Bài giảng slie Toán rời rạc Phần 1.Mở đầu

Phần thứ LÝ THUYẾT TỔ HỢP Combinatorial Theory Hà Nội 2014 Fall 2008 Toán rời rạc Nội dung Mở đầu Bài toán đếm tổ hợp (Counting Problem) Bài toán tồn tổ hợp (Existence Problem) Bài toán liệt kê tổ hợp (Enumeration Problem) Bài toán tối ưu tổ hợp (Combinatorial Optimization Problem) Toán rời rạc Mở đầu NỘI DUNG 0.1 Tổ hợp gì? 0.2 Sơ lược lịch sử phát triển tổ hợp 0.3 Tập hợp ánh xạ Tốn rời rạc 0.1 Tổ hợp gì?   Đối tượng nghiên cứu Nội dung nghiên cứu Toán rời rạc Đối tượng nghiên cứu tổ hợp  Lý thuyết tổ hợp gắn liền với việc nghiên cứu xếp phần tử tập hữu hạn phân bố phần tử vào tập hữu hạn Mỗi cách xếp phân bố gọi cấu hình tổ hợp  Có thể nói vắn tắt: Tổ hợp lý thuyết tập hữu hạn Toán rời rạc Phân loại toán  Trong tài liệu tổ hợp, thường gặp dạng toán đây: Bài toán đếm tổ hợp (Counting Problem) Bài toán tồn tổ hợp (Existence Problem) Bài toán liệt kê tổ hợp (Enumeration Problem) Bài toán tối ưu tổ hợp (Combinatorial optimization Problem) Toán rời rạc Bài toán đếm – Counting Problem    Đây toán nhằm trả lời câu hỏi: “Có cấu hình thoả mãn điều kiện cho trước?" Phương pháp đếm thường dựa vào số nguyên lý số kết đếm cấu hình đơn giản Bài tốn đếm áp dụng cách có hiệu vào cơng việc mang tính chất đánh tính xác suất kiện, tính độ phức tạp thuật toán, Toán rời rạc Bài toán tồn tổ hợp (Existence Problem)    Khác với toán đếm, toán tồn tổ hợp cần trả lời câu hỏi: “Tồn hay cấu hình tổ hợp thoả mãn tính chất cho?” Rõ ràng đếm số lượng cấu hình tổ hợp thoả mãn tính chất cho ta giải tốn tồn tương ứng! Có thể coi tốn tồn trường hợp riêng toán đếm khơng? Tốn rời rạc Ví dụ  Bài toán phủ bàn cờ quốc tế quân domino: “Cho bàn cờ quốc tế kích thước 88 bị đục hai góc đối diện domino, qn phủ kín bàn cờ Hỏi phủ kín bàn cờ cho 31 quân domino?” Toán rời rạc Bàn cờ quốc tế quân domino Toán rời rạc 10 Giao nhiều tập  Giao hai tập: AB  Giao n tập: A1A2…An  ((…((A1A2)…)An) (ghép nhóm thứ tự khơng quan trọng)  Ký hiệu: n A i i 1 Toán rời rạc 61 Phân hoạch  Giả sử X1, X2, , Xm tập X Ta nói X1, X2, , Xm tạo thành phân hoạch X (hoặc X phân hoạch thành tập X1, X2, , Xm ) nếu: • • X = X1  X2   Xm ; Xi  Xj = , i  j Toán rời rạc 63 ÁNH XẠ  Định nghĩa  Cách xác định ánh xạ  Đơn ánh, tồn ánh, song ánh Fall 2008 Tốn rời rạc 64 Ánh xạ  Ta nói f ánh xạ từ tập X vào tập Y đặt tương ứng phần tử xX với phần tử yY • Ký hiệu: f: X Y y = f(x) • x gọi gốc, y gọi ảnh  Trong giáo trình giải tích làm quen với hàm số thực f đặt tương ứng số thực xR với giá trị thực y = f(x) Toán rời rạc 65 Xác định ánh xạ  Cho hai tập hữu hạn X Y  Để xác định ánh xạ f từ X vào Y (f: XY) ta sử dụng cách sau: • Bảng giá trị đầy đủ • Sơ đồ ánh xạ • Ma trận ánh xạ Toán rời rạc 66 Xác định ánh xạ: Bảng giá trị đầy đủ  Giả sử •  X = {x1, x2, , xm}, Y = {y1, y2, , yn}, Một ánh xạ f từ X vào Y (f: XY) xác định bảng giá trị đầy đủ sau x y=f(x) x1 f(x1) x2 f(x2) xm f(xm) Như ánh xạ từ tập m phần tử X vào tập n phần tử Y hoàn toàn xác định ảnh (f(x1), f(x2), , f(xm)) Toán rời rạc 67 Sơ đồ ánh xạ  Ánh xạ xác định sơ đồ sau: f x• X f • y Y X • • • • • Y • • • • Sơ đồ Toán rời rạc y x Đồ thị hàm số 68 Ma trận ánh xạ  Giả sử • •  X = {x1, x2, , xm}, Y = {y1, y2, , yn}, Một ánh xạ f từ X vào Y (f: XY) xác định ma trận Af = {aij} kích thước mn với phần tử xác định theo qui tắc sau đây: 1, nÕu y j phần tử tương ứng với xi qua ¸nh x¹ f aij   0, nÕu tr¸i l¹i Tốn rời rạc 69 Ví dụ • •   X = { Thắng, Mạnh, Hùng, Cường }; Y = { Mai, Mơ, Mận, Me, Muỗm } Xét ánh xạ f từ X vào Y xác định bảng giá trị đầy đủ sau: x Thắng Mạnh Hùng Cường y=f(x) Mai Mai Mận Muỗm Ánh xạ nói cho sơ đồ ma trận sau: Thắng Mạnh Hùng Cường Mai Mơ Mận Me Mai M¬ MËn Me Muỗm Af 0 0 0 0 0 0  0     Thắng Mạnh Hùng Cường Muỗm Toán rời rạc 70 Một số loại ánh xạ hay dùng    Xét loại ánh xạ hay dùng • • • Đơn ánh Tồn ánh Song ánh Giả sử X, Y tập hợp Đơn ánh: Ánh xạ f : X  Y gọi đơn ánh (injection) đặt tương ứng hai phần tử khác X với hai phần tử khác Y x1, x2  X, x1  x2 f(x1)  f(x2) Toán rời rạc 71 Một số loại ánh xạ hay dùng  Toàn ánh: Ánh xạ f từ X vào Y gọi toàn ánh (surjection) phần tử Y ảnh phần tử X qua ánh xạ f yY,  xX: y = f(x)  Song ánh: Ánh xạ f từ X vào Y gọi song ánh (bijection, one to one) hay gọi tương ứng 1-1(one-to-one correspondence), sánh, vừa đơn ánh vừa tồn ánh Tốn rời rạc 72 Ví dụ  Sơ đồ số ánh xạ: • • • • Đơn ánh • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Tồn ánh Tốn rời rạc Song ánh 73 Ứng dụng  Xét toán: Đếm số phần tử tập X Giả sử Y tập mà số phần tử biết: ny = |Y| Giả sử ta xây dựng ánh xạ f từ X vào Y Khi • Nếu f đơn ánh, ta có |X|  ny • Nếu f tồn ánh, ta có |X|  ny • Nếu f song ánh, ta có |X| = ny  Trong tình thứ ba ta giải toán đếm đặt ra, nhờ xây dựng song ánh từ tập cấu hình tổ hợp cần đếm (tập X) vào tập cấu hình tổ hợp mà ta biết trước số phần tử (tập Y) Toán rời rạc 74 Ví dụ  Hỏi có số có chữ số mà chữ số đứng sau lại lớn chữ số đứng trước? Giải: Mỗi số cần đếm tương ứng với cách chọn chữ số từ chữ số 1, 2, , 9, ngược lại cách lấy chữ số từ 1, 2, , sau xếp theo thứ tự tăng dần cho ta số cần đếm Vậy số lượng số cần đếm C(9, 5)  Lập luận tương tự ta có số lượng số cần đếm số cách loại bỏ chữ số từ dãy Vậy số lượng số cần đếm C(9, 4)  Như lập luận tổ hợp ta chứng minh C(9,5) = C(9,4) Fall 2008 Toán rời rạc 75 Ask questions! Toán rời rạc 76 ... Mở đầu Bài toán đếm tổ hợp (Counting Problem) Bài toán tồn tổ hợp (Existence Problem) Bài toán liệt kê tổ hợp (Enumeration Problem) Bài toán tối ưu tổ hợp (Combinatorial Optimization Problem) Toán. .. Problem) Toán rời rạc Mở đầu NỘI DUNG 0.1 Tổ hợp gì? 0.2 Sơ lược lịch sử phát triển tổ hợp 0.3 Tập hợp ánh xạ Toán rời rạc 0.1 Tổ hợp gì?   Đối tượng nghiên cứu Nội dung nghiên cứu Toán rời rạc Đối... liệu tổ hợp, thường gặp dạng toán đây: Bài toán đếm tổ hợp (Counting Problem) Bài toán tồn tổ hợp (Existence Problem) Bài toán liệt kê tổ hợp (Enumeration Problem) Bài toán tối ưu tổ hợp (Combinatorial