Hm bc nhy n v u(t) Hm xung lc n v Tớn hiu Sgn(t) Tớn hiu xung tam giỏc Hm m suy gim Hm m tng dn Xung hm m Tớn hiu xung cosin Cp phõn b (t) chn l Phõn b lc Dóy xung vuụng lng cc Dóy xung vuụng n cc Tớn hiu sin suy gim theo hm m Tớn hiu Sinc Tớn hiu Sinc 2 Tớn hiu Gausse Moọt soỏ daùng tớn hieọu quan troùng Tớn hiu xung vuụng gúc (t) Hm dc r(t) Hm dc r(t-a) nhõn vi h s K cho hm K.r(t-a), dng súng l ng thng cú dc K v gp trc t a 2 1 2 1 1 0 )()( ttx = < > == 2 1 t, 1 2 1 , 0 )()( t ttx c 0 )(.)( b ct atx = b a )(.)( b ct atx = < = 0,0 0, )( t tt tr 0 r(t) 0 a r(t-a) < = at att atr ,0 , )( K 1 Moọt soỏ daùng tớn hieọu quan troùng Hm bc nhy n v u(t) 0 )(tu 1 1/2 < > === 0t, 1 0t, 0 )(1)()( ttutx 0 )( tXu )()( = tXutx )(tx 0 X [ ] [ ] )(1).()(1. )().()(.)( = = tttt X tuttut X tx Moọt soỏ daùng tớn hieọu quan troùng Tớnh cht hm xung lc Raadttadtta == ;)(.)(. )( )(1 )(1)()( t dt td ttud t o === x(t). (t) = x(0).(t) x(t).(t t 0 ) = x(t 0 ). (t t 0 ) )0()().( xdtttx = )()().( 00 txdttttx = )(. 0 0 tt t t = (-t) = (t) )()().()().()()( txdtxdtxttx === x(t)*(t - t 0 ) = x(t-t 0 ) Hm xung lc n v 1 (t) 0 t 1)( 0t, 0t, 0 )( = = = dtt t + = = = 1)( t, t, 0 )( 0 0 0 0 tt t t tt 1 (t t 0 ) 0 t t 0 Moọt soỏ daùng tớn hieọu quan troùng Tớn hiu Sgn(t) Tớn hiu xung tam giỏc 1 1 0 )tSgn()t(x = t < = > == 0t,1 0t,0 0t,1 )t(Sgn)t(x t 1 1 1 0 )()( ttx = > = 1t khi, 0 1t khi, ||1 )( t tx t X 0 < > = 0t, 0 0,0t, . )( t eX tx t 0;)(1)1()( >= tetx t x(t) 0 X Hm m suy gim Hm m tng dn Moọt soỏ daùng tớn hieọu quan troùng 0, 2 .)( > = T T t eXtx t T0 = 0 0 / ).cos(.)( t tXtx t 0 2 0 2 0 X Xung hm m Tớn hiu xung cosin Moọt soỏ daùng tớn hieọu quan troùng Tớn hiu sin suy gim theo hm m Tớn hiu Gausse | | -1 1 1 2 )( t etx = 2 t e)t(x = X -X -t 0 2 3 4 < = 0,0 0,sin )( 0 t tteX tx t Moọt soỏ daùng tớn hieọu quan troùng Cp phõn b (t) chn l ++= ) 2 1 () 2 1 ( 2 1 )(|| ttt += ) 2 1 () 2 1 ( 2 1 )( ttt | | ||(t) 0 t 2 1 2 1 2 1 0 t 2 1 2 1 2 1 )t( 2 1 [...]... n  1 2 (1 − cos(nπ )) = j (1 − cos(nπ )) nπ n n = 2k n = 2k + 1 0  F(ω) =  4 n  Phổ biên độ |F(ω)| n = 2k n = 2k + 1 4 4 /3 3/4 …… • -5 ω -4 ω …… -3 -2 ω ω - ω • • • 3 2ω 4ω 5ω 0 π  arg(F(ω)) =  2 4  n Phổ pha argF(ω) π/2 …… -5 ω -4 ω • -3 -2 ω - …… • ω - /2 • 2ω 3 • 4ω ω 5ω n = 2k n = 2k + 1 > 0 n = 2k + 1 < 0 Biến đổi Fourier • Cặp biến đổi Fourier dạng phức: 1 f (t ) = 2π F (ω ) = ∞ ∫... (t) = -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 t Tính chất phân bố lược ∞ ( x(t ). t ) = ∑ x(n).δ (t − n) ( (  − t ) =  t ) n=− ∞ ( x(t ) ∗  t ) = ∞ ∑ x(t − n) n=− ∞ ( (  t + n ) =  t ) ∞ t   =| τ | ∑ δ (t − nτ )  τ  n=− ∞ ∞ ∑ δ (t − n) n=− ∞ Một số dạng tín hiệu quan trọng Dãy xung vng lưỡng cực x (t ) −T − T 2 T 2 0 t T Dãy xung vng đơn cực x (t ) X -T -T 0 τ T 2T... -T -T 0 τ T 2T t Một số dạng tín hiệu quan trọng Tín hiệu Sinc Sinc(t) 1 − − 3 ω0 4π − ω0 Tín hiệu Sinc − π ω0 π ω0 2π 3 ,t ≠ 0 ,t = 0 ω0 2π 0 ω0  sin ω0 t  x(t ) = Sinc(ω 0 t ) =  ω0 t 1  4π ω0 ω0 2 2 Sinc (t) 1  sin 2 ω 0 t  x(t ) = Sinc 2 ω 0 t =  (ω 0 t ) 2 1  − 3 ω0 − 2π ω0 − π ω0 0 π ω0 2π ω0 3 ω0 ,t ≠ 0 ,t = 0 Ví dụ Khái niệm hàm tuần hoàn Khái niệm Lưu ý • • f(t+2p) = f(t)... bình của giới hạn trái và phải Thành phần a0 chính là trị trung bình của hàm f(t) trong một chu kỳ Vì thế nó chính là thành phần DC của tín hiệu điện • Người ta hay chọn đoạn lấy tích phân trong khoảng (-p, p) hoặc từ (0, T) 1 p a0 = ∫ f (t ).dt p −p 1 p nπt an = ∫ f (t ) cos dt p −p p bn = 1 p nπt ∫− p f (t ) sin p dt p Ví dụ • Tìm khai triển Fourier của hàm f(x) bên dưới Biết f(x)=f(x+2π) • Nhận xét:... sin(nπt/p) Và lúc đó n.(2p/n) = = f (t + 4p) 2p cũng là chu kỳ của hàm cos(nπt/p) và = f(t+2np) sin(nπt/p) Số 2p là chu kỳ cơ bản • cả các giá trị của biến độc lập f(t) t 0 p Hàm tuần hồn thì khơng cần xác định trên tất 2p 4p 6p Chuỗi Fourier • Chuỗi lượng giác: a0 ∞ + ∑ (a n cos(nx ) + bn sin( nx)) 2 n =1 Ta thấy nếu chuỗi hàm lượng giác có tổng f(x) hay hội tụ về f(x) trong một miền nào đó thì . )()( ( ) ( ) tt = ( ) ( ) tnt =+ = = n nt t )(.|| 0 t )(||| t . . . . . . 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 ( ) = = n ntt )(||| Phõn b lc Moọt soỏ daùng tớn hieọu quan troùng Dóy xung vuụng. hieọu quan troùng Tớn hiu sin suy gim theo hm m Tớn hiu Gausse | | -1 1 1 2 )( t etx = 2 t e)t(x = X -X -t 0 2 3 4 < = 0,0 0,sin )( 0 t tteX tx t Moọt soỏ daùng tớn hieọu. . 2 T T T 2 T )(tx 0 t . . . . . . T X 2T -T -T Moọt soỏ daùng tớn hieọu quan troùng Tớn hiu Sinc Tớn hiu Sinc 2 Sinc(t) 1 0 0 0 2 0 3 0 4 0 0 2 0 3 0 4 = == 0,1 0, sin )()( 0 0 0 t t t t tSinctx Sinc 2 (t) 1 0 0 0 2 0 3 0 0 2 0 3 = == 0,1 0, )( sin )( 2 0 0 2 0 2 t t t t tSinctx Ví