Bài tập toán rời rạc chương 1

Bài tập chương Bài 1.1 Gọi P, Q, R mệnh đề: P := “Bình học Tốn” Q := “Bình học Tin học” R := “Bình học Anh văn” Hãy viết lại mệnh đề dạng hình thức sử dụng phép tốn a) Bình học Tốn Anh văn khơng học Tin học b) Bình học Tốn Tin học khơng học lúc Tin học Anh văn c) Khơng Bình học Anh văn mà khơng học Tốn d) Khơng Bình học Anh văn hay Tin học mà khơng học Tốn e) Bình khơng học Tin học lẫn Anh văn học Toán Bài 1.2 Phủ định mệnh đề sau a) Ngày mai trời mưa hay trời lạnh tơi khơng ngồi b) 15 chia hết cho không chia hết cho c) Hình tứ giác khơng phải hình chữ nhật mà khơng phải hình thoi d) Nếu An khơng làm ngày mai bị đuổi việc e) Mọi tam giác có góc 60 độ Bài 1.3 Gọi P, Q, R mệnh đề sau: P : ABC tam giác cân Q : ABC tam giác R : Tam giác ABC có ba góc Hãy viết mệnh đề sau theo ngôn ngữ thông thường a) Q → P b) ¬P → Q CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt c) P ∧ ¬Q d) R → P Bài 1.4 Hãy kiểm tra suy luận sau p→q q¯ r¯ p → (q → r) q¯ → p¯ p ∴p∨r ∴ r p∧q p → (r ∧ q) r → (s ∨ t) s¯ p∨q q¯ ∨ r r¯ ∴q ∴ t p p¯ → q (q ∧ r) → s t→r ∴ s¯ → t¯ Bài 1.5 a) Cho p, q, r biến mệnh đề Chứng minh (p → q) ∧ q¯ ∧ (q → r) ⇔ q¯ ∧ p¯ b) Phủ định tìm chân trị mệnh đề P = “∀x ∈ N, ∀y ∈ R, (x2 + y > 5) ∨ (x + y < 4)” Bài 1.6 a) Cho p, q, r biến mệnh đề Chứng minh (p ∧ q ∧ r) ⇔ (p → q ∨ (p ∧ r¯)) b) Phủ định tìm chân trị mệnh đề P = ”∀x ∈ R, ∃y ∈ R, (x2 > y ) → (x < y)” Bài 1.7 a) Chứng minh [(p → q) ∧ r] ∧ q → (¯ p ∧ r) b) Phủ định tìm chân trị mệnh đề P : “∀x ∈ R, ∃y ∈ R, x2 − 3y + ≤ 0” Bài 1.8 a) Chứng minh [(p → q) ∧ q] → p b) Phủ định tìm chân trị mệnh đề P : “∀x ∈ R, ∀y ∈ R, (x2 > y ) → (x > y)” Bài 1.9 h a) Cho p, q, r biến mệnh đề, đặt E = (p ∧ r¯) ∨ ((p ∧ (p ∨ q)) → r) Hỏi E hay sai? Tại sao? b) Phủ định tìm chân trị mệnh đề P = “∀x ∈ N, ∀y ∈ R, x + 2y < x2 + y = 3” CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài 1.10 a) Cho p, q, r biến mệnh đề Chứng minh (p ∧ q) ∨ r ⇔ (p → q¯) ∧ r¯ b) Phủ định tìm chân trị mệnh đề P = “∀x ∈ R, ∃y ∈ R, (x + y = 3) ∧ (x − y < 1)” Bài 1.11 a) Cho p, q, r biến mệnh đề, đặt E = p ∧ r¯ ∧ (¯ r → p¯) ∧ (q ∨ r) Hỏi E hay sai? Tại sao? b) Phủ định tìm chân trị mệnh đề P = “∀x ∈ R, ∀y ∈ Z, x + 2y = 3x − 4y = 4” Bài 1.12 a) Cho dạng mệnh đề E = [(r → p) ∧ q] → (¯ p ∨ r) Tìm chân trị q r biết E đúng, p sai b) Phủ định tìm chân trị mệnh đề P = “∀x ∈ Z, ∀y ∈ R, x + y = 2x − y = 1” Bài 1.13 a) Cho p, q, r biến mệnh đề Chứng minh (¯ p ∨ q) ∧ (p → r) ⇔ p → (q ∧ r) b) Phủ định tìm chân trị mệnh đề P = “∀x ∈ N, ∀y ∈ R, (|x| = |y|) → (x = y)” Bài tập chương Bài 2.1 a) Cho X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Hỏi có tập hợp X A chứa phần tử nhận làm phần tử nhỏ b) Giải hệ thức đệ quy  xn − 5xn−1 + 6xn−2 = n − x = 1;  x1 = với n ≥ 2; Bài 2.2 a) Tìm số cách chia 15 viên bi giống cho đứa trẻ cho đứa trẻ có bi đứa lớn nhất viên bi b) Cho dãy an xác định bởi: an = 4an−1 − 4an−2 + với n ≥ 2, a0 = 1, a1 = Tìm biểu thức an theo n CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài 2.3 a) Cho A = {n ∈ N | 10 ≤ n ≤ 89} Hỏi có tập A gồm phần tử, có phần tử có chữ số tận giống b) Cho dãy an xác định bởi: an = 5an−1 − 6an−2 + với n ≥ 3, a1 = 1, a2 = Tìm biểu thức an theo n Bài 2.4 a) Tìm số nghiệm nguyên phương trình x + y + z + t = 20, biết x ≥ 1, y ≥ 2, z ≥ 3, t ≥ b) Cho dãy an xác định bởi: an = 5an−1 − 6an−2 + với n ≥ 2, a0 = 4, a1 = Tìm biểu thức an theo n Bài 2.5 a) Cho A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Hỏi có tập A chứa phần tử b) Cho dãy an xác định bởi: an = 4an−1 − 4an−2 + với n ≥ 2, a0 = 1, a1 = Tìm biểu thức an theo n Bài 2.6 a) Có chia 18 viên bi giống cho đứa trẻ cho đứa trẻ có bi đứa lớn nhất viên bi b) Cho dãy an xác định bởi: an = 6an−1 − 9an−2 + với n ≥ 2, a0 = 1, a1 = Tìm biểu thức an theo n Bài 2.7 a) Tìm số nghiệm nguyên phương trình x + y + z + t = 16 thỏa điều kiện ≤ x ≤ 5, y ≥ 1, z ≥ 2, t ≥  xn − 4xn−1 + 4xn−2 = với n ≥ 2; b) Giải hệ thức đệ quy x0 = 1;  x1 = Bài 2.8 a) Tìm số nghiệm nguyên phương trình x + y + z + t = 12 thỏa điều kiện x ≥ 0, y ≥ 1, z ≥ 2, t ≥  4xn − 4xn−1 + xn−2 = với n ≥ 2; b) Giải hệ thức đệ quy x0 = 2;  x1 = Bài 2.9 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt a) Tìm số nghiệm ngun khơng âm phương trình x1 + x2 + x3 + x4 = biết x1 ≥ hay x2 ≥  xn − 8xn−1 + 15xn−2 = b) Giải hệ thức đệ quy: x0 = 1;  x1 = với n ≥ 2; Bài 2.10 a) Tìm số nghiệm nguyên phương trình x + y + z + t = 15 thỏa điều kiện x ≥ 1, y ≥ 2, z ≥ 2, t ≥  xn − 5xn−1 + 6xn−2 = 2n + với n ≥ 2; b) Giải hệ thức đệ quy x0 = 1;  x1 = Bài tập chương Bài 3.1 Cho tập A = {1, 2, 3, 4} quan hệ A xác định Hãy xác định xem trường hợp có tính chất phản xạ, đối xứng, phản xứng, bắc cầu không? a) = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4)} b) = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 4)} c) = {(a, b) | |a − b| ≤ 2} d) = {(a, b) | hiệu a − b chia hết cho 2} e) = {(a, b) | |a − b| > 3} f) = {(a, b) | |a − b| = 1} Bài 3.2 Trên tập hợp A = {−2, −1, 1, 2, 3, 4, 5} Ta xét quan hệ hai sau: x y ⇔ x − 3y chẵn a) Chứng minh quan hệ tương đương b) Tìm lớp tương đương [1], [2] Bài 3.3 Trên tập hợp A = {−2, −1, 0, 2, 3}, ta xét quan hệ hai x y ⇔ x2 − 2x = y − 2y a) Liệt kê phần tử tập quan hệ A b) Tìm tập hợp X có vơ hạn phần tử để thích? quan hệ thứ tự X Giải CuuDuongThanCong.com sau: https://fb.com/tailieudientucntt Bài 3.4 Trên tập hợp A = {−1, 0, 2, 3, 4}, ta xét quan hệ hai x y ⇔ x2 − 3x = y − 3y a) Liệt kê phần tử tập quan hệ A b) Tìm tập hợp X có vơ hạn phần tử để thích? sau: quan hệ thứ tự X Giải Bài 3.5 Trên tập hợp X, ta xét quan hệ hai sau: x y ⇔ x2 + 3x ≤ y + 3y a) Nếu X = R có tính chất nào? Giải thích b) Nếu X = N có phải quan hệ thứ tự khơng? Giải thích Bài 3.6 Trên tập hợp số tự nhiên N, ta xét quan hệ hai x y ⇔ x2 − y chẵn a) Chứng minh quan hệ tương đương N sau: b) Tìm phân hoạch N thành lớp tương đương Bài 3.7 Trên tập hợp A = {−2, −1, 0, 2, 3, 4, 5, 7, 9}, ta xét quan hệ hai sau: x y ⇔ x − y chia hết cho a) Chứng minh quan hệ tương đương A b) Tìm lớp tương đương [3]? Trong lớp [−2], [−1], [2], [5], [7] có lớp đơi phân biệt? Bài 3.8 Xét quan hệ Z định bởi: x, y ∈ Z, x y ⇔ ∃n ∈ Z, x = y2n a) Chứng minh quan hệ tương đương b) Trong số lớp tương đương [1], [2], [3], [4] có lớp đơi phân biệt? c) Câu hỏi tương tự câu b) cho lớp [6], [7], [21], [25], [35], [42]v[48] Bài 3.9 Cho X = {2, 4, 6, 8, 10, 14, 16, 15, 20, 30, 36, 40, 60} với với quan hệ ước số | a) Vẽ sơ đồ Hass b) Tìm phần tử tối đại tối tiểu X CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài 3.10 Trong trường hợp sau, tìm phần tử lớn nhất, nhỏ nhất, tối đại, tối tiểu (nếu có) tập hợp cho với thứ tự tương ứng Vẽ biểu đồ Hasse a) U30 = {n ∈ N | n|30} với quan hệ ước số | b) X = {2, 3, 4, 6, 8, 10, 80} với quan hệ ước số | c) X = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 11} với quan hệ xác định sau: x y ⇔ x = y hay x < y − Bài tập chương Bài 4.1 Vẽ biểu đồ Karnaugh tìm cơng thức đa thức tối tiểu, dạng nối rời tắc hàm Bool theo biến x, y, z, t sau đây: a) f = z¯t¯ ∨ xy t¯ ∨ x¯y¯ z ∨ x¯y¯z t¯ ∨ x¯ y z¯t ∨ y¯zt b) f = x¯(zt ∨ t¯) ∨ x(¯ y z ∨ y¯ z t¯) ∨ z¯t(¯ y ∨ xy) c) f = x¯ z t¯ ∨ x¯ y z¯ ∨ xyt ∨ xyz t¯ ∨ x¯zt ∨ x¯y¯t d) f = x¯ z t¯ ∨ x¯ y z t¯ ∨ xyt ∨ x¯yz e) f = z¯t ∨ x¯ y t ∨ x¯y¯z¯ ∨ x¯yzt ∨ xy¯ z t¯ ∨ yz t¯ Bài 4.2 Cho hàm Bool biến xác định f (x, y, z, t) = z t¯ ∨ x¯ y z¯ ∨ x¯yt ∨ x¯y¯z¯ ∨ yz t¯ ∨ y¯t¯ a) Vẽ biểu đồ Karnaugh f xác định tế bào lớn b) Tìm cơng thức đa thức tối tiểu f Bài 4.3 Cho hàm Bool biến xác định f (x, y, z, t) = x¯y ∨ xt ∨ yt ∨ x¯t¯ ∨ x¯ y z¯ a) Vẽ biểu đồ Karnaugh f xác định tế bào lớn b) Tìm cơng thức đa thức tối tiểu f Bài 4.4 Cho hàm Bool biến xác định f (x, y, z, t) = x¯z ∨ y¯z¯t ∨ xy t¯ ∨ y¯z¯t¯ ∨ x¯yz ∨ x¯y¯ a) Vẽ biểu đồ Karnaugh f xác định tế bào lớn b) Tìm cơng thức đa thức tối tiểu f CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài 4.5 Cho hàm Bool biến xác định f (x, y, z, t) = x¯ y t ∨ y¯z¯t ∨ x¯yz ∨ yzt ∨ xy t¯ ∨ x¯y¯ z a) Vẽ biểu đồ Karnaugh f xác định tế bào lớn b) Tìm cơng thức đa thức tối tiểu f Bài 4.6 Cho hàm Bool biến xác định f (x, y, z, t) = x y z t ∨ x¯ z t¯ ∨ y¯ zt ∨ y¯ z¯ t¯ ∨ y¯ z t¯ a) Vẽ biểu đồ Karnaugh f xác định tế bào lớn b) Tìm cơng thức đa thức tối tiểu f Bài 4.7 Cho hàm Bool biến xác định f (x, y, z, t) = x y¯ z¯ ∨ x y z¯ ∨ x y t¯ ∨ x¯ z t¯ ∨ x¯ y¯ zt a) Vẽ biểu đồ Karnaugh f xác định tế bào lớn b) Tìm cơng thức đa thức tối tiểu f Bài 4.8 Cho hàm Bool biến xác định f (x, y, z, t) = x y z t ∨ y¯ z¯t ∨ x¯ zt ∨ x¯ z¯ t¯ ∨ x¯ z t¯ a) Vẽ biểu đồ Karnaugh f xác định tế bào lớn b) Tìm cơng thức đa thức tối tiểu f Bài 4.9 Cho hàm Bool biến xác định f (x, y, z, t) = x¯yz ∨ x¯z t¯ ∨ x¯ y t ∨ xzt ∨ xy¯ z ∨ x¯ y t¯ a) Vẽ biểu đồ Karnaugh f xác định tế bào lớn b) Tìm cơng thức đa thức tối tiểu f Bài 4.10 Cho hàm Bool biến xác định f (x, y, z, t) = xt ∨ yt ∨ x¯y ∨ x¯t¯ ∨ x¯ y z¯ ∨ y¯ z¯ t¯ a) Vẽ biểu đồ Karnaugh f xác định tế bào lớn b) Tìm cơng thức đa thức tối tiểu f CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập chương Bài 5.1 a) Cho đồ thị G có 13 cạnh, có đỉnh bậc 1, đỉnh bậc 2, đỉnh bậc 5, đỉnh cịn lại có bậc Hỏi G có đỉnh bậc đỉnh bậc 4?    b) Cho ma trận kề đồ thị G    1 2 0 1 1 0 1 0     Giải thích G có đường   Euler tìm đường Euler G Bài 5.2 Cho đồ thị G có 14 cạnh, có đỉnh bậc 1, đỉnh bậc 3, đỉnh bậc 4, đỉnh bậc 5, đỉnh cịn lại có bậc Hỏi G có đỉnh? Bài 5.3 Cho đồ thị G có 16 cạnh, có đỉnh bậc 1, đỉnh bậc 2, đỉnh bậc 5, đỉnh cịn lại có bậc Hỏi G có đỉnh bậc 3? Bài 5.4 Cho đồ thị Lập ma trận kề xác định đường Euler đồ thị Bài 5.5 a) Cho đồ thị G có 12 cạnh, có đỉnh bậc 1, đỉnh bậc 4, đỉnh bậc 5, đỉnh cịn lại có bậc Hỏi G có đỉnh bậc đỉnh bậc ? b) Cho đồ thị CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Lập ma trận kề xác định chu trình Euler đồ thị Bài 5.6 a) Tồn hay khơng đồ thị đơn gồm đỉnh, có đỉnh bậc 3, đỉnh bậc đỉnh bậc 4? Giải thích    b) Cho ma trận kề đồ thị G    1 1 0 1 1 1 0     Giải thích G có đường   Euler tìm đường Euler đồ thị Bài 5.7 a) Trong giải thi đấu có n đội tham dự có n + trận đấu tiến hành Chứng minh có đội thi đấu trận    b) Cho ma trận kề đồ thị G    1 1 0 1 1 1 1     Giải thích G có đường   Euler tìm đường Euler đồ thị Bài 5.8 a) Cho đồ thị G có 12 cạnh, có đỉnh bậc 1, đỉnh bậc 3, đỉnh bậc 4, đỉnh cịn lại có bậc Hỏi G có đỉnh bậc ? b) Cho đồ thị 10 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giải thích đồ thị có đường Euler tìm đường Euler đồ thị Bài 5.9 a) Cho G đồ thị vô hướng liên thông mà đỉnh có bậc Chứng minh xố cạnh đồ thị thu cịn liên thơng    b) Cho ma trận kề đồ thị G    0 1 0 0 1 1 1     Giải thích G có đường   Euler tìm đường Euler đồ thị Bài 5.10 a) Vẽ đồ thị đơn vô hướng gồm đỉnh với bậc tương ứng 2, 2, 3, 3, 3,    b) Cho ma trận kề đồ thị G    1 1 1 1 1 0 1 0     Giải thích G đồ thị   Euler tìm chu trình Euler đồ thị 11 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... = y)” Bài tập chương Bài 2 .1 a) Cho X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } Hỏi có tập hợp X A chứa phần tử nhận làm phần tử nhỏ b) Giải hệ thức đệ quy  xn − 5xn? ?1 + 6xn−2 = n − x = 1;  x1 = với... + t = 15 thỏa điều kiện x ≥ 1, y ≥ 2, z ≥ 2, t ≥  xn − 5xn? ?1 + 6xn−2 = 2n + với n ≥ 2; b) Giải hệ thức đệ quy x0 = 1;  x1 = Bài tập chương Bài 3 .1 Cho tập A = {1, 2, 3, 4} quan hệ A xác định... số | b) X = {2, 3, 4, 6, 8, 10 , 80} với quan hệ ước số | c) X = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10 , 11 } với quan hệ xác định sau: x y ⇔ x = y hay x < y − Bài tập chương Bài 4 .1 Vẽ biểu đồ Karnaugh tìm cơng