Toán rời rạc chương 1 cơ sở logic maple

Chương CƠ SỞ LOGIC Phần I Hướng dẫn sử dụng Maple Để thực việc tính tốn toán liên quan tới sở logic sử dụng gói lệnh Logic Để gọi gói lệnh ta dùng > with(Logic); ‘&and‘, ‘&iff‘, ‘&implies‘, ‘&nand‘, ‘&nor‘, ‘¬‘, ‘&or‘, ‘&xor‘, BooleanSimplify, Canonicalize, Contradiction, Dual, Environment, Equivalent, Export, Implies, Import, Normalize, Random, Satisfy, Tautology, TruthTable 1.1 Phép toán logic Cho p q mệnh đề Khi • ¬ p: Phép phủ định p (nghĩa ¬p hay p) • p &and q: Phép nối liền p q (nghĩa p ∧ q) • p &or q: Phép nối rời p q (nghĩa p ∨ q) • p &implies q: Phép kéo theo p q (nghĩa p → q) • p &iff q: Phép kéo theo hai chiều p q (nghĩa p ↔ q) Lưu ý để in giá trị mệnh đề exp ta phải dùng hàm Export(exp) > with(Logic): > Export(¬ true); f alse > Export(true &or false); true > Export(true &and false); f alse > Export(false &implies false); true > Export(false &iff true); f alse 1.2 Dạng mệnh đề Dạng mệnh đề biểu thức xây dựng từ biến mệnh đề, phép toán logic, Cho exp, exp1, exp2 dạng mệnh đề, đó: • Random({var1, var2, }): Tạo ngẫu nhiên dạng mệnh đề theo biến var1, var2, CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt • Export(exp): Viết exp dạng biểu thức dễ nhìn • Satisfy(exp): Đưa giá trị biến mệnh đề cho exp • TruthTable(exp,[var1, var2, ]): Bảng chân trị exp theo thứ tự biến var1, var2, • Tautology(exp): Kiểm tra exp có khơng • Tautology(exp, ’S’): Kiểm tra exp có khơng Nếu khơng S giá trị biến mệnh đề làm cho exp sai • Contradiction(exp): Kiểm tra exp có sai khơng • Contradiction(exp, ’T’): Kiểm tra exp có sai khơng Nếu khơng T giá trị biến mệnh đề làm cho exp • Equivalent(exp1, exp2): Kiểm tra exp1 exp2 có tương đương logic khơng • Equivalent(exp1, exp2, ’S’): Kiểm tra exp1 exp2 có tương đương logic khơng Nếu khơng S giá trị biến mệnh đề làm cho exp1 exp2 khơng có chân trị • Implies(exp1, exp2): Kiểm tra exp2 có hệ logic exp1 khơng • Implies(exp1, exp2, ’S’): Kiểm tra exp2 có hệ logic exp1 khơng Nếu khơng S giá trị biến mệnh đề làm cho exp1 → exp2 sai > E := Random({p, q}); #Kết ngẫu nhiên > F := (p &and (¬ q)) &implies (r &or q): > Export(F); #dạng mệnh đề (p ∧ ¬q) → (r ∨ q) #Viết F dạng dễ nhìn p and not q ⇒ r or q > Satisfy(F); #Tìm giá trị biến cho F {p = f alse, q = f alse, r = f alse} > T := TruthTable(F, [p, q, r]); #Bảng chân trị F T := table([(f alse, true, f alse) = true, (f alse, f alse, true) = true, Để in bảng chân trị T dạng bảng ta sử dụng dòng lệnh sau > S := [false, true]; for a in S for b in S for c in S print(a, b, c, T[a, b, c]); od; od; od; Ví dụ Hãy kiểm tra hai dạng mệnh đề sau hay sai? Giải thích? E = (p ∧ q) → (p ∨ q ∨ r) F = (p → q) → [(q → r) → (p → r)] CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt > E:=(p &and q) &implies (p &or (¬ q) &or r): F:=(p &implies q ) &implies ((q &implies r) &implies(p &implies (¬ r))): > Export(E); Export(F); #Viết E F dạng dễ nhìn > Tautology(E); true > Contradiction(E); f alse > Tautology(F, ’X’); Contradiction(F, ’Y’); f alse f alse > X; {p = true, q = true, r = true} > Y; {p = f alse, q = f alse, r = f alse} Như vậy, E F không không sai • với p = 1, q = 1, r = F = 0; • với p = 0, q = 0, r = F = Tương tự cách sử dụng hàm Equivalent Implies ta làm ví dụ sau Ví dụ Trong khẳng định sau, khẳng định a) (p ∧ q) ∨ r ⇒ p ∧ (q ∨ r) b) (p → q) ∨ (p → q) ⇒ p ∧ q c) (p → q) ∨ [p → (q ∧ r)] ⇔ p → q d) p → (q ∨ r) ⇔ r¯ → (¯ q → p¯) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Phần II Bài tập Bài 1.1 Gọi P, Q, R mệnh đề: P : “Bình học Tốn” Q : “Bình học Tin học” R : “Bình học Anh văn” Hãy viết mệnh đề sau thành biểu thức logic a) Bình học Tốn Anh văn khơng học Tin học b) Bình học Tốn Tin học khơng học lúc Tin học Anh văn c) Khơng Bình học Anh văn mà khơng học Tốn d) Khơng Bình học Anh văn hay Tin học mà khơng học Tốn e) Bình khơng học Tin học lẫn Anh văn học Toán Bài 1.2 Cho P Q mệnh đề: P : “Bạn lái xe với tốc độ 65 km/h” Q: “Bạn bị phạt tốc độ cho phép” Hãy viết mệnh đề sau thành biểu thức logic a) Bạn không lái xe 65 km/h b) Bạn lái xe 65 km/h bạn khơng bị phạt q tốc độ cho phép c) Bạn bị phạt tốc độ cho phép Nếu bạn lái xe 65 km/h d) Nếu bạn không lái xe với tốc độ 65 km/h bạn khơng bị phạt tốc độ cho phép e) Lái xe với tốc độ 65 km/h đủ để bị phạt tốc độ cho phép f) Bạn bị phạt q tốc độ cho phép bạn khơng lái xe 65 km/h g) Mỗi lần bị phạt tốc độ cho phép bạn lái xe 65 km/h Bài 1.3 Cho P, Q, R mệnh đề : P : “Bạn bị cúm” Q: “Bạn thi trượt kỳ thi cuối khóa” R: “Bạn lên lớp” Hãy diễn đạt mệnh đề theo ngôn ngữ thông thường a) P → Q c) Q → R e) (P → R) ∨ (Q → R) b) Q ↔ R d) P ∨ Q ∨ R f) (P ∧ Q) ∨ (Q ∧ R) Bài 1.4 Tìm dạng mệnh đề biến q, p, r cho dạng mệnh đề a) p q r sai b) hai ba mệnh đề c) mệnh đề sai Bài 1.5 Viết mệnh đề phủ định A A có nội dung sau CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt a) Không 2/5 dân số tốt nghiệp đại học k) Cả lớp nói chuyện ồn b) Hơn nửa số Bộ trưởng thực có lực l) Có gọi điện thoại cho Tuấn m) Các cầu thủ không thích bơi lội c) Khơng 1/6 số trẻ em bị thất học n) Hắn thông minh thiếu thận trọng d) Nhiều 30 ứng viên thi đạt ngoại ngữ o) Ngọc học Tốn mà khơng học Lịch sử e) Có sinh viên đạt giải thưởng p) Dũng An thi ngoại ngữ f) Đúng 12 thí sinh dự vịng chung kết thi q) Vũ vừa giỏi Vật Lý vừa giỏi Hóa học g) Hơn vận động viên phá kỷ lục quốc gia r) Hải đạt kết thấp mơn Tin học lẫn mơn Tốn h) Ít 16 quốc gia thi đấu mơn bóng rổ s) Họ đến trường hay họ xem phim i) Nếu Sơn thắng trận anh Paris t) Chúng Vinh anh không Huế j) Không muốn làm việc vào ngày chủ nhật u) Nhóm bác sĩ hay nhóm kỹ sư làm từ thiện Bài 1.6 Hãy lấy phủ định mệnh đề sau: a) 15 chia hết cho khơng chia hết cho b) Hình tứ giác khơng phải hình chữ nhật mà khơng phải hình thoi c) Nếu An khơng làm ngày mai bị duổi việc d) Ngày mai trời mưa hay trời lạnh tơi khơng ngồi e) Nếu trời mưa bạn khơng đến đón tơi khơng học Bài 1.7 Cho p, q, r biến mệnh đề Lập bảng chân trị cho dạng mệnh đề sau: a) (p → q) ∨ (q → p) d) (p ∧ q) ∨ r g) (p → q) ∧ r b) (p ∨ q) → (r ∨ p) e) (p ∨ q) ∧ r h) (p → q) ∨ (q → r) c) (p ∨ q) ∧ r f) (p ∨ q) ↔ r i) (p ∧ q) → (q ∨ r) Bài 1.8 Hãy dạng mệnh đề sau: a) (p ∨ q) → (p ∧ q) c) p → (q → p) b) (p ∧ q) → (p ∨ q) d) p → (p → q) Bài 1.9 Chứng minh dạng mệnh đề sau sai: a) (p ∧ q) → (p ∨ q¯ ∨ r) c) [p → (q ∧ r)] → (p → q) b) (p → q) → [(q → r) → (p → r)] d) [(p → q) ∧ (q → r)] → [p → (q → r)] CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt e) [(p → q) → (r → p¯)] → (q → r¯) ∨ p¯ h) [(p → q¯) → q] ∧ p → q f) [p ∧ (q ∨ r)] → [(p ∧ q) ∨ r] i) [p → (q → r)] ∧ (p → r¯) ∧ p → q¯ g) (r ∧ q) → (¯ p ∨ q) j) (p ∧ q¯) ∧ (¯ q → p¯) ∧ (q ∨ r) Bài 1.10 Trong khẳng định sau, khẳng định đúng: a) q ⇒ p → q f) p → (q ∧ r) ⇒ p → q b) p → q ⇒ p g) (p ∧ q) → r ⇒ (p → r) ∧ (q → r) c) (p ∧ q) ∨ r ⇒ p ∧ (q ∨ r) h) p → (q ∨ r) ⇒ (p → q) ∨ (p → r) d) (p → q) ∧ (q → r) ⇒ p → (q → r) i) (p → q) ∨ (p → q) ⇒ p ∧ q e) p → (q → r) ⇒ p → r Bài 1.11 Rút gọn dạng mệnh đề sau a) [(p ∨ q) ∧ (p ∨ q¯)] ∨ q d) p ∧ (q ∨ r) ∧ (¯ p ∨ q¯ ∨ r) b) p ∨ q ∨ [(¯ p ∧ q) ∨ q¯] e) (p → q) ∧ [¯ q ∨ (¯ q ∧ r)] c) p ∨ q ∨ (¯ p ∧ q¯ ∧ r) f) p¯ ∨ (p ∧ q¯) ∨ (p ∧ q ∧ r¯) ∨ (p ∧ q ∧ r ∧ s¯) Bài 1.12 Cho p, q, r biến mệnh đề Chứng minh a) (p → q) → [(p → r) → q] ⇔ q → p d) p → (q ∨ r) ⇔ r¯ → (¯ q → p¯) b) (p → q) ∨ [p → (q ∧ r)] ⇔ p → q e) (p ∧ q ∨ r) → (q → r) ⇔ q → (p ∨ r) c) (p ∧ r) → (q ∧ r) ⇔ r → (p → q) f) (¯ q → p¯) ∧ p) ⇔ p → q¯ Bài 1.13 Cho P (x) câu “x học Toán rời rạc”, không gian tập hợp sinh viên Hãy diễn đạt biểu thức logic sau thành câu thông thường: a) ∀x, P (x) b) ∃x, P (x) d) ∃x, P (x) c) ∀x, P (x) Bài 1.14 Cho P (x, y) câu “x học môn y”, với không gian x tập hợp sinh viên lớp, không gian y tập hợp môn học Hãy diễn đạt mệnh đề sau thành câu thông thường a) ∃x∃y P (x, y) c) ∀x∃y P (x, y) e) ∀y∃x P (x, y) b) ∃x∀y P (x, y) d) ∃y∀x P (x, y) f) ∀x∀y P (x, y) Bài 1.15 Xét chân trị mệnh đề tạo từ lượng từ ∀, ∃ vị từ p(x), p(x)∧q(x), p(x)∨ q(x), p(x) → q(x) p(x) ↔ q(x) (theo biến thực x) a) p(x) = “x2 − 2x − ≤ 0” q(x) = “(x + 1)(x − 2) − > 0” b) p(x) = “(3 − 2x)(x + 4) − ≥ 0” q(x) = “(x2 + x − 2)(x2 − 3x + 10) > 0” Bài 1.16 Hãy lấy phủ định mệnh đề sau: CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt a) Mọi tam giác có góc 600 b) Tất học sinh lớp Toán xem kịch có học sinh lớp Văn khơng xem xiếc c) Nếu An đoạt chức vô địch tất bạn lớp đến chúc mừng Bài 1.17 Cho a ∈ R Viết mệnh đề phủ định A A có nội dung sau: √ a) 2a3 + 5a = 10 c) − 5a ≤ b) (2a − 5)(3a + 1)−1 ≥ d) ln(a2 − a − 2) < Bài 1.18 Cho lượng từ γ δ (với γ, δ lượng từ ∀ ∃) Xét chân trị A viết A tùy theo dạng cụ thể γ δ : a) A = “γ x ∈ R, |x| = −x3 ” b) A = “γ x ∈ Q, x2 − 2x > −2” c) A = “γ x ∈ R, δ n ∈ N, 2n ≤ x < 2n + 1” d) A = “γ x ∈ R, δ y ∈ R, (x2 = y ) → (x = y)” e) A = “γ x ∈ Q, δ y ∈ R, (x2 + 2x − 15)y = 0” f) A = “γ x ∈ R, δ y ∈ Q, x2 + 4x ≥ y + g) A = “γ x ∈ R, δ k ∈ Z, (x − k)2 ≤ ” Bài 1.19 Viết dạng phủ định A xét chân trị A ( xét trực tiếp A hay xét gián tiếp A suy A): a) A = “∀n ∈ N, 4|n2 → 4|n” b) A = “∃x ∈ R, sin x + 2x = 1” c) A = “∀x ∈ R, ∀y ∈ R, 2x + sin y > 0” d) A = “∀x ∈ R, ∃y ∈ N, (x2 ≥ y ) → (x ≥ y)” e) A = “∃x ∈ R, ∀y ∈ Q, 2y + 2−y ≥ sin x + 3” f) A = “∀x ∈ R, ∃y ∈ Q, ∀t ∈ Z, x ≤ y + 2t” g) A = “∃x ∈ Q, ∃y ∈ R, ∀t ∈ N, x3 − 3y = 5t” Bài 1.20 Cho biết suy luận suy luận quy tắc suy luận sử dụng? a) Điều kiện đủ để Bình Dương thắng trận đối thủ đừng gỡ lại vào phút cuối Mà CSG thắng trận Vậy đối thủ Bình Dương khơng gỡ lại vào phút cuối b) Nếu Minh giải tốn thứ tư em nộp trước quy định Mà Minh không nộp trước quy định Vậy Minh khơng giải tốn thứ tư CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt c) Nếu lãi suất giảm số người gửi tiết kiệm giảm Mà lãi suất không giảm Vậy số người gửi tiết kiệm không giảm d) Nếu thưởng cuối năm Hà Đà Lạt Nếu Đà Lạt Hà thăm Suối vàng Do thưởng cuối năm Hà thăm suối vàng Bài 1.21 Hãy kiểm tra xem suy luận sau có khơng a) Nếu An lên chức làm việc nhiều An tăng lương Nếu tăng lương An mua xe Mà An không mua xe Vậy An không lên chức hay An không làm việc nhiều b) Nếu muốn dự họp sáng thứ ba Minh phải dạy sớm Nếu Minh nghe nhạc tối thứ hai Minh trễ Nếu trễ thức dậy sớm Minh phải họp mà ngủ Nhưng Minh họp ngủ Do Minh không nghe nhạc thối thứ hai Minh phải bỏ họp sáng thứ ba c) Nếu Bình làm muộn vợ giận Nếu An thường xuyên vắng nhà vợ giận Nếu vợ Bình hay vợ An giận Hà bạn họ nhận lời than phiền Mà Hà không nhận lời than phiền Vậy Bình làm sớm An vắng nhà Bài 1.22 Hãy kiểm tra suy luận sau p→q q r ∴p∨r p → (q → r) q→p p ∴r p∧q p → (r ∧ q) r → (s ∨ t) s ∴t p∨q q∨r r ∴q p→q r → (p ∨ s) (t → p) → r q∨s ∴t q t→p (p ∧ q) → s ∴t→s p→q (p ∧ s) ∨ t t→q ∴s→t p∨q p q∨r s→r ∴s p p→q (q ∧ r) → s t→r ∴s→t Bài 1.23 Cho biến mệnh đề p, q, r, s, t u Giải thích đắn suy luận đây: a) p ∧ (p → q) ∧ (s ∨ r) ∧ (r → q¯) ⇒ s ∨ t b) (¯ p ∨ q) ∧ (¯ p → r) ∧ (¯ r ∨ s) ⇒ q¯ → s CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt c) s¯ ∧ [(¯ p ∨ q) → r] ∧ u¯ ∧ [r → (s ∨ t)] ∧ (u ∨ t¯) ⇒ p d) (p → q) ∧ r¯ ∧ q¯ ⇒ p ∨ r e) [p → (q → r)] ∧ (t → q) ∧ s¯ ∧ (p ∨ s) ⇒ r¯ → t¯ f) p ∧ r ∧ q¯ ⇒ (p ∧ r) ∨ q g) [p → (q → r)] ∧ (¯ q → p¯) ∧ p ⇒ r h) [(p ∧ q) → r] ∧ (r → s) ∧ s¯ ⇒ p → q¯ i) (p → q) ∧ (r → s) ∧ [(s ∧ q) → (p ∧ t)] ∧ (t → p¯) ⇒ p¯ ∨ r¯ j) p ∧ (p → q) ∧ (r ∨ q¯) ⇒ r k) (p → q) ∧ (r → s) ∧ [(s ∨ q) → t] ∧ t¯ ⇒ p¯ ∧ r¯ l) (p → q) ∧ (¯ r ∨ q¯) ∧ r ⇒ p¯ m) [p → (r ∧ q)] ∧ p ∧ q ∧ [r → (s ∨ t)] ∧ s¯ ⇒ t n) (p ∨ q) ∧ (p → r) ∧ r¯ ⇒ q Bài 1.24 Cho vị từ p(x) q(x) theo biến x ∈ A Giải thích đắn suy luận đây: a) [∀x ∈ A, p(x) → (q(x) ∧ r(x))] ∧ [∀x ∈ A, p(x) ∧ s(x)] ⇒ [∀x ∈ A, r(x) ∧ s(x)] b) [∀x ∈ A, p(x) ∨ q(x)] ∧ [∃x ∈ A, p(x)] ∧ [∀x ∈ A, q(x) ∨ r(x)] ∧ [∀x ∈ A, s(x) → r(x)] ⇒ [∃x ∈ A, s(x)] Bài 1.25 Chứng minh qui nạp theo số nguyên n : a) 13 + 23 + + n3 = n2 (n + 1)2 , ∀n ≥ b) 1.1! + 2.2! + + n.n! = (n + 1)! − 1, ∀n ≥ 1 c) 1.2.3 + 2.3.4 + + n(n + 1)(n + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3), ∀n ≥ n d) < n!, ∀n ≥ e) n2 < 2n , ∀n ≥ ( để ý (n + 1)2 < 2n2 , ∀n ≥ ) f) n3 < 2n , ∀n ≥ 10 ( để ý (n + 1)3 < 2n3 , ∀n ≥ 4) n 1 1 + ≤ + + + + n ≤ n + 1, ∀n ≥ 2 n n h) | (3 + − 2), ∀n ≥ g) i) | (6.7n − 2.3n ), ∀n ≥ n j) 3n+1 | (23 + 1), ∀n ≥ k) Cho a số thực khác không cho a + số nguyên 1 số nguyên Chứng minh ∀n ≥ 1, an + n a a l) Cho dãy số Fibonacci ao = 0, a1 = an+2 = an+1 + an , ∀n ≥ Chứng minh ∀n ≥ 0, an = √ (αn − β n ) với α β nghiệm thực phương trình x2 − x − = thỏa α > β CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... Bài 1. 25 Chứng minh qui nạp theo số nguyên n : a) 13 + 23 + + n3 = n2 (n + 1) 2 , ∀n ≥ b) 1. 1! + 2.2! + + n.n! = (n + 1) ! − 1, ∀n ≥ 1 c) 1. 2.3 + 2.3.4 + + n(n + 1) (n + 2) = n(n + 1) (n... Bài 1. 13 Cho P (x) câu “x học Toán rời rạc? ??, không gian tập hợp sinh viên Hãy diễn đạt biểu thức logic sau thành câu thông thường: a) ∀x, P (x) b) ∃x, P (x) d) ∃x, P (x) c) ∀x, P (x) Bài 1. 14... (n + 1) 2 < 2n2 , ∀n ≥ ) f) n3 < 2n , ∀n ≥ 10 ( để ý (n + 1) 3 < 2n3 , ∀n ≥ 4) n 1 1 + ≤ + + + + n ≤ n + 1, ∀n ≥ 2 n n h) | (3 + − 2), ∀n ≥ g) i) | (6.7n − 2.3n ), ∀n ≥ n j) 3n +1 | (23 + 1) ,