Bài tập toán rời rạc Nguyễn Viết Đông

TS NGUYỄN VIẾT ĐÔNG BÀI TẬP TOÁN RỜI RẠC January 18, 2014 1) Hãy kiểm tra suy luận sau t u r  (s  t) (  p q )  r  (s  u ) p 2) Đề thi 2010 a) Một dãy số thực {x n } nói thuộc O(n) tồn số thực dương C số tự nhiên m cho x n  < C n n  m Hãy sử dụng mệnh đề lượng từ hóa để viết lại định nghĩa b)Viết mệnh đề lượng từ hóa cho dãy số thực không thuộc O(n) 3) Đề thi năm 2011 a) Một thuật toán nói có thời gian đa thức thời gian chạy thuật toán T(n) với n chiều dài input, thỏa tính chất : "Tồn số thực dương C số tự nhiên d cho T(n) < C nd , với n đủ lớn” b) Hãy sử dụng mệnh đề lượng từ hóa để viết lại định nghĩa Viết mệnh đề lượng từ hóa cho định nghĩa thuật toán với thời gian thời gian đa thức 4) Đề 2012 Kiểm tra tính đắn suy luận sau pq r  ( p  s) (t  p)  r (q  s) t 5) Đề năm 2005 Kiểm tra tính suy luận sau: x  R( P( x )  Q ( x )) x  R(P( x )  Q ( x )  R( x )) _ x  R(R( x )  P( x )) 6) Đề năm 2103 Cho biến mệnh đề p, q, s suy luận sau: a) TS NGUYỄN VIẾT ĐÔNG BÀI TẬP TOÁN RỜI RẠC January 18, 2014 q tp ( p  q)  s t  s b) pq (p s) t tq s  t Hãy giải thích suy luận a) đúng, suy luận b) sai 7) Đề 2013 a)Kiểm tra tính đắn suy luận sau pq p qr sr s b) Cho mệnh đề P  "x  , x2  5x    x  0" Xác định chân trị P viết mệnh đề phủ định P dạng mệnh đề lượng từ 8) Cho A = 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12 Có quan hệ tương đương A gồm lớp tương đương mà lớp có phần tử 9) Đề thi 2013 Tìm số nghiệm nguyên (x, y, z) bất phương trình x+y+z ≤ - thỏa mãn điều kiện x ≥ - 20, y≥ - 8, 3≤ z < 10 10) Đề thi 2013 a) Có cách chia 20 viên kẹo loại cho người, người không viên kẹo không 10 viên kẹo b) Cho A = {1,2,3,4} Có quan hệ A? Có quan hệ tương đương A? 11) Đề thi 2003 a) Có cặp tập hợp A, B tập hợp phần tử cho A  B =  b) Có cặp tập hợp A, B tập hợp phần tử cho: AB A+ B TS NGUYỄN VIẾT ĐÔNG BÀI TẬP TOÁN RỜI RẠC January 18, 2014 12)Đề thi 2008 Ta lấy ngẫu nhiên bìa từ hộp chứa 60 bìa ghi số 10, 11, …, 69 a) Có trường hợp xảy b) Có trường hợp bìa lấy chứa “hai đôi” (mỗi đôi gồm hai bìa có chữ số cuối giống Chữ số cuối hai đôi hai chữ số khác khác với chữ số cuối bìa lại) c) Có trường hợp chữ số cuối bìa tạo thành dãy tăng? d) Có trường hợp chữ số cuối bìa tạo thành dãy tăng có hai bìa có chữ số đầu khác 13)Đề thi 2009 Ta lấy ngẫu nhiên bìa từ hộp chứa 50 bìa ghi số 10, 11, …, 59 a) Có trường hợp xảy b) Có trường hợp có hai năm bìa lấy có chữ số cuối 14) Mỗi người sử dụng hệ thống máy tính công ty X phải sử dụng password dài từ đến ký tự, ký tự chữ (trong 26 chữ cái) chữ số (trong 10 chữ số) Mỗi password phải có chữ số Hỏi lập password khác nhau? 15)Đề 2012.Cho tập hợp X   x  :  x  20 với quan hệ  thông thường Tìm số tập A X thỏa điều kiện trường hợp sau: a) min(A) = |A|  10 b) min(A) = max(A) = 18 16) Trong suốt tháng gồm 30 ngày, đội bóng phải chơi ngày trận, tháng không chơi nhiều 45 trận Hãy chứng minh có giai đoạn gồm số ngày liên tiếp mà giai đoạn đội phải chơi 14 trận 17) Đề thi 2013 Cho H đơn đồ thị vô hướng gồm n đỉnh ( n ≥ 2) a) Mỗi đỉnh H có bậc tối đa bao nhiêu? b)Chứng minh H có hai đỉnh bậc 18) Xét chuỗi ký tự tập mẫu tự {a, b, c} ( với a < b < c) : s1 = ac, s2 = aacb, s3 = aba a) Hãy xếp chúng theo thứ tự tăng thứ tự từ điển b) Cho biết s1 s3 có chuỗi ký tự có chiều dài 19) Đề thi 2011.Có ba số nguyên (x , x , x ) cho x > 10, x >15, ≤ x < 20 thỏa x + x + x ≤ 100 20) Đề thi 2013 n n  1, đặt sn = k(k1)2 k k1 Tính tổng sn theo n cách thiết lập hệ thức đệ qui có điều kiện đầu tìm nghiệm hệ thức đệ qui TS NGUYỄN VIẾT ĐÔNG BÀI TẬP TOÁN RỜI RẠC January 18, 2014 21) Đề thi 2013 Cho x = x = Tìm nghiệm hệ thức đệ qui x n+1 – 3x n + 2x n-1 = n, với n ≥ 22)Đề thi2012 a) Tìm nghiệm tổng quát hệ thức đệ qui: xn – xn–1 – 2xn–2   0 b) Tìm nghiệm hệ thức đệ qui: xn – xn–1 – 2xn–2   (6n – 5)2n–1 thỏa điều kiện đầu x = 7, x = 23)Đề thi 2011 a) Tìm nghiệm tổng quát hệ thức đệ quy: an = an – – 9an – b)Tìm nghiệm thỏa điều kiện đầu: a0 = 2, a1 = 15 hệ thức đệ qui: an = an – – 9an – + n 3n + 24) a) Tìm nghiệm tổng quát hệ thức đệ qui sau an = 6an – – 9an – + (18n – ) 3n – b) Tìm số chuỗi nhị phân chiều dài n chứa chuỗi 00 25)a) Tìm nghiệm tổng quát hệ thức đệ qui: an = an-1 + 6an-2 b) Tìm nghiệm thỏa điều kiện đầu a0 = 8, a1 = hệ thức đệ qui: an = an-1 + 6an-2 + 10n(-2)n - 3(-2)n-1 26) Đề thi năm 2005 Một người gửi 100 triệu đồng vào quĩ đầu tư vào ngày đầu năm Ngày cuối năm người hưởng hai khoản tiền lãi Khoản thứ 20% tổng số tiền có tài khoản năm, khoản lãi thứ hai 45% tổng số tiền có tài khoản năm trước Gọi Pn số tiền có tài khoản vào cuối năm thứ n a)Tìm công thức truy hồi cho Pn b)Tìm biểu thức Pn theo n 27) Đề thi 2004 Một bãi giữ xe chia thành n lô cạnh theo hàng ngang để xếp xe đạp xe máy Mỗi xe đạp chiếm lô xe máy chiếm lô Gọi Ln số cách xếp cho đầy n lô a)Tìm công thức đệ qui thỏa Ln b)Tìm biểu thức Ln theo n 28) Tìm hệ thức đệ qui cho x n , x n số miền mặt phẳng bị phân chia n đường thẳng đường song song ba đường đồng qui Tìm x n 29) Đề thi 2013 Cho hàm Bool f theo biến x, y, z t có dạng f(x,y,z,t) = (xy  z t  x  ̅t)(x  y ) a) Vẽ biểu đồ S = Kar(f) xác định tế bào lớn S TS NGUYỄN VIẾT ĐÔNG BÀI TẬP TOÁN RỜI RẠC January 18, 2014 b) Tìm công thức đa thức tối tiểu f c) Tìm dạng nối rời tắc f 30) Đề thi 2013 Cho hàm Bool f theo biến x, y, z t có dạng f(x,y,z,t) = ( x  y)z t  z t  x t( y  y z)  x y z a) Vẽ biểu đồ S = Kar(f) xác định tế bào lớn S b) Tìm công thức đa thức tối tiểu f 31)(Đề thi 2012) Tìm tất công thức đa thức tối tiểu hàm Bool biến sau: f ( x, y, z, t)  xyz  y(xz  zt )  xy(zt  z) 32) (Đề 2011)Xét hàm Bool ( ̅ ̅  )( ̅  t)  z( xt  ̅ )̅  ̅ ̅ a)Hãy vẽ biểu đồ Karnauugh ̅ b)Viết dạng nối rời tắc ( dạng tuyển chuẩn tắc) ̅ 33) Cho hàm Bool biến f ( x, y, z, t )  x t ( z  y)  x z ( y  t )  y (t  z) a) Tìm tế bào lớn Kar( f ) b) Tìm tất công thức đa thức tối tiểu f 34)Hai đồ thị sau có đẳng cấu với không? v3 v1 u1 u2 v2 u5 u6 v6 u4 u3 v5 (G) (G’) 35) Cho đồ thị G = (V, E) , V = { v1 , v2, v3 , v4 , v5 , v6 , v7 ,v8 ,v9 ,v10 } có ma trận khoảng cách TS NGUYỄN VIẾT ĐÔNG BÀI TẬP TOÁN RỜI RẠC January 18, 2014    10       10                       10 10  4    D=      2                      8           Dùng thuật toán Dijkstra tìm đường ngắn từ v1 đến đỉnh v2 , v3 , v4 ,v5 , v6 ,v7 ,v8 ,v9 ,v10 36)Dùng thuật toán Dijkstra tìm đường ngắn từ đỉnh a đến đỉnh z chiều dài đồ thị vô hướng có trọng lượng sau: 37) Đề thi 2011 a) Dùng thuật toán Dijkstra để tìm đường ngắn từ đỉnh s đến đỉnh chiều dài đường đồ thị có hướng sau z x 10 s y t TS NGUYỄN VIẾT ĐÔNG BÀI TẬP TOÁN RỜI RẠC January 18, 2014 b) Giả sử cạnh yx có trọng – Chạy thuật toán Dijkstra bỏ qua điều kiện trọng không âm Ý nghĩa kết nhận gì? Giải thích sao? 38)Đề thi 2012 Cho đồ thị có trọng số sau: a b h c d 5 g f e Dùng thuật toán Dijkstra tìm: a) đường ngắn từ đỉnh a đến đỉnh e đồ thị; b) đường ngắn từ đỉnh a đến đỉnh d phải qua đỉnh e TS NGUYỄN VIẾT ĐÔNG BÀI TẬP TOÁN RỜI RẠC January 18, 2014 39)Đề thi 2013 Cho G đồ thị vô hướng liên thông có trọng số sau : a) G có chu trình Euler hay đường Euler không ? Tại ? b) Dùng thuật toán PRIM (lập danh sách có thứ tự đỉnh cạnh chọn) để vẽ khung nhỏ T G cho T chứa cạnh fd G Tính trọng số T c) Dùng thuật toán KRUSKAL (lập danh sách có thứ tự cạnh chọn) để vẽ khung nhỏ Z G cho Z không chứa cạnh be G Tính trọng số Z 40) Cho G đồ thị vô hướng có trọng số sau: a) Xác định ma trận khỏang cách biễu diễn G TS NGUYỄN VIẾT ĐÔNG BÀI TẬP TOÁN RỜI RẠC January 18, 2014 b) Dùng thuật toán Dijkstra ( thể bước biến đổi bảng theo thứ tự đỉnh 1, 2, 3, 4, 5, 6) để tìm đường ngắn từ đỉnh đến đỉnh khác G Các đường ngắn tạo thành bao trùm T( có gốc 1) G Vẽ T tính trọng số T 41) Có hàm Bool biến mà dạng nối rời tắc gồm từ tối tiểu? 42) Một đơn đồ thị vô hướng G gọi tự bù G  G Chứng minh G tự bù số đỉnh G 4k hay 4k+1 với k nguyên dương 43)a)Vẽ nhị phân có cách chèn khóa K ,K2 ,…,K 14 cho khóa nút lớn khóa nút thuộc bên trái bé khóa các nút thuộc bên phải.Thứ tự khóa sau: K < K5 < K2 < K11 < K9 < K3 < K6 < K < K10 < K8 < K < K14 < K12 < K 13 b)Tìm số phép so sánh trước chèn thêm khóa K cho K < K < K 44) Gọi T nhị phân đủ ( nút có hai nút con) với N nút có chiều cao h Chứng minh : h ⌈ ( )⌉ Chứng minh dấu “=” bất đẳng thức xảy giả thiết thêm T cân (các nút T nằm mức h – mức h) 45)a) Quan hệ R tập hợp 2 cặp có thứ tự số tự nhiên định nghĩa (a, b) R (c, d) a  c b  d có phải thứ tự toàn phần không? b) Tìm thứ tự toàn phần  cho tập không rỗng có phần tử bé 46)Xét thứ tự “” tập U ước dương 2310 a  b a ước b Tìm thứ tự toàn phần R U khác với thứ tự “” thông thường cho với hai phần tử a, b U, a b a R b 47)Dùng thuật toán Dijkstra tìm đường ngắn từ đỉnh A đến đỉnh lại 48) Dùng thuật toán Prim tìm khung ngắn đồ thị cho ma trận trọng số sau TS NGUYỄN VIẾT ĐÔNG BÀI TẬP TOÁN RỜI RẠC January 18, 2014 49)Dùng thuật toán Floyd tìm đường ngắn cặp đỉnh đồ thị cho ma trận trọng số sau                11   50)Cho G đơn đồ thị vô hướng có n đỉnh bậc đỉnh không nhỏ n/2 Chứng minh : a) G liên thông b) Nếu bỏ đỉnh tùy ý G đồ thị thu liên thông 51)CMR bỏ cạnh tùy ý đồ thị vô hướng G số thành phần liên thông tăng lên không 52) Cho G đồ thị có n đỉnh m cạnh Chứng minh G có không n – m thành phần liên thông 53) a) Viết biểu thức hệ thức sau theo kí pháp Ba Lan kí pháp Ba Lan đảo: (a + b)2 + c a + b2 + c (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab b) Viết biểu thức sau theo kí pháp quen thuộc : /+ a b – c d ; x y +  x y – – x y */ 54) Đề thi 2011 a)Vẽ nhị phân có thứ tự để biễu diễn biểu thức sau:(((x + x ) + x )+ x ), phép toán “lũy thừa” biễu diễn diễn ký hiệu “^” : ab = a ^ b b)Viết biểu thức theo ký pháp Ba Lan câu a) 10 TS NGUYỄN VIẾT ĐÔNG BÀI TẬP TOÁN RỜI RẠC January 18, 2014 55)Đề thi 2012 Cho biểu thức viết ký pháp Ba Lan đảo: 3x y z /  x y 2/ z^  a) Vẽ nhị phân biểu thức b) Viết biểu thức theo ký pháp thông thường 11 ... 11) Đề thi 2003 a) Có cặp tập hợp A, B tập hợp phần tử cho A  B =  b) Có cặp tập hợp A, B tập hợp phần tử cho: AB A+ B TS NGUYỄN VIẾT ĐÔNG BÀI TẬP TOÁN RỜI RẠC January 18, 2014 12)Đề... toán “lũy thừa” biễu diễn diễn ký hiệu “^” : ab = a ^ b b )Viết biểu thức theo ký pháp Ba Lan câu a) 10 TS NGUYỄN VIẾT ĐÔNG BÀI TẬP TOÁN RỜI RẠC January 18, 2014 55)Đề thi 2012 Cho biểu thức viết. .. b 47)Dùng thuật toán Dijkstra tìm đường ngắn từ đỉnh A đến đỉnh lại 48) Dùng thuật toán Prim tìm khung ngắn đồ thị cho ma trận trọng số sau TS NGUYỄN VIẾT ĐÔNG BÀI TẬP TOÁN RỜI RẠC January 18,