CHƢƠNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Định nghĩa đồ thị V :tập đỉnh, E={(u,v): u,v V} :tập cạnh G = (V,E) gọi đồ thị .c om Đồ thị vơ hƣớng: cạnh cặp đỉnh khơng có thứ tự Ta có: (u,v) E (v,u) E Đồ thị có hƣớng: cạnh cặp đỉnh có thứ tự gọi cung Đơn đồ thị : cặp đỉnh có tối đa cạnh/cung Đa đồ thị: cặp đỉnh có cạnh/cung Đồ thị có trọng số: cạnh/cung có giá trị gọi trọng số cạnh/cung (Trong tài liệu ta xét đơn đồ thị.) - Ví dụ : hình 1a,1b,1c,1d B A D B A D D C Đơn đồ thị có hƣớng A D C Đa đồ thị vơ hƣớng B C Đa đồ thị có hƣớng an Đơn đồ thị vô hƣớng C co E B ng A - du o u - Các thuật ngữ Khuyên: cạnh (cung) gọi khuyên có hai đỉnh trùng Cạnh (cung) lặp: hai cạnh (cung) tƣơng ứng với cặp đỉnh Đỉnh kề: (u,v) cạnh (cung) đồ thị v gọi kề u Trong đồ thị vô hƣớng v kề u u kề v Cạnh liên thuộc: cạnh e=(u,v) gọi cạnh liên thuộc với hai đỉnh u, v Bậc đỉnh: số cạnh liên thuộc với v gọi bậc đỉnh v, kí hiệu deg(v) Bậc đỉnh có vịng đƣợc cộng thêm cho vịng Ví dụ hình 1a : deg(E)=0, deg(B)=3, deg(C)=1 Đỉnh cô lập, đỉnh treo: Trong đồ thị vô hƣớng, đỉnh bậc gọi đỉnh cô lập, đỉnh bậc gọi đỉnh treo.Ví dụ hình 1a: C đỉnh treo, E đỉnh cô lập Cung vào, ra: cung e=(u,v) gọi cung khỏi u cung vào v Bán bậc đỉnh: số cung vào v gọi bán bậc vào đỉnh v, kí hiệu deg-(v), số cung khỏi v gọi bán bậc đỉnh v, kí hiệu deg+(v) Ví dụ (hình 1b) deg-(A)=0, deg-(B)=2, deg-(D)=3, deg+(A)=2, deg+(B)=2, deg+(C)=1 cu - ng th Nhận xét: Rất nhiều tốn mơ hình hố đồ thị giải thuật tốn đồ thị Ví dụ xếp lịch thi đấu đồ thị vô hƣớng với đội đỉnh, hai đội thi đấu với cạnh Mạng giao thơng đa đồ thị có hƣớng với nút giao thông đỉnh, đƣờng hai nút cung Tƣơng tự việc thiết kế mạng máy tính, mạng viễn thơng đƣa tốn đồ thị Định lý 1: Trong đồ thị vơ hƣớng Tổng bậc đỉnh = lần số cạnh CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Gọi m số cạnh, : = 2m deg( v ) v V Chứng minh: Mỗi cạnh e=(u,v) đƣợc tính lần deg(u) lần deg(v) cạnh đƣợc tính hai lần tổng bậc 2m tổng bậc đỉnh, Hệ quả: Trong đồ thị vô hƣớng Số đỉnh bậc lẻ số chẵn Chứng minh: Gọi O tập đỉnh có bậc số lẻ, U tập đỉnh có bậc số chẵn Ta có: deg( v ) = deg( v ) + deg( v ) = 2m v O v U v U, deg(v) chẵn nên Do deg( v ) chẵn deg( v ) v U v v O, deg(v) lẻ mà tổng Do deg( v ) v chẵn O chẵn, nên tổng phải gồm số chẵn số hạng O số đỉnh có bậc số lẻ số chẵn (đpcm) ng Định lý 2: Trong đồ thị có hƣớng an =m (v ) th v V co Tổng bán bậc = tổng bán bậc vào = số cung Gọi m số cung, deg ( v ) = deg c om v V v V du o ng Chứng minh: Hiển nhiên cung (u,v) đỉnh u vào đỉnh v nên đƣợc tính lần bậc u lần bậc vào v nên suy đpcm cu u Đƣờng đi, chu trình, liên thơng * Đƣờng đi, chu trình: - Đƣờng đi: Đƣờng có độ dài n từ đỉnh v0 đến đỉnh dãy v0, v1, …,vn-1, ; với (vi vi+1) E, i=0,…,n1 Đƣờng biểu diễn dãy n cạnh (cung): (v0, v1),…, (vi, vi+1),…, (vn-1, vn) Đỉnh v0 gọi đỉnh đầu, đỉnh gọi đỉnh cuối đƣờng - Chu trình: đƣờng có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối Đƣờng (hay chu trình) gọi đơn khơng có cạnh (cung) bị lặp lại * Đồ thị Liên Thông: - Đồ thị gọi liên thông hai đỉnh ln có đƣờng Nếu đồ thị khơng liên thơng, đồ thị ln chia thành đồ thị liên thông (thành phần liên thông) đôi đỉnh chung - Đồ thị có hƣớng liên thơng cịn đƣợc gọi liên thơng mạnh Nếu đồ thị có hƣớng khơng liên thơng nhƣng đồ thị vơ huớng tƣơng ứng liên thơng đồ thị có hƣớng gọi liên thông yếu - Đồ thị vô hƣớng liên thơng gọi định hƣớng đƣợc định hƣớng cạnh để có đƣợc đồ thị có hƣớng liên thơng ví dụ: hình A A C A C B Có hướng lthơng (lthơng mạnh) C B Có hướng kg lthông lthông yếu CuuDuongThanCong.com A C B Vô hướng lthông định hướng B Vô hướng lthông Kg định hướng https://fb.com/tailieudientucntt Định lý 3: G đồ thị vô hƣớng liên thông G định hƣớng đƣợc cạnh G nằm chu trình u e C v C C’ e C’ ng Hình 3a c om Chứng minh: hình ( ) G định hƣớng đƣợc G liên thông mạnh (u,v) E, đƣờng có hƣớng từ u đến v đƣờng vô hƣớng từ u đến v Đƣờng kết hợp với cạnh (u,v) tạo chu trình chứa cạnh (u,v) (xem hình 3a) ( ) Ta xây dựng thuật toán xác định hƣớng cạnh G để G liên thông mạnh Giả sử C chu trình, định hƣớng cạnh chu trình theo hƣớng vịng theo chu trình Nếu tất cạnh đồ thị đƣợc định hƣớng kết thúc thuật tốn Ngƣợc lại, chọn cạnh e chƣa định hƣớng mà e có chung đỉnh với số cạnh định hƣớng (e tồn G liên thơng) Theo giả thiết tìm đƣợc chu trình C’ chứa cạnh e Định hƣớng cạnh chƣa đƣợc định hƣớng C’ theo hƣớng dọc theo C’ Thuật toán lặp lại tất cạnh đồ thị đƣợc định hƣớng (xem hình 3b, 3c) Hình 3c Hình 3b an co * Đỉnh rẽ nhánh, cạnh cầu: - Đỉnh v gọi đỉnh rẽ nhánh (đỉnh trụ) việc loại bỏ v với cạnh liên thuộc với làm tăng số thành phần liên thông - Cạnh e gọi cầu việc loại bỏ e làm tăng số thành phần liên thông K4 cu K3 Định lý 4: u du o ng th Một số đồ thị đặc biệt a) Đồ thị đầy đủ: Đồ thị đầy đủ n đỉnh, ký hiệu Kn, đơn đồ thị vô hƣớng mà hai đỉnh ln có cạnh nối Đồ thị đầy đủ Kn có tất n(n-1)/2 cạnh, đơn đồ thị có nhiều cạnh b) Đồ thị vịng Đồ thị vòng Cn, n≥3 gồm n đỉnh v1, v2, .vn cạnh (v1,v2), (v2,v3) (vn-1,vn), (vn,v1) c) Đồ thị bánh xe Đồ thị bánh xe W n thu đƣợc từ đồ thị vòng Cn cách bổ sung vào đỉnh nối với tất đỉnh Cn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt .c om d) Đồ thị lập phƣơng Qn đơn đồ thị có 2n đỉnh, đỉnh đánh số từ đến 2n-1 hai đỉnh kề khác bít Định lý (chấp nhận) G khơng có chu trình độ dài lẻ an Thuật tốn kiểm tra đồ thị liên thơng hai phía: co G đồ thị hai phía ng e) Đơn đồ thị hai phía Đơn đồ thị G=(V,E) đƣợc gọi hai phía nhƣ tập đỉnh V phân hoạch thành hai tập X Y cho X∪Y=V X∩Y=∅ cạnh đồ thị đƣợc nối đỉnh thuộc X với đỉnh thuộc Y du o ng th B0: Chọn v đỉnh đồ thị Đặt X={v} B1: Tìm Y tập đỉnh kề đỉnh X Nếu X Y đồ thị khơng phải hai phía, kết thúc Ngƣợc lại xuống B2 B2: Tìm T tập đỉnh kề đỉnh Y Nếu T Y đồ thị khơng phải hai phía, kết thúc Nếu T=X đồ thị hai phía, kết thúc Ngƣợc lại gán X=T lặp lại B1 u Ví dụ: a/ Đồ thị khơng hai phía chứa chu trình độ dài lẻ (=3) cu X T Y Y (Các đỉnh kề X) T (Các đỉnh kề Y) 2,3 1,2,3 : đồ thị khơng phải hai phía b/ Đồ thị khơng hai phía chứa chu trình độ dài lẻ (=3) X 1,3,5 X Y Y (Các đỉnh kề X) T (Các đỉnh kề Y) 1,3,5 2,3,4,5,6 : đồ thị khơng phải hai phía CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt c/ đồ thị hai phía khơng có chu trình độ dài lẻ X Y (Các đỉnh kề X) 5,7 1,2,4,6,8 3,5,7,9 T=X : đồ thị hai phía X={1,2,4,6,8}; Y={3,5,7,9} T (Các đỉnh kề Y) 1,2,4,6,8 1,2,4,6,8 c om f) Đồ thị hai phía đầy đủ: Đồ thị hai phía G=(X Y, E) với |X|= m,|Y| = n đƣợc gọi đồ thị hai phía đầy đủ , ký hiệu Km,n đỉnh tập X đƣợc nối với tất đỉnh tập Y ngƣợc lại ng g) Đồ thị qui bậc k: có đỉnh bậc k Ví dụ Kn qui bậc n-1, Kn,n qui bậc n 2 an co h) Đồ thị bù: G’ gọi bù G đỉnh đỉnh G hai đỉnh G’ kề chúng không kề G th G G’ ng B Song ánh f: f(A)=1, f(B)=2,f(C)=3, f(D)=4,f(E)=5,f(F)=6 E C D cu A u du o 4 i) Hai đồ thị đẳng cấu: G1=(V1, E1) G2=(V2, E2) hai đồ thị đơn vô hƣớng G1 G2 gọi đẳng cấu có song ánh f: V1 > V2 cho (u,v) E1 (f(u),f(v)) E2 Ví dụ: F Nhận xét: Hai đố thị đẳng cấu có số đỉnh, số đỉnh bậc k, số cạnh, số tplt j) Đồ thị phẳng Đồ thị gọi đồ thị phẳng vẽ mặt phẳng cho cạnh khơng cắt ngồi việc cắt đỉnh Cách vẽ nhƣ gọi biểu diễn phẳng đồ thị Ví dụ: K4 phẳng CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Định lý (Công thức Euler): G đồ thị phẳng liên thơng, G có n đỉnh, m cạnh, r số miền mặt phẳng bị chia biểu diễn phẳng G Ta có: r = m-n + số miền r= m-n+2 = c om Ví dụ: m=11, n=7 ng th an co ng Tô màu đồ thị: tô màu đồ thị cho hai đỉnh kề có màu khác sử dụng số màu nhƣ Sắp thứ tự danh sách đỉnh theo bậc giảm dần Gọi m số màu cần sử dụng, ban đầu m=0; Trong cịn đỉnh chƣa tơ { m=m+1; Tô màu m cho đỉnh chƣa đƣợc tô màu danh sách Tô màu m cho đỉnh chƣa tô màu danh sách không kề với đỉnh có màu m } du o Chú ý: Nếu khơng xếp thƣờng sử dụng số màu nhiều xếp nhƣng ln nhƣ Thuật tốn thƣờng cho kết với số màu tơ nhƣng khơng phải ln nhƣ 1 cu u Ví dụ: a) Cho đơn đồ thị vô hƣớng đỉnh, dạng ma trận kề nhƣ sau: 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 Trình bày kết bƣớc áp dụng thuật tốn tơ màu b) Có mơn học, cặp mơn thi sau có chung sinh viên thi: (1,2);(1,3);(1,4);(1,7);(2,3);(2,4);(2,5);(2,7),(3,4);(3,7);(4,5);(4,6);(5,7);(6,7) Hãy sử dụng thuật tốn tơ màu để tìm số buổi thi cần tổ chức CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt c) Có đài truyền hình cách nhƣ cho bảng dƣới Hỏi phải cần kênh khác để phát sóng, hai đài khơng thể dùng kênh chúng cách không 15 km 8.5 17.5 20 50 10 16 8.5 12.5 17.5 10 16 15 17.5 12.5 10 20 25 19 20 17.5 10 21 22 13 50 10 20 21 10 12 10 16 25 22 10 17 16 15 19 13 12 17 1 0 BÀI TẬP CHƢƠNG 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 c om ng Bài 1: Đồ thị lập phƣơng Qn đồ thị có 2n đỉnh, đỉnh đƣợc đánh số từ đến 2n-1 Hai đỉnh kề hai xâu nhị phân biểu diễn đỉnh khác bit Hãy lập trình tìm ma trận kề Qn co Bài 2: Cho hai đơn đồ thị vơ hƣớng có mtk lƣu hai file văn Hãy kiểm tra hai đồ thị có đẳng cấu hay không? 0 0 0 1 0 0 0 ng 1 du o 1 u 0 0 th an Bài 3: Viết chƣơng trình kiểm tra đơn đồ thị vơ hƣớng có hai phía hay khơng? Nếu có hai tìm phân hoạch tập đỉnh Biết MTK đồ thị lƣu file văn dạng sau: cu Bài 4: Viết chƣơng trình quản lý kết thi đấu bóng đá Biết kết lƣu file văn dạng sau: //co doi bong 2 //doi da voi doi ket qua 2/3, doi thua, thang 3 3 Hãy in kết dạng sau: *Ma tran so: -1 -1 0 -1 -1 **Ket qua thi dau: CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Doi Tong Thang Thua Hieu 1 3 1 0 0 -3 Hang Bài 5: Hãy tô màu đồ thị với số màu cho hai đỉnh kề có màu khác du o ng th an co ng c om Bài 6: Sắp lịch thi cho số buổi thi khơng có sinh viên bị trùng buổi thi Dữ liệu vào cặp mơn học mà có sinh viên thi hai mơn đƣợc lƣu file dạng sau: 10 6 10 10 10 10 10 cu *Ma tran ke: 0110100000 1011010000 1100010111 0100001001 1000000111 0110000111 0001000101 0010111000 0010110000 0011111000 u *Kết Sap lich khong uu tien: Buoi 1: Buoi 2: Buoi 3: Buoi 4: 10 Sap lich co uu tien: CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Buoi 1: Buoi 2: Buoi 3: 10 Hết - cu u du o ng th an co ng c om - CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... sau: 10 6 10 10 10 10 10 cu *Ma tran ke: 011 010 0000 10 110 10000 11 00 010 111 010 00 010 01 100000 011 1 011 000 011 1 00 010 0 010 1 0 010 111 000 0 010 110 000 0 011 111 000 u *Kết Sap lich khong uu tien: Buoi 1: Buoi... 50 10 20 21 10 12 10 16 25 22 10 17 16 15 19 13 12 17 1 0 BÀI TẬP CHƢƠNG 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 c om ng Bài 1: Đồ thị lập phƣơng Qn đồ thị có 2n đỉnh, đỉnh đƣợc đánh số từ đến 2n -1 Hai đỉnh... cách nhƣ cho bảng dƣới Hỏi phải cần kênh khác để phát sóng, hai đài dùng kênh chúng cách không 15 km 8.5 17 .5 20 50 10 16 8.5 12 .5 17 .5 10 16 15 17 .5 12 .5 10 20 25 19 20 17 .5 10 21 22 13 50 10