Silde bài giảng cấu trúc rời rạc phần lý thuyết tập hợp

LYÙ THUYEÁT TAÄP HÔÏP Nguyễn Quang Châu Khoa Công Nghệ Thông Tin – Đại Học Công Nghiệp Tp.Hồ Chí Minh Nguyễn Quang Châu – Khoa CNTT ĐHCN Tp.HCM TOAÙN RÔØI RAÏC          Set theory Vector space and matrices Graph theory Combinatorial analysis Algebraic systems : group, ring, field Languages, Grammars, Automata Ordered sets and lattices Mathematical logic ... Nguyễn Quang Châu – Khoa CNTT ĐHCN Tp.HCM CAÙC VAÁN ÑEÀ CÔ BAÛN    Khaùi nieäm “Ñònh nghóa” trong toaùn hoïc Hình thöùc Phaân loaïi Söû duïng Khaùi nieäm “Ñònh lyù“ Ñònh ñeà Boå ñeà Heä luaän. Meänh ñeà. Khaùi nieäm “Chöùng minh” Nguyễn Quang Châu – Khoa CNTT ĐHCN Tp.HCM PHÖÔNG PHAÙP CHÖÙNG MINH Chöùng minh tröïc tieáp.  Chöùng minh baèng daïng töông ñöông eg : A ⇒ (B→C) ≡ (A ∧ B) ⇒ C.  Chöùng minh phaûn chöùng. eg : A→B ≡ (A ∧ ¬B) ⇒ maâu thuaãn.  Chöùng minh truy chöùng. * Höõu haïn. * Voâ haïn.  Chöùng minh baèng phaûn thí duï. Nguyễn Quang Châu – Khoa CNTT ĐHCN Tp.HCM  CHÖÙNG MINH TRUY CHÖÙNG Cho moät hoï voâ haïn meänh ñeà P1, P2, P3, … Chöùng minh taát caû Pi ñeàu ñuùng. Truy chöùng höõu haïn (treân taäp N) : Daïng 1. P1 Giaû söû Pn ñuùng P2 Pn Pn+1 • • • Chöùng minh P1 ñuùng Chöùng minh Pn+1 ñuùng → Taát caû Pi ñeàuNguyễn ñuùng Quang Châu – Khoa CNTT ĐHCN Tp.HCM CHÖÙNG MINH TRUY CHÖÙNG Truy chöùng höõu haïn (treân taäp N) : P1 P2 Giaû söû P2 … Pn ñuùng Pn Daïng 2 Pn+1 • • • • Chöùng minh P1 ñuùng Chöùng minh Pn+1 ñuùng → Taát caû Pi ñeàu ñuùng Truy chöùng voâ haïn hay sieâu haïn (treân taäp R). Nguyễn Quang Châu – Khoa CNTT ĐHCN Tp.HCM PHÖÔNG PHAÙP TIEÂN ÑEÀ Heä tieân ñeà :  A1. Thuaät ngöõ nguyeân thuûy : + Ñoái töôïng + Quan heä.  A2. Thuaät ngöõ phoå duïng  A3. Heä caùc tieân ñeà  A4. Heä thoáng suy luaän (logic)  A5. Ñònh lyù Nguyễn Quang Châu – Khoa CNTT ĐHCN Tp.HCM HEÄ TIEÂN ÑEÀ HÌNH HOÏC EUCLID    Ñieåm, ñöôøng, thuoäc veà. Hoï, coù, moät, moïi, khoâng. Γ1. Ñöôøng laø taäp hôïp caùc ñieåm. (do Hilbert ñeà ra) Γ2. Coù ít nhaát 2 ñieåm. Γ3. Chæ coù 1 ñöôøng qua 2 ñieåm khaùc nhau. Γ4. Coù 1 ñieåm naèm ngoaøi 1 ñöôøng.   Γ5. Ñieåm A naèm ngoaøi ñöôøng (d) thì coù 1 ñöôøng (h) song song vôùi (d) vaø A ∈ (h). Heä thoáng luaän lyù vò töø. Taäp hôïp caùc ñònh lyù hình hoïc. Nguyễn Quang Châu – Khoa CNTT ĐHCN Tp.HCM PHÖÔNG THÖÙC XAÙC ÑÒNH  TAÄP HÔÏP Lieät keâ c a g f d b h e b , , , , Nguyễn Quang Châu – Khoa CNTT ĐHCN Tp.HCM PHÖÔNG THÖÙC XAÙC ÑÒNH  TAÄP HÔÏP Tröng tính X= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 Ñieàu kieän loïc 1, 3, 5, 7, 9 (x leû vaø x b aX = b, vôùi a ≠ 0 X2 = 2 X2 + 1 = 0 → → → → → N. Z. Q. R. C. Daïng toång quaùt : anXn + an−1Xn−1 + an−2Xn−2 + … + a2X2 + a1X + a0 = 0, n vaø caùc ai laø soá nguyeân. Nguyễn Quang Châu – Khoa CNTT ĐHCN Tp.HCM CAÁU TRUÙC ÑAÏI SOÁ Thí duï : laø groupoid neáu X laø taäp hôïp vaø α laø toaùn töû caáp 2. laø baùn nhoùm neáu laø groupoid vaø phoái hôïp. laø nhoùm neáu laø groupoid, phoái hôïp, coù phaàn töû trung hoøa, coù phaàn töû nghòch ñaûo. laø vaønh neáu laø nhoùm giao hoaùn, laø baùn nhoùm vaø β phaân boá vôùi α. Nhöõng caáu truùc ñaïi soá khaùc : Vaønh giao hoaùn, mieàn nguyeân, vaønh chia, tröôøng, modul, khoâng gian vector, lattice, ñaïi soá boolean. Nguyễn Quang Châu – Khoa CNTT ĐHCN Tp.HCM CTÑS - NHOÙM Moät caáu truùc ñaïi soá vôùi • laø toaùn töû caáp 2 coù : Tính phoái hôïp (∀a, b, c) (a • b) • c = a • (b • c) Phaàn töû ñôn vò (∃u)(∀x) (x • u = u • x = x) Phaàn töû ñaûo (∀x) (∃x*) (x • x* = x* • x = u) Nguyễn Quang Châu – Khoa CNTT ĐHCN Tp.HCM CTÑS - VAØNH Moät caáu truùc ñaïi soá vôùi ⊕, • laø toaùn töû caáp 2 coù : laø nhoùm Tính giao hoaùn cuûa ⊕ (∀a, b) (a ⊕ b = b ⊕ a). Tính phoái hôïp cuûa • (∀a, b, c) (a • b) • c = a • (b • c) Tính phaân boá cuûa • ñoái vôùi ⊕ a • (b ⊕ c) = (a • b) ⊕ (a ⊕ c) (b ⊕ c) • a = (b • a) ⊕ (c ⊕ a) Nguyễn Quang Châu – Khoa CNTT ĐHCN Tp.HCM CTÑS - TRÖÔØNG Moät caáu truùc ñaïi soá vôùi ⊕, • laø toaùn töû caáp 2 coù : laø vaønh laø nhoùm giao hoaùn (0 laø phaàn töû ñôn vò cuûa ⊕) Nguyễn Quang Châu – Khoa CNTT ĐHCN Tp.HCM CAÁU TRUÙC ÑAÏI SOÁ Töông quan giöõa caùc taäp hôïp thoâng duïng : N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C ⊂ nhoùm quaternion. Caùc caáu truùc ñaïi soá : < N, +> laø baùn nhoùm. < Z, + , * > laø vaønh. < Q,+ , * > laø tröôøng. < R, + , * > laø tröôøng. < C, + , * > laø tröôøng. Nguyễn Quang Châu – Khoa CNTT ĐHCN Tp.HCM TÍNH CHAÁT QUAN TROÏNG CUÛA N  Moïi taäp con khaùc troáng cuûa N coù phaàn töû cöïc tieåu. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ° ° ° ° ° ° ° °° °°° n ° * Caùc taäp Z, Q, R, C khoâng coù tính chaát treân. Nguyễn Quang Châu – Khoa CNTT ĐHCN Tp.HCM LYÙ THUYEÁT TAÄP HÔÏP HEÁT CHÖÔNG Nguyễn Quang Châu – Khoa CNTT ĐHCN Tp.HCM [...]... bao nhiêu phần tử ? Nguyễn Quang Châu – Khoa CNTT ĐHCN Tp.HCM CÁC TẬP HP Tập trống : ∅ Tập con : X ⊆ Y ↔ (∀x)( x ∈X → x ∈Y) Tập 2X = P(X) (power set ≠ power of set) Tập phổ dụng Tập tách biệt Tập hữu hạn, vô hạn, đếm được, … Nguyễn Quang Châu – Khoa CNTT ĐHCN Tp.HCM s TẬP CÁC TẬP CON Tìm tập tất cả tập con của X = {1, 2} ? Tập ∅ ⊆ X, {1} ⊆ X, {2} ⊆ X, {1, 2} ⊆ X Lấy các tập con trên biến thành phần tử...PHƯƠNG THỨC XÁC ĐỊNH   TẬP HP Liệt kê * Các phần tử được chọn tùy ý * Tập hợp cùng lắm là đếm được * không có 2 phần tử trùng nhau * Các phần tử không có trật tự Trưng tính * Cần một tập hợp cho trước * Tập hợp có thể đạt đến không đếm được Nguyễn Quang Châu – Khoa CNTT ĐHCN Tp.HCM s ÝÙ NGHĨA CỦA TẬP HP Mỗi tập hợp sau có bao nhiêu phần tử ? {A, {∅}, ∅} {A, {{∅}}, {{{∅}}} } {∅... Lấy các tập con trên biến thành phần tử của một tập hợp ký hiệu là 2X hay P(X) Vậy 2X = {∅, {1}, {2}, {1, 2}} Nguyễn Quang Châu – Khoa CNTT ĐHCN Tp.HCM s TẬP CÁC TẬP CON Tìm tập tất cả tập con của X = {a, b, c} ? Tập con 0 phần tử : ∅ Tập con 1 phần tử : a → {a}, b → {b}, c → {c} Tập con 2 phần tử : a, b → {a, b}, a, c → {a, c}, b, c → {b, c} Tập con 3 phần tử : a, b, c → {a, b, c} Vậy 2X = {∅, {a},... CỦA TẬP HP Một biểu diễn của thế giới thực , , Tập hợp này có bao nhiêu phần tử ? Thế giới thực Một biểu diễn khác của thế giới thực , , , , , , , , , , Nguyễn Quang Châu – Khoa Tập hợp này có bao nhiêu phần tử ? CNTT ĐHCN Tp.HCM ÝÙ NGHĨA CỦA TẬP HP , , Một biểu diễn khác , , So sánh gì giữa 2 biểu diễn này ? Nguyễn Quang Châu – Khoa CNTT ĐHCN Tp.HCM ÝÙ NGHĨA CỦA TẬP HP , , ∅, ∅ , , , , , , ∅, Tập hợp. .. Nguyễn Quang Châu – Khoa CNTT ĐHCN Tp.HCM s CÁC TOÁN TỬ CỦA TẬP HP Chứa trong : (⊆, ⊂) A ⊆ B ↔ (∀x)( x ∈A → x ∈B) B A Bằng : (=) A = B ↔ ( A ⊆ B và B ⊆ A ) Nguyễn Quang Châu – Khoa CNTT ĐHCN Tp.HCM s CÁC TOÁN TỬ CỦA TẬP HP Hội : ( ∪ ) Hội của 2 tập hợp là tập gồm tất cả phần tử của 2 tập hợp Một phần tử thuộc hội phải thuộc một trong 2 tập hợp A ∪ B ↔ (∀x)( x ∈A hay x ∈B) Giao : ( ∩ ) A ∩ B ↔ (∀x)(... nguyên Nguyễn Quang Châu – Khoa CNTT ĐHCN Tp.HCM CẤU TRÚC ĐẠI SỐ Thí dụ : là groupoid nếu X là tập hợp và α là toán tử cấp 2 là bán nhóm nếu là groupoid và phối hợp là nhóm nếu là groupoid, phối hợp, có phần tử trung hòa, có phần tử nghòch đảo là vành nếu là nhóm giao hoán, là bán nhóm và β phân bố với α Những cấu trúc đại số khác : Vành giao hoán, miền nguyên,... a) Nguyễn Quang Châu – Khoa CNTT ĐHCN Tp.HCM CTĐS - TRƯỜNG Một cấu trúc đại số với ⊕, • là toán tử cấp 2 có : là vành là nhóm giao hoán (0 là phần tử đơn vò của ⊕) Nguyễn Quang Châu – Khoa CNTT ĐHCN Tp.HCM CẤU TRÚC ĐẠI SỐ Tương quan giữa các tập hợp thông dụng : N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C ⊂ nhóm quaternion Các cấu trúc đại số : < N, +> là bán nhóm < Z, + , * > là vành < Q,+ ,... CTĐS - NHÓM Một cấu trúc đại số với • là toán tử cấp 2 có : Tính phối hợp (∀a, b, c) (a • b) • c = a • (b • c) Phần tử đơn vò (∃u)(∀x) (x • u = u • x = x) Phần tử đảo (∀x) (∃x*) (x • x* = x* • x = u) Nguyễn Quang Châu – Khoa CNTT ĐHCN Tp.HCM CTĐS - VÀNH Một cấu trúc đại số với ⊕, • là toán tử cấp 2 có : là nhóm Tính giao hoán của ⊕ (∀a, b) (a ⊕ b = b ⊕ a) Tính phối hợp của • (∀a,... Nguyễn Quang Châu – Khoa CNTT ĐHCN Tp.HCM s CÁC TẬP HP SỐ Số nguyên tự nhiên Số nguyên Số hữu tỉ Số hữu tỉ Số đại số N Z Q Số thực Số phức Số vô tỉ R C Số đại số Số siêu việt Nguyễn Quang Châu – Khoa Số siêu việt CNTT ĐHCN Tp.HCM s CẤU TRÚC ĐẠI SỐ tử X là một CTĐS ↔ X là tập hợp + Hữu hạn toán Thí dụ : x + y = y + x, (giao hoán) (x + y) + z = x + (y + z), (phối hợp) x + 0 = 0 + x = x, (0 là pt trung hòa... TOÁN TỬ CỦA TẬP HP Hiệu :( − ) A − B ↔ (∀x)( x ∈A và x ∉B) Bù : ( ‘ ) A’ ↔ (∀x)( x ∈E và x ∉A) Phụ A A1 A2 Nguyễn Quang Châu – Khoa CNTT ĐHCN Tp.HCM s CÁC TOÁN TỬ CỦA TẬP HP Tích Thương Tương quan giữa các toán tử Nguyễn Quang Châu – Khoa CNTT ĐHCN Tp.HCM s ÁNH XẠ Sự dính dáng này là ánh xạ từ A vào BKHÔ ? NG •♦ ª♠ Hai điều kiện để là ánh xạ từ A vào B : * Một phần tử của A chỉ dính dáng với 1 phần tử ... ĐHCN Tp.HCM s TẬP CÁC TẬP CON Tìm tập tất tập X = {a, b, c} ? Tập phần tử : ∅ Tập phần tử : a → {a}, b → {b}, c → {c} Tập phần tử : a, b → {a, b}, a, c → {a, c}, b, c → {b, c} Tập phần tử : a,... ý * Tập hợp đếm * phần tử trùng * Các phần tử trật tự Trưng tính * Cần tập hợp cho trước * Tập hợp đạt đến không đếm Nguyễn Quang Châu – Khoa CNTT ĐHCN Tp.HCM s ÝÙ NGHĨA CỦA TẬP HP Mỗi tập hợp. .. ∅, Tập hợp có phần tử ? Nguyễn Quang Châu – Khoa CNTT ĐHCN Tp.HCM CÁC TẬP HP Tập trống : ∅ Tập : X ⊆ Y ↔ (∀x)( x ∈X → x ∈Y) Tập 2X = P(X) (power set ≠ power of set) Tập phổ dụng Tập tách biệt Tập