THÔNG TIN TÀI LIỆU
BÀI TẬP TOÁN RỜI RẠC CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LOGIC 1/ Xét chân trị vị từ p ( x) , p(x) q(x), p(x) q(x), p(x) q(x) p(x) q(x) theo biến thực x: a) p(x) = “ x2 2x ” q(x) = “ (x + 1)(x 2)1 > ” b) p(x) = “(3 2x)(x + 4) 1 ” q(x) = “ (x2 + x 2)(x2 3x + 10) > ” 2/ Cho a R Viết mệnh đề phủ định A A có nội dung sau : a) 2a3 + 5a = 10 b) (2a 5)(3a + 1) 1 c) 5a d) ln(a2 a 2) < e) Khoảng 2/3 số học sinh chất tốt f) Khơng đến 3/4 số tài xế có lái hợp lệ g) Không 2/5 dân số tốt nghiệp đại học h) Hơn nửa số Bộ trưởng thực có lực i) Khơng 1/6 số trẻ em bị thất học j) Nhiều 30 ứng viên thi đạt ngoại ngữ k) Có sinh viên đạt giải thưởng l) Đúng 12 thí sinh dự vòng chung kết thi m) Hơn vận động viên phá kỷ lục quốc gia n) Ít 16 quốc gia thi đấu mơn bóng rổ o) Nếu Sơn thắng trận anh Paris p) Không muốn làm việc vào ngày chủ nhật q) Cả lớp nói chuyện ồn r) Có gọi điện thoại cho Tuấn s) Các cầu thủ khơng thích bơi lội t) Hắn thơng minh thiếu thận trọng u) Ngọc học Tốn mà khơng học Lịch sử v) Dũng An thi ngoại ngữ w) Vũ vừa giỏi Vật Lý vừa giỏi Hóa học x) Hải đạt kết thấp môn Tin học lẫn mơn Tốn y) Họ đến trường hay họ xem phim z) Chúng Vinh anh khơng Huế ) Nhóm bác sĩ hay nhóm kỹ sư làm từ thiện Từ đến 5, ký hiệu p, q, r s biến mệnh đề 3/ Rút gọn dạng mệnh đề sau : a) [ (p q) (p q ) ] q b) p q [ ( p q ) q ] c) p q ( p q r) d) p (q r) ( p q r) e) (p q) [ q ( q r) ] f) p (p q ) (p q r ) (p q r s ) 4/ Chứng minh a) [ (p q) p q p q ] (p q) c) { (p q) [ p (q r) ] } (p q) b) { [ (p r) (q r) ] (p q) ] } ( p q r ) d) { [ ( p q r ) q ] (p r) } (p q r) e) { [ q (p r) ] ( p r ) q } [ (p r) q ] g) [ (p q) (q r) (r p) ] [ (p q) (q r) (r p) ] f) [ p (q r) ] [ r ( q p ) ] h) [ p (q r) ] [ (q r ) p ] i) [ (p q) (q r) (r p) ] [ (p q) (q r) (r p) ] j) [ ( q p ) p) ] p q 5/ Chứng minh dạng mệnh đề sau sai : a) (p q) (p q r) b) (p q) [ (q r) (p r) ] c) [ p (q r) ] (p q) d) [ (p q) (q r) ] [ p (q r) ] e) { [ (p q) (r p ) ] (q r ) } p f) [ p (q r) ] [ (p q) r ] i) [ p (q r) ] (p r ) p q g) (r q) ( p q) h) [ (p q ) q ] p q j) (p q ) ( q p ) (q r) 6/ Cho lượng từ ( , {,} ).Xét chân trị A viết A tùy theo dạng cụ thể : a) A = “ x R, | x | = x3 ” b) A = “ x Q, x2 2x > 2 ” c) A = “ x R, n N, 2n x < 2n + ” d) A = “ x R, y R, (x2 = y2) (x = y) ” e) A = “ x Q, y R, (x2 + 2x 15)y = ” 2 f) A = “ x R, y Q, x + 4x y + ” g) A = “ x R, k Z, (x k)2 2 ” CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 7/ Viết dạng phủ định A xét chân trị A ( xét trực tiếp A hay xét gián tiếp A suy A ): a) A = “n N, 4|n2 4|n” b) A = “x R, sinx + 2x = 1” c) A = “x R,y R, 2x + 3siny > 0” d) A = “ x R, y N, (x2 y2) (x y) ” e) A = “ x R, y Q, 2y + 2y sinx + ” f) A = “ x R, y Q, t Z, x y2 + 2t ” g) A = “ x Q, y R, t N, x3 3y 5t ” 8/ Chứng minh qui nạp theo số nguyên n : a) 13 + 23 + … + n3 = 41n2(n + 1)2, n b) 1.1! + 2.2! + … + n.n! = (n + 1)! 1, n 1 c) 1.2.3 + 2.3.4 + … + n(n + 1)(n + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3), n d) 2n < n!, n e) n2 < 2n, n [ để ý (n + 1)2 < 2n2, n ] f) n3 < 2n, n 10 [ để ý (n + 1)3 < 2n3, n ] g) 21n + 11 + 21 + 31 + … + ( 2n ) 1 (n + 1), n n h) | ( 3n + 7n ), n i) | ( 6.7n 2.3n ), n j) 3n + | ( 23 ), n k) Cho a R \ { }sao cho ( a + a1 ) số nguyên Chứng minh n 1, (an + an) số nguyên l) Cho dãy số Fibonacci ao = 0, a1 = an + = an + + an, n Chứng minh n 0, an = ( )1(n n) với nghiệm thực phương trình x2 x = thỏa > 9/ Cho biến mệnh đề p, q, r, s, t u Giải thích đắn suy luận : a) [ p (p q) (s r) (r q ) ] (s t) b) [ ( p q) ( p r) ( r s) ] ( q s) c) { s [ ( p q) r ] u [ r (s t) ] (u t ) } p d) [ (p q) r q ] p r e) { [ p (q r) ] (t q) s (p s) } ( r t ) f) (p r q ) [ (p r) q ] g) { [ p (q r) ] ( q p ) p } r h) { [ (p q) r ] (r s) s } (p q ) i) { (p q) (r s) [ (s q) (p t) ] (t p ) } ( p r ) j) [ p (p q) (r q ) ] r k) { (p q) (r s) [ (s q) t ] t } ( p r ) l) [ (p q) ( r q ) r ] p m) { [ p (r q) ] p q [ r (s t) ] s } t n) [ (p q) (p r) r ] q 10/ Cho biến mệnh đề p, q, r s Chỉ sai lầm suy luận : a) [(p q) r] [p (q r)] b) [(p q) r] [p (q r)] c) { [p ( r q )] p q } d) { [ (p q) (q r) ] [ (p (q r) ] } O e) { [ p {(q r) s}] [ s ( r p) ] } f) [ ( r q) (s p ) ] q g) [(p (q r)] (p r) h) [ (p q) r ] [ (p r) (q r) ] i) [ ( p q) q ] p j) [ (p q) p ] q k) [ (p q) (q r) ( s q) (r s ) ] s l) { (p r) p [ p (q r ) ] ( s q ) } s m) { [ (p r) q ] (q p) } (p q) n) [ (p q r) p (q r ) ] { [ p (q r) ] p q r } 11/ Cho vị từ p(x) q(x) theo biến x A Chứng minh a) [ x A, p(x) q(x) ] { [ x A, p(x) ] [ x A, q(x)) ] } b) [ x A, p(x) q(x) ] { [ x A, p(x) ] [ x A, q(x) ] } c) [ x A, p(x) q(x) ] { [ x A, p(x) ] [ x A, q(x) ] } d) [ ( x A, p(x)) ( x A, q(x)) ] [ x A, p(x) q(x) ] Cho ví dụ để thấy chiều đảo c) d) không 12/ Cho vị từ p(x) q(x) theo biến x A Giải thích đắn suy luận : a) { [ x A, p(x) ( q(x) r(x) ) ] [ x A, p(x) s(x) ] } [ x A, r(x) s(x) ] b) { [ x A, p(x) q(x) ] [ x A, p ( x) ] [ x A, q ( x) r(x) ] [ x A, s(x) r ( x) ] } [ x A, s ( x) ] CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt CHƯƠNG : TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ 1/ Liệt kê tập hợp sau : A = {1 + (1)n / n N} B = {n + n1 / n N*} n +5/nZ} F = { x Z / (x2 + 3x 10)(x + 4)1 } D = { 2sin C = {x = m / m, n Z, n 0, m2 < 6n > n2 7} n m / m, n Z, 17 < n n G = { x Q / x4 256 x = E={x= 80 21 < x < } cosx sin3x } 2/ Cho A, B R Viết A , B , A B, A B, A \ B, B \ A thành phần hội khoảng rời R a) A = (9, 3) [1,2] [4,5) (7,11] (13,+ ] B = ( ,7] [4,2) (0,3) (6,8] [10,15] b) A = ( , 4) [4, 7] { 1, 2, 8, 10 } B = (5, 1] [6, 9) { 6, 3, 5, 10 } 3/ Cho A, B, C, D E Hãy rút gọn biểu thức sau : a) ( A \ B ) ( B \ A ) ( A B ) b) ( A B ) \ [ ( A \ B ) ( A B ) ] c) A B ( A B C ) d) ( A B ) ( A B C D ) ( A B ) e) A ( A B ) ( A B C ) ( A B C D ) 4/ Cho A, B, D E Chứng minh a) D \ ( A B ) = ( D \ A ) ( D \ B ) = ( D B ) \ ( A B ) c) ( A B ) \ D = ( A \ D ) ( B \ D ) e) ( A \ B ) \ D = A \ ( B D ) = ( A \ D ) \ ( B \ D ) b) D \ ( A B ) = ( D \ A ) ( D \ B ) d) ( A B ) \ D = ( A \ D ) ( B \ D ) 5/ Cho A, B, H, K E Chứng minh a) [ ( A H ) ( B K ) ] [ ( A B ) ( H K ) ] b) ( A \ H ) [ ( A \ B ) ( B \ H) ] c) [ (A B ) \ ( H K ) ] [ ( A \ H ) ( B \ K ) ] [ ( A B ) \ ( H K ) ] d) [ ( A B ) \ H ] [ A ( B \ H )] e) [ (A B ) \ ( A H ) ] ( B \ H ) Cho ví dụ để thấy trường hợp khơng có dấu đẳng thức xảy a), b), c), d) e) 6/ Cho A = { 0, 1, a }, B = { a, } C = { 2, b } a) Liệt kê tập hợp A2, A B, C A, B C C B b) Liệt kê tập hợp B3, A B2, C A C, A B C C2 B 7/ Cho A, B E H, K F Chứng minh a) A ( H \ K ) = ( A H ) \ ( A K ) b) [ ( A H ) \ ( B K ) ] = [ ( A \ B ) H ] [ A ( H \ K ) ] c) ( A H ) ( B K ) = ( A B ) ( H K ) d) [ ( A H ) ( B K ) ] [ ( A B ) ( H K ) ] e) [ ( A \ B ) ( H \ K )] [ ( A H ) \ ( B K ) ] Cho ví dụ để thấy trường hợp khơng có dấu đẳng thức xảy d) e) 8/ Các qui tắc f : X Y sau có phải ánh xạ không ? Tại ? a) X = (2, 1], Y = R, f(x) = x(x2 + 2x 3)1, x X b) X = R, Y = (6, + ), f(x) = ex + 9ex, x X c) X = Y = R, f(x) = ln| sinx |, x X d) X = [1, + ), Y = R, f(x) = y cho y2 2y = x, x X m m e) X = [1, 3],Y = R\{0}, f(x) = 3x2 9x + 5, x X f) X = Q,Y = Z, f( ) = m2 + 3n mn, X n n 9/ Xét tính đơn ánh toàn ánh ánh xạ f : X Y sau : a) X = Y = R, f(x) = x(x2 + 1)1, x X b) X = [2, + ), Y = (20, + ), f(x) = x2 + 6x 3, x X c) X = Y = R, f(x) = (x 1)(x + 3) (x 4), x X d) X = R\{0}, Y = R, f(x) = (2x 3)x1,x X e) X = R, Y = [2, 2], f(x) = sinx + cosx, x X f) X = Y = R, f(x) = 3cos2x 7x + 8, x X CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 10/ Xác định u = gof, v = fog (nếu có) w = hogof f : X Y, g : Z T h : U V a) X = Y = Z = T = U = V = R, f(x) = 2x + 1, g(x) = x2 + x h(x) = x3 + 4cosx b) X = T = U = (0,+ ), Y = Z = R, V = [1, + ), f(x) = 3lnx 2, g(x) = esinx h(x) = 5x4 x2 + c) X = V = R,Y = Z = R\{1},T = U = R\{3}, f(x) = x2 4x + 6, g(x) = (3x + 2)(1 x)1 h(x) = ln| x + 3| 11/ Tìm f(A), f(B), f(C), f(D), f(E), f(R), f1(G), f1(H), f1(K), f1(L), f1(M) f1(N) cho ánh xạ sau a) f : R R với f(x) = x (nếu x 1) f(x) = 2x + (nếu x > 1) A = { 1, 0, 1, 2, }, B = [1,3], C = (1,2), D = ( ,0] E = (3,+ ), G = { 7, 5, 3, 1, 2, 5, 7, }, H = [7, 5], K = (5, 5), L = [7, + ), M = [1, 9) N = (3, 2] b) f : R R với f(x) = x + (nếu x 0), f(x) = 2x (nếu < x < 3) f(x) = x (nếu x 3) A = { 2, 1, 0, 1, 2, 4, }, B = [2, 1], C = (2, 4), D = (1, 5], E = [0, + ), G = { 5, 2, 1, 0, 4, 5, 7, 10, 11 }, H = [5, 1], K = ( , 0], L = [2, 4), M = (5, 10] N = (7, 11) 12/ Chứng minh ánh xạ song ánh viết ánh xạ ngược chúng : a) f : R (1, 1), f(x) = x(1 + | x |)1 b) g : R R, g(x) = ex 3ex + c) h : [1, 2) [5, 7), h(x) = 3x + 2x1 d) p : R (2, 3), p(x) = (9 2ex) (ex + 3)1 e) q : R\{1} R\{3}, q(x) = (5 3x) (x 1)1 f) r : (0, 3] (2, 41.17], r(x) = (x + 1) + (x + 1)1 1 1 g) Tìm ánh xạ u, v, w thỏa p ou = g, vof = g f owop = g CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẾM 1/ Cho tập hợp hữu hạn A, B, C E Chứng minh | A B C | = | A | + | B | + | C | ( | A B | + | B C | + | C A | ) + | A B C | 2/ Cho E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {2,4,5,7,9}, B = {2,5,9}, C = {1, 3, 8} D = {0, 2, 4, 5, 7, 8, 9} a) Có tập hợp X E thỏa X = A ? b) Có tập hợp Y, Z, T, W E thỏa A Y = B, A Z = D, (A \ T) = B ( W \ A) = C ? 3/ Có số nguyên tự nhiên chẵn ( dãy số với chữ số cuối chẵn ) gồm chữ số khác mà có chữ số ? 4/ Cho S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Có tập hợp A S thỏa a) | A | = b) | A | = minA = c) | A | = minA d) | A | = A 5/ Cho S = {1, 2,…, n} Có tập A S cho A có số ngun chẵn? ( xét n chẵn, lẻ ) 6/ Tìm n biết có phần tư số tập gồm phần tử S = {1, 2, … , n} có chứa số 7/ Cho S = {1, 2, 3, … , 14, 15} Có tập hợp A S mà a) A có tồn số lẻ b) A có số lẻ c) | A | = A có số lẻ d) A có số lẻ số chẵn 8/ Cho số nguyên n Có cách chia n sinh viên thành đội mà a) đội học Anh Văn đội học Pháp văn ? b) hai đội làm công tác xã hội ? ( xét n chẵn, lẻ ) 9/ Từ 10 nam 10 nữ, có cách chọn đội gồm 12 người thỏa a) chọn tùy ý b) đội có nam c) đội có nam d) đội có nam nữ e) đội có số nam chẵn 10/ Có byte khác chứa a) bit b) bit c) không bit d) bit bit CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 11/ Có cách chia 12 bút khác cho đứa trẻ a) đứa bút b) hai đứa lớn đứa bút hai đứa nhỏ đứa bút 12/ Tìm hệ số đơn thức a) xy2z3t khai triển (x + 2y z + 4t 5u)7 b) x3y9z4t3 khai triển ( 2x y3 3z2 + 4t3 )9 13/ Cho số nguyên n Xét tất tam giác tạo từ đỉnh khác đa giác có n cạnh a) Có tất tam giác ? b) Có tam giác có chung cạnh với đa giác trên? c) Có tam giác có chung cạnh với đa giác ? d) Có tam giác khơng có chung cạnh với đa giác ? 14/ Có cách xếp a) nam nữ xen kẽ thành hàng dọc? Câu hỏi tương tự cho trường hợp nam nữ b) nam nữ thành hàng dọc cho nam đứng gần nhau? c) nam nữ thành hàng dọc cho nữ đứng gần nhau? d) nam nữ thành hàng dọc cho nam đứng gần nữ đứng gần nhau? e) nam nữ thành hàng dọc cho nam đứng gần hay nữ đứng gần nhau? f) bác sĩ, kỹ sư luật sư thành hàng ngang cho đồng nghiệp đứng gần nhau? 15/ Có cách xếp cặp vợ chồng ngồi vào bàn trịn có 10 ghế (các ghế đánh số thứ tự) a) xếp tùy ý ? b) người chồng ngồi gần c) vợ chồng ngồi gần 16/ Có cách treo áo đỏ, áo trắng áo xanh thành hàng dọc (các áo khác nhau) a) treo tùy ý b) áo màu treo gần c) áo màu trắng treo gần d) áo màu đỏ treo gần áo màu xanh treo gần e) áo đầu hàng có màu xanh f) áo đầu hàng có màu đỏ áo cuối hàng có màu trắng 17/ Làm lại 16 với giả thiết áo màu xem giống 18/ Có cách chọn 20 tờ giấy bạc từ loại tiền đồng, đồng, đồng, 10 đồng 20 đồng? Nếu u cầu thêm có tờ đồng khơng q tờ 20 đồng có cách chọn ? 19/ Tìm số nghiệm nguyên phương trình x + y + z + t = 32 (hay bất phương trình x + y + z + t 32) a) x, y, z, t b) x 2, y 3, z 1, t > c) x > 1, y 4, z > 4, t d) x, y, z > t < 25 20/ Có cách chia 18 viên kẹo giống cho đứa trẻ a) chia tùy ý b) đứa kẹo c) đứa lớn có viên d) đứa nhỏ nhất viên e) đứa lớn nhận không viên 21/ Khi khai triển (x + y + z + t)10, ta đơn thức khác ? Trong số có đơn thức xmynzu tv (khơng kể hệ số phía trước) thỏa m 2, n v ? 22/ Có cách chia 15 viên kẹo chanh (giống nhau) 10 viên kẹo dừa (giống nhau) cho đứa trẻ cho đứa có hai thứ kẹo ? 23/ Có cách mua 20 hộp sơn với màu số 10 màu mà cửa hàng có ? 24/ Xét chuỗi ký tự bao gồm phần mẫu tự đứng trước phần chữ số đứng sau Phần mẫu tự có mẫu tự , , , , , , , , xếp tùy ý ( , , mẫu tự khác lấy tùy ý từ A, E, H, P, Y ) Phần chữ số chữ số xyzuv ( x, y, z, u, v, w lấy tùy ý từ 0, 1, 2, … , 8, ) thỏa x + y + z + u + v + w Hỏi có tất chuỗi ký tự ? CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 25/ Cho A S = { 1, 2, … , 25 } thỏa | A | 14 Chứng minh có a, b A thỏa a b a + b = 26 26/ Cho A S = { 1, 2, … , 100 } thỏa | A | 11 Chứng minh có x, y A thỏa < | n Tổng quát hóa kết theo hướng khác nhau: theo | S | theo ( x n x y | < y ) 27/ Lấy 10 điểm khác tùy ý tam giác có cạnh 3cm Chứng minh số có điểm có khoảng cách không 1cm 28/ Từ thứ hai đến thứ bảy tuần có 12 buổi (sáng chiều) Có 782 sinh viên đăng ký học đàn theo buổi nói tuần: sinh viên chọn từ đến buổi Chứng minh có sinh viên có lịch học tuần hoàn toàn giống 29/ Xếp số 1, 2, … , 25 cách tùy ý đường trịn Chứng minh có số gần đường trịn có tổng 41 có số gần đường trịn có tổng 37 30/ Cho A S = { 1, 2, … , 14 } thỏa | A | Chứng minh có H, K A ( mà H K ) thỏa | H | 5, | K | h hH = k kK CHƯƠNG : HỆ THỨC ĐỆ QUI 1/ Giải hệ thức đệ qui tuyến tính sau : a) ao = an + = 3an,n b) a1 = 5 an = 8an 1,n c) a2 = 28, a3 = 8 an = 4an 2,n d) ao = 1, a1 = an + = 5an 6an 1, n e) a1 = 6, a2 = an + = 4an + 4an, n 2/ Giải hệ thức đệ qui tuyến tính khơng sau : a) ao = 3 an = an + 9, n b) a1 = 13 an + = 2an + + 5.3n + 1, n c) a2 = 61 an + = 3an + 4n 6, n d) ao = 7 an + = 4an 2(4)n + 1(n 2), n e) a3 = 128 an + = 5an + 12, n 3/ Giải hệ thức đệ qui tuyến tính khơng sau : a) ao = 1, a1 = an + = 5an + 6an + 4, n b) a1 = 4, a2 = 19 an + = 5an 4an + 3, n c) a2 = 5, a3 = 26 an = 2an an 10, n d) ao = 3, a1 = 5 an = 2an + 3an + 8(1) n + 1, n e) a1 = 13, a2 = 50 an + = 7an + 10an + (40n 1) 3n, n f) a2 = 28, a3 = 149 an + = 2an an 12n2 24n + 4, n 4/ Tính tổng số sau theo n nguyên : a) Sn = 13 + 23 + … + n3 (n 1) b) Sn = 14 + 24 + … + n4 (n 1) c) Sn = 14 + 24 + … + (1)nn4 (n 1) n d) Sn = n (k 1)(k 2)2 k (n 0) e) Sn = k 0 (2k 1)(3) k 0 n k (n 0) f) Sn = (k 2k 4k )(1) k (n 1) k 1 5/ Cho n 1.Vẽ n đường thẳng mặt phẳng cắt đơi khơng có đường thẳng đồng qui Các đường thẳng chia mặt phẳng thành miền rời đôi ? 6/ Giả sử dân số giới năm 2000 tỉ người tốc độ tăng dân số giới 3% năm Cho số nguyên n 2000 Tính dân số giới vào năm n 7/ Cho số nguyên n 1.Có chuỗi ký tự gồm n ký tự (n ký tự lấy tùy ý từ ký tự a, b, c) cho chuỗi ký tự khơng có ký tự a đứng gần ? CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 8/ Cho số nguyên n 1.Có chuỗi ký tự gồm n ký tự (n ký tự lấy tùy ý từ ký tự 1, 2) cho chuỗi ký tự ký tự đứng gần nhau? 9/ Cho ao = , a1 = an + = an + + an, n Chứng minh an = fn + fn 1, n fm số hạng thứ m (m 0) dãy số Fibonacci ( fo = 0, f1 = fn + = fn + + fn, n ) 10/ Tính an bn, n biết ao = 1, bo = 2, an + = 3an + 2bn bn + = an + 2bn, n ( Hướng dẫn: Tìm , thỏa an + + bn + = (an + bn) tính un = an + bn, n ) CHƯƠNG : BÀI TẬP TẬP HỢP SỐ NGUYÊN Ký hiệu : N* = N \ {0} Z* = Z \ {0} 1/ Tìm tất k Z thỏa a) (k2 + 5k + 5)(k2 2k 9) = b) (3k2 + 4k 17)(5k2 + k + 49) = 2 2/ Cho m, n N* Ký hiệu ! hiểu “ tồn ’’ Chứng minh a) ! k N*, kn m < (k + 1)n b) ! q, r N, m = q2 + r r < (2q + 1) 3/ Cho aj = rj2 s 2j với rj, sj Z ( j = 1,2, …, n ) Đặt a = a1a2…an Chứng minh có r, s Z thỏa a = r2 + s2 4/ Tìm tất x, y Z thỏa a) x + y + xy = b) x + y xy = c) 3x = 4y + d) 1 y = + x e) x = + y 5/ Cho số nguyên k lẻ k không chia hết cho Chứng minh k = 6t với t Z Từ tìm số dư chia Euclide k2 cho 24 6/ Cho n N m, k Z Chứng minh a) 7(2n 1) 3n b) không chia hết (2n + 1) c) 100 không chia hết (9n + 1) d) 11(k + 3k + 5) k = 4t + 11 với t Z e) 121 không chia hết (k2 + 3k + 5) f) 11| (6k 7m) 11| (4m 5k) g) 13| (m + 4k) 13| (10m + k) h) 17| (3m + 2k) 17| (5m + 9k) 7/ Cho a, b Z , x, y, z Z* số nguyên tố p = 3, 7, 11 19 Chứng minh a) ( pa pb ) p( a2 + b2 ) Kết sai p = 2, 5, 13 17 b) x4 + y4 pz2 8/ Cho a, b, c, d Z n N* cho a b c d (mod n) Chứng minh ac bd (mod n) (a c) (b d) (mod n) 9/ Cho m, x, y, t Z Chứng minh a) m2 (mod 4) x2 + y2 6t2 + 10t + 527 b) m2 hoặc (mod 8) x2 + 2y2 + 4t2 12t 983 10/ Tìm d = (m, n), e = [m, n] theo cách khác nhau, dạng tối giản m chọn a, b, u, v Z n u v = + m n có giá trị sau : e m n a) 43 16 b) 128 352 c) 442 276 d) 675 459 e) 936 715 f) 6234 3312 g) 35298 6768 h) 8820 36288 i) 12096 17640 j) 87657 44441 k) 654321 123456 l) 148500 7114800 cho d = am + bn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 11/ Cho m, n Z* Chứng minh (m, n) = [m, n] m = n 12/ Cho r, s Z* a, b Z, đặt aZ = { ak / k Z } aZ + bZ = { ak + bt / k, t Z } a) Chứng minh ( rZ sZ sr ), rZ + sZ = (r, s)Z rZ sZ = [r, s]Z b) Rút gọn ( 24Z + 36Z + 60Z + 84Z ) ( 4Z 6Z 9Z 10Z 15Z ) 13/ Chứng minh k Z, (14k + 3, 21k + 4) = 1, (24k + 2, 60k 4) = 2, (18k 12, 21 30k) = (20 75k, 25 100k) = 14/ Cho số nguyên tố p > m số nguyên tố.chứng minh n số nguyên tố : a) m = p + 4, n = p + b) m = 8p 1, n = 8p + c) p 3, m = 20p + 1, n = 10p + 15/ Cho n, k N* nk a) Chứng minh (n4 + 4k4) số nguyên tố b) Giả sử (2n +1) số nguyên tố Chứng minh m N, n = 2m 16/ Cho số nguyên tố p > Tìm tất x, y Z thỏa xy = p(x + y) 17/ Cho số nguyên tố p > a) Cho k Z* Tính (p, k) [p, k] b) Chứng minh p C pm < m < p c) Chứng minh chia Euclide p cho q = 30 số dư r = r số nguyên tố Cho ví dụ để thấy kết khơng cịn q = 10, 20, 40, 50 18/ a) Cho số nguyên tố dương p q thỏa q(p! + 1) Chứng minh q > p Suy có vơ hạn số nguyên tố dương b) Đặt A = { k = (4t + 3) / t N } Chứng minh k A, h A cho h nguyên tố hk Suy A chứa vô hạn số nguyên tố 19/ Cho a, b Z* a) Giả sử (a, b) = Chứng minh (a + b, ab) = 1, (a + b, a b) = 2, (a + b, a2 + b2) = Cho ví dụ minh họa tương ứng b) Giả sử (a, b) = p với p số nguyên tố dương Chứng minh (a + b, ab) = p p2, (a + b, a b) = p 2p, (a + b, a2 + b2) = p 2p p2 2p2 Cho ví dụ minh họa tương ứng 20/ Cho a, b Z* a) Giả sử (a, b) = Tìm tất x, y Z thỏa xa = yb b) Giả sử (a, b) = d Tìm tất x, y Z thỏa xa = yb c) Giả sử r, s Z thỏa + sb = (a, b) Tìm tất x, y Z thỏa xa + yb = (a, b) d) Áp dụng c) cho (a = 46, b = 16), (a = 124, b = 64) (a = 3450, b = 331) 21/ Cho m, n N* Giả sử n = p1r1 p2r2 pkrk dạng phân tích thừa số nguyên tố n a) n có ước số dương có ước số ? s b) Giả sử n có 2m ước số dương Chứng minh j {1, 2, …, k}, sj N*, rj = j 22/ Cho a) n b) n c) n n = 21439587101131383710 có ước số dương có ước số ? có ước số dương chia hết cho 233457112372 ? có ước số dương chia hết cho 1.166.400.000 ? CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 23/ Phân tích 15!, 20! 25! thành tích thừa số nguyên tố 24/ Cho k N* Tìm n N* cho n có k ước số dương 25/ Cho m, n N* n a) Chứng minh n m N n m Q b) Giả sử m = p1r1 p2r2 pkrk dạng phân tích thừa số ngun tố m có j { 1, 2, …, k } thỏa rj lẻ Chứng minh m Q CHƯƠNG : QUAN HỆ HAI NGÔI 1/ Đặt Ik = {0, 1, … , k} k N Hãy viết tập hợp xét tính chất quan hệ hai ngơi S a) S = I2, x, y S : x y y x b) S = I2, x, y S : x y x2 + y2 c) S = I2, x, y S : x y 3x + y d) S = I3, x, y S : x y x + y e) S = I4, x, y S : x y ( x = y hay x + 2y = ) f) S = I4, x, y S : x y (x + 2) | y 2/ Xét tính chất quan hệ hai ngơi S a) S = Z, x, y S : x y x | y2 b) S = Z, x, y S : x y y không chia hết x2 c) S = Q, x, y S : x y x = | y | d) S = Q x Q, (x,u), (y,v) S : (x,u) (y,v) x y e) S = R, x, y S : x y x y f) S = R, x, y S : x y x = 2y ( để ý 2t > t t R ) 3/ Kiểm chứng quan hệ thứ tự S thứ tự toàn phần hay bán phần? Tại ? Vẽ sơ đồ Hasse cho (S,) tìm min,max phần tử tối tiểu tối đại (nếu có): a) S = { 2, 3, … , 11, 12 }, x, y S : x y [ (x lẻ y chẵn) hay (x y chẵn x y) ] b) S = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 20 }, x, y S : x y x | y c) S = { 2, 3, 4, 6, 8, 16, 24, 32, 48, 96 }, x, y S : x y x | y d) S = { 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30,40, 50 }, x, y S : x y x y e) S = { 2, 3, 4, 5, 7, 8, 24, 48, 96 }, x, y S : x y x y f) S = { 96, 768, 6, 48, 384, 3, 24 }, x, y S : x y k N: y = 2kx ( k phụ thuộc theo x y ) 4/ Cho S = { a = 2m3n/ m, n N , m n } với quan hệ thứ tự | a) Vẽ sơ đồ Hasse tìm min, max cho (S, | ) (S, ) b) Đặt T = S \ { 1, 2, 72 } Vẽ sơ đồ Hasse tìm phần tử tối tiểu tối đại (T, | ) (T, ) 5/ Cho S = { a, b, c } với quan hệ thứ tự Giả sử a phần tử tối tiểu c phần tử tối đại (S, ) a) Vẽ tất trường hợp khác xảy cho sơ đồ Hasse (S, ) b) Yêu cầu a) có thêm điều kiện “ b phần tử tối đại (S, ) “ 6/ a) Giải thích thứ tự xếp từ sau từ điển tiếng Anh : individual, indistinct, real, indite, confirmation, individualism red b) Giải thích thứ tự xếp dãy số sau theo thứ tự từ điển : 852604, 74596, 935, 7489, 85297440, 85297311 7489231 7/ Vẽ sơ đồ Hasse cho (S, ) tồn phần hóa (sắp xếp topo) thứ tự bán phần sau: a) S = { a, b, c, d, e, f, g, h, i } với d a, b e, g e, h f, I e h d b) S = { 1, 2, 4, 5, 12, 15, 20 } với quan hệ | c) S = { 2, 3, 6, 7, 8, 9, 12, 16 } với quan hệ d) S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } với quan hệ | CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 8/ Kiểm chứng quan hệ tương đương S viết lớp tương đương tập thương tương ứng: a) S = { Huế, Paris, Moscou, Rome, Tokyo, Kyoto, Milan, Vinh, Lyon, ĐàLạt, Kobe, Sàigòn, Cairo, Nice Bonn, Turin, Berlin }, x, y S : x y x y thành phố thuộc quốc gia b) S = { 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, }, x, y S : x y x2 + 5x = y2 + 5y c) S = { 4, 2, , 1, 0, 1, , 2, }, x, y S : x y x3 + 3y = y3 + 3x d) S = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 21, 24, 25, 35, 42, 48}, x,y S : x y k Z : x = 2ky (k phụ thuộc x y) e) S = { 11/6, , 4/5, /4, /5, /7, 0, /6, /3, 5/6, , 5/4, 3 } x, y S : x y sinx = cos(y + 21.7) f) S = (E) với E ={ 1, 2, }, X, Y S : X Y X A = Y A A = {1, 2} 9/ Kiểm chứng quan hệ tương đương S = R xác định lớp tương đương [ a ] a R tương ứng ( biện luận theo tham số thực a ) a) x, y S : x y x2 + 3x = y2 + 3y b) x, y S : x y x2 y2 = 2(x y) c) x, y S : x y x3 12y = y3 12x ( xét riêng hai trường hợp + ) d) x, y S : x y x2y + 7x = xy2 + 7y e) x, y S : x y 4x + xy2 = x2y + 4y f) x, y S : x y 2cos2x sin(xy)cos2y = 2cos2y sin(xy)cos2x 10/ Cho S = { a, b, c, d, e, f } a) Viết tập hợp quan hệ tương đương S có lớp tương đương {a, d, f},{c, e} {b} b) Trên S có quan hệ tương đương chia S thành lớp tương đương có số phần tử lớp 3, 2, (tương tự quan hệ tương đương ) ? c) Trên S có quan hệ tương đương chia S thành lớp tương đương ? 11/ Viết phần tử sau dạng chuẩn Zn (n = 25 38) : a) 95 b) 378 c) 5124 d) 68047 12/ Làm phép tính sau viết kết dạng chuẩn Zn (n = 28 43) : a) 52 94 b) 52 94 c) 341 926 e) 7083 8646 f) 7083 8646 g) 9245 e) 815691 d) 341 926 h) 9245 13/ Xác định phần tử khả nghịch tìm nghịch đảo chúng Zn (n = 29 60) 14/ Giải phương trình sau Zn tương ứng : a) x = (n = 16) b) 41 x 51 = 19 x + 24 (n = 105) c) 78 x 13 = 35 (n = 666) d) x + = x + 61 (n = 64) e) 21 x + 24 = 108 (n = 63) f) x + = (n = 23) g) 68 ( x + 24 ) = 102 (n = 492) h) x + = x + 12 (n = 11) 15/ Giải hệ phương trình sau Zn tương ứng : 3x y a) (n = 7) 2 x y 3 x 2z d) y z (n = 5) z x 4 x y 2 b) (n = 8) x y x y c) (n = 6) 4 x y 4 10 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt CHƯƠNG : HÀM BOOLE 1/ Tìm dạng nối rời tắc cho hàm Boole sau : a) f (x, y, z) = x y x(y z) b) f (x, y, z, t) = (xy zt)(x z) )(xz yt)(xt yz) c) f (x, y, z) = ( x yz)( y xz)( z xy) d) f (x, y, z, t) = yz (z x) t (xy y z x t )xyt e) f (x, y, z, t) = (xy y t)z [x t (x y) (z t)] [(x z) (y t)] [(x t)(y z)] 2/ Tìm cơng thức đa thức tối tiểu cho hàm Boole f có biến viết dạng nối rời tắc cho f f biết S = Kar( f ) hay S = ( Phần bù S bảng mã B4 ) sau : a) S = { (1,1), (1,3), (2,2), ( 2,4), (3,1), (3,3), (4,2), (4,4) } b) S = { (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,4), (4,3) } c) S = { (1,2), (1,3), (2,1), (3,1), (4,2), (4,3) } d) S = { (1,1), (1,4), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1) } e) S = { (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,4) } f) S = { (1,1), (2,2), (2,3), (3,1), (4,1) } g) S = { (2,2), (2,3), (2,4), (3,4), ( 4,1), (4,2) } h) S = { (1,3), (2,1), (2,2), (3,4) } 3/ Tìm cơng thức đa thức tối tiểu cho hàm Boole f có biến viết dạng nối rời tắc cho f f biết f có dạng đa thức sau : a) f (x, y, z, t) = y t x y z x y z x y z t x y z t b) f (x, y, z, t) = x z t y z t x y t x y z x y z t x y z t c) f (x, y, z, t) = x y z t y z t x y z x y z t y z t x y t d) f (x, y, z, t) = x y z x y x z t x y t x y z t y z t e) f (x, y, z, t) = x y z t y z t x y z t y z t x y z x y z t f) f (x, y, z, t) = x z t x y z t x y z t x y t x z t x y z t g) f (x, y, z, t) = x y z t x y x z t y z t h) f (x, y, z, t) = z t x y t x y z x y z t x y z t y z t 4/ Vẽ mạng cổng tổng hợp hàm Boole f (dùng công thức đa thức tối tiểu nó) 5/ a) Có hàm Boole biến lấy giá trị vector Boole có vị trí ( lấy giá trị tùy ý vector Boole khác ) ? b) Có hàm Boole biến lấy giá trị vector Boole có vị trí ( lấy giá trị tùy ý vector Boole khác ) ? c) Có hàm Boole biến không phụ thuộc biến thứ ? d) Có hàm Boole biến không phụ thuộc biến ? - 11 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... Có tập hợp A S thỏa a) | A | = b) | A | = minA = c) | A | = minA d) | A | = A 5/ Cho S = {1, 2,…, n} Có tập A S cho A có số ngun chẵn? ( xét n chẵn, lẻ ) 6/ Tìm n biết có phần tư số tập. .. ( Hướng dẫn: Tìm , thỏa an + + bn + = (an + bn) tính un = an + bn, n ) CHƯƠNG : BÀI TẬP TẬP HỢP SỐ NGUYÊN Ký hiệu : N* = N {0} Z* = Z {0} 1/ Tìm tất k Z thỏa a) (k2 + 5k + 5)(k2... 9}, A = {2,4,5,7,9}, B = {2,5,9}, C = {1, 3, 8} D = {0, 2, 4, 5, 7, 8, 9} a) Có tập hợp X E thỏa X = A ? b) Có tập hợp Y, Z, T, W E thỏa A Y = B, A Z = D, (A T) = B ( W A) = C ? 3/
Ngày đăng: 05/12/2021, 15:51
Xem thêm: