Bài giảng toán học tổ hợp và cấu trúc rời rạc chương 6 các bài toán về đường đi

Chương CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG ĐI lvluyen@hcmus.edu.vn http://www.math.hcmus.edu.vn/~luyen/cautrucroirac FB: fb.com/cautrucroirac CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Nội dung Tìm đường ngắn Đồ thị Euler Đồ thị Hamilton CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Định nghĩa Định nghĩa Cho G = (V,E) đồ thị có trọng số Với H  G trọng lượng H tổng trọng lượng cạnh H w(H)   w(e) eH  Nếu H đường đi, chu trình, mạch w(H) gọi độ dài H  Nếu mạch H có độ dài âm H gọi mạch âm  Khoảng cách đỉnh u v độ dài ngắn đường từ u đến v CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ma trận khoảng cách Định nghĩa Cho đồ thị G = (V, E), V = {v1,v2,…,vn} có trọng số Ma trận khoảng cách G ma trận D= (dij) xác định sau: 0 i  j  dij   w(v i v j ) vi v j  E  vi v j  E  Nhận xét Mọi đồ thị hoàn toàn xác định ma trận khoảng cách CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ Tìm ma trận khoảng cách đồ thị sau CuuDuongThanCong.com 0     D        26  70   31 27     40     https://fb.com/tailieudientucntt  73 49  23 10   25 16      38   9  12   Ví dụ Tìm đồ thị có ma trận khoảng cách sau: 0  12 7  5   12 15 16 15  10 16    6 10   5  Đáp án D 16 12 B A 15 C CuuDuongThanCong.com 10 https://fb.com/tailieudientucntt E Bài toán Cho G = (V, E) đồ thị có trọng số Tìm đường ngắn từ u đến v tính khoảng cách d(u ,v) Nhận xét Nếu đồ thị G có mạch âm  đường từ u tới v đường ngắn từ u đến v không tồn v u  CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Một số lưu ý Khi tìm đường ngắn ta bỏ bớt cạnh song song để lại cạnh có trọng lượng nhỏ Đối với khun có trọng lượng khơng âm bỏ mà không làm ảnh hưởng đến kết tốn Đối với khun có trọng lượng âm đưa đến tốn tìm đường ngắn khơng có lời giải CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Nguyên lý Bellman Gọi P đường ngắn từ đỉnh u đến đỉnh v; t  P Giả sử P=P1P2 với P1 đường P từ u đến t P2 đường P từ t đến v Khi P1 đường ngắn từ u đến t Chứng minh Giả sử tồn P1’ đường ngắn t P1 ta có P1 P2 v u P1’ w(P1’) < w(P1)  w(P1’P2) < w(P1P2)=w(P) Vô lý P đường ngắn từ u đến v CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 10 Thuật tốn Fleurey Dùng để tìm chu trình Euler đồ thị từ đỉnh bất kỳ, ta áp dụng quy tắc sau: Quy tắc Xóa cạnh qua đỉnh lập có Quy tắc Khơng qua cầu trừ khơng cịn cách khác CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 42 Ví dụ Đồ thị sau có đồ thị Euler khơng Nếu có, tìm chu trình Euler c b a d e h f g Đáp án Chu trình Euler là: abcfdcefghbga CuuDuongThanCong.com 43 https://fb.com/tailieudientucntt 43 Ví dụ Đồ thị sau có chu trình hay đường Euler khơng? Nếu có, xác định chúng CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 44 Ví dụ Đồ thị sau có đồ thị Euler khơng Nếu có, tìm chu trình Euler CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 45 ĐƯỜNG ĐI HAMILTON CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 46 Giới thiệu Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) Năm 1857 W R Hamilton đưa trò chơi sau đây: Trên đỉnh số 20 đỉnh khối đa diện ngũ giác 12 mặt ghi tên thành phố giới Hãy tìm cách cạnh khối đa diện để qua tất thành phố, thành phố lần, sau trở điểm xuất phát CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 47 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 48 Một số toán  Tổ chức tour du lịch cho người du lịch thăm quan thắng cảnh thành phố lần  Bài toán mã tuần: Cho mã bàn cờ vua cho qua lần 10 11 12 H = [ 8, 10, 1, 7, 9, 2, 11, 5, 3, 12, 6, ] Đường Hamilton biểu diễn nước mã bàn cờ 3x4 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 49 Định nghĩa Định nghĩa Đường Hamilton đường qua tất đỉnh đồ thị đỉnh lần a Định nghĩa tương tự cho chu trình Hamilton b Đồ thi gọi đồ thị Hamilton có chu trình Hamilton G1 có đường chu trình Hamilton CuuDuongThanCong.com G2 có đường khơng có chu trình Hamilton G3 khơng có đường khơng có chu trình Hamilton https://fb.com/tailieudientucntt 50 Một số điều kiện đủ Định lý Cho G =(V,E) đồ thị đơn vô hướng cón n  đỉnh Khi  Nếu deg(u)  deg(v)  n với u v hai đỉnh khơng kề tuỳ ý G Hamilton  n Nếu deg(u)  với đỉnh u G Hamilton Ví dụ Đây đồ thị Hamilton? CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 51 Quy tắc xây dựng chu trình Hamilton Quy tắc để xây dựng chu trình Hamilton H đồ thị vô hướng không Hamilton Quy tắc Tất cạnh kề với đỉnh bậc phải H Quy tắc Khơng có chu trình tạo thành trình xây dựng H Quy tắc Khi chu trình Hamilton mà ta xây dựng qua đỉnh i xố tất cạnh kề với i mà ta chưa dùng Điều lại cho ta số đỉnh bậc ta lại dùng qu tắc Qui tắc Khơng có đỉnh lập hay cạnh treo tạo nên sau áp dụng quy tắc CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 52 Một số ví dụ Ví dụ Đồ thị sau có phải đồ thị Hamilton khơng? Nếu có tìm chu trình Hamilton Đáp án Có, ví dụ a, b, c, e, f, i, h, g, d, a CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 53 Ví dụ Đồ thị sau có phải đồ thị Hamilton khơng? Giải Giả sử G có chu trình Hamilton H, theo quy tắc 1, tất cạnh kề với đỉnh bậc H: 12, 14, 23, 36, 47, 78, 69, 89 Khi ta có chu trình là: 1, 2, 3, 6, 9, 8, 7, 4, Vậy G không đồ thị Hamilton CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 54 Ví dụ Đồ thị sau có phải đồ thị Hamilton khơng? Nếu có tìm chu trình Hamilton CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 55 Ví dụ Đồ thị sau có phải đồ thị Hamilton không? CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 56 ... (10 ,6) (10 ,6) (10 ,6) -2 (,-) (8,1) (8,1) (6, 6) (6, 6) (6, 6) (,-) (,-) (9,2) (9,2) (8,4) (8,4) (,-) (,-) (8,2) (8,2) (8,2) (8,2) https://fb.com/tailieudientucntt (7,1) (7,1) (10 ,6) (6, 6) (10 ,6) ... CuuDuongThanCong.com -6 https://fb.com/tailieudientucntt 30 1 2 -6 k 6 0 0 0 (,-) (7,1) (7,1) (7,1) (4,4) (4,4) (4,4) (,-) (,-) (11,2) (10 ,6) (10 ,6) (8,2) (7 ,6) (,-) (8,1) (8,1) (2 ,6) (2 ,6) (2 ,6) (-1 ,6) (,-)... v6, v7} xác định ma trận trọng số D Dùng thuật toán Dijkstra tìm đường ngắn từ v1 đến đỉnh v2, v3, v4, v5, v6, v7  31 40        27  73       26 49 25 38    D       16