Bài giảng môn toán rời rạc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC THÀNH ĐÔNG    - BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC Giảng viên: Hà Thị Thảo PHẦN I: LÝ THUYẾT TỔ HỢP CHƢƠNG LÝ THUYẾT CƠ SỞ BÀI 1: LOGIC VÀ MỆNH ĐỀ Mở đầu: - Các quy tắc logic cho ý nghĩa xác mệnh đề Các quy tắc dùng đƣợc sử dụng để phân biệt lập luận toán học không - Các quy tắc logic đóng vai trò quan trọng suy luận toán học nhiều ứng dụng lĩnh vực tin học nhƣ: thiết kế mạng máy tính, xây dựng chƣơng trình máy tính, kiểm tra tính đắn chƣơng trình nhiều ứng dụng khác Mệnh đề:  Khái niệm: Một mệnh đề câu trần thuật sai, vừa vừa sai  Ví dụ: + Ví dụ 1: Xét câu sau: Hà nội thủ đô Việt Nam Việt Trì thành phố biển + = + = Các câu đúng, câu sai nhƣ câu mệnh đề + Ví dụ 2: Xét câu sau: Hôm thứ mấy? Vấn đề cần đƣợc xem xét cẩn thận x + = 2 x + y = z Các câu mệnh đề chúng câu trần thuật Còn câu mệnh đề chúng chẳng chẳng sai biến câu chƣa đƣợc gán cho giá trị cụ thể Từ câu loại tạo thành mệnh đề nhiều cách khác (xem phần sau chƣơng này)  Phân loại mệnh đề: - Mệnh đề đơn (sơ cấp): Là mệnh đề có câu - Mệnh đề phức hợp: Là mệnh đề đƣợc kết hợp từ nhiều mệnh đề  Quy ƣớc: - Các mệnh đề biến đƣợc ký hiệu chữ nhƣ: p,q,r,s, - Giá trị chân lý mệnh đề đƣợc ký hiệu T mệnh đề đúng, sai đƣợc ký hiệu F, mệnh đề sai - Một bảng chân lý trình bày mối quan hệ giá trị chân lý mệnh đề Bảng giá trị chân lý đặc biệt có ý nghĩa việc xác định giá trị chân lý mệnh đề đƣợc tạo từ mệnh đề đơn giản Các định nghĩa phép toán mệnh đề: Phép toán mệnh đề phương pháp tạo mệnh đề từ mệnh đề có – Geogre Boole “Các định luật tư duy” + Định nghĩa 1: Giả sử p mệnh đề Câu “không phải p” mệnh đề, đƣợc gọi phủ định p Phủ định p đƣợc ký hiệu ¬p (hoặc p) - Bảng chân lý: p ¬p T F F T - Ví dụ: Tìm phủ định mệnh đề: “Hôm chủ nhật” Phủ định mệnh đề là: “Hôm chủ nhật” Phủ định mệnh đề đƣợc xem nhƣ kết tác dụng toán tử phủ định lên mệnh đề Toán tử phủ định xây dựng mệnh từ mệnh đề đơn có + Định nghĩa 2: Giả sử p q hai mệnh đề Mệnh đề “p q” đƣợc ký hiệu p ^ q p q đúng, sai trƣờng hợp lại Mệnh đề p ^ q đƣợc gọi hội p q - Bảng chân lý: p Q p^q T T T T F F F T F F F F - Ví dụ: Giả sử p mệnh đề “Hôm chủ nhật” q mệnh đề “Hôm trời mƣa” Tìm hội mệnh đề p q Giải: Hội hai mệnh đề p ^ q mệnh đề “Hôm chủ nhật trời mƣa” Mệnh đề vào hôm chủ nhật trời mƣa sai vào ngày chủ nhật vào ngày chủ nhật nhƣng trời không mƣa + Định nghĩa 3: Giả sử p q hai mệnh đề Mệnh đề “p q”, đƣợc ký hiệu p ۷ q, mệnh sai p q sai, trƣờng hợp lại (có nghĩa q đúng, q đúng, p q đúng) Mệnh đề p ۷ q đƣợc gọi tuyển p q - Bảng chân lý: p Q pvq T T T T F F F T F T T F - Ví dụ 1: Giả sử p mệnh đề “Hôm chủ nhật” q mệnh đề “Hôm trời mƣa” Tìm tuyển mệnh đề p q Giải: Tuyển p q (p ۷ q) mệnh đề: “Hôm chủ nhật hôm trời mƣa” Mệnh đề vào ngày chủ nhật ngày trời mƣa (kể ngày chủ nhật có mƣa) Nó sai chủ nhật trời không mƣa - Ví dụ 2: Giả sử p mệnh đề “Các sinh viên học giải tích theo học lớp này.” q mệnh đề “Các sinh viên học đại số theo học lớp này.” Tìm tuyển mệnh đề p q Giải: Tuyển p q (p ۷ q) mệnh đề: “Các sinh viên học giải tích đại số theo học lớp này.” Mệnh đề hiểu: “Các sinh viên học giải tích đại số, nhƣng hai môn, theo học lớp này.” + Định nghĩa 4: Giả sử p q hai mệnh đề Mệnh đề tuyển loại trừ p q, ký hiệu p  q mệnh đề hai mệnh đề p q sai trƣờng hợp lại (mệnh đề p  q trƣờng hợp p q đúng) - Bảng chân lý: p  p Q T T F T F T F T T F F F q - Ví dụ: Giả sử p mệnh đề “Tôi mua máy tính để bàn.” q mệnh đề “Tôi mua máy tính sách tay.” Tìm tuyển loại trừ mệnh đề p q Giải: Mệnh đề tuyển loại trừ p q (p  q) mệnh đề: “Tôi mua máy tính để bàn sách tay.” Mệnh đề có nghĩa là: “Tôi mua máy tính để bàn sách tay nhƣng mua hai.” + Định nghĩa 5: Giả sử p q hai mệnh đề Mệnh đề kéo theo “p → q” mệnh đề sai p q sai, trƣờng hợp lại Trong phép kéo theo nói p đƣợc gọi giả thuyết q đƣợc gọi kết luận - Bảng chân lý: p q p→q T T F F T F T F T F T T - Ví dụ: Giả sử p mệnh đề “Hôm thứ ba.” q mệnh đề “Hôm học toán rời rạc.” Tìm mệnh đề p kéo theo q Giải: Mệnh đề kéo theo mệnh đề p q mệnh đề: “Nếu hôm thứ ba, học toán rời rạc.” Mệnh đề kéo theo rõ ràng sai hôm thứ ba mà không học toán rời rạc  Phép kéo theo xuất nhiều chỗ suy luận toán học, nên có nhiều thuật ngữ đƣợc dùng để diễn đạt p → q Dƣới số ví dụ: o “Nếu p q” o “p kéo theo q” o “p điều kiện đủ q” o “q điều kiện cần p” o Trong ngôn ngữ lập trình kéo theo đƣợc thể câu lệnh lập trình p S (if p then S) p mệnh đề S đọan chƣơng trình (gồm nhiều câu lệnh cần đƣợc thực hiện)  Có số phép kéo theo liên quan đƣợc tạo từ p → q: o q → p: đƣợc gọi mệnh đề đảo mệnh đề p → q o ¬q → ¬p: đƣợc gọi mệnh đề phản đảo mệnh đề p → q + Định nghĩa 6: Cho p q hai mệnh đề Mệnh đề tƣơng đƣơng “p ↔ q” mệnh đề p q có giá trị chân lý sai trƣờng hợp lại - Bảng chân lý: p Q p↔q T T T F T F F F T F F T - Chú ý: Mệnh đề tƣơng đƣơng p ↔ q hai mệnh đề kéo theo p → q q → p ( p  q  (p  q)  (q  p) ) Vì mệnh đề tƣơng đƣơng p ↔ q đƣợc phát biểu: “p q” hay “p cần đủ q” + Độ ƣu tiên toán tử logic: Ƣu tiên mức 1: () Ƣu tiên mức 2: ¬ Ƣu tiên mức 3: ^, ۷ Ƣu tiên mức 4: →, ↔ Các phép toán logic phép toán bit: Khái niệm: o Biểu diễn thông tin dƣới dạng nhị phân (bit): – lƣợng, – có lƣợng o Biểu diễn giá trị chân lý: 1- đúng, – sai o Biến Boole nhận giá trị sai Phép toán bit: Các phép toán bit máy tính tƣơng ứng với liên từ logic: ^, ۷,  tƣơng ứng AND, OR XOR Bảng chân lý phép toán bit: OR AN D XO R 0 0 0 1 1 1 1 Định nghĩa: Một xâu bit (hoặc xâu nhị phân) dãy không nhiều bit Chiều dài xâu số bit xâu Ví dụ: Tìm AND, OR, XOR hai xâu: 01101 10110 11000 11101 01101 10110 11000 11101 OR bit 11101 11111 AND bit 01000 10100 XOR bit 10101 01011 Sự tƣơng đƣơng mệnh đề: Tương đương mệnh đề có nghĩa mệnh đề khác có giá trị chân lý Trong lập luận thường thay mệnh đề phức hợp mệnh đề tương đương đơn giản Định nghĩa (Phân loại mệnh đề phức hợp theo giá trị chân lý): o Một mệnh đề phức hợp mà với giá trị chân lý mệnh đề thành phần đƣợc gọi o Một mệnh đề mà luôn sai đƣợc gọi mâu thuẫn o Một mệnh đề đúng, mâu thuẫn đƣợc gọi tiếp liên o Ví dụ: Cho mệnh đề p Xét bảng chân lý mệnh đề p ۷ ¬p p ^ ¬p Mệnh đề p ۷ ¬p cho giá trị với giá trị p đúng, mệnh đề p ^ ¬p cho giá trị sai với p mâu thuẫn P ¬p p ۷ ¬p p ^ ¬p T F T F F T T F Định nghĩa (Tƣơng đƣơng logic): Các mệnh đề p q đƣợc gọi tƣơng đƣơng logic p ↔ q Ký hiệu p  q để p q tƣơng đƣơng logic (Để xác định hai mệnh đề có tương đương hay không ta dùng bảng chân lý.)  Ví dụ 1: Chứng minh ¬(p ۷ q) ¬p ^ ¬q tƣơng đƣơng logic p q ¬p ¬q p۷q ¬(p ۷ q) ¬p ^ ¬q T T F F T F F T F F T T F F F T T F T F F F F T T F T T Bảng chân lý ¬(p ۷ q) ¬p ^ ¬q  Ví du 2: Chứng mimh p → q ¬p ۷ q tƣơng đƣơng logic p q ¬p p→q ¬p ۷ q T T F T T T F F F F F T T T T F F T T T Bảng chân lý p → q ¬p ۷ q  Ví du 3: Chứng mimh p  q ¬(p ↔ q) tƣơng đƣơng logic p q p→q p←q p↔q ¬(p ↔ q) T T T T T F F T F F T F T T F T T F F T T F T T T T F F Bảng chân lý p  p  q q ¬(p ↔ q) Bảng tƣơng đƣơng logic: TƢƠNG ĐƢƠNG p ^ T p p ۷ F p p ۷ T T p ^ F F TÊN GỌI Luật đồng Luật nuốt p ۷ p p p ^ p p Luật lũy đẳng ¬p(¬p) p Luật phủ định kép p ۷ q q ۷ p p ^ q q ^ p p ۷ q ۷ r (p ۷ q) ۷ r p ۷ (q ۷ r) p ^ q ^ r (p ^ q) ^ r p ^ (q ^ r) p ۷ (q ^ r) (p ۷ q) ^ (p ۷ r) p ^ (q ۷ r) (p ^ q) ۷ (p ^ r) ¬(p ^ q) ¬p ۷ ¬q ¬(p ۷ q) ¬p ^ ¬q Luật giao hoán Luật kết hợp Luật phân phối Luật De Morgan p ۷ ¬p T p ^ ¬q F (p → q) (¬p ۷ q) 10 Luật DeMorgan mở rộng a Giới thiệu toán: Một ngƣời xuất phát từ thành phố muốn tới thăm n1 thành phố khác, thành phố lần, quay thành phố ban đầu Hỏi nên theo trình tự để độ dài tổng cộng đoạn đƣờng qua ngắn (khoảng cách hai thành phố hiểu cự ly thông thƣờng thời gian cần chi phí hành trình, xem nhƣ cho trƣớc) Xét đồ thị đầy đủ G=(V,E), với V={1, 2, , n}, có trọng số với trọng số mij= m(i,j) khác mji = m(j,i) Nhƣ vậy, ta xem G nhƣ đồ thị có hƣớng đầy đủ “mạnh” theo nghĩa với i, j=1, 2, , n, ij, có (i,j), (j,i)E Bài toán trở thành tìm chu trình Hamilton có độ dài ngắn G Bài toán tiếng có lời giải cách sử dụng phƣơng pháp “nhánh cận” b Phƣơng pháp nhánh cận: Giả sử tập hữu hạn phƣơng án toán, ta phải chọn đƣợc phƣơng án tối ƣu theo tiêu chuẩn (thí dụ làm cho hàm mục tiêu đạt giá trị nhỏ nhất) Ta tìm cách phân chia tập phƣơng án xét thành hai tập không giao Với tập này, ta tính “cận dƣới” (chặn dƣới đủ tốt) giá trị hàm mục tiêu ứng với phƣơng án Mang so sánh hai cận dƣới vừa tính đƣợc, ta phán đoán xem tập có nhiều triển vọng chứa phƣơng án tối ƣu tiếp tục phân chia tập thành hai tập khác không giao nhau, lại tính cận dƣới tƣơng ứng Lặp lại trình sau số hữu hạn bƣớc, cuối đƣợc phƣơng án tốt, nói chung tối ƣu Nếu không lặp lại trình phân chia để kiểm tra sau vài bƣớc, ta đƣợc phƣơng án tối ƣu 150 Ngƣời ta thƣờng mô tả trình phân chia “cây có gốc” mà gốc tƣợng trƣng cho tập toàn phƣơng án, đỉnh phía dƣới lần lƣợt tƣợng trƣng cho tập trình “phân nhánh nhị phân” Vì vậy, phƣơng pháp mang tên nhánh cận c Cơ sở lý luận phép toán: Nếu không xác định thành phố xuất phát có n! hành trình, hành trình ứng với hoán vị tập {1, 2, , n} Còn cho trƣớc thành phố xuất phát có tất (n1)! hành trình Giả sử h=((1), (2), , (n), (1)) ( hoán vị) hành trình qua thành phố (1), , (n) theo thứ tự quay (1) hàm mục tiêu f(h) = m (1) (2)    m (n1) (n)  m (n) (1)   mij , (i , j )h biểu thị tổng độ dài theo hành trình h, (i,j) ký hiệu chặng đƣờng hành trình, tức cặp thành phố kề theo hành trình h d Ma trận rút gọn: Quá trình tính toán đƣợc thực ma trận suy từ ma trận trọng số M=(mij) ban đầu phép biến đổi rút gọn để số liệu đƣợc đơn giản Phép trừ phần tử nhỏ dòng (t.ƣ cột) vào tất phần tử dòng (t.ƣ cột) đƣợc gọi phép rút gọn dòng (t.ƣ cột) Phần tử nhỏ đƣợc gọi số rút gọn dòng (t.ƣ cột) xét Ma trận với phần tử không âm có phần tử dòng cột đƣợc gọi ma trận rút gọn ma trận ban đầu Ví dụ 4: Article XII 151 M= 4 5      Article VII  10   Article VIII 1     42 5  4 0   IX.Article Article XI X.1 tất nhiên rút gọn cách Article khác M=  Article I      Article II  10   Article III M’’0 = Article Article VI.Article V IV 0 M’ =  0 2   3  , 3    0    2   5    e Mệnh đề: Phƣơng án tối ƣu xét ma trận trọng số ban đầu phƣơng án tối ƣu toán xét ma trận rút gọn đảo lại Chứng minh: Có thể xem việc tìm chu trình Hamilton ngƣời du lịch nhƣ toán vận tải đặc biệt dƣới dạng bảng Nhƣ bảng (ma trận trọng số ma trận rút gọn) ta phải có n ô chọn, ô chọn tƣợng trƣng cho cặp thành phố hành trình cần tìm, dòng cột có ô chọn Mỗi hành trình h tƣơng ứng mộtmột với tập n ô chọn xác định f(h) tổng trọng số ban đầu ghi n ô chọn xét Với hành trình h bất kỳ, ký hiệu f(h)=  m'ij giá trị (i , j )h hàm mục tiêu ứng với ma trận rút gọn M’ s tổng số rút gọn ta có: f(h) = f(h)+s Gọi X tập toàn phƣơng án xét giai đoạn đó, h0 phƣơng án tối ƣu toán xét ma trận trọng số ban đầu M, ta có: f(h0)  f(h), hX hay f(h0)s  f(h)s, hX hay f(h0)  f(h), hX hay h0 phƣơng án tối ƣu toán xét ma trận rút gọn M’ 152 f Phân nhánh: Sự phân hoạch tập hợp tất hành trình giai đoạn thành hai tập rời đƣợc biểu diễn phân nhánh Trên cây, đỉnh đƣợc biểu diễn thành vòng tròn tƣợng trƣng cho môt tập hành trình Đỉnh X tập toàn hành trình Đỉnh (i,j) biểu diễn tập hành trình có chứa cặp (i,j) kề Đỉnh (i, j ) biểu diễn tập hành trình không chứa cặp (i,j) kề Tại đỉnh (i,j) lại có phân nhánh: đỉnh (k,l) biểu diễn tập hành trình có chứa cặp (i,j) cặp (k,l), đỉnh (k , l ) biểu diễn tập hành trình có chứa cặp (i,j) nhƣng không chứa cặp (k,l) Nếu trình diễn đủ lớn cuối có đỉnh biểu diễn hành trình Vấn đề đặt nên chọn cặp thành phố để tiến hành phân nhánh xuất phát từ đỉnh cho trƣớc cây? Một cách tự nhiên ta nên chọn cặp thành phố gần để phân nhánh trƣớc, ma trận rút gọn cặp thành phố (i,j) nhƣ có m'ij =0 hành trình chứa cặp (i,j) có triển vọng tốt Trên ma trận rút gọn thƣờng có nhiều cặp thành phố thoả mãn điều kiện ( m'ij =0) Để định ta phải tìm cách so sánh Vì thành phố i thiết phải nối liền với thành phố nên hành trình h không chứa (i,j) tức h (i, j ) phải ứng với độ dài hành trình có chứa phần tử nhỏ dòng i không kể m'ij =0 phần tử nhỏ cột j không kể m'ij =0 thành phố j thiết phải nối liền với thành phố trƣớc hành trình Ký hiệu tổng hai phần tử nhỏ ij ta có f(h)  ij, h (i, j ) 153 Vì lý trên, số ij dùng làm tiêu chuẩn so sánh cặp thành phố (i,j) có m'ij =0 Một cách tổng quát, giai đoạn ta chọn cặp thành phố (i,j) có m'ij =0 ma trận rút gọn có ij lớn để tiến hành phân nhánh từ đỉnh g Tính cận: Với đỉnh phân nhánh, ta phải tính cận dƣới giá trị hàm mục tiêu ứng với tập phƣơng án mà đỉnh biểu diễn Cận dƣới tính đƣợc ghi bên dƣới đỉnh xét Theo công thức f(h)=f(h)+s f(h)  nên f(h)  s, hX Vì tổng số rút gọn ma trận ban đầu lấy làm cận dƣới đỉnh X Mặt khác, ta lại có f(h)  ij, h (i, j ) , f(h)=f(h)+s  ij+s, h (i, j ) Vì tổng ij+s lấy làm cận dƣới cho đỉnh (i, j ) Sau chọn (i,j) để phân nhánh xuất phát từ đỉnh X bảng xoá dòng i cột j ô chọn (i,j) Sau bỏ dòng i cột j ma trận M’ lại rút gọn thành ma trận M’’ với s’ tổng số rút gọn, f(h) giá trị hàm mục tiêu xét M’’ Khi ta có f(h)=f(h)+s’, h(i,j), f(h)=f(h)+s=f(h)+s+s’, h(i,j) Do f(h)  nên f(h)  s+s’, h(i,j), nghĩa tổng s+s’ lấy làm cận dƣới cho đỉnh (i,j) phân nhánh Nếu tiếp tục phân nhánh cận dƣới đỉnh tiếp sau đƣợc tính toán tƣơng tự, trình lặp Ta cần xem đỉnh xuất phát nhánh giống nhƣ đỉnh X ban đầu Để tiết kiệm khối lƣợng tính toán, ngƣời ta thƣờng chọn đỉnh có cận dƣới nhỏ để phân nhánh tiếp tục h Thủ tục ngăn chặn hành trình con: 154 Một đƣờng chu trình Hamilton chứa chu trình với số cạnh tạo thành nhỏ n Vì ta đặt mii= (i=1, , n) để tránh khuyên Với ij (i,j) ô chọn phải đặt m’ji= ma trận rút gọn Nếu chọn (i,j) (j,k) n>3 phải đặt m’ji=m’kj=m’ki= Chú ý việc đặt m’ij= tƣơng đƣơng với việc xoá ô (i,j) bảng xem (i,j) ô cấm, nghĩa hai thành phố i j không đƣợc kề hành trình định kiến thiết Ở giai đoạn trình phải tiến hành thủ tục ngăn chặn trƣớc tiếp tục rút gọn ma trận i Tính chất tối ƣu: Quá trình phân nhánh, tính cận, ngăn chặn hành trình con, rút gọn ma trận phải thực có đủ n ô chọn để kiến thiết hành trình Hamilton, nói cách khác phân nhánh xuất đỉnh biểu diễn hành trình xoá hết đƣợc dòng cột bảng Cận dƣới đỉnh cuối độ dài hành trình vừa kiến thiết a) Nếu cận dƣới đỉnh không lớn cận dƣới đỉnh treo phân nhánh hành trình tối ƣu b) Nếu trái lại phải xuất phát từ đỉnh treo có cận dƣới nhỏ để phân nhánh tiếp tục kiểm tra xem điều kiện a) có thoả mãn không Ví dụ 5: Xét toán với thành phố, số liệu cho theo bảng 16 sau: 155 M=   7  20   21 12   23  27 43 16 30 26    14 30 25 1 13  35 0  16 25  18 18 16 46 27 48  5 5  5 0 156 0 Tổng số rút gọn bƣớc đầu s=48 Trong ma trận rút gọn ta có: m’14=m’24=m’36=m’41=m’42=m’56=m’62=m’63=m’65=0 14=10, 24=1, 36=5, 41=1, 42=0, 56=2, 62=0, 63=9, 65=2 Sau so sánh ta thấy 14=10 lớn nên ta chọn ô (1,4) để phân nhánh Cận dƣới đỉnh (1,4) s+14=58 Xoá dòng cột đặt m’41= 1 M’ 1  15   2 13  =3   1 15  0 2  13  27 14 10   13 29 24   35    2 41 22 43   0   11  13  13 29 24   13   2  M’’  41 22   0   =4 0  15   2 13   12 28 23   13   2   41 22   0   Tổng số rút gọn s’=1 Vậy cận dƣới đỉnh (1,4) s+s’=49 Vì 49