Toán rời rạc-Chương 1: Các khái niệm cơ bản p4 doc

TOÁN RI RC Lecturer: PhD. Ngo Huu Phuc Tel: 0438 326 077 Mob: 098 5696 580 Email: ngohuuphuc76@gmail.com CHNG 1: KHÁI NIM C BN Lý thuyt s và h đm 1 @Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University NI DUNG @Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 2 1. Các phép toán trên s nguyên. 2. Biu din các s nguyên. 3. nh lý v s d Trung Quc và ng dng. 4. Các h đm. 1. Các phép toán trên s nguyên (1/5) @Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 3 1.1. Phép chia nguyên.  Cho hai s nguyên n và m ta nói n chia ht cho m nu tn ti s nguyên k sao cho n = k.m và ký hiu là mn.  nh lý 1. Cho n, m và k là các s nguyên. Khi đó a- Nu kn và km thì k(n + m). b- Nu kn thì kn m vi mi s nguyên m . c- Nu kn và nm thì km. 1. Các phép toán trên s nguyên (2/5) @Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 4 1.1. Phép chia nguyên (tip)  nh lý 2. Mi s nguyên dng đu có th đc vit duy nht di dng tích ca các s nguyên t.  nh lý 3. Cho a là mt s nguyên và d là s nguyên dng. Khi đó tn ti các s q và r duy nht, vi 0  r < d, sao cho a = dq + r.  Hai s nguyên n và m gi là nguyên t cùng nhau nu USCLN(n,m) = 1.  Các s nguyên a 1 , a 2 , . . . , a n đc gi là đôi mt nguyên t cùng nhau nu USCLN(a i , a j ) =1 vi mi 1  i, j  n. 1. Các phép toán trên s nguyên (3/5) @Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 5 1.1. Phép chia nguyên (tip)  nh lý 4. Cho n, m là hai s nguyên dng. Khi đó ab = USCLN(n,m) BSCNN(n,m)  Hai s nguyên n và m gi là đng d theo modulo k nu n mod k = m mod k, ta ký hiu n  m (mod k).  nh lý 5. Nu n  m (mod k) và p  q (mod k). Khi đó: a) n+p  m + q (mod k) b) np  m q (mod k)  Phn t b đc gi là phn t nghch đo ca a theo modulo m nu ab  1 (mod m) và ký hiu là a -1 , khi đó aa -1  1 (mod m). 1. Các phép toán trên s nguyên (4/5) @Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 6 1.2. Thut toán Euclid.  B đ: Cho a = b × q + r trong đó a, b, q, r là các s nguyên dng. Khi đó USCLN(a,b) = USCLN(b,r)  Chng minh. Vi mi c s chung d ca a và b khi đó a - bXq = r, suy ra d cng là c s ca r, tc là d cng là c s chung ca b và r vy USCLN(a,b) = USCLN(b,r).  Thut toán Euclid.  Input. a, b (a  b) đt r 0 = a và r 1 = b.  Bc 1. r 0 = r 1 × q 1 + r 2 0  r 2 < r 1  Bc 2. Nu r 2  0 thì r 0 = r 1 và r 1 = r 2 quay li bc 1 ngc li sang bc 3.  Output. r 1 . 1. Các phép toán trên s nguyên (5/5) @Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 7 1.2. Thut toán Euclid (tip)  Thut toán Euclid đc dùng đ tìm c s chung ln nht ca hai s nguyên.  Ví d tìm USCLN(91,287). Trc ht ly s ln hn 287 chia cho s nh 91 ta đc 287 = 91 X 3 + 14 bt k c s chung nào ca 287 và 91 cng là c s ca 287 - 91 X 3 = 14. Và cng nh vy, bt k c s chung nào ca 91 và 14 cng là c s ca 287 = 91X 3 + 14 . Do đó USCLN ca 91 và 14 cng là USCLN ca 287 và 91. T đó có USCLN(91,287) = USCLN(91,14) Tng t nh vy vì 91 = 14X 6 + 7 ta đc USCLN(91,14) = USCLN(14,7) = 7 2. Biu din các s nguyên (1/2) @Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 8  nh lý 6. Cho b là mt s nguyên dng ln hn 1. Khi đó nu n là mt s nguyên dng thì nó có th đc biu din mt cách duy nht di dng: n = a k b k + a k-1 b k-1 + . . . .+ a 1 b 1 + a 0 Trong đó k là s nguyên không âm, a 0 , a 1 , a 2 ,. . . a k là các s nguyên không âm nh hn b và a k  0.  Biu din n trong đnh lý trên đc gi là trin khai c s b ca n. 2. Biu din các s nguyên (2/2) @Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 9 Ví d:  Ví d: Cho n = 165, b = 8 ta đc 165 = 2X 8 2 + 4X 8 1 + 5 Trong ví d này ta có th biu din nh sau (245) 8 gi là cách biu din theo h bát phân.  Ví d: Cho n = 351, b = 2 ta đc 351 = 1X 2 8 + 0X 2 7 + 1X 2 6 + 0X 2 5 + 1X 2 4 + 1X 2 3 +1X 2 2 +1X 2 1 + 0X 2 0 ta nhn đc dãy {a k } sau (101011111) 2 gi là biu din nh phân ca s 351. 3. nh lý v s d Trung Quc và ng dng (1/13) @Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 10 S d Trung Quc: nh lý v s d Trung Quc.  Gi s m 1 , m 2 ,. . ., m n là các s nguyên dng, nguyên t cùng nhau tng đôi mt và a 1 , a 2 ,. . ., a n là các s nguyên. Khi đó h n phng trình đng d x  a i (mod m i ) vi 1 in s có mt nghim duy nht theo modulo M = m 1 × m 2 ×. . . × m n đc cho theo công thc sau:  Trong đó M i = M/m i và y i = M i -1 mod m i vi 1  i  n. M moda n 1i i    ii yMX [...]... hàm tuy n tính c a các bi n (aj, ., an) @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 3 nh lý v s d Trung Qu c và ng d ng (8/13) Thu t toán Euclid m r ng: Gi i thu t sau ch th c hi n v i các s nguyên m>a>0, bi u di n b ng giã mã: Procedure Euclid_Extended (a,m) int y0=0, y1:=1; While a>0 do { r:= m mod a if r=0 then Break q:= m div a y:= y0-y1*q m:=a a:=r y0:=y1 y1:=y } If a>1 Then... d Trung Qu c, c n ch ng minh song ánh i u này có th th y d dàng qua ví d trên Nói cách khác, c n ch ra công th c c a ánh x ng V i1 i n, c là m t -1: nh ngh a: Mi M mi Khi ó d dàng th y r ng USCLN(Mi,mi) = 1 , v i 1 Ta i n nh ngh a yi = Mi-1 mod mi ph n t ngh ch o này t n t i do USCLN(Mi,mi) = 1 và có th tìm b ng thu t toán Euclid m r ng 13 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University...3 nh lý v s d Trung Qu c và ng d ng (2/13) ng d ng Gi s m1, m2, , mn là các s nguyên t cùng nhau t ng ôi m t, t c là USCLN(mi,mj)=1 v i m i i j Gi s r ng a1, a2, , an là các s nguyên, xét h các ph ng trình ng d sau: x a1 (mod m1) x a2 (mod m2) (1) x an (mod mn) Khi ó nh lý v s d Trung Qu c kh ng nh r ng h này có nghi m duy nh t... -1 (a , 1 = -1: ng trình Z7 × Z11 × Z13 ng d (ti p): ZM có d ng: a2, a3) = (5 × 143 × a1 + 4 × 91 × a2 + 12 × 77 × a3) mod 1001 Khi ó v i a1 = 5 , a2 = 3 và a3 = 10 nghi m c a h ph ng trình là: X = (5 × 143 × 5 + 3 × 91 × 4 + 10 × 77 × 12) mod 1001 = (3 575 + 1 092 + 9 240) mod 1001 = 13 907 mod 1001 = 894 mod 1001 = 894 22 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 4 Các h m (1/5)... l c phân (Hexa) 23 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 4 Các h 1 H m (2/5) m th p phân Bi u di n s n b t k trong h th p phân theo công th c: n = ak10k + ak-110k-1 + + a1101 + a0100 trong ó 0 24 ai 9, i = 1, 2, 3, k @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 4 Các h 2 H m (3/5) m nh phân Bi u di n s n b t k trong h nh phân theo công th c: n = ak2k... i = 1, 2, 3, k @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 4 Các h 3 H m (4/5) m bát phân (Octal) S nb tk c bi u di n trong h bát phân theo công th c: n = ak8k + ak-18k-1 + + a181 + a080 trong ó 0 26 ai 7, i = 1, 2, 3, k @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 4 Các h 4 H m (5/5) m th p l c phân (Octal) S nb tk c bi u di n trong th p l c phân theo... ng d ng (3/13) ng d ng (ti p) Ký hi u ánh x : : ZM ánh x này c Zm1 X Zm2 X Zmn nh ngh a nh sau: (x) = (x mod m1, x mod m2, ,x mod mn) Ví d : Cho n = 2, m1= 5, m2= 3 t ó M = 15 Khi ó (x) ánh x có các giá tr nh sau: (0) = (0,0) (2) = (2,2) (3) = (3,0) (4) = (4,1) (5) = (0,2) (6) = (1,0) (7) = (2,1) (8) = (3,2) (9) = (4,0) (10) = (0,1) (11) = (1,2) (12) = (2,0) 12 (1) = (1,1) (13) = (3,1) (14) =... d ng (9/13) Ví d v tìm ngh ch o theo Modulo: Cho a=143, m=7, tìm ngh ch o c a a Gi i: Vì 143 mod 7 = 3, nên c n tìm ngh ch B c o c a 3 modulo 7 m a r q y0 y1 y 0 7 3 1 2 0 1 -2 1 3 1 0 K t qu tính toán trong b ng cho ta 2 L y s modulo 7 c 5 V y: 3-1 mod 7 = 5 18 i c a 2 theo @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 3 nh lý v s d Trung Qu c và ng d ng (10/13) Ví d v tìm ngh... o theo Modulo: Cho a=30, m=101, tìm ngh ch o c a a Gi i: B c m a r q y0 y1 y 0 101 30 11 3 0 1 -3 1 30 11 8 2 1 -3 7 2 11 8 3 1 -3 7 -10 3 8 3 2 2 7 -10 27 4 3 2 1 1 -10 27 -37 5 2 1 0 K t qu tính toán trong b ng cho ta 37 L y s modulo 101 c 64 V y: 30-1 mod 101 = 64 19 i c a 37 theo @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 3 nh lý v s d Trung Qu c và ng d ng (11/13) Ví d . Don Technical University 2 1. Các phép toán trên s nguyên. 2. Biu din các s nguyên. 3. nh lý v s d Trung Quc và ng dng. 4. Các h đm. 1. Các phép toán trên s nguyên (1/5) @Copyrights. m). 1. Các phép toán trên s nguyên (4/5) @Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 6 1.2. Thut toán Euclid.  B đ: Cho a = b × q + r trong đó a, b, q, r là các s. 3.  Output. r 1 . 1. Các phép toán trên s nguyên (5/5) @Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 7 1.2. Thut toán Euclid (tip)  Thut toán Euclid đc dùng đ