Silde bài giảng cấu trúc rời rạc phần truy chứng hữu hạn

Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCMTRUY CHỨNG HỮU HẠN... Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCMTRUY CHỨNG HỮU HẠN... Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCMTOÁN

Trang 1

Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM

TRUY CHỨNG HỮU HẠN

Trang 2

Chứng minh định lý

Chuyển thành dạng tương đương

Đặt S = { i | i ∈ N và Pi sai }

Để chứng minh P đúng trở thành chứng minh S = ∅

Chứng minh bằng phản chứng

Giả sử S ≠ ∅ thì sinh ra điều mâu thuẫn

Tóm lại, đi chứng minh hệ thống sinh ra mâu thuẫn :

 S ≠ ∅

 P1 đúng

 Pn đúng → Pn+1 đúng

Trang 3

Trang 4

HỮU HẠN − VÔ HẠN

Hữu hạn

finiteinductive

non-reflexive

Vô hạn

infinitenon-inductive

reflexive

Trang 5

F hữu hạn nếu

• (∃n) : F 1-1trên với In = {1, 2, … , n}, hoặc

• F = ∅

Tập hợp các ngón tay của 2 bàn tay ↔ I10

Tập hợp các ký tự của bảng alphabet ↔ I26

Tập hợp các gia súc có trong nhà ↔ I100

Trang 6

HỮU HẠN − VÔ HẠN

Định nghĩa hình thức :

F hữu hạn ↔ (∃n)((F ↔ In) ∨ (F = ∅))

 Định nghĩa mặc nhiên qui ước tập ∅ và In là hữu hạn.Lấy phủ định 2 vế

F không hữu hạn ↔ (∀n)((F ↔ In) ∧ (F ≠ ∅))

 Hữu hạn và vô hạn là 2 khái niệm "cùng tồn tại"

Trang 7

TOÁN TỬ TRÊN TẬP VH

Mệnh đề

P ⊆ In → P hữu hạn

Chứng minh :

P có phần tử cực tiểu p1

P − {p1} có phần tử cực tiểu p2

P − {p1, p2} có phần tử cực tiểu p3

Quá trình này dừng ở bước k (≤ n)

P = {p1, p2, p3, … , pk}

VậyP ↔ Ik

Trang 8

Trang 9

Định lý

Nếu X hữu hạn thì

X không 1-1trên với mọi tập con riêng của X.Phát biểu hình thức

Trang 10

Định lý

Nếu X hữu hạn thì

X không 1-1trên với mọi tập con riêng của X

Dạng tương đương

Trang 11

Chứng minh (Pn đúng) → (Pn+1 đúng).

Phản chứng, giả sử S ⊂ In+1 và có f : In+1 ↔ S.

→ S − {f(n+1)} ↔ In, với S − {f(n+1) ⊂ In.

→ mâu thuẫn.

s

Trang 12

Mệnh đề

Tập X 1-1trên với tập hữu hạn thì hữu hạn

Tập X 1-1trên với tập vô hạn thì vô hạn

Trang 13

Bổ đề

N ↔ Ne ↔ NoChứng minh

f : N → Ne

n  2n

g : N → No

n  2n−1ánh xạ f và g là 1-1trên

Trang 14

Hệ quả

Tập N, Z, Q, R, C là vô hạn

Chứng minh

Ne Q N Z R C

Trang 15

Hữu hạn ∪ Hữu hạn = Hữu hạn

{a, c} ∪ {1, 2, 3, 4} = {a, c, 1, 2, 3, 4}

Vô hạn ∪ Hữu hạn = Vô hạn

{a, b, c} ∪ {1, 2, 3, … } = {a, c, d, 1, 2, 3, … }Vô hạn ∪ Vô hạn = Vô hạn

{1, 3, 5, … } ∪ {2, 4, 6, … } = {1, 2, 3, … }

 Cái hữu hạn “biến mất” trong cái vô hạn

Trang 16

TOÁN TỬ ∪ TRÊN TẬP VH

Chứng minh

Cho A ↔ Im, B ↔ In, C và D vô hạn

Hữu hạn ∪ Hữu hạn = Hữu hạn

A ∩ B = ∅ → A ∪ B ↔ Im+n

A ∩ B ≠ ∅ → A ∪ B = A ∪ (B−A)Vô hạn ∪ Hữu hạn = Vô hạn

C ∪ A chứa tập con C vô hạn

Vô hạn ∪ Vô hạn = Vô hạn

C ∪ D chứa tập con C vô hạn

Trang 17

Hội mở rộng ∪Ai trên tập chỉ số I :

I = hữu hạn + Ai = hữu hạn → ∪Ai = hữu hạn

Trang 18

∪ MỞ RỘNG TRÊN TẬP VH

Hội mở rộng ∪Ai trên tập chỉ số I :

I = vô hạn, Ai = hữu hạn → ∪Ai = không xác định

Pi = {x | x ∈ N, 1 ≤ x < i }, ∀i ∈ N,

∪Ai = vô hạn

Qi = {1}, ∀i ∈ N

∪Ai = hữu hạnTrường hợp đặc biệt : ∪∅ Ri = ∅

Trang 19

Hữu hạn ∩ Hữu hạn = Hữu hạn

{a, c, d} ∩ {a, 1, c, 2, d, 3} = {a, c, d}

{1, 2, 3} ∩ N = {1, 2, 3}

{1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, … } ∩ {2, 4, 6, … } = {2, 4}

{1, 3, 5, … } ∩ N = {1, 3, 5, … }

Trang 20

∩ MỞ RỘNG TRÊN TẬP VH

Giao mở rộng ∩Ai trên tập chỉ số I :

I = hữu hạn, 1 Ai = hữu hạn → ∩Ai = hữu hạn

I = hữu hạn, Ai = vô hạn → ∩Ai = không xác định

I = vô hạn, 1 Ai = hữu hạn → ∩Ai = hữu hạn

I = vô hạn, Ai = vô hạn → ∩Ai = không xác định

Pi = {1} ∪ {x | x ∈ N, i < x},∀i ∈ N,

Qi = N, ∀i ∈ N

Trường hợp đặc biệt : ∩∅ Ri = ∅

Trang 21

Hữu hạn − Hữu hạn = Hữu hạn

N − {2, 4, 6, … } = {1, 3, 5, … } {a, b, c, 1, 2, 3, 4, 5, … } − N = {a, b, c}

Trang 22

TOÁN TỬ Π TRÊN TẬP VH

Tích mở rộng ΠAi trên tập chỉ số I :

I = hữu hạn, Ai = hữu hạn → ΠAi = hữu hạn

I = hữu hạn, 1 Ai = vô hạn → ΠAi = vô hạn

I = {1, 2}, A1 = {a}, A2 = N,

A1×A2 = vô hạn

I = vô hạn, Ai = vô hạn → ΠAi = vô hạn

I = vô hạn, Ai = hữu hạn → ΠAi = không xác định

Pi = {1, 2} → ΠPi = vô hạn

Qi = {1} → ΠQi = hữu hạn.Trường hợp đặc biệt : Π∅Ri = {∅}

N N

Trang 23

Trang 24

VÔ HẠN DEDEKIND

D vô hạn ↔ (∃H) (D ↔ H) với H ⊂ D

→ ∅ hữu hạn

→ In hữu hạn

→ (S ⊆ X hữu hạn → S hữu hạn)

→ (X ⊇ S vô hạn → X vôhạn)

→ N, Z, Q, R, C là vô hạn

Trang 25

CHỨNG MINH HH-VH

Chứng minh tập X hữu hạn :

X 1-1trên với một tập hữu hạn

X là tập con của một tập hữu hạn

Chứng minh tập Y vô hạn :

Y 1-1trên với một tập vô hạn

Y là chứa một tập con vô hạn

Y 1-1trên với một tập con riêng của nó

Trang 26

BÀI TẬP HH-VH

Tập Σ = {a, b, c, d, … , z}

Tập Σ* = { x1x2 xn | (∀n∈N)(∀i∈[1, n]) (xi ∈ Σ) }

Thí dụ :

aaa, abcbbd, nguyen ∈ Σ*

Chứng minh Σ* là vô hạn

Lấy P = {a, aa, aaa, aaaa, … } ⊆ Σ*

→ P ↔ N

→ P vô hạn

* Sử dụng 2 cách là chứa tập con vô hạn và 1-1trên

Trang 27

LÝ THUYẾT TẬP HỢP

HẾT CHƯƠNG

Định dạng
Số trang	27
Dung lượng	339 KB