BÀI TẬP ÁNH XẠCho biết quan hệ sau có phải là ánh xạ hay không.ba... Ánh xạ trên... ÁNH XẠ ĐẢOĐiều kiện nào để ánh xạ f có chiều ngược lại cũng là ánh xạ.f phải trên và 1-1 để g là ánh x
Trang 1ÁNH XẠ
Ánh xạ f từ A vào B là một quan hệ của A và B (tập con của
A × B) thoả hai tính chất :
(∀a ∈ A)(∃b ∈ B)( (a, b) ∈ f ) và
(∀a, b, b’)( ((a, b) ∈ f) ∧ ((a, b’) ∈ f) → (b = b’) )
Ký hiệu f : A → B
Có thể viết dưới dạng :
(∀a ∈ A)(∃!b ∈ B)( (a, b) ∈ f )
Trang 2BÀI TẬP ÁNH XẠCho biết quan hệ sau có phải là ánh xạ hay không.
ba
Trang 3ÁNH XẠ 1-1 & TRÊN
Ánh xạ 1-1
Ánh xạ trên
bad
c
6 1
2 3
4
Trang 4ÁNH XẠ 1-1 & TRÊN
Trang 5ÁNH XẠ ĐẢOĐiều kiện nào để ánh xạ f có chiều ngược lại cũng là ánh xạ.
f phải trên và 1-1 để g là ánh xạ
g được gọi là ánh xạ đảo của f và ký hiệu là f− 1
c
4 6
f
ba
de
1 2
5 3
g là ánh xạ ?
Trang 6ẢNH CỦA TẬP CONÁnh xạ f : A → B và S ⊆ A.
Aûnh của tập S qua f ký hiệu là f*(S) hay f(S)
5
3c
ba
de
S
Trang 7Ánh xạ f : A → B
Trường hợp đặc biệt lấy S = A
Aûnh của tập A qua f ký hiệu là Im(f) hay f(A)
5
3c
ba
de
Trang 8ẢNH NGƯỢCÁnh xạ f : A → B và T ⊆ B.
Aûnh ngược của tập T qua f ký hiệu là f*(T) hay f− 1(T)
5
3c
ba
de
Trang 9KER(f)Ánh xạ f : A → B.
Đây là một phân hoạch trên tập A
f
4
6 1
2
5
3c
ba
de
f
g
h
i
Trang 10Cho ánh xạ f : A → B
Quan hệ tương ứng với phân hoạch trên là Ker(f)
Ker(f) = { (x, y) (∀x, y ∈ A)(f(x) = f(y)) }
Ker(f) được gọi là nhân của ánh xạ f
Ker(f) là quan hệ tương đương
∀x ∈ A, (x, x) ∈ Ker(f)
Nếu (x, y) ∈ Ker(f) thì (y, x) ∈ Ker(f)
Nếu (x, y) ∈ Ker(f) và (y, z) ∈ Ker(f) thì (x, z) ∈ Ker(f)
Trang 11Mệnh đề :
Ker(f) = f : f− 1
Phân tích bài toán trước khi chứng minh :
Ker(f) = { (x, y) (∀x, y ∈ A)(f(x) = f(y)) }
Trang 13Tránh viết : “Lấy (x, y) ∈ Ker(f)”
Nên viết : “Lấy (a, b) ∈ Ker(f)”
Vì các x, y trùng với biến định nghĩa của Ker(f), f và f− 1.Tốt nhất các định nghĩa nên viết :
Ker(f) = { (∆, ∇) (∀∆, ∇ ∈ A)(f(∆) = f(∇)) }
f = { (∆, ∇) (∀∆ ∈ A)(∃!∇ ∈ B) (f(∆) = ∇) }
Trang 14KÝ HIỆU f − 1
Ánh xạ f : A → B
Ký hiệu f− 1 có các cách sử dụng sau :
f−1(y), ∀y∈B → ánh xạ đảo
f− 1(T), ∀T ⊆ B → ảnh ngược
f
4 6
1 2
5 3c
b
a e d
Trang 15HỢP NỐI 2 ÁNH XẠTìm đường đi từ tập đầu của ánh xạ thứ 1 đến tập cuối của ánh xạ thứ 2.
Trang 16ĐIỀU KIỆN HỢP NỐI
Cho ánh xạ f : A → B và g : C → D
Điều kiện để hợp nối được 2 ánh xạ là : f(A) ⊆ C
Ký hiệu: hợp nối là gf hay (gf)
Trang 17ĐIỀU KIỆN HỢP NỐI
Trường hợp đặc biệt :
Trang 18g c
di
4
6
1 2 3e
A/Ker(ϕ)
Im(ϕ)ϕ
Trang 19g
c d i
Trang 20ÁNH XẠ THEO QUAN ĐIỂM
Aùnh xạ đảo
Cho 2 ánh xạ g : T → S, f : S → T
Nếu fg = 1T thì :
f là nghịch đảo trái của g và
g là nghịch đảo phải của f
fg = 1 và gf = 1 thì f là nghịch đảo của g.
PHẠM TRÙ
f
g
Trang 21ÁNH XẠ THEO QUAN ĐIỂM
Định lý
f có miền trị khác trống :
f là 1-1 ↔ f có nghịch đảo trái
f là trên ↔ f có nghịch đảo phải
PHẠM TRÙ
Trang 24AXIOM OF CHOICE
∅
d
abc
Trang 25AXIOM OF CHOICE
Nếu tập X ≠ ∅ thì có ánh xạ
γ : 2X → X,
sao cho (∀A ∈ 2X) (γ(A) ∈ A)
γ được gọi là ánh xạ chọn
Trang 26AXIOM OF CHOICE
Phát biểu đầy đủ :
Nếu tập X ≠ ∅ thì có ánh xạ
γ : (2X − {∅}) → X,sao cho (∀A ∈ (2X − {∅})) (γ(A) ∈ A)
Trang 27AXIOM OF CHOICEAùnh xạ chọn
Trang 28LÝ THUYẾT TẬP HỢP
HẾT CHƯƠNG