Bài giảng Slide Toán rời rạc Phần 3. Bài toán tồn tại tổ hợp.

Phần thứ LÝ THUYẾT TỔ HỢP Combinatorial Theory Hà Nội 2014 Fall 2006 Toán rời rạc Nội dung Chương Mở đầu Chương Bài toán đếm Chương Bài toán tồn Chương Bài toán liệt kê tổ hợp Chương Bài toán tối ưu tổ hợp Fall 2006 Toán rời rạc Chương BÀI TOÁN TỒN TẠI Fall 2006 Giới thiệu toán Các kỹ thuật chứng minh Nguyên lý Dirichlet Định lý Ramsey Toán rời rạc Giới thiệu toán    Trong chương trc, ta tập trung ý vào việc đếm số cấu hình tổ hợp Trong toán tồn cấu hình hiển nhiên công việc đếm số phần tử thoả mãn tính chất đặt Tuy nhiên, nhiều toán tổ hợp, việc tồn cấu hình thoả mãn tính chất cho trc khó khăn Trong tổ hợp xt hiƯn mét vÊn ®Ị thø hai rÊt quan träng là: xét tồn cấu hình tổ hợp với tính chất cho trớc - toán tồn tổ hợp Fall 2006 Toỏn ri rc Chương BÀI TOÁN TỒN TẠI Fall 2006 Giới thiệu toán Các kỹ thuật chứng minh Nguyên lý Dirichlet Định lý Ramsey Toán rời rạc Các kỹ thuật chứng minh 2.0 Mở đầu 2.1 Chứng minh trực tiếp (Direct Proof) 2.2 Chứng minh phản chứng (Proof by Contradiction) 2.3 Chứng minh phản đề (Proof by Contrapositive) 2.4 Chứng minh qui nạp toán học (Proof by Mathematical Induction) Fall 2006 Toán rời rạc 2.0 Mở đầu  Cấu trúc chứng minh đơn giản: Nó dãy mệnh đề, số chúng • giả thiết, • kết luận suy trực tiếp từ giả thiết suy từ kết chứng minh trước  Một chứng minh trình bày tốt dễ theo dõi: Mỗi bước chứng minh rõ ràng giải thích rõ ràng, người đọc dẫn dắt đến kết luận mà không gặp vướng mắc tình tiết khơng rõ ràng gây Fall 2006 Toán rời rạc 2.1 Chứng minh trực tiếp (Direct proofs)      Chúng ta bắt đầu ví dụ chứng minh tính bắc cầu tính chất chia hết Định lý Nếu a chia hết b b chia hết c a chia hết c Proof Theo giả thiết, định nghĩa tính chia hết, ta suy tồn số nguyên k1 k2 cho b = a k1 c = b k2 Suy c = b k2 = a k k2 Đặt k = k1 k2 Ta có k số nguyên c = a k, theo định nghĩa tính chia hết, a chia hết c Fall 2006 Tốn rời rạc 2.1 Chứng minh trực tiếp (Direct proofs)      Phần lớn định lý (các tập hay kiểm tra) mà bạn cần chứng minh ẩn có dạng “Nếu P, Thì Q" Trong ví dụ vừa nêu, "P" “Nếu a chia hết b b chia hết c " "Q" "a chia hết c" Đây dạng phát biểu chuẩn nhiều định lý Chứng minh trực tiếp hình dung dãy suy diễn “P” kết thúc "Q" P   Q Phần lớn chứng minh chứng minh trực tiếp Khi phải chứng minh, bạn nên thử chứng minh trực tiếp, ngoại trừ tình bạn có lý xác đáng để khơng làm Fall 2006 Tốn rời rạc Ví dụ      Ví dụ Mỗi số nguyên lẻ hiệu hai số phương CM Giả sử 2a+1 số ngun lẻ, 2a+1 = (a+1)2 - a2 Ví dụ Số 100 01 (với 3n-1 số không, n số nguyên dương) hợp số CM Ta viết 100 01 = 103n + 1, n số nguyên dương Sử dụng đẳng thức a3 + b3 = (a+b)(a2 - a b + b2) với a = 10n b = 1, ta thu (10n)3 + = (10n + 1)(102n - 10n + 1) Do (10n + 1) > (102n - 10n + 1) > n ngun dương nên ta có đpcm Fall 2006 Tốn rời rạc 10 Phân tích ví dụ    Như thấy giá trị n nhỏ để khẳng định ví dụ Chúng ta đặt câu hỏi tơng tự nh: Hỏi phải có ngời để chắn tìm c ngời đôi quen ngời đôi không quen nhau? Hỏi phải có ngời để chắn tìm c ngi đôi quen ngời đôi không quen nhau? Con số nhỏ nhắc đến câu hỏi đợc gọi số Ramsey, mang tên nhà toán học ngi Anh chứng minh đợc định lý tiếng lý thuyết tập hợp tổng quát hoá nguyªn lý Dirichlet Fall 2006 Tốn rời rạc 77 Các s Ramsey Để phát biểu kết tổng quát cần đến số khái niệm Định nghĩa Gọi Kn gồm hai tập V, E, V tập gồm n điểm E tập đoạn nối tất cặp điểm V • Fall 2006 Ta sÏ ký hiÖu Kn = (V, E) Các phần tử V c gọi đỉnh, V tập đỉnh Kn Mỗi đoạn nèi hai ®Ønh u, v  V sÏ gäi cạnh Kn ký hiệu (u, v), tập E c gọi tập cạnh Kn Toán rời rạc 78 Các số Ramsey  Ta phát biểu lại kết ví dụ mở đầu nh sau: Giả sử cạnh K6 đợc tô hai màu xanh đỏ Khi K6 chứa K3 với tất cạnh c tô màu xanh (gọi tắt K3 xanh) K3 với tất cạnh c tô màu đỏ (gọi tắt K3 đỏ) Chúng ta sÏ nãi r»ng sè cã tÝnh chÊt (3,3)-Ramsey  Định nghĩa Giả sử i j hai sè nguyªn cho i  2, j  Số nguyên dơng m có tính chất (i,j)-Ramsey Km với cạnh đợc tô hai màu xanh, đỏ chứa Ki đỏ Kj xanh Fall 2006 Toán rời rạc 79 Các số Ramsey Từ phân tích ta thấy có tính chất (3,3)-Ramsey, số n m có tính chất này; Nếu m tính chất (i,j)-Ramsey, số n < m tính chất này; NÕu i1  i2 th× R(i1,j)  R(i2,j) Fall 2006 Tốn rời rạc 82 Các số Ramsey   ViƯc xác định số Ramsey R(i,j) đòi hỏi phải tìm số nguyên dơng nhỏ có tính chất (i,j)-Ramsey Liệu số có tồn với i 2, j hay không? Định lý Ramsey cho ta khẳng định tồn số Định lý Ramsey Nếu i 2, j số nguyên dơng tìm c số nguyên dơng với tính chất (i,j)Ramsey (từ suy số R(i,j) tồn tại) Fall 2006 Toỏn ri rạc 83 Các số Ramsey   Các số R(i,j) vừa trình bày số nhiều dòng số Ramsey nghiên cứu Việc xác định R(i,j) với giá trị i, j cụ thể ln tốn tổ hợp khơng tầm thường Hiện người ta biết giá trị R(i, j) với giá trị (i,j) Fall 2006 Tốn rời rạc 84 Bài tập Có 17 nhà bác học đôi viết thư trao đổi với chủ đề, cặp trao đổi với chủ đề CMR ln tìm nhà bác học đôi viết thư trao đổi chủ đề Chứng minh rằng: R(3,4)=R(4,3)=9 Fall 2006 Toán rời rạc 85 Ask questions! Fall 2006 Tốn rời rạc 86 Ví dụ Trước hết ta cần số khái niệm  Cho a1,a2, … an dãy số thực  n gọi độ dài dãy số cho  Ta gọi dãy dãy cho dãy có dạng , ai2, …, aim, 1  i1 < i2 < < im  n  Dãy số gọi tăng ngặt số hạng đứng sau lớn số hạng đứng trước  Dãy số gọi giảm ngặt số hạng đứng sau nhỏ số hạng đứng trước • Ví dụ: Cho dãy số 1, 5, 6, 2, 3, • 5, 6, dãy tăng ngặt dãy cho • 6, dãy giảm ngặt dãy cho Fall 2006 Tốn rời rạc 87 Ví dụ  Định lý: Mỗi dãy gồm n2+1 số phân biệt (nghĩa phần tử khác đôi) chứa dãy tăng ngặt độ dài n+1 dãy giảm ngặt độ dài n+1  Ví dụ: Dãy 8, 11, 9, 1, 4, 6, 12, 10, 5, gồm 10 = 32+1 số hạng phải chứa dãy tăng ngặt độ dài phần tử dãy giảm ngặt độ dài phần tử 1, 4, 6, 12 1, 4, 6, 11, 9, 6, Fall 2006 Tốn rời rạc 88 Ví dụ  Chứng minh: Giả sử a1, a2, …, an2+1 dãy gồm n2+1 số phân biệt Gán cho số hạng ak dãy số cặp có thứ tự (ik,dk), ik độ dài dãy tăng dài ak dk độ dài dãy giảm dài ak Ví dụ: 8, 11, 9, 1, 4, 6, 12, 10, 5, a2 = 11 , (2,4) a4 = , (4,1)  Bây giả sử không tồn dãy tăng dãy giảm có độ dài n+1 Khi ik dk số nguyên dương  n, với k = 1, 2, , n2+1 Fall 2006 Tốn rời rạc 89 Ví dụ      Do  ik, dk  n, nên theo qui tắc nhân có tất n2 cặp có thứ tự dạng (ik,dk) khác Do ta có tất n2 + cặp (ik,dk), nên theo nguyên lý Dirichlet, hai số chúng trùng Tức tồn hai số hạng as at dãy cho với s at Fall 2006 Toán rời rạc 90 Ví dụ  Nếu as < at, is = it , ta xây dựng dãy tăng độ dài it+1 as, cách nối dãy tăng độ dài it, at , as , , at ,  Suy dãy tăng dài as có độ dài it + 1, nghĩa is > it Mâu thuẫn với giả thiết is= it  Tương tự vậy, as > at, ta ds phải lớn dt, đến mâu thuẫn  Định lý chứng minh Fall 2006 Toán rời rạc 91 ... Mở đầu Chương Bài toán đếm Chương Bài toán tồn Chương Bài toán liệt kê tổ hợp Chương Bài toán tối ưu tổ hợp Fall 2006 Toán rời rạc Chương BÀI TOÁN TỒN TẠI Fall 2006 Giới thiệu toán Các kỹ thuật... nhiên, nhiều toán tổ hợp, việc tồn cấu hình thoả mãn tính chất cho trc khó khăn Trong tổ hợp xuất vấn đề thứ hai quan trọng là: xét tồn cấu hình tổ hợp với tính chất cho trớc - toán tồn tổ hợp Fall... toán tồn tổ hợp Fall 2006 Toỏn ri rạc Chương BÀI TOÁN TỒN TẠI Fall 2006 Giới thiệu toán Các kỹ thuật chứng minh Nguyên lý Dirichlet Định lý Ramsey Toán rời rạc Các kỹ thuật chứng minh 2.0 Mở