Bài giảng Toán kĩ thuật Chương 3 - ĐH Cần Thơ

Nội dung• Một số dạng tín hiệu quan trọng • Khái niệm hàm tuần hoàn • Chuỗi Fourier • Tích phân Fourier – Biến đổi Fourier • Phân tích phổ tín hiệu... Một số dạng tín hiệu quan trọng• Tí

Chương 3

CHUỖI FOURIER

VÀ BIẾN ĐỔI FOURIER

Nội dung

• Một số dạng tín hiệu quan trọng

• Khái niệm hàm tuần hoàn

• Chuỗi Fourier

• Tích phân Fourier – Biến đổi Fourier

• Phân tích phổ tín hiệu

Một số dạng tín hiệu quan trọng

• Tín hiệu xung vuơng gĩc Π(t)

• Dãy xung vuơng lưỡng cực

• Dãy xung vuơng đơn cực

• Tín hiệu sin suy giảm theo hàm mũ

• Tín hiệu Sinc

• Tín hiệu Sinc2

• Tín hiệu Gausse

Một số dạng tín hiệu quan trọng

• Hàm dốc r(t-a) nhân với hệ số K cho hàm K.r(t-a), dạng sĩng là đường thẳng cĩ độ dốc K và gặp trục t ở a

2

1

−

2 1

1

0

) ( )

2

1 , 0 ) ( ) (

t t

t x

c

0

) ( )

(

b

c t a t

0 , ) (

t

t t t r

a t t a t r

, 0

, ) (

K

1

Một số dạng tín hiệu quan trọng

Hàm bước nhảy đơn vị u(t)

0 t 0 ) ( 1 ) ( )

x

0

) (t− τ

Xu

τ

) (

( ) ( )

(

τ τ

τ

τ τ

t t X

t u t t u t

X t x

Một số dạng tín hiệu quan trọng

Tính chất hàm xung lực

R a a dt t a dt t

(.)

(

) ( ) ( 1

) ( 1 ) ( )

dt

t d t

t u d

t

o

δ τ

τ

∫

x(t) δ(t) = x(0).δ(t) x(t) δ (t – t0) = x(t0) δ (t – t0)

) 0 ( )

( ).

t t t

()

()

()

()

()

τδτδ

0 t

0 t 0 ) (

t

δ δ

t

t 0 ) (

0

0

0 0

t t

t

t t

t

δ

δ 1

δ (t – t0)

Một số dạng tín hiệu quan trọng

) (

0 t , 0

0 t , 1 ) t ( Sgn ) t (

1 t khi ,

|

| 1 )

0 , 0 t , .

)

t x

t

0

;)(1)1()(t = −e− α t α >

x(t)

0 X

Một số dạng tín hiệu quan trọng

0 , 2

=

0 0

/ ).

cos(

) (

ωπ

X t x

Một số dạng tín hiệu quan trọng

Tín hiệu sin suy giảm theo hàm mũ Tín hiệu Gausse

0 , sin

)

t

t t e

X t

x

α

Một số dạng tín hiệu quan trọng

1 ( 2

1 ) (

1 ( 2

1 )

1

−

2 1

2 1

2

1

−

2 1

) t (

2 1

−

Một số dạng tín hiệu quan trọng

t

) (

|

.

-1 -2 -3 -4 -5

|

Phân bố lược

Một số dạng tín hiệu quan trọng

Dãy xung vuơng lưỡng cực

Dãy xung vuơng đơn cực

T

X

2T -T

-T

τ

Một số dạng tín hiệu quan trọng

0 ,

sin ) ( )

t

t t

t t

Sinc t

ω ω

Sinc2(t) 1

0,)

(

sin)

0 0 2 0

2

t

t t

t t

Sinc t

ωω

Ví dụ

Khái niệm hàm tuần hoàn

• Khơng phải tất cả các hàm tuần hồn đều cĩ chu kỳ cơ bản

• Nếu ω = n2π/2p thì 2π/ω = 2p/n là chu kỳ cơ bản của cos(nπt/p) và sin(nπt/p) Và lúc đĩ n.(2p/n) = 2p cũng là chu kỳ của hàm cos(nπt/p) và sin(nπt/p)

• Hàm tuần hồn thì khơng cần xác định trên tất

cả các giá trị của biến độc lập

Số 2p là chu kỳ cơ bản

x n b

p

x b

p

x b

p

x n a

p

x a

p

x a

a

p

x n b

p

x n a

a

n n

n

n n

π π

π π

π π

π π

sin

2 sin sin

cos

2 cos cos

2 1

) sin

cos (

2 1

2 1

2 1

0

1 0

+ + +

+ +

+ +

Ta thấy nếu chuỗi hàm lượng giác có tổng f(x) hay hội tụ về f(x) trong một miền nào đó thì f(x) phải là hàm tuần hoàn chu kỳ là 2π.

Tương tự nếu chuỗi trên hội tụ đến hàm f(x) thì hàm f(x) cũng tuần hoàn với chu kỳ T = 2p

Công thức Euler mở rộng

0

; 0

cos

0 sin

n m dt

p

t n p

t m

c ) ∫ + cos cos = 0 ; ≠

d

π π

0

; cos

0 sin

cos

t m

n m dt

p

t n p

t m

f ) ∫+ sin sin = 0 ; ≠

( d 2p

d

π π

0

; sin

)

Định lý Dirichlet

• Nếu f(t) là hàm tuần hoàn, bị chặn và có một số điểm xác định không liên tục trong một chu kỳ của

nó thì khi đó chuỗi Fourier của f(t) sẽ hội tụ đến f(t) tại tất cả những điểm mà f(t) liên tục Còn tại những điểm mà f(t) không liên tục, chuỗi Fourier của nó sẽ hội tụ đến giá trị trung bình của giới hạn trái và giới hạn phải của f(t) tức nếu tại điểm t=t0 hàm số bị gián đoạn thì:

2

) ( ) ( 2

) ( lim )

(

lim )

f t

t

Sn t t t t

Chuỗi Fourier (khai triển Fourier)

Cho hàm số f(t) tuần hoàn với chu kỳ T = 2p thỏa điều kiện Dirichlet Khi đó hàm f(t) có thể biểu diễn dưới dạng chuỗi Fouier theo công thức sau:

(

n

n n

p

t n b

p

t n a

a t

T d d n

p d d

T d d n

p d d

T d d

dt T

t n t

f T

dt p

t n t f p

b

dt T

t n t

f T

dt p

t n t

f p

a

dt t f T

dt t f p

a

2 2

2 0

2sin)(

2sin

)(1

2cos)(

2cos

)(1

)(

2)(1

ππ

ππ

Lưu ý

• Tại điểm hàm f(t) không liên tục thì chuỗi đó bằng trung bình của giới hạn trái và phải

• Thành phần a0 chính là trị trung bình của hàm f(t) trong một chu kỳ Vì thế nó chính là thành phần

DC của tín hiệu điện.

• Người ta hay chọn đoạn lấy tích phân trong khoảng (-p, p) hoặc từ (0, T).

∫−

= p

p f t dt p

f p

f p

Ví dụ

• Tìm khai triển Fourier của hàm f(x) bên dưới Biết f(x)=f(x+2 π )

• Nhận xét: hàm f(x) tuần hoàn với chu kỳ T=2p=2 π và thỏa định lý Dirichlet, nên có thể khai triển Fourier.

• Áp dụng công thức, ta tìm các hệ số Fourier:

• Vậy khai triển Fourier của hàm f(x) có dạng:

Ví dụ

dt t

f p

p

p

t n t

f p

dt p

t n t

f p

a

0 ( ) cos

2 cos

) (

p

p

t n t

f p

dt p

t n t

f p

b

0 ( ) sin

2 sin

) (

Ví dụ

Dạng chuyển đổi

của khai triển Fourier

chuỗi cosine điều hòa

chuỗi sine điều hòa

n n

n n

p

t n A

A p

t n b

p

t n A

A t

n n

n n

p

t n A

A p

t n b

p

t n A

A t

2

0 0

a

A =

n

n n

ne C t

f ( ) π / = ∫d+ p −

d

p t jn

ne C t

f ( ) π / − = ∫dd+2p jn / p

p 2

b

a

.2 a 2

2

2

n n

0 0

0

0

n n

n n

n n

n

n n

n

C C j

C C C

jb a

C

jb a

)arg(

tan

a2

12

1

A

2

1

2

1

1 1

2 n

2 n

0 0

0 0

n n

n n

n n

n n

n n

n

j n n

j n n

C a

b

C a

b

C C b A

C

e A C

e A C

A C

n n

γ

γ

γ γ

Công thức liên hệ qua lại

Ví dụ

• Tìm Cn :

)) cos(

1 (

2 ))

cos(

1 (

1 2 2

)

π

π π

n

j

n n

j C

2k n

0 )

ω F(

)) 2 cos(

1 ( 2 1

1

1 )

1 (

1 )

( 2

1

2 / 0

0 2 /

2 /

0

0

2 / 2

T T

j e

T j

e T j

dt e T dt e T

dt e t f p

C

n n

t j

n

t j

n

T

t j

T

t j p

d d

t j n

T n T

n

n n

n

ω ω

ω

ω ω

• Tính F( ω ):

2k n

0 ) ω F(

=

>+

=

=

=

012kn n

4

012kn 2

2kn 0

)ωF(

arg(

π

Biến đổi Fourier

• Cặp biến đổi Fourier dạng phức:

ω ω

(

dt e

t f

Ví dụ

Biến đổi Fourier các hàm cơ bản

Tính chất của biến đổi Fourier

• Vi phân thời gian

• Tích phân thời gian

• Vi phân trong miền tần số

• Định lý nhân chập tần số

• Định lý mođun Parseval

• Định lý nhân chập trong miền thời gian

• Định lý điều chế

2 )

at

) ( f ( t − t 0 ) ← → ℑ e − j ω t0 F( )ω

Phép dịch tần số Vi phân thời gian

) (

( )

(

) ( )

('

ω ω

ω

ω

F j

t f

F j t

F dt

( )

( − j ntn f t ← →ℑ Fn ω

Định nghĩa tích chập Định lý nhân chập tần số

f g g f d

t g f

t

h

a t

a

*

* )

( ).

( )

2

1 )

( ).

t g t

Định lý mođun Parseval

ω ω

Định lý điều chế

) F(

) ( t ← → ω

f

) F(

).

) F(

t cos ).

t sin ).

Ví dụ

Phaân tích phoå tín hieäu

t f

) ( 1 )

( )

(

∞ +

−

∞ +

dt e t e

dt e t f

ω α

ω

ω α

2 2

1

| ) (

|

ω α

ϕ ( ) = − arctg

e- α t.1(t) 1

Phaân tích phoå tín hieäu

Hết chương 3