Bài giảng slide Toán rởi rạc Phần 2. Bài toán đếm tổ hợp

Phần thứ LÝ THUYẾT TỔ HỢP Combinatorial Theory Hà Nội 2014 Toán rời rạc Nội dung Chương Mở đầu Chương Bài toán đếm Chương Bài toán tồn Chương Bài toán liệt kê Chương Bài toán tối ưu Toán rời rạc Chương BÀI TOÁN ĐẾM Nguyên lý cộng nguyên lý nhân Các cấu hình tổ hợp Nguyên lý bù trừ Công thức đệ qui Hàm sinh Toán rời rạc Nguyên lý cộng Nguyên lý nhân  Đây hai nguyên lý tổ hợp, vận dụng rộng rãi vào việc giải toán đếm  Còn gọi Qui tắc cộng Qui tắc nhân (Sum Rule Product Rule) Toán rời rạc 1.1 Nguyên lý cộng (The sum rule)  NÕu A vµ B hai tập hợp rời N(A B) = N(A) + N(B)  Nguyªn lý céng më réng cho nhiÒu tËp rêi nhau: NÕu A1, A2, , Ak phân hoạch tập hợp X th× N(X) = N(A1) + N(A2) + + N(Ak) Một trng hợp riêng hay dùng nguyên lý cộng: Nếu A tính chất cho tËp X th× N(A) = N(X) - N(Ac) Tốn rời rạc Nguyên lý cộng: Ví dụ  Ví dụ Trong đợt phổ biến đề tài tốt nghiệp, Ban chủ nhiệm Khoa công bố danh sách đề tài bao gồm 80 đề tài chủ đề "xây dựng hệ thông tin quản lý", 10 đề tài chủ đề "thiết kế phần mềm dạy học" 10 đề tài chủ đề "Hệ chuyên gia" Hỏi sinh viên có khả lựa chọn đề tài?  Giải: Sinh viên lựa chọn đề tài theo chủ đề thứ 80 cách, theo chủ đề thứ hai 10 cách, theo chủ đề thứ ba 10 cách Vậy tất có 100 cách lựa chọn Toán rời rạc Nguyên lý cộng: Vớ d Ví dụ Hỏi giá trị k sau đoạn chnng trình PASCAL sau đc thực hiện? n1:=10; n2:=20; n3:=30; k:=0; for i1:= to n1 k:=k+1; for i2:= to n2 k:=k+1; for i3:= to n3 k:=k+1; Giải: Đầu tiên giá trị k c gán Có vòng lặp for độc lập Sau lần lặp vòng for, giá trị k tăng lên Vòng for thứ lặp 10 lần, vòng for thứ hai lặp 20 lần, vòng for thứ ba lặp 30 lần Vậy, kết thúc vòng lặp for giá trị k sÏ lµ 10+20+30= 60 Tốn rời rạc Ngun lý cộng: Ví dụ   Ví dụ 4: Có xâu gồm chữ số thập phân có ký tự 9? Giải: Xâu chứa: • Ký tự khác vị trí thứ • ký tự khác vị trí thứ hai • ký tự khác vị trí thứ ba • ký tự khác vị trí thứ tư • Ta sử dụng qui tắc cộng • Đối với trường hợp, có khả chọn ký tự khác với (bất kể chữ số khác chữ số 0, 1, ,8) • Vậy, đáp số 9+9+9+9 = 36 Toán rời rạc 1.2 Nguyên lý nhân The product rule Nếu thành phần có thứ tự k thành phần (a1, a2, , ak) có ni khả chọn (i = 1, 2, , k), số đc tạo tích số khả n1n2 nk Một hệ trực tiếp nguyên lý nhân: N(A1 A2   Ak) = N(A1) N(A2) N(Ak), với A1, A2, , Ak tập hợp ®ã, nãi riªng: N(Ak) = [N(A)]k Tốn rời rạc 1.2 Nguyên lý nhân The product rule   Trong nhiều toán đếm, sau xây dựng xong thành phần thứ ta biết cách xây dựng thành phần thứ hai, sau xây dựng xong hai thành phần đầu ta biết cách xây dựng thành phần thứ ba, Trong trng hợp sử dụng nguyên lý nhân tổng quát: Giả sử ta xây dựng có thứ tự k thành phần (a1, a2, , ak) theo thành phần • • •  a1 cã thÓ chän bëi n1 cách; Sau a1 chọn, a2 chọn n2 cách; Sau a1, a2, ,ak-1 chọn, ak chọn nk cách; Thế số đc tạo tích số n1n2 nk Tốn rời rạc 10 Cơng thức đệ qui Tập cách phân hoạch phân hoạch thành tập: A = Tập cách phân hoạch X thành n tập có tập {xm}; B = Tập cách phân hoạch X thành n tập khơng có tập {xm} (tức xm khơng đứng riêng mình!)  Ta có: |A| = S2(m–1,n–1) |B| = n∙S2(m–1,n), có S2(m–1,n) cách phân hoạch X \{xm} thành n tập có n cách xếp xm vào số tập  Từ S2(m,n)= |A| + |B| = S2(m–1,n–1) + n∙S2(m–1,n) Định lý chứng minh  145 Cơng thức tính số Stirling  Từ cơng thức đệ qui chứng minh qui nạp tốn học công thức sau đây: n S (m, n)   (1) n  k Cnk k m n ! k 0  Nói chung để tính S2(m,n) người ta thường dùng công thức đệ qui, không sử dụng cơng thức Điều giải thích tương tự để tính hệ số tổ hợp người ta thường dùng tam giác Pascal 146 Liên hệ số lượng toàn ánh số Stirling  Ta xét mối liên hệ số Stirling loại với số lượng toàn ánh từ tập m phần tử A vào tập n phần tử B (ký hiệu S'(m,n))  Giả sử cho f toàn ánh từ A vào B Đặt Ai = {aA| f(a) = bi}, i = 1, 2, , n, Rõ ràng tập A1, A2, , An tạo thành phân hoạch tập A  Ngược lại, cho phân hoạch tập A thành n tập A1, A2, , An (1), (2), ,(n) hoán vị 1, 2, , n, ta xây dựng tồn ánh f từ A vào B theo qui tắc f(a) = b(i) , aA(i) , i = 1,2, , n,  Như phân hoạch cho ta n! tồn ánh Vì thế, số lượng toàn ánh từ tập m phần tử vào tập n phần tử n! nhân với số cách phân hoạch tập m phần tử thành n tập con, nghĩa n!S2(m,n) 147 Liên hệ số lượng toàn ánh số Stirling  Như ta có đẳng thức cho mối liên hệ số toàn ánh từ tập m phần tử vào tập n phần tử S'(m,n) số Stirling loại sau đây: S'(m,n) = n! S2(m,n)  Do từ công thức chứng minh mục trước n S '(m, n)   (1) k Cnk (n  k ) m k 0 Suy n S (m, n)   (1) k Cnk (n  k ) m n ! k 0 148 Bảng giá trị số Stirling loại S2 (n,k) n 10 0 0 0 0 0 10 1 1 1 1 15 25 10 1 31 90 65 15 1 63 301 350 140 21 1 127 966 1701 1050 266 28 1 255 3025 7770 6951 2646 462 36 1 511 9330 34105 42525 22827 5880 750 45 149 Số Bell     Định nghĩa Số Bell (Bell numbers) số cách phân hoạch tập n phần tử thành tập khác rỗng Các phần tử dãy số 1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, 678570, Ví dụ: Tập {1, 2, 3} có cách phân hoạch sau đây: {{1}, {2}, {3}} , {{1, 2}, {3}}, {{1, 3}, {2}} , {{1}, {2, 3}}, {{1, 2, 3}} Số Bell thứ n tính cơng thức n  S (n, k ) k 1 S2(n,k) số Stirling loại Eric Temple Bell Born: 1883, Scotland Died: 1960, USA 150 Số Bell  Tập {1, 2, 3} có cách phân hoạch:  Tập {1, 2, 3, 4, 5} có 52 cách phân hoạch: 151 Số Catalan  Định nghĩa Số Catalan thứ n, ký hiệu Cn , số cách đặt dấu ngoặc để tổ chức thực việc tính tích n+1 thừa số: P0 n = x0 x1 x2 xn  Ví dụ: Có cách để tính P0 : x0*x1*x2 = (x0*(x1*x2)) = ((x0*x1)*x2) Có cách để tính P0 3: 1*2*3*4 = (1*(2*(3*4))) = (1*((2*3)*4)) = ((1*2)*(3*4)) = ((1*(2*3))* 4) = (((1*2)*3)*4) Có 14 cách để tính P0 : 1*2*3*4*5 = (1 (2 (3 (4 5)))) = (1 (2 ((3 4) 5))) = (1 ((2 3) (4 5))) = (1 ((2 (3 4)) 5)) = (1 (((2 3) 4) 5)) = ((1 2) (3 (4 5))) = ((1 2) ((3 4) 5)) = ((1 (2 3)) (4 5)) = ((1 (2 (3 4))) 5) = ((1 ((2 3) 4)) 5) = (((1 2) 3) (4 5)) = (((1 2) (3 4)) 5) = (((1 (2 3)) 4) 5) = ((((1 2) 3) 4) 5)    152 Số Catalan       Ta xây dựng cơng thức đệ qui để tính Cn Rõ ràng C0 = C1 = Giả sử n > Sau đặt dấu ngoặc phân tách đầu tiên, tích x0 x1 x2 xn chia làm hai tích Ví dụ: P0 = P0 P3 = (x0 x1 x2) (x3 x4) Giả sử dấu ngoặc phân tách đặt sau thừa số xk: P0 n = P0 k Pk+1 n = (x0 x1 x2 xk) (xk+1 xk+2 xn) Khi ta có Ck cách tính P0 k , Cn-k-1 cách tính Pk+1 n , việc tính P0 n thực Ck Cn-k-1 cách 153 Số Catalan   Do dấu ngoặc phân tách đặt vào sau thừa số thừa số x0, x1, , xn-1, suy tổng số cách tính P0 n là: Cn = C0 Cn-1 + C1Cn-2+ +Cn-1C0 Như ta thu công thức đệ qui: n 1 Cn   Ck Cnk 1 , n  1, k 0 C0  1, C1   Sử dụng cơng thức chứng minh cơng thức sau: n 1  2n  (2n)! Cn   Ck Cn  k 1  , n    n   n  n !(n  1)! k 0 154 Số Catalan  Một số phần tử dãy số Catalan: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, …  Số Catalan lời giải nhiều toán tổ hợp E C Catalan Ta kể số toán  1814 -1894 Belgium 155 Tam giác phân đa giác  Cn số cách chia đa giác n+2 đỉnh thành tam giác nhờ vẽ đường chéo không cắt đa giác: C2 = C3 = C4 = 14 C5 = 42 156 Đường lưới ô vuông  Cn số lượng đường đơn điệu (tức đường xuất phát từ vị trí góc dưới-phải kết thúc góc trên-trái sang trái lên trên) độ dài 2n lưới ô vng kích thước nn khơng vượt lên đường chéo C2 = C3 = C4 = 14 C5 = 42 157 Cây nhị phân đầy đủ Cn số lượng nhị phân đầy đủ không đẳng cấu có n đỉnh Cây nhị phân có gốc gọi đầy đủ đỉnh khơng có có hai Đỉnh (internal vertice) đỉnh có n=1 n=2 n=3 n=4 158 Cây nhị phân đầy đủ với n   Cn số nhị phân đầy đủ với n + Có C3 = nhị phân đầy đủ với lá: n 159 ... Chương Mở đầu Chương Bài toán đếm Chương Bài toán tồn Chương Bài toán liệt kê Chương Bài toán tối ưu Toán rời rạc Chương BÀI TOÁN ĐẾM Nguyên lý cộng nguyên lý nhân Các cấu hình tổ hợp Nguyên lý bù... tổ hợp Nguyên lý bù trừ Công thức đệ qui Hàm sinh Tốn rời rạc 24 Các cấu hình tổ hợp  Các cấu hình tổ hợp là: • Chỉnh hợp lặp, • Chỉnh hợp khơng lặp, • Hốn vị, • Tổ hợp  Phép đếm cấu hình tổ. .. hình tổ hợp sử dụng để giải toán đếm phức tạp  Giả sử X tập n phần tử, mà không giảm tổng quát ta coi X tập gồm số 1, 2, , n Toán rời rạc 25 Chỉnh hợp lặp  Định nghĩa Ta gọi chỉnh hợp lặp chập