Bài giảng toán học tổ hợp và cấu trúc rời rạc chương 2 phương pháp đếm dùng hàm sinh

TOÁN HỌC TỔ HỢP VÀ CẤU TRÚC RỜI RẠC Chương PHƯƠNG PHÁP ĐẾM DÙNG HÀM SINH lvluyen@hcmus.edu.vn http://luyen.pe.hu/cautrucroirac FB: fb.com/cautrucroirac Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh https://fb.com/tailieudientucntt ng.com lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm dùng hàm sinh 09/2016 1/42 Nội dung Chương ng.com PHƯƠNG PHÁP ĐẾM DÙNG HÀM SINH Định nghĩa Hệ số hàm sinh Sự phân hoạch Hàm sinh mũ Phương pháp tổng Hệ thức đệ https://fb.com/tailieudientucntt quy lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm dùng hàm sinh 09/2016 2/42 2.1 Định nghĩa hàm sinh Định nghĩa Cho {ar }r≥0 dãy số thực Khi chuỗi lũy thừa hình thức G(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + ar xr + · · · = ar xr r≥0 gọi hàm sinh dãy {ar }r≥0 Ví dụ Hàm sinh dãy 1, 1, 1, 1, 1, G(x) = + x + x2 + x3 + x4 + x5 Ví dụ Xét tập hợp X với n phần tử, gọi ar số tập có r phần tử n n X Khi ar = với tổ hợp chập r n phần tử r r Ta hàm sinh dãy số thực {ar }r≥0 ng.com G(x) = + lvluyen@hcmus.edu.vn n n x+ x2 + · · · + 1https://fb.com/tailieudientucntt n n xn = (1 + x)n Chương Phương pháp đếm dùng hàm sinh 09/2016 3/42 Ví dụ Tìm hàm sinh dãy {ar }r≥0 , với ar số cách để chọn r viên bi từ viên bi màu xanh, viên bi màu trắng, viên bi màu đỏ, viên bi màu vàng Giải Để tìm ar , ta đưa tốn tốn tìm số nghiệm ngun phương trình e1 + e2 + e3 + e4 = r với ≤ ei ≤ Ở e1 , e2 , e3 , e4 tương ứng số viên bi màu xanh, trắng, đỏ vàng Đề tìm hàm sinh {ar }r≥0 ta xây dựng nhân tử đa thức cho sau nhân đa thức lại với ta tất hạng tử có dạng xe1 xe2 xe3 xe4 , ≤ ei ≤ e1 + e2 + e3 + e4 = r Như ta cần nhân tử, nhân tử + x + x2 + x3 bao gồm tất lũy thừa nhỏ hay x Ta hàm sinh cần tìm (1 + x + x2 + x3 )4 =1 + 4x + 10x2 + 20x3 + 31x4 + 40x5 + 44x6 + https://fb.com/tailieudientucntt + 31x8 + 40x7 + 20x9 ng.com lvluyen@hcmus.edu.vn + 10x10 + 4x11 + x12 Chương Phương pháp đếm dùng hàm sinh 09/2016 4/42 Ví dụ Tìm hàm sinh {ar }r≥0 , với ar số cách để chọn r từ táo, cam, chanh, ổi Giải Tương tự ví dụ trên, ar số nghiệm ngun phương trình e1 + e2 + e3 + e4 = r với ≤ e1 , e2 ≤ ≤ e3 , e4 ≤ Để tìm hàm sinh ta xây dựng nhân tử đa thức cho sau nhân đa thức lại với ta tất hạng tử có dạng xe1 xe2 xe3 xe4 • Đối với e1 e2 , nhân tử (1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 ) • Đối với e3 e4 , nhân tử (1 + x + x2 + x3 ) Như hàm sinh cần tìm (1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 )2 (1 + x + x2 + x3 )2 ng.com https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm dùng hàm sinh 09/2016 5/42 Ví dụ Tìm hàm sinh {ar }r≥0 , với ar số cách chia r đồng xu vào hộp, với điều kiện: Số đồng xu hộp chẵn không 10, hộp lại chứa đến đồng xu Giải ar số số nghiệm nguyên phương trình e1 + e2 + e3 + e4 + e5 = r với e1 , e2 chẵn, ≤ e1 , e2 ≤ 10 ≤ e3 , e4 , e5 ≤ Để tìm hàm sinh ta xây dựng nhân tử đa thức cho sau nhân đa thức lại với ta tất hạng tử có dạng xe1 xe2 xe3 xe4 xe5 • Đối với e1 e2 , nhân tử (1 + x2 + x4 + x6 + x8 + x10 ) • Đối với e3 , e4 e5 , nhân tử (x3 + x4 + x5 ) Như hàm sinh cần tìm ng.com (1 + x2 + x4 + x6 + x8 + x10 )2 (x3 + x4 + x5 )3 https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm dùng hàm sinh 09/2016 6/42 2.2 Hệ số hàm sinh Trong phần chúng sử dụng kỷ thuật đại số để tính tốn hệ số hàm sinh Phương pháp chủ yếu đưa hàm sinh phức tạp hàm sinh kiểu nhị thức tích hàm sinh kiểu nhị thức Để làm điều cần sử dụng cơng thức sau: − xn+1 = + x + x2 + x3 + · · · + xn 1−x (2) = + x + x2 + x3 + · · · 1−x (1) (3) (1 + x)n = + (4) (1 − xm )n = − · · · + (−1)n ng.com n n n x+ n n xm + x2 + · · · + n n r xr + · · · + x2m + · · · + (−1)k n k n n xn xkm + xnm https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm dùng hàm sinh 09/2016 7/42 (5) = (1 − x)n 1+n−1 1+ x+ 2+n−1 x2 + · · · + r+n−1 r xr + · · · (6) Nếu h(x) = f (x)g(x), với f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · g(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + · · · , h(x) = a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0 )x + (a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 )x2 + · · · + (a0 br + a1 br−1 + a2 br−2 + · · · + ar b0 )xr + · · · Như hệ số ar h(x) a0 br + a1 br−1 + a2 br−2 + · · · + ar b0 Ví dụ Tìm hệ số x16 (x2 + x3 + x4 + · · · )5 ? Giải Ta có (x2 + x3 + x4 + · · · )5 = [x2 (1 + x + x2 + · · · )]5 = x10 (1 + x + x2 + · · · )5 = x10 https://fb.com/tailieudientucntt (1 − x)5 ng.com lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm dùng hàm sinh 09/2016 8/42 Để tìm hệ số x16 (x2 + x3 + x4 + · · · )5 , ta tìm hệ số x6 Theo công thức (5) ta hệ số x6 (1 − x)5 6+5−1 = 210 (1 − x)5 Ví dụ Tìm số cách lấy 15 đồng xu từ 20 người cho, 19 người ta lấy người đồng đồng, người thứ 20 ta lấy đồng, đồng, đồng? Giải Bài toán tương đương với tốn tìm số nghiệm ngun phương trình x1 + x2 + · · · + x20 = 15 thỏa điều kiện xi = với i = 1, 2, , 19 x20 = 1, Ta có hàm sinh cho toán (1 + x)19 (1 + x + x5 ) Như ng.com (∗) tốn trênhttps://fb.com/tailieudientucntt tương đương với việc tìm hệ số x15 (∗) lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm dùng hàm sinh 09/2016 9/42 Theo công thức khai triển (3) ta có (1 + x)19 = + 19 x+ 19 19 19 x2 + · · · + x19 Đặt f (x) = (1 + x)19 g(x) = + x + x5 Gọi ar hệ số xr 19 f (x), br hệ số xr g(x) Ta thấy ar = , r b0 = b1 = b5 = 1, bi khác Hệ số x15 h(x) = f (x)g(x) tính cơng thức (6) là, a0 b15 + a1 b14 + · · · + a15 b0 Thu gọn ta a10 b5 + a14 b1 + a15 b0 = ng.com 19 10 ×1+ 19 14 ×1+ 19 15 × = 107882 https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm dùng hàm sinh 09/2016 10/42 = + x + x2 + x3 + · · · , ta tiến hành 1−x bước toán trên, ta Giải Từ cơng thức x Ta có x d = 1x + 2x2 + 3x3 + · · · + rxr + · · · dx − x d 1 x =x = Như dx − x (1 − x) (1 − x)2 x = 1x + 2x2 + 3x3 + · · · + rxr + · · · (1 − x)2 Ta lặp lại trình với x x ta (1 − x)2 d x x(1 + x) = = 12 x + 22 x2 + 32 x3 + · · · + r2 xr + · · · dx (1 − x) (1 − x)3 Cuối nhân vào hai vế phương trình ta h(x) = ng.com 2x(1 + x) = (2 × 12 )x + (2 × 22 )x2 + · · · + (2 × r2 )xr + · · · (1 − x)3 https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm dùng hàm sinh 09/2016 28/42 Ví dụ Xây dựng hàm sinh h(x) với hệ số ar = (r + 1)r(r − 1) Giải Cách Ta có (r + 1)r(r − 1) = r3 − r Do ta làm tương tự Ví dụ trên, ta tìm hàm sinh có hệ số r3 hàm sinh có hệ số r sau lấy hiệu chúng Cách Dựa vào công thức =1+ (1 − x)n 1+n−1 x + ··· + r+n−1 r xr + · · · Ta có 3! = 3! + (1 − x)4 1+4−1 x+ 2+4−1 r x2 + · · · Hệ số ar khai triển ar = 3! r+4−1 r ng.com = 3! (r + 3)! = (r + 3)(r + 2)(r + 1) r!3! https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm dùng hàm sinh 09/2016 29/42 Do 3! = (3 × × 1) + (4 × × 2)x + · · · + (r + 3)(r + 2)(r + 1)xr + · · · (1 − x)4 Nhân hai vế cho x2 ta 3!x2 = (3 × × 1)x2 + (4 × × 2)x3 + · · · + (r + 1)r(r − 1)xr + · · · (1 − x)4 Vậy hàm sinh cần tìm h(x) = Tổng quát Hàm sinh (n − 1)! ar = (n − 1)! r+n−1 r 6x2 (1 − x)4 có hệ số ar (1 − x)n = [r + (n − 1)] × [r + (n − 2)] × · · · × [r + 1] Ví dụ.(tự làm) Xây dựng hàm sinh với hệ số ar = 2r2 (r − 1) ng.com https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm dùng hàm sinh 09/2016 30/42 Định lý Nếu h(x) hàm sinh với ar hệ số xr , h(x) hàm sinh với hệ số xr ri=0 , nghĩa h∗ (x) = 1−x r ∗ h (x) = a0 + (a0 + a1 )x + (a0 + a1 + a2 )x + · · · + xr + · · · i=0 Chứng minh Định lý suy từ công thức = + x + x2 + x3 + · · · 1−x luật (3) Ví dụ Tính tổng × 12 + × 22 + × 32 + · · · + 2n2 Giải Từ ví dụ trước, ta xây dựng hàm sinh h(x) với hệ số ar = 2r2 2x(1 + x) h(x) = (1 − x)3 ng.com https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm dùng hàm sinh 09/2016 31/42 Theo định lý trên, tổng cần tìm a1 + a2 + · · · + an hệ số xn h∗ (x) = h(x) 2x(1 + x) 2x 2x2 = = + (1 − x) (1 − x)4 (1 − x)4 (1 − x)4 Ta có Hệ số xn 2x hệ số xn−1 (1 − x) (1 − x)4 Hệ số xn 2x2 hệ số xn−2 (1 − x) (1 − x)4 Do tổng cần tìm (n − 1) + − (n − 1) +2 (n − 2) + − (n − 2) =2 n+2 +2 n+1 Ví dụ Tính tổng 3.2.1 + 4.3.2 + · · · + (n + 1)n(n − 1) ng.com https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm dùng hàm sinh 09/2016 32/42 Giải Từ ví dụ trước, ta xây dựng hàm sinh h(x) với hệ số ar = (r + 1)r(r − 1) h(x) = 6x2 (1 − x)4 Ta có tổng cần tìm a1 + a2 + · · · + an hệ số xn h∗ (x) = 6x h(x) = (1 − x) (1 − x)5 Hệ số xn h∗ (x) với hệ số xn−2 6(1 − x)−5 , (n − 2) + − n+2 =6 n−2 ng.com https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm dùng hàm sinh 09/2016 33/42 2.6 Hệ thức đệ quy Trong phần này, trình bày ứng dụng quan trọng hàm sinh việc giải toán đệ quy Để tìm cơng thức tường minh an hệ thức đệ quy, ta gọi G(x) hàm sinh dãy {an }n≥0 tiến hành bước sau: - Bước Chuyển hệ thức đệ quy thành phương trình G(x), thường thực cách nhân hai vế hệ thức đệ quy cho xn , hay xn+1 , hay xn+k với k đó, lấy tổng tất số nguyên không âm n - Bước Giải phương trình để tìm G(x) - Bước Tìm hệ số xn G(x), hệ số an , ta cơng thức tường minh cho an Ví dụ Hãy sử dụng phương pháp hàm sinh để tìm nghiệm hệ thức đệ quy an+1 = 3an với a0 = ng.com https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm dùng hàm sinh 09/2016 34/42 Giải Gọi G(x) = n≥0 an xn hàm sinh dãy {an }n≥0 Ta nhân hai vế hệ thức đệ quy với xn+1 lấy tổng tất số nguyên n ≥ 0, ta an+1 xn+1 = n≥0 3an xn+1 n≥0 an xn − a0 = 3x ⇔ n≥0 Vì a0 = G(x) = an xn n≥0 n≥0 an x n nên ta có G(x) − = 3xG(x) ⇔ G(x) = Áp dụng công thức ng.com Vậy = 1−u n n≥0 u , n≥0 an = · 3n lvluyen@hcmus.edu.vn ta (3x)n = G(x) = 2 − 3x (2 · 3n )xn n≥0 https://fb.com/tailieudientucntt Chương Phương pháp đếm dùng hàm sinh 09/2016 35/42 Ví dụ Hãy sử dụng phương pháp hàm sinh để tìm nghiệm hệ thức đệ quy an = 8an−1 + 10n−1 với a0 = Giải Gọi G(x) = n≥0 an xn hàm sinh dãy {an }n≥0 Ta nhân hai vế hệ thức đệ quy với xn lấy tổng tất số nguyên n ≥ 1, ta an xn = n≥1 8an−1 xn + n≥1 n≥1 n ⇔ an xn + x an x − a0 = 8x n≥0 Vì a0 = 1, G(x) = n≥0 n≥0 an x n 10n xn n≥0 n n n≥0 10 x G(x) − = 8xG(x) + Ta giải 10n−1 xn = nên ta có − 10x x − 10x − 9x (1 − 8x)(1 − 10x) https://fb.com/tailieudientucntt G(x) = ng.com lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm dùng hàm sinh 09/2016 36/42 Biến đổi G(x) thành tổng phân thức đơn giản, ta có 1 + − 8x − 10x   1 = (8x)n + (10x)n  G(x) = n≥0 = n≥0 Vậy an = n≥0 n (8 + 10n ) xn n (8 + 10n ) Ví dụ.(tự làm) Hãy sử dụng phương pháp hàm sinh để tìm nghiệm hệ thức đệ quy an = an−1 + n với a0 = ng.com https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm dùng hàm sinh 09/2016 37/42 Ngồi ra, số tốn hệ thức đệ quy, ta dùng hàm sinh mũ tìm công thức tường minh an Ta gọi E(x) hàm sinh mũ dãy {an } tiến hành bước sau: - Bước Chuyển hệ thức đệ quy thành phương trình E(x), thường thực cách nhân hai vế phương trình đệ quy cho xn /n!, hay xn+1 /(n + 1)!, hay xn+k /(n + k)! với k đó, lấy tổng tất số nguyên không âm n - Bước Giải phương trình để tìm E(x) - Bước Tìm hệ số xn /n! G(x), hệ số an , ta công thức tường minh cho an Ví dụ Tìm nghiệm hệ thức đệ quy an+1 = (n + 1)(an − n + 1) với a0 = Giải Gọi E(x) = ng.com lvluyen@hcmus.edu.vn xn hàm sinh mũ dãy {an }n≥0 n! https://fb.com/tailieudientucntt n≥0 an Chương Phương pháp đếm dùng hàm sinh 09/2016 38/42 Ta nhân hai vế hệ thức đệ quy với xn+1 , lấy tổng với (n + 1)! n ≥ 0, ta xn+1 xn+1 − (n − 1) n! n! n≥0 n≥0   n n x xn x xn  − a0 = x an − x n − an n! n! n! n! an+1 n≥0 ⇔ n≥0 xn+1 = (n + 1)! an n≥0 n≥0 (∗) n≥0 Vì n n≥0 xn =0+ n! n n≥1 xn = n! nên từ (∗) ta có xn an − a0 = x n! n≥0 Vì E(x) = ng.com n≥0 an lvluyen@hcmus.edu.vn n≥1 n≥0 xn =x (n − 1)!  xn an − x x n! n≥1 n≥0 xn−1 =x (n − 1)! xn − n! n≥0 n≥0 xn n!  xn  n! xn xn x = , a = e nên n≥0 n!https://fb.com/tailieudientucntt n! Chương Phương pháp đếm dùng hàm sinh 09/2016 39/42 E(x) − = xE(x) − x(xex − ex ) ⇔ (1 − x)E(x) = (1 − x)xex + Suy E(x)= + xex = 1−x = n! n≥0 = n! n≥0 Như hệ số xn n! + xn + n! xn + n≥0 (n + 1) n≥0 n n≥1 xn+1 n! n≥0 xn+1 (n + 1)! xn n! xn E(x) n! + n Do an = n! + n n! Ví dụ Tìm nghiệm hệ thức đệ quy fn+1 = 2(n + 1)fn + (n + 1)! với f0 = ng.com https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm dùng hàm sinh 09/2016 40/42 xn hàm sinh mũ dãy {fn }n≥0 Nhân n! hai vế hệ thức với xn+1 /(n + 1)!, lấy tổng với n ≥ ta xn xn+1 = 2x fn + xn+1 fn+1 (n + 1)! n! Giải Gọi F (x) = n≥0 fn n≥0 n≥0 n≥0 Do f0 = nên vế trái F (x), hạng tử thứ vế phải 2xF (x), hạng tử thứ hai vế phải x/(1 − x) Do đó, ta có x F (x) = 2xF (x) + 1−x Suy ra, x F (x) = (1 − x)(1 − 2x) Phân tích F (x) thành tổng phân thức đơn giản ta F (x) = ng.com −1 + − x − 2x https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm dùng hàm sinh 09/2016 41/42 Áp dụng công thức = 1−u xn + F (x) = − n≥0 n n≥0 u , ta (2x)n = − n≥0 n! n≥0 xn + n! 2n n! n≥0 xn n! Do hệ số xn /n! F (x) fn = −n! + 2n n! = (2n − 1)n! ng.com https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm dùng hàm sinh 09/2016 42/42 ... lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm dùng hàm sinh 09 /20 16 6/ 42 2 .2 Hệ số hàm sinh Trong phần chúng sử dụng kỷ thuật đại số để tính toán hệ số hàm sinh Phương pháp chủ yếu đưa hàm sinh phức tạp hàm sinh. .. 12 )x + (2 × 22 )x2 + · · · + (2 × r2 )xr + · · · (1 − x)3 https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm dùng hàm sinh 09 /20 16 28 / 42 Ví dụ Xây dựng hàm sinh h(x)... lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm dùng hàm sinh 09 /20 16 26 / 42 Bài toán Cho g(x) hàm sinh có hệ số ar , xây dựng hàm sinh g ∗ (x) có hệ số rar Giải Ta tiến hành lấy đạo hàm g(x) sau nhân