Hệ thống các khái niệm cơ bản và định lý hình học thcs (hình học phẳng)

Tài liệu gồm 56 trang, hệ thống các khái niệm cơ bản và định lý hình học THCS (hình học phẳng). ĐẶC ĐIỂM CHUNG CỦA BỘ MÔN HÌNH HỌC: Kiến thức về bộ môn toán nói chung, bộ môn hình học nói riêng được xây dựng theo một hệ thống chặt chẽ: Từ Tiên đề đến Định nghĩa các Khái niệm – Định lý – và Hệ quả. Đối với những bài toán thông thường, học sinh chỉ cần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả để giải. Đối với những bài toán khó, để xác định hướng giải (cũng như để giải được) học sinh cần nắm được không những hệ thống kiến thức (lý thuyết) mà còn cần nắm chắc cả hệ thống bài tập, để vận dụng chúng vào giải bài tập mới.

LỜI MỞ ĐẦU ĐẶC ĐIỂM CHUNG CỦA BỘ MƠN HÌNH HỌC Trên sở giúp học sinh ơn tập cách tổng hợp khái niệm, định lý để vận dụng vào giải tốn Kiến thức mơn tốn nói chung, mơn hình học nói riêng Đề nghị trường triển khai đến học sinh, giáo viên để xây dựng theo hệ thống chặt chẽ: Từ Tiên đề đến Định nghĩa nghiên cứu vận dụng Khái niệm – Định lý – Hệ Các khái niệm, định lý tài liệu chia phần Đối với tốn thông thường, học sinh cần vận dụng sau: 1/ ĐƯỜNG THẲNG – ĐOẠN THẲNG – TIA – GÓC - QUAN HỆ GIỮA vài khái niệm, định lý, hệ để giải Đối với tốn khó, để xác định hướng giải (cũng để giải ĐƯỜNG VNG GĨC VÀ ĐƯỜNG XIÊN, ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH được) học sinh cần nắm hệ thống kiến thức (lý thuyết) mà CHIẾU 2/ TAM GIÁC – TAM GIÁC CÂN – TAM GIÁC VNG – TAM GIÁC cịn cần nắm hệ thống tập, để vận dụng chúng vào giải tập VUÔNG CÂN – TAM GIÁC ĐỀU Do để giải tốt tốn hình học, học sinh cần : 3/ TỨ GIÁC – HÌNH THANG – HÌNH BÌNH HÀNH – HÌNH CHỮ NHẬT – a/Nắm hệ thống kiến thức lý thuyết HÌNH THOI – HÌNH VNG – ĐA GIÁC b/Nắm hệ thống tập 4/ ĐƯỜNG TRÒN Nội dung tài liệu thiết kế theo dạng bảng gồm cột: c/Biết cách khai thác giả thiết nhằm đọc hết thơng tin tiềm Khái niệm Nội dung Hình vẽ Cách chứng ẩn giả thiết, nắm chắc, nắm đầy đủ ta có, suy ta có (càng Khai thác minh nhiều tốt) Từ giúp ta xây dựng hướng giải, vẽ đường phụ giúp ta giải tốn nhiều cách Nội dung cột Nêu tên khái Nêu định nghĩa -Hình vẽ minh Nếu cách khái niệm, họa chứng minh Hình vẽ, khai thác bảng tổng hợp nhằm giúp học sinh tập niệm Trong khái định lý, nhận -Giúp học sinh hình học VD dượt suy ta có nội dung Nếu có … Ta có … niệm có ghi xét liên quan tìm tịi, khai chứng minh d/Biết cách tìm hiểu câu hỏi (kết luận) : khái niệm đến khái niệm thác dạng hai đường +Nắm phương pháp chứng minh dạng toán (trong học khối song Nếu có … thẳng cần lưu ý định nghĩa khái niệm) lớp ta có 1), 2), 3) song … +Biêt đưa toán trường hợp tương tự chương trình … để tăng thêm +Nắm ý nghĩa câu hỏi để chuyển sang dạng hình học THCS liệu phục vụ tương đương Ví dụ để chứng minh biểu thức M khơng phụ thuộc vị trí để học sinh vận cho giải toán cát tuyến d d quay quanh điểm O ta cần chứng minh M = dụng phù hợp liên quan đến với khối lớp khái niệm số học Tài liệu tổng hợp, hệ thống khái niệm định lý (trong phần hình học phẳng) chương trình hình học trung học sở Đây tài liệu tham khảo, mong đóng góp ý kiến đội ngũ cách tổng hợp tất khái niệm, định lý (liên quan đến khái niệm) giáo viên để Phòng Giáo dục điều chỉnh, hồn thiện tài liệu mối HỆ THỐNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN – ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC TRUNG HỌC CƠ SỞ (Phần hình học phẳng) ĐIỂM - ĐƯỜNG THẲNG Khái niệm Nội dung Điểm (HH6) Dấu chấm nhỏ trang giấy hình ảnh điểm Đường thẳng (HH6) Sợi căng thẳng, mép bảng, … cho ta hình ảnh đường thẳng Đường thẳng khơng bị giới hạn hai phía Ba điểm thẳng hàng Khi ba điểm A,C, D thuộc đường (HH6) thẳng, ta nói chúng thẳng hàng Đường thẳng qua Nhận xét: Có đường thẳng hai điểm (HH6) đường thằng qua hai điểm A B Hai đường thẳng Theo hình (1) bên, đường thẳng AD, trùng (HH6) CD trùng Hai đường thẳng cắt Hai đường thẳng có điểm chung (HH6) Hai đường thẳng Định nghĩa: Hai đường thẳng xx’, yy’ cắt vng góc (HH7) góc tạo thành có góc vng gọi hai đường thẳng vng góc ký hiệu xx’ ⊥ yy’ Hai đường thẳng Tính chất: Hai đường thẳng phân biệt phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba vng góc với chúng song song với đường thẳng thứ ba (HH7) Hình vẽ - Khai thác  A (điểm A) x A B Cách chứng minh y Đường thẳng xy hay đường thẳng AB 1/ Chứng minh ba điểm A, C, D thẳng hàng Cách 1: Chứng minh: C điểm nằm (1) AC+CD=AD (HH6) Nếu có: Ba điểm A, C, D thẳng hàng Cách 2: Chứng minh ba điểm A, C, D Ta có ba điểm A, C, D thuộc nằm đường thẳng (đường đường thẳng thẳng AD qua C, tia phân giác góc …) (HH6) y Cách 3: Chứng minh AC, AD song x' song (hoặc vng góc) với A x đường thẳng thứ ba (HH7) y' Cách 4: Chứng minh  ACD = 1800 (HH7) Hai đường thẳng x’x y’y cắt A Cách 5: Chứng minh A, C, D thuộc y’ tập hợp điểm đường thẳng (đường phân giác, đường trung trực, …) (HH7) x’ x Cách 6: Chứng minh CA, CD hai tia phân giác hai góc đối đỉnh (HH7) y xx’ ⊥ yy’ 2/ Chứng minh hai đường thẳng vuông c góc Cách 1: Một góc tạo thành hai đường a thẳng 900 (HH7) Cách 2: Tính chất: Một đường thẳng b vng góc với hai đường thẳng song song chúng vng góc với Nếu có: a ⊥ c ; b ⊥ c đường thẳng (HH7) VD: Ta có: a // b A C D Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song (HH7) Tính chất: Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song chúng vng góc với đường thẳng c a b Nếu có: a // b ; c ⊥ a Ta có: c ⊥ b Bước 1: Cm: a // b; Bước 2: Cm: c ⊥ a ; Kết luận: c ⊥ b Cách 3: Chứng minh tam giác vuông (HH7).Vd: Cm ∆ ABC vuông A x’ suy x’x ⊥ y’y B y’ A C y x Cách 4: Chứng minh đường thẳng đường trung trực đoạn thẳng, suy hai đường thẳng vng góc (HH7) Cách 5: Áp dụng tính chất tam giác cân: đường phân giác (đường trung tuyến) xuất phát từ đỉnh tam giác cân đường cao (HH7) Cách 6: Áp dụng tính chất: đường phân giác hai góc kề bù vng góc với (HH7) Cách 7: Chứng minh tứ giác hình chữ nhật, suy hai đường thẳng vng góc (HH8) Cách 8: Chứng minh tứ giác hình thoi, suy hai đường chéo vng góc (HH8) Cách 9: Áp dụng ĐL: Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây (HH9) Cách 10: Áp dụng ĐL: Trong đường trịn, đường kính qua điểm cung vng góc với dây căng cung (HH9) Cách 11: Áp dụng ĐL: Tiếp tuyến đường trịn vng góc với bán kính qua tiếp điểm (HH9) Cách 12: Áp dụng ĐL: Nếu hai đường trịn cắt đường nối tâm đường trung trực dây chung, đường nối tâm vng góc với dây chung (HH9) Tiên đề Ơ Clit đường thẳng song song (HH7) Tính chất hai đường thẳng song song (HH7) y Chứng minh hai đường thẳng song song Cách 1: Ta chứng minh cặp góc so le z t (HH7) xy // zt Cách 2: Ta chứng minh cặp góc đồng vị c (HH7) Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b Cách 3: Ta chứng minh cặp góc góc tạo thành có cặp góc a 2A phía bù (HH7) so le (hoặc cặp góc Cách 4: Hai đường thẳng song b đồng vị nhau) a b song song song với đường thẳng thứ ba (HH7) 4B với Cách 5: Áp dụng đường trung bình M B b A tam giác (HH8) A Tiên đề Ơ Clit: Qua điểm Bước1: Cm: DA = DB a đường thẳng có đường thẳng song D E Bước 2: Cm: EA = EC song với đường thẳng a) Đường thẳng b qua M song song KL : DE //BC với a B C b) Nếu có: MA // a; MB // a Cách 6: Áp dụng định lý Ta-lét đảo Ta có: Hai đường thẳng MA MB (HH8) trùng AB ' AC ' A Chứng minh: = c B ' B C 'C B’ C’ KL : B’C’ //BC a 2A Tính chất: Nếu đường thẳng cắt hai B C đường thẳng song song thì: b a) Hai góc so le nhau; 4B Cách 7: Chứng minh tứ giác hình b) Hai góc đồng vị nhau; Nếu có : a // b; c cắt a A, cắt b B bình hành (hình chữ nhật) suy c) Hai góc phía bù ˆ Bˆ (Vì cặp góc Ta có: = Aˆ1 Bˆ= ; A4 cặp cạnh đối song song (HH8) so le trong); ˆ Bˆ= ˆ Bˆ= ˆ Bˆ (Vì = Aˆ1 Bˆ= ; A2 ; A3 ; A4 cặp góc đồng vị) Aˆ1 += Bˆ 1800 ; Aˆ += Bˆ3 1800 (Vì cặp góc phía) Hai đường thẳng Định nghĩa: Hai đường thẳng song song song song (HH6) hai đường thẳng khơng có điểm chung Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song (HH7) x Cách 13: Áp dụng Hệ quả: Trong đường tròn, góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng suy hai đường thẳng vng góc (HH9) Hai đường thẳng Hai đường thẳng phân biệt song song song song với với đường thẳng thứ ba chúng song đường thẳng thứ ba song với (HH7) Khoảng cách hai đường thẳng song song (HH8) Các điểm cách đường thẳng cho trước (HH8) Đường thẳng song song cách (HH8) a b c Nếu có: a // c ; b // c Ta có: a // b -Định nghĩa: Khoảng cách hai đường a A B thẳng song song khoảng cách từ h điểm tùy ý đường thẳng đến đường b thẳng H K AH = BK = h (h khoảng cách hai đường thẳng song song a b) a M -Tính chất điểm cách h đường thẳng cho trước: Các điểm cách b K đường thẳng b khoảng h nằm hai H h đường thẳng song song với b cách b a’ khoảng h M Nhận xét: Tập hợp điểm cách Tập hợp điểm M cách đường đường thẳng cố định khoảng h thẳng cố định b khoảng không đổi không đổi hai đường thẳng song song với h hai đường thẳng a, a’ song song đường thẳng cách đường thẳng với b cách b khoảng h khoảng h m a A E Các đường thẳng a, b, c, d song song với b B F khoảng cách đường thẳng a b, b c, c d Ta gọi chúng đường thẳng song song cách c C G Định lý: d D H (Hình 1) -Nếu đường thẳng song song cách cắt đường thẳng chúng chắn Nếu có: a, b, c, d đường thẳng song đường thẳng đoạn thẳng liên tiếp song cách Đường thẳng m cắt đường thẳng a, b, c, d E, F, G, H Ta có: EF = FG = GH -Nếu đường thẳng song song cắt Nếu có: a, b, c, d đường thẳng đường thẳng chúng chắn đường thẳng đoạn thẳng liên tiếp song song; EF = FG = GH Ta có: a, b, c, d đường thẳng song song cách chúng song song cách Chứng minh đường thẳng song song cách (VD theo hình bên) (HH8) Bước 1: Chứng minh: a, b, c, d đường thẳng song song Bước 2: Chứng minh: EF = FG = GH Kết luận a, b, c, d đường thẳng song song cách ĐOẠN THẲNG Khái niệm Đoạn thẳng (HH6) Nội dung Định nghĩa: Đoạn thẳng AB hình gồm điểm A, điểm B tất điểm nằm A B Độ dài đoạn thẳng -Nhận xét: Mỗi đoạn thẳng có độ dài (HH6) Độ dài đoạn thẳng số dương So sánh hai đoạn -Ta so sánh hai đoạn thẳng thẳng (HH6) cách so sánh độ dài chúng Hình vẽ - Khai thác Cách chứng minh Chứng minh hai đoạn thẳng A B Ta chứng minh: Cách 1: Chứng minh M trung điểm AB, suy MA = MB (HH7) Cách 2: Chứng minh M nằm đường trung trực AB, suy MA = MB Cách 3: Chứng minh hai tam giác nhau, suy hai cạnh tương ứng A M B Điểm nằm hai -Nếu điểm M nằm hai điểm A B (HH7) điểm (HH6) AM + MB = AB Nếu có: Điểm M nằm hai điểm A Cách 4: Chứng minh tam giác tam giác cân (tam giác đều), suy hai cạnh B (HH7) Ta có: AM + MB = AB Cách 5: Áp dụng ĐL: Đường thẳng qua Ngược lại, AM + MB = AB điểm M Nếu có: AM + MB = AB trung điểm cạnh tam giác song nằm hai điểm A B Ta có: Điểm M nằm hai điểm A song với cạnh thứ hai qua trung điểm cạnh thứ ba (HH8) B Cách 6: Chứng minh tứ giác hình bình hành (hình chữ nhật, hình thang cân, hình thoi, hình vuông) suy cạnh đối, hai đường chéo cắt trung điểm đường,(hai đường chéo nhau, hai cạnh kề nhau… ) (HH8) Cách 7: So sánh hai đoạn thẳng với đoạn thẳng thứ ba Cách 8: Áp dụng ĐL: Hai tiếp tuyến đường trịn cắt điểm điểm cách hai tiếp điểm (HH9) Cách 9: AD ĐL: Trong đường tròn: -Hai dây cách tâm -Hai dây cách tâm (HH9) Cách 10: Áp dụng ĐL: Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau, hai cung căng hai dây (HH9) Trung điểm Trung điểm M đoạn thẳng AB điểm đoạn thẳng (HH6) nằm A, B cách A, B (MA = A .B MB) M Trung điểm đoạn thẳng AB cịn Nếu có: M trung điểm đoạn thẳng gọi điểm đoạn thẳng AB AB Ta có: MA = MB = AB M ∈ đường trung trực AB Hai điểm A, B đối xứng với qua M F E G Hai điểm đối xứng Định nghĩa: Hai điểm gọi đối xứng với O A B qua điểm O O trung điểm qua điểm D đoạn thẳng nối hai điểm Nếu có: Hai điểm A, B đối xứng với qua điểm O Ta có: M trung điểm đoạn thẳng AB Chứng minh M trung điểm đoạn thẳng AB Cách 1: Chứng minh M nằm A B (thường có sẵn) MA = MB (HH7) Cách 2: Áp dụng tính chất đường trung trực đoạn thẳng (HH7) M Bước 1:Cm: MA=MB A I B Bước 2:Cm: NA=NB Suy ra: MN đường N trung trực AB KL: I trung điểm AB Cách 3: Áp dụng tính chất ba đường trung A tuyến tam giác (HH7) VD: Cm:AD, BE hai đường trung tuyến cắt G Suy CF qua G đường trung tuyến thứ C ba Suy F trung B điểm AB Cách 4: Áp dụng ĐL: Đường thẳng qua trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ hai qua trung điểm cạnh thứ ba (HH8) A Bước1:Cm:DA=DB;Bước 2: DE//BC D B E KL: EA = EC C Cách 5: Chứng minh tứ giác hình bình hành suy hai đường chéo cắt trung điểm đường (HH8) Cách 6: Áp dụng ĐL: Trong đường trịn, đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây (HH9) Cách 7: Áp dụng ĐL: Nếu hai đường trịn cắt đường nối tâm đường trung trực dây chung (HH9) Chứng minh hai điểm A, B đối xứng với qua điểm O, ta chứng minh O trung điểm AB (HH8) Đường trung trực Định nghĩa: Đường thẳng vng góc với đoạn thẳng đoạn thẳng trung điểm (HH7) gọi đường trung trực đoạn thẳng Khi ta nói: Hai điểm A B đối xứng với qua đường thẳng xy A x I B M y Nếu có: xy đường trung trực đoạn thẳng AB Ta có: xy ⊥ AB IA = IB Hai điểm A B đối xứng với qua đường thẳng xy ∆ AMB tam giác cân  = MBA  ; MI đường phân ⇒ MAB giác góc AMB -Định lý (định lý thuận): Điểm nằm Nếu có: M nằm đường trung trực đường trung trực đoạn thẳng đoạn thẳng AB cách hai mút đoạn thẳng Ta có: MA = MB -Định lý (định lý đảo): Điểm cách Nếu có: MA = MB hai mút đoạn thẳng nằm Ta có : M nằm đường trung trực đường trung trực đoạn thẳng đoạn thẳng AB Nhận xét: Từ định lý thuận định lý đảo, ta có: Tập hợp điểm cách hai mút đoạn thẳng đường trrung trực đoạn thẳng -Chứng minh đường thẳng xy đường trung trực đoạn thẳng AB Ta chứng minh: Cách 1: Dùng định nghĩa đường trung trực đoạn thẳng (HH7) Bước 1: IA = IB Bước 2: xy ⊥ AB Kết luận Hoặc: Bước 1: xy ⊥ AB Bước 2: IA = IB Kết luận Cách 2: Áp dụng ĐL: Điểm cách hai mút đoạn thẳng nằm đường trung trực đoạn thẳng VD: Chọn xy hai điểm M N Ta chứng minh: MA = MN ; NA = NB Cách 3: Áp dụng tính chất tam giác cân: Trong tam giác cân, đường phân giác (đường trung tuyến, đường cao) ứng với cạnh đáy đường trung trực cạnh đáy (HH7) Cách 4: Áp dụng ĐL: Trong đường tròn (HH9): -Đường kinh vng góc với dây qua trung điểm dây Hoặc: -Đường kinh qua trung điểm dây vng góc với dây Cách 5: Áp dụng ĐL: Nếu hai đường tròn cắt đường nối tâm đường trung trực dây chung (HH9) -Chứng minh hai điểm A B đối xứng với qua đường thẳng xy Ta chứng minh xy đường trung trực đoạn thẳng AB (HH7) TIA Khái niệm Nội dung Hình vẽ - Khai thác Tia (nửa đường Trên đường thẳng xy ta lấy điểm O thẳng) (HH6) Hình gồm điểm O phần đường x O y thẳng bị chia điểm O gọi tia gốc O (còn gọi nửa Trong hình ta có hai tia, tia Ox đường thẳng gốc O) tia Oy (tia Ox không bị giới hạn phía x, tia Oy khơng bị giới hạn phía y) Hai tia đối Hai tia chung gốc Ox, Oy tạo thành đường Trong hình ta có hai tia Ox tia Oy (HH6) thẳng xy gọi hai tia đối hai tia đối Nhận xét: Mỗi điểm đường thẳng gốc chung hai tia đối A Hai tia trùng Trong hình bên: Tia Ay tia AB hai tia (HH6) trùng Tia nằm hai tia Cho ba tia Ox, Oy, Oz chung gốc Lấy M (HH6) tia Ox, N tia Oy (M, N không trùng với O) Tia Oz cắt đoạn thẳng MN điểm I nằm M N, ta nói tia Oz nằm hai tia Ox, Oy B y x M I O z y N Tia Oz nằm hai tia Ox Oy Cách chứng minh GÓC Khái niệm Góc (HH6) Nội dung Hình vẽ - Khai thác Cách chứng minh x Góc hình gồm hai tia chung gốc Gốc chung hai tia đỉnh góc Hai tia hai cạnh góc O y  ; Ox, Oy hai O đỉnh góc xOy  cạnh góc xOy So sánh (HH6) hai góc -Hai góc số đo chúng O x y x’ O’ y’  = x xOy 'O ' y ' -Góc có số đo lớn lớn q s O t  > qIp  sOt 10 I p Chứng minh hai góc Cách 1: Chứng minh hai góc có số đo (HH6) Cách 2: Chứng minh tia phân giác góc suy hai góc (HH6) Cách 3: Dùng góc thứ ba làm trung gian Cách 4: Hai góc phụ (bù) với góc thứ ba (HH6) Cách 4: Áp dụng ĐL: Hai góc đối đỉnh (HH7) Cách 5: Chứng minh hai tam giác suy hai góc tương ứng (HH7) Cách 6: Chứng minh tam giác tam giác cân suy hai góc đáy (HH7) Cách 7: Áp dụng tính chất tam giác cân: Trong tam giác cân đường cao (đường trung tuyến) ứng với cạnh đáy đường phân giác góc đỉnh (HH7) Cách 8: Chứng minh hai đường thẳng song song ruy cặp góc so le (đồng vị) (HH7) D Đường kính dây Định lý: Trong dây đường đường tròn tròn, dây lớn đường kính (HH9) C A B O Nếu có: Đường trịn (O), đường kính AB, dây CD Ta có: AB > CD Định lý: Trong đường trịn, đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây C A O B I D Nếu có: Đường trịn (O), dây CD, đường kính AB vng góc với CD I Ta có: IC = ID ∆ ACD cân A (AB đường trung trực CD nên AC = AD) Định lý: Trong đường trịn, đường Nếu có: Đường trịn (O), đường kính AB, kính qua trung điểm dây khơng dây CD, IC = ID qua tâm vng góc với dây Ta có: AB ⊥ CD OC2 = OI2 + IC2 (định lí Pitago) Đường kính qua điểm -Điểm cung điểm Nếu có: Đường trịn (O), đường kính AB, cung (HH9) chia cung thành hai cung B điểm cung BC Định lý: Trong đường trịn, đường Ta có: IC = ID kính qua điểm cung qua trung điểm dây căng cung Định lý: Trong đường trịn, đường kính qua điểm cung vng góc với dây căng cung ngược lại (đường kính vng góc với dây căng cung qua điểm cung ấy) Nếu có: Đường trịn (O), đường kính AB, B điểm cung BC Ta có: AB ⊥ CD Nếu có: AB ⊥ CD  = BD  Ta có: BC 42 Liên hệ dây Định lý: Trong đường tròn: khoảng cách từ tâm a) Hai dây cách tâm đến dây (HH9) b) Hai dây cách tâm C K D O H A B Cho đường tròn(O), OH ⊥ AB; OK ⊥ CD a) Nếu có: AB = CD Ta có: OH = OK b) Nếu có: OH = OK Ta có: AB = CD Định lý:Trong hai dây đường tròn: a) Dây lớn dây gần tâm b) Dây gần tâm dây lớn H A C B O K D Cho đường tròn (O), OH ⊥ AB; OK ⊥ CD a) Nếu có: AB > CD Ta có: OH < OK b) Nếu có: OH < OK Ta có: AB > CD Ba vị trí tương đối Xét đường trịn (O ; R) đường thẳng a đường thẳng Gọi H chân đường vng góc kẻ từ O đường tròn (HH9) đến đường thẳng a, OH ⊥ a ; OH = d gọi O khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a R d a a) Đường thẳng đường tròn cắt nhau: A H B Đường thẳng đường trịn có hai điểm chung .Đường thẳng cắt đường trịn cịn gọi a) Nếu có: Đường thẳng a cắt (O) A cát tuyến đường trịn B dR Ta có: Nếu d > R đường thẳng a đường a) Đường thẳng a đường trịn (O) trịn (O) khơng giao khơng có điểm chung b) d > R 2/ Nếu có: d > R Ta có: Đường thẳng a đường trịn (O) khơng giao Bảng tóm tắt: Vị trí tương đối đường thẳng đường trịn Đường thẳng đường tròn cắt Đường thẳng đường tròn tiếp xúc Đường thẳng đường tròn không giao 45 Số điểm chung Hệ thức d R dR Chứng minh đường thẳng đường trịn khơng giao Cách 1: Ta chứng minh đường thẳng đường trịn khơng có điểm chung Cách 2: Ta chứng minh d > R (khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng lớn bán kính đường trịn) Đường trịn nội tiếp Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác (HH9) tam giác gọi đường tròn nội tiếp tam giác, tam giác gọi ngoại tiếp đường tròn A F B E O C D 1/ Nếu có: O giao điểm hai (ba) đường phân giác góc A B ∆ ABC Kẻ OD ⊥ BC Ta có: Đường trịn (O ; OD) nội tiếp ∆ ABC 2/ Nếu có: Đường trịn (O) nội tiếp ∆ ABC Ta có: a) Các cạnh BC, AC, AB tiếp tuyến đường tròn (O), tiếp điểm D, E, F b) OD ⊥ BC; OE ⊥ AC; OF ⊥ AB (ĐL: Nếu đường thẳng tiếp tuyến đường trịn vng góc với bán kính qua tiếp điểm) c) AO, BO, CO tia phân giác góc A, B, C ∆ ABC OD, OE, OF tia phân giác góc BOC, COA, AOB (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) d) AF = AE; BD = BF; CD = CE (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) ⇒ Các tam giác AFE, BDF, CDE tam giác cân 46 Đường tròn bàng Đường tròn tiếp xúc với cạnh tiếp tam giác (HH9) tam giác tiếp xúc với phần kéo dài hai cạnh gọi đường tròn bàng tiếp tam giác A D B C E F K 1/ Nếu có: K giao điểm đường phân giác hai góc ngồi B C ∆ ABC Ta có: a) K giao điểm đường phân giác góc A với đường phân giác góc ngồi B C ∆ ABC b) K tâm đường tròn bàng tiếp góc A ∆ ABC c) AF, AE, BC các tiếp tuyến đường tròn (K) AF = AE; BD = BF; CD = CE (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) 2/ Nếu có: K tâm đường trịn bàng tiếp góc A ∆ ABC Ta có: a) K cách ba cạnh BC, AC, AB ∆ ABC Tức ta kẻ KD ⊥ BC; KE ⊥ AC; KF ⊥ AB, ta có: KD = KE = KF  b) AK tia phân giác BAC  BK tia phân giác FBC  CK tia phân giác BCE 47 Ba vị trí tương đối hai đường trịn (HH9) Tính chất đường nối tâm hai đường tròn Đường nối tâm ờng nối tâm trục đối xứng hình gồm hai đường tròn A O H O' D C B Hai đường trịn cắt -Hai đường trịn có hai điểm chung gọi hai đường tròn cắt Hai điểm Nếu có: Hai đường trịn (O), (O’) cắt chung gọi hai giao điểm Đoạn thẳng A B OO’ cắt AB H Các nối hai điểm gọi dây chung đường kính AC, AD Ta có: a) Đường nối tâm OO’ đường trung trực dây chung AB Từ ta có: OO’ ⊥ AB; HA = HB b) BC // OO’ (OH đường trung bình ∆ ABC) BD // OO’ (O’H đường trung bình ∆ ABC) ⇒ ba điểm C, B, D thẳng hàng (hai đường thẳng BC, BD trùng nhau) Hai đường tròn tiếp -Hai đường tròn có điểm chung xúc gọi hai đường trịn tiếp xúc Điểm chung gọi tiếp điểm C O A O' D O O' A Chứng minh hai đường tròn cắt Cách 1: Ta chứng minh hai đường trịn có hai điểm chung Cách 2: Ta chứng minh R – r < OO’ < R + r (OO’ đoạn thẳng nối hai tâm) Chứng minh hai đường tròn tiếp xúc Ta chứng minh hai đường trịn có điểm chung Chứng minh hai đường trịn tiếp Tiếp xúc ngồi A Tiếp xúc A xúc ngồi Nếu có: Hai đường tròn (O), (O’) tiếp Ta chứng minh OO’ = R + r Chứng minh hai đường tròn tiếp xúc A xúc Ta có: a) Tiếp điểm A nằm đường nối tâm Ta chứng minh OO’ = R - r OO’ b) Tiếp tuyến chung A vng góc với đường nối tâm c) OC//O’D (Gợi ý: Cm : C, A, D thẳng 48 -Hai đường trịn khơng có điểm chung gọi hai đường trịn khơng giao hàng; Cm cặp góc so le nhau) m n O n’ O O' O' m’ (2) O (3) Hai đường tròn Đường tròn (O) Hai đường trịn ngồi đựng đường trịn (O’) đồng tâm Hình (1) Hình (2) Hình (3) m, m’: Tiếp tuyến chung n, n’: Tiếp tuyến chung Tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm Bảng tóm tắt Vị trí tương đối hai đường trịn (O : R) (O’ ; r) Hai đường tròn cắt Số điểm chung -Hai điểm chung gọi hai giao điểm -Đoạn thẳng nối hai điểm chung gọi dây chung Hai đường tròn tiếp xúc nhau: -Tiếp xúc Điểm chung gọi tiếp -Tiếp xúc điểm Hai đường trịn khơng giao nhau: -(O) (O’) - (O) đựng (O’) - (O) (O’) đồng tâm 49 Hệ thức OO’ với R, r R – r < OO’ < R + r OO’ = R + r OO’ = R – r > OO’ > R + r OO’ < R – r OO’ = Góc tâm (HH9) Định nghĩa: Góc có đỉnh trùng với tâm đường trịn gọi góc tâm m A α B D O O C n a) < α < 1800 b) α = 1800  AmB cung nhỏ Mỗi cung  nửa đường tròn AnB cung lớn -Cung nằm bên góc cung bị chắn  AmB cung bị chắn góc AOB Góc AOB chắn cung nhỏ AmB Góc bẹt COD chắn nửa đường tròn Số đo cung (HH9) 1/ Định nghĩa: -Số đo cung nhỏ số đo góc Sđ  AmB = Sđ  AmB tâm chắn cung -Số đo cung lớn hiệu 3600 Sđ  AmB AnB = 3600 - Sđ  số đo cung nhỏ Chú ý: Biết số đo cung => số đo góc -Số đo nửa đường trịn 1800 chắn cung ngược lại So sánh hai cung Ta so sánh đường tròn hay (HH9) hai đường tròn .Hai cung gọi chúng có số đo .Trong hai cung, cung có số đo lớn gọi cung lớn A C B O D    ⇔  AC = BD AOC = BOD   ⇔   AOC > COB AC > CB Điểm nằm 2/ Nếu C điểm nằm cung AB  cung (HH9) thì: Sđ  AC + Sđ CB AB = Sđ   Sđ  AC + Sđ CB AB = Sđ  50 So sánh hai cung: Cách 1: So sánh hai dây căng cung Cách 2: So sánh số đo cung So sánh hai dây ta so sánh hai cung căng dây Liên hệ cung Định lý: Với hai cung nhỏ dây (HH9) đường tròn hay hai đường trịn nhau:  Ta có: AC=BD a) Hai cung căng hai dây Nếu có:  AC = BD b) Hai dây căng hai cung  Nếu có: AC = BD Ta có:  AC = BD  ⇔ AC = BD Tổng quát:  AC = BD Định lý: Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường trịn nhau:  Ta có: AC > BC a) Cung lớn căng dây lớn Nếu có:  AC > BC b) Dây lớn căng cung lớn  Nếu có: AC > BC Ta có:  AC > BC  ⇔ AC > BC Tổng quát:  AC > BC C Định lý: Trong đường tròn, hai cung bị Hai cung bị chắn chắn hai dây song song hai dây song (HH9) D A B O  Nếu có: AB // CD Ta có:  AC = BD Góc nội tiếp (HH9) Định nghĩa: Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường trịn hai cạnh chứa hai dây cung đường trịn Cung nằm bên góc gọi cung bị chắn C A A O C O B B Cung bị chắn Cung bị chắn cung nhỏ BC cung lớn BC  Định lý: Trong đường tròn, số đo BAC góc nội tiếp chắn cung BC góc nội tiếp nửa số đo cung bị  = Sđ BC  BAC chắn Hay số đo cung bị chắn lần có số đo góc nội tiếp chắn cung 51 Hệ quả: Trong đường trịn: a) Các góc nội tiếp chắn cung A B' A' O C' B C Nếu có: Ta có: b) Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung  = B  ' A 'C ' BAC   BC = B ' C ' A' A C O B =B  BAC ' A ' C ' (hai góc nội tiếp chắn cung BC)  = BOC  BAC c) Góc nội tiếp (nhỏ 90 ) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung A B d) Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng (và ngược lại, góc vng nội tiếp chắn nửa đường trịn) O C Nếu có: BC đường kính  = 900 Ta có: BAC Đảo lại  = 900 Nếu có: BAC Ta có: BC đường kính đường trịn O 52 Góc tạo tia tiếp -Cho xy tiếp tuyến đường tròn (O) tuyến dây cung A, tiếp điểm A gốc chung hai tia (HH9) đối Mỗi tia tia tiếp tuyến Góc BAx có đỉnh A nằm đường tròn, cạnh Ax tia tiếp tuyến, cạnh chứa dây cung AB Ta gọi góc góc tạo tia tiếp tuyến dây cung Định lý: Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn Hệ quả: Trong đường tròn, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung x B A O y C  = Sđ  BAx AB = BAx ACB (cùng chắn cung AB) Góc có đỉnh bên Định lý: Số đo góc có đỉnh bên trong đường trịn đường trịn nửa tổng số đo hai cung bị (HH9) chắn D m A E O B  = BEC Góc có đỉnh bên Định lý: Số đo góc có đỉnh bên ngồi ngồi đường trịn đường trịn nửa hiệu đo hai cung bị (HH9) chắn E D A C n  + Sd  Sd BnC AmD C C E A O B Hình O Hình B    = Sd BC − Sd AD (Hình 1) BEC    = Sd BC − SdCA (Hình 2) BEC 53 C E n m O B Hình    = Sd AmC − Sd AnC (Hình 3) BEC Cung chứa góc Quỹ tích (tập hợp) điểm nhìn đoạn thẳng cho trước góc α khơng đổi hai cung chứa góc α dựng đoạn thẳng (00 < α < 1800) M α m O A O' B α m' M' Tứ giác (HH9) nội tiếp Định nghĩa: Một tứ giác có bốn đỉnh nằm đường tròn gọi tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt tứ giác nội tiếp) α A O Định lý: Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 1800 tứ giác nội tiếp đường trịn B D C ABCD tứ giác nội tiếp  + BCD = Ta có: DAB 1800 54 Cách chứng minh tứ giác nội tiếp: Cách 1: Ta chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối 1800 Cách 2: Ta chứng minh tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện Cách 3: Ta chứng minh tứ giác có bốn đỉnh cách điểm Cách 4: Ta chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc α Đường trịn ngoại Định nghĩa: tiếp (HH9) 1) Đường tròn qua tất đỉnh đa giác gọi đường trịn ngoại tiếp đa giác đa giác gọi đa giác nội tiếp đường tròn B A O F C E D -Đa giác ABCDEF nội tiếp đường tròn O -Các đỉnh A, B, C, D, E, F cách tâm O, tức là: OA = OB = OC = OD = OE = OF A 2) Đường tròn tiếp xúc với tất cạnh H B N đa giác gọi đường tròn nội E tiếp đa giác đa giác gọi đa giác K O ngoại tiếp đường tròn M Định lý: Bất kỳ đa giác có C L D đường trịn ngoại tiếp, có đường trịn nội tiếp Đường tròn O nội tiếp đa giác ABCDE Trong đa giác đều, tâm đường tròn hay đa giác ABCDE ngoại tiếp đường ngoại tiếp trùng với tâm đường tròn nội tròn O tiếp gọi tâm đa giác Tâm O cách cạnh đa giác ABCDE Tức ta có: OH = OK = OL = OM = ON Độ dài đường trịn Cơng thức tính độ dài đường trịn: (còn gọi chu vi C C = 2π R ⇒ R = hình trịn), cung trịn 2π O R (HH9) n0 Cơng thức tính độ dài cung trịn n0: rπ n l= 180 l l= rπ n 180 180l πn 180l n= πr 55 ⇒ r= Diện tích hình trịn, Cơng thức tính diện tích hình trịn: hình quạt trịn S = π R2 (HH9) Cơng thức tính diện tích hình quạt trịn bán kính R, cung n0 : π R n lR S= = 360 Hình viên hình vành (HH9) S = π R2 ⇒ R = S= π R2n 360 phân, Hình viên phân phần hình trịn giới hạn khăn cung dây căng cung (Phần gạch chéo hình bên) = S π lR 2S ⇒ R= l O A B m Sviên phân = Squạt - Stamgiác Hình vành khăn phần hình trịn nằm hai đường trịn đồng tâm (Phần gạch chéo hình bên) R1 R2 Svành khăn = Sđ tròn lớn – S đ tròn nhỏ 56