Giáo trình toán rời rạc

GS.NGUYN HU ANH TOAN RễỉI RAẽC NH XUT BN LAO NG X HI MC LC CHNG 1: C S LOGIC Đ1 PHP TNH MNH Đ2 DNG MNH Đ3 QUY TC SUY DIN 12 Đ4 V T V LNG T 18 Đ5 NGUYấN Lí QUY NP 23 BI TP CHNG .25 CHNG 2: PHNG PHP M 36 Đ1 TP HP 36 Đ2 NH X 38 Đ3 PHẫP M 40 Đ4 GII TCH T HP 45 Đ5 NGUYấN Lí CHUNG B CU 48 BI TP CHNG .50 CHNG 3: QUAN H 57 Đ1 QUAN H 57 Đ2 QUAN H TNG NG 60 Đ3 TH T 62 Đ4 DN 66 Đ5 DN 69 Đ6 DN 70 BI TP CHNG .76 CHNG 4: I S BOOL V HM BOOL 83 Đ1 I S BOOL 83 Đ2 HM BOOL 88 Đ3 MNG CC CNG V CễNG THC A THC TI TIU 92 Đ4 PHNG PHP BIU KARNAUGH 96 Đ5 PHNG PHP THA THUN 104 BI TP CHNG 110 GII P MT S BI TP 114 GS Nguyn Hu Anh GS Nguyn Hu Anh CHNG 1: C S LOGIC Đ1 PHP TNH MNH Trong toỏn hc ta quan tõm n nhng mnh cú giỏ tr hõn lý xỏc nh (ỳng hoc sai nhng khụng th va ỳng va sai) Cỏc khng nh nh vy c gi l mnh Cỏc mnh ỳng c núi l cú giỏ tr chõn lý ỳng (hay chõn tr ỳng), cỏc mnh sai c núi l cú chõn tr sai Vớ d: Cỏc khng nh sau l mnh : Mụn Toỏn ri rc l mụn bt buc cho ngnh Tin hc 1+1=2 l s nguyờn t Hai mnh u cú chõn tr 1, mnh th ba cú chõn tr Cỏc khng nh di dng tỏn than hoc mnh lnh khụng phi mnh vỡ nú khụng cú chõn tr xỏc nh Khng nh l s nguyờn t khụng phi mnh Tuy nhiờn, nu thay n bng mt s nguyờn c nh thỡ ta s cú mt mnh : chng hn vi = ta cú mt mnh ỳng, vi = ta cú mt mnh sai Khng nh ny c gi l mt v t v cng l i tn kho sỏt ca logic Ta thng ký hiu cỏc mnh bi cỏc ch , , , v chõn tr ỳng (sai) c ký hiu bi (0) ụi ta cũn dựng cỏc ký hiu , ch chõn tr ỳng v d ch chõn tr sai Phõn tớch k cỏc vớ d ta thy cỏc mnh c chia lm loi: Cỏc mnh c xõy dng t cỏc mnh khỏc nh liờn kt chỳng li bng cỏc liờn t(v, hay, nu thỡ ) hoc trng t khụng Ta núi cỏc mnh ny l mnh phc hp Vớ d: Nu tri p thỡ tụi i l mt mnh phc hp Cỏc mnh khụng th xõy dng t cỏc mnh khỏc bng cỏc liờn t hoc trng t khụng Ta núi cỏc mnh ny l mnh nguyờn thy hay s cp Vớ d: Hụm tri p, l s nguyờn t l cỏc mnh nguyờn thy Mc ớch ca phộp tớnh mnh l nghiờn cu chõn tr ca mt mnh phc hp t chõn tr ca cỏc mnh n gin hn v cỏc phộp ni ca nhng mnh ny th hin qua lien t hoc trng t khụng Cỏc phộp ni: Phộp ph nh: ph nh ca mnh P c ký hiu bi (c l khụng P) Chõn tr ca l nu chõn tr ca l v ngc li Ta cú bng sau gi l bng chõn tr ca phộp ph nh: GS Nguyn Hu Anh 1 Phộp ni lin: mnh ni lin ca hai mnh P, Q c ký hiu bi PQ (c l P v Q) Chõn tr ca PQ l nu c P ln Q u cú chõn tr Trong cỏc trng hp khỏc, PQ cú chõn tr Núi cỏch khỏc phộp ni lin c xỏc nh bi bng chõn tr sau: 0 0 1 0 1 Vớ d: mnh Hụm tri p v trn búng ỏ s hp dn c xem l mt mnh ỳng nu c hai iu kin tri p v trn búng ỏ s hp dn u xy Ngc li nu mt mnh ỳng mt mnh sai hoc c hai mnh u sai thỡ mnh l mt mnh sai Phộp ni ri: mnh ni ri ca hai mnh P, Q c ký hiu bi PQ (c l P hoc Q) Chõn tr ca PQ l nu c P ln Q u cú chõn tr Trong cỏc trng hp khỏc, PQ cú chõn tr Núi cỏch khỏc phộp ni ri c xỏc nh bi bng chõn tr sau: 0 0 1 1 1 Vớ d: Ba ang c bỏo hay xem tivi l mt mnh ỳng nu lỳc ny ba c bỏo, xem tivi hay va c bỏo va xem tivi (!) Ngc li nu c hai vic trờn u khụng xy ra, vớ d Ba ang lm vic thỡ mnh l mnh sai Chỳ ý rng mnh PQ, t hay c dung theo ngha bao gm,ngha l v cú th ng thi ỳng Tuy nhiờn theo ngụn ng hng ngy ta thng hiu theo ngha loi tr, ngha l ỳng hay ỳng nhng khụng ng thi ỳng phõn bit rừ rang, trng hp loi tr ta s s dng t hoc: hoc v ký hiu ( hay nhng khụng ng thi c hai) Bng chõn tr ca l: GS Nguyn Hu Anh 0 0 1 1 1 Phộp kộo theo: nu P thỡ Q c ký hiu l (cng c l kộo theo , hay l iu kin ca , hay l iu kin ca ) xỏc nh chõn tr cho ta hóy xem vớ d mnh nu tri p thỡ tụi i Ta cú cỏc trng hp sau: tri p v tỏc gi ca khng nh ang i do: y hin nhiờn l mnh ỳng tri p v tỏc gi ngi nh: mnh rừ rng sai tri xu v tỏc gi i do: mnh ỳng tri xu v tỏc gi ngi nh: mc dự tri xu nhng tỏc gi khụng vi phm khng nh ca mỡnh nờn mnh phi c xem l ỳng T ú ta cú bng chõn tr ca phộp kộo theo nh sau: 0 1 1 0 1 Chỳ ý: Vi quy c v chõn tr nh trờn, ta s cũ nhng khng nh ỳng rt ng nghnh nh: nu 2=1 thỡ Quang Trung v Trn Hng o l mt ngi Cn phõn bit mnh vi lnh mt s ngụn ng lp trỡnh vớ d nh Pascal, Basic Trong thỡ c v l mnh cũn lnh ỡ l mt mnh cũn l mt dóy liờn tip dũng lnh s c thc hin nu mnh P cú chõn tr v s c b qua nu P cú chõn tr l Nhc li rng cỏc dũng lnh l nhng mnh lnh m mỏy phi thc hin nờn khụng phi l mt mnh d theo ngha ta xột Dự cng cú mt s tng t gia hai i tng v Hn na cú th li dng cỏc tng ng logic thc hin lnh cú hiu qu Trong ngụn ng hng ngy, ngi ta thng hay nhm ln phộp kộo theo vi kộo theo hai chiu, chng hn nh phỏt biu ging viờn khoa Toỏn dy nghiờm tỳc m vit theo phộp ni l nu anh l giỏo viờn khoa Toỏn thỡ anh dy nghiờm tỳc thng b phn ng giỏo viờn cỏc khoa khỏc vỡ h cho rng ngi núi ó ỏm ch nu l ging viờn khoa khỏc thỡ dy khụng nghiờm tỳc Tht phỏt biu, ngi núi cú cng mun ỏm ch nu anh l giỏo viờn khoa Toỏn thỡ anh dy nghiờm tỳc õy nu vit phỏt biu ban u di dng thỡ hai phỏt biu hiu nhm s cú dng (ơ ) (ơ ) v Tuy nhiờn, nu bao gm them mt hai phỏt biu sau, thỡ phỏt biu thnh mt phộp kộo theo hai chiu theo ngha di õy GS Nguyn Hu Anh Phộp kộo theo hai chiu: mnh nu thỡ v ngc li c ký hiu l (cng c l v ch , nu v ch nu , hay P l iu kin cn v cú ) Theo trờn, c hai chiu v u ỳng nờn nu ỳng thỡ cng ỳng v ngc li Do ú ta cú bng chõn tr ca phộp kộo theo hai chiu nh sau: 0 1 0 1 Đ2 DNG MNH Trong i s ta cú cỏc biu thc i s c xõy dng t: cỏc s nguyờn, hu t, thc, m ta gi l hng s cỏc bin , , cú th ly giỏ tr l cỏc hng s cỏc phộp toỏn thao tỏc trờn cỏc hng s v cỏc bin theo mt th t nht nh Khi thay th cỏc bin mt biu thc i s bi cỏc hng s thỡ kt qu thc hin phộp toỏn biu thc s l mt hng s no ú Trong phộp toỏn mnh ta cng cú cỏc biu thc logic tng t m ta gi l cỏc dng mnh c xõy dng t: cỏc mnh (hng mnh ) cỏc bin mnh , , cú th ly giỏ tr l cỏc mnh no ú cỏc phộp ni thao tỏc trờn cỏc hng mnh v bin mnh theo mt th t nht nh õy th t c xỏc nh bi cỏc du () ch rừ phộp ni thc hin trờn cp mnh no, ỳng l trờn cỏc biu thc no Vớ d nh: ( , , ) = ( ) ((ơ ) ) l mt dng mnh ú , , l cỏc bin mnh cũn mnh l mt hng Gi s , l dng mnh , y , , , l cỏc dng mnh Bng cỏch ny ta cú th xõy dng c cỏc dng mnh cng ngy cng phc Mt khỏc, iu ta quan tõm i vi mt dng mnh ( , , , ) l chõn tr ca mnh ú cú c ( , , , ) khi thay cỏc bin mnh , , , bi cỏc hng mnh , , , cú chõn tr xỏc nh, ngha l s ph thuc ca chõn tr ca ( , , , ) theo cỏc chõn tr ca , , , ch khụng phi theo cỏc th hin c th , , , qua cỏc mnh cu th , , , Núi cỏch khỏc mi mt dng mnh ( , , , ) cú mt bng chõn tr xỏc nh ú mi dũng cho bit chõn tr ca ( , , , ) theo cỏc chõn tr c th ca , , , GS Nguyn Hu Anh Vớ d: Ta hóy xõy dng bng chõn tr ca hai dng mnh ( ) v ( ) theo cỏc bin mnh , , ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 Ta thy hai dng mnh ( ), ( ) cú bng chõn tr khỏc iu ny cho thy th t thc hin cỏc phộp ni l quan trng v s cn thit ca cỏc du () Tuy nhiờn ta s quy c rng nu phộp ni i cựng vi mt phộp ni khỏc m khụng cú du () thỡ phộp ni s c u tiờn thc hin trc Vớ d nh cú ngha l thc hin trc ri mi thc hin , núi cỏch khỏc biu thc v (ơ ) l mt Trong trng hp mun thc hin sau ta phi t du ngoc: ơ( ) Ta hóy xõy dng bng chõn tr ca hai dng mnh v 0 1 1 1 1 0 0 1 1 Nh vy hai dng mnh tng ng logic theo ngha sau v cú cựng bng chõn tr Ta núi chỳng nh ngha 1.2.1: hai dng mnh , c núi l chỳng tng ng logic nu chỳng cú cựng bng chõn tr Khi y ta vit Chỳ ý rng nu v tng ng logic thỡ dng mnh tr dự cỏc bin cú ly giỏ tr no i na luụn luụn ly giỏ nh ngha 1.2.2: i ii Mt dng mnh c coi l mt hng ỳng nu nú luụn luụn ly chõn tr Mt dng mnh c coi l mt hng sai hay mõu thun nu nú luụn luụn ly chõn tr T nhn xột trờn, ta luụn cú Mnh 1.2.1: hai dng mnh hng ỳng GS Nguyn Hu Anh v tng ng logic v ch l mt Nu ch ý n phộp kộo theo mt chiu ta cú nh ngha 1.2.3: dng mnh c núi l h qu logic ca mnh mt hng ỳng Khi y ta vit Ta cng núi l h qu logic ca Nh th núi rng l h qu logic ca tng ng logic vi cú ngha l nu l h qu logic ca l v Trong phộp tớnh mnh , ta thng khụng phõn bit cỏc dng mnh tng ng logic Ta cú Quy tc thay th th nht: dng mnh nu ta thay th biu thc bi mt dng mnh tng ng logic thỡ dng mnh thu c cũn tng dng logic vi Chỳ ý: Ta ó s dng khỏi nim biu thc theo mt ngha ht sc t nhiờn: dng mnh xut hin , hay núi cỏch khỏc cú th xõy dng t v mt s dng mnh khỏc qua cỏc phộp ni Vớ d: ( ) tng ng logic vi (ơ ) vỡ ú biu thc c thay th bi dng mnh tng dng logic l ó Vi quy tc thay th trờn ta cú th rỳt gn mt dng mnh bng cỏch thay mt biu thc bi mt dng mnh tng ng nhng n gin hn hoc giỳp cho bc rỳt gn tip theo d dng hn Ngoi ra, cng cn nhn bit mt s hng ỳng Thng cỏc hng ỳng ny cú th suy t mt s hng ỳng n gin nh: Quy tc thay th th hai: gi s dng mnh ( , , , ) l mt hng ỳng Nu ta thay th nhng ni p xut hin E bi mt dng mnh tựy ý ( , , , ) thỡ dng mnh nhn c theo cỏc bin , , , , , , , cũn l mt hng ỳng Ngoi hai quy tc thay th trờn, ta cũn s dng 10 quy lut logic c phỏt biu di dng cỏc tng ng logic cú th rỳt gn mt dng mnh cho trc Ta cú nh lý 1.2.2 (Quy lut logic): vi , , l cỏc bin mnh , l mt hng ỳng v l mt mõu thun (hng sai), ta cú cỏc tng ng logic: i Ph nh ca ph nh: ơơ ii Quy tc De Morgan: ơ( ) ơ( ) iii Lut giao hoỏn: iv Lut kt hp: ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) v Lut phõn b: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) GS Nguyn Hu Anh vi vii Lut ly ng (Idempotent Rules) Lut trung hũa: viii Lut v phn t bự: ix Lut thng tr: x Lut hp th: ( ) ( ) Chng minh: c gi cú th kim tra d dng 10 quy lut logic trờn bng cỏch lp bng chõn tr ca hai v ca tng ng logic pcm Vớ d: T quy tc De morgan ta c hng ỳng ơ( ) Thay th p bi r s ta s c mt hng ỳng mi ơ( ( ) ) ơ ( ) Hóy chng minh dng mnh sau l hng ỳng [ ( ) [ ( ) (ơ ) ] ] (ơ ) Mun vy ta thay th rs bi p v ơt sau l hng ỳng: (1.2.1) u bi q v a v chng minh dng mnh [ ( ) ] Ta s dng liờn tip quy tc thay th th nht v c cỏc tng ng logic sau: [ ( ) ] [ (ơ ) ] [ ( ) ( ) ] [ 0 ( ) ] [ ( ) ] ơ Do ú 1.2.1 l mt hng ỳng Tng t nh trờn ta cú: ( ) ơ (ơ ) ( ) (1.2.2) GS Nguyn Hu Anh 10 ( ) ơ Dựng PP Ph nh ln 34 a) Sai b) ỳng c) ỳng 37 a) ỳng: nu thay >0 b) Sai: chn d) ỳng: chn bi phn t tựy ý cho ( ) ỳng thỡ = thỡ (0) sai nờn (0) (0) ỳng d) ỳng: chn = thỡ (0) sai nờn (0) (0) ỳng e) Cho b) ỳng c) ỳng = tựy ý, chn = Khi ú d) ỳng thỡ ( , ) ỳng f) Sai cỡ cú ph nh ỳng l: , ( , ) Tht vy cho ( , ) ỳng g) ỳng = hay = thỡ (5) ỳng v (5) sai c) ỳng: chn 38 a) Sai = e) Sai: chn x=0 tựy ý, chn = + thỡ h) ỳng 39 a) Sai: ch = v = thỡ > nhng < Ph nh ó cho c vit ỳng b) ỳng Ph nh ó cho c vit ỳng c) ỳng 1.3=3 l s l Ph nh c vit khụng chớnh xỏc Ph nh ỳng l: tớch ca hai s l bt k l s chn d) ỳng Ph nh c vit khụng chớnh xỏc Ph nh ỳng l : tn ti s hu t cú bỡnh phng l s vụ t 40 a) Tn ti s nguyờn cho chia ht cho v s chn b) Tn ti s nguyờn chn cú bỡnh phng l s l c) Tn ti cỏc s nguyờn , , cho , d) Tn ti s thc cho > 16 v e) Tn ti s thc cho | 3| < v l s l hay 10 41 a) , ( ) ( ) , ( ) ( ) b) , ( ) ( ) ,ơ ( ) ( ) , ( ) ( ) c) , ( ) ( ) , ơ ( ) ( ) , ( ) ( ) d) , ( ) ( ) ( ) , ( )ơ ( ) 43 a) , d) Trong = b) , + =0 c) , ( 0) ( , = 1) b) nh trờn ú c) phi c thay bi , (| | = 1) ( , 44 a) , ( 0) ! vit: 0, ! : =1 b) , , ! : = : = Nu + = 1) c hiu ngm thỡ mnh trờn cú th c) , ! : = +7 45 , ! , = ỳng ! , , = sai Tht ta cn kim tra , , ỳng Mun vy, ta cho = tựy ý v chn = + thỡ = + GS Nguyn Hu Anh 115 Vi kt qu trờn thỡ a) sai v b) ỳng 46 Chn = 0, = 0, = thỡ ( , ) v ( , ) ỳng Nh vy ! ( , ) sai Suy ! ; ( , ) cng sai T ú ta thy c hai kt lun a) v b) u ỳng 47 Vi hp v tr mnh trờn sai = {1,2} thỡ mnh ! , > ỳng vi = {1,2} thỡ 49 a) ỳng Qui tc c bit húa ph dng v PP khng nh ó c s dng b) Sai Cú th ụng Bỡnh ó úng thu nhng khụng l cụng dõn tt (vi phm lut giao thụng chng hn!) c) Sai Cú th H khụng quan tõm n mụi trng nhng riờng cỏc tỳi nha b i (b m bt chng hn!) d) Sai.Cú th Minh khụng np bi cha lm xong vỡ khụng chu lm bi (do ú Minh khụng phi l sinh viờn nghiờm tỳc) 50 a) b) hin nhiờn c) S dng Qui tc c bit húa ph dng, Qui tc tng quỏt húa ph dng v Phộp chng minh theo trng hp, d) Xột hai v t trờn : ( ): " 0" ( ): " 0" Khi y , ( ) ( ) ỳng c , ( ) v , ( ) u sai 54.Suy lun sai ngay bc qui np u tiờn: (1) (2) 55 Gi s s liờn tip bt k cú tng 38 Khi y ta cú: (1 + + + 25) ngha l 25.39 25.38 25.38: mõu thun 56 a) Suy d dng t nguyờn lý qui np b) Cn chng minh bng qui np bt ng th ph nu > thỡ + < c) Cn chng minh bng qui np bt ng th ph: nu v nu > thỡ > thỡ + 10 < +3 +1 < 57 Gi s 1+2++ = +2 Khi y: 1+ ++ +1= + 2 + +1= +1+ 2 Tuy nhiờn (1) ó sai nờn khụng ỏp dng nguyờn lý qui np c 58 Cụng thc cn chng minh l ( + 1) + ( Gi s cụng thc trờn ỳng vi + 2) + + ( + 1) = + ( + 1) , = Ta cú: (( + 1) + 1) + (( + 1) + 2) + + ( + 2) GS Nguyn Hu Anh 116 =( + + + 1) + ( + + + 2) + + + + + 1) + ( + 1)2 + + + ( + 1)2 + + +( =( + 1) + ( = ( + 1) + + 2) + + ( + 1) + (2 + 1) (2 + 1) + + + + 12 + = ( + 1) + ( + 2) +6 CHNG Bn hp bng Tuy nhiờn cỏch vit sau khụng hp lý vỡ cú nhng phn t c k ln hp a) ỳng b) ỳng c) ỳng a) e) Sai Ta phi vit {2} a) Sai b) c) d) ỳng a) {0,2} b) 2, , a) b) c) e) ỳng , d) ỳng b) f) Sai Ta phi vit {2} , , c) , , , , d) v f) Sai Ch cú d) khỏc vỡ phn trỡnh tng ng cú nghim a) {1,2,3,5} b) g) i) {1,3,4,5,8} h) {1} a) c) d) ỳng b) e) f) Sai 10 a) c) b) b) Sai, chn d) tựy ý v 12 a) Sai, chn \{2} c) v d) tựy ý v = , = , = = = c) ỳng Ta cú: ( ) ( ) = ( ) Suy ( ) ( )= Do 11 d) Tng t ta cú = {1 }, 13 a) Sai Chn 15 a) ( ) = ( ) c) ( 21 a) ( ) = v ) = ( ) = (3 ) = ( ); b) = =( ) Ngha l = {2 } f) {1,2,3,4,5,8} e) = {2 + 1/ } f) = e) {4,8} = = = = b) ỳng b) ( ) ( = )( ) = d) Tp hp ó cho bng ( ) =3 ( ) = ( ) = 3( ) ( )= 2, ( )= ( )=9 , 3, = , = = Bng qui np 22 ( )= = 23 a) ( ) = = b) (1) = (3) = nờn ( ) ( ) ( )= l song ỏnh nh x ngc ( ) = 27 ( )= ( ) : cho bi ( )= khụng n ỏnh GS Nguyn Hu Anh 117 c) Hm s tng ngt trờn [4,9] nờn l n ỏnh Mt khỏc ([4,9]) [21,96] Hn na vi [21,96] thỡ phng trỡnh + = cú nghim nht l = + + Do ( ) = + + ú l song ỏnh vi ỏnh x ngc l d) l song ỏnh nh x ngc: ( )= v +1= 10 = 252 b) = 35 10 c) = 56 4 33 a) 34 a) ú l cỏc hp cú dng vi l mt ca ca {2,4,6,8,10} v {1,3,5,7,9,11} Do ú theo Nguyờn lý nhõn s hp ny l: (2 1)2 b) Tng t nh trờn, s hp cú dng ny l (2 1) c) Tng quỏt húa: nu l mt hp s chn cú phn t v l mt hp s chn cú phn t thỡ s hp ca cha ớt nht mt s chn l: (2 1)2 35 = 20 38 a) S nhón hiu tha ớt nht tớnh nng l: |( ) ( ) ( )| = | | + | | + | | = S nhón hiu tha ớt nht tớnh nng l: |( ) ( ) ( )| = 18 = 14 Do ú s nhón hiu tha ỳng tớnh nng l 10 b) S nhón hiu khụng tha tớnh nng no l 15 - 14=1 7 = 112 40 a) = 126; 41 = b) 2 2; ! ! ! ! 44 Gi , , l hp cỏc sinh viờn lm thớ nghim th nht, th hai v th ba tng ng Ta cú: | | = 21 = 16, | | = 21 = 14, | | = 21 = 15 p dn 38 ta c | | + | | + | | = 33 S sinh viờn lm ớt nht hai thớ nghim l: |( ) ( ) ( )| = 33 3| |+| | = 15 Do ú cú 21 15 = sinh viờn ch lm c mt thớ nghim 45 Mi ng i c xỏc nh bi ký t (i ngang) chn mt dóy gm cú v (i lờn) Do ú s cỏc ng i khỏc l + = + ký t + 10 + 13 = = 286 41 14 10 + 47 a) = = 1001 46 b) Chia cho a tr ln nht hai hũn bi, cũn li chia cho a: c) Chia hũn bi cũn lc h a: 5+51 = = 126 51 48 a) Cho vo mi hp mt vt, cũn li GS Nguyn Hu Anh 12 8+51 = = 495 51 vt chia cho hp: + = 1 119 b) 1 49 a) õy l s nghim ca phng trỡnh + + + =8 8+41 11 = = 165 41 b) Ch cú nghim: = = = =8 + c) Chớnh l s nghim ca phng trỡnh + + = 28 vi , , 0,0 24: 31 = 4475 3 chớnh l s nghim ca õy + + + =3 50 a) Theo Nguyờn lý nhõn, s cỏc s hng (2 ) (3 ) l: ì ì = 420 l 420 ì ì = 15120 Do ú h s ca b) S s hng cú dng = 7, vi , 5: + l s nghim ca phng trỡnh + + + 11 7+51 = = 330 51 8 53 a) = 28 b) = 70 c) = 28 8 d) õy cng l s byte cú nhiu nht bit 0: + + = 37 15 25 25 55 a) = 105 b) = 2300, = 12650 56 a) = ( )( ) b) Cú tam giỏc cú chung hai cnh vi a giỏc u v ( 4) tam giỏc cú chung mt cnh vi a giỏc u Do ú s tam giỏc khụng cú cnh chung l ( 1)( 2) ( 4) = ( + 20) 59 a) (1 + 2) = b) (1 + ) =1 c) 1 = ! ( )! ! d) 1 = ! ( 1)! ! = (1) ! = (1 1) = ! 60 Gi s mi ca cú ớt hn b cõu Khi y ta cú: < = : mõu thun 61 a) t nht ln: Nguyờn lý chung b cõu b) Gi l s ln tung Do 60 Ta cn cú: Do ú giỏ tr nh nht ca l 13 c) 6( 1) + GS Nguyn Hu Anh 120 63 a) Ta chn 10 ca chung b cõu: [1,2),[2,3),,[9,10),{10} Do nguyờn lý chung b cõu cú hai phn t cú cn bc hai cựng thuc mt hp, ngha l: < < b) Cho trc mt s nguyờn > Trong + phn t khỏc ca {1,2, , nht phn t , cho: < Nu khụng chia ht cho , thỡ phng trỡnh dng d l vụ b) Gi = nghim Mt khỏc gi s | y ta a v vic gii phng trỡnh ng d = : ( ) Theo a) phng trỡnh trờn cú nghim nht ( ) : 1( ) ú cng l nghim ca phng trỡnh ng d ban u 55 a) (3,16)=1 Ta cú ì 11 33 1( b) (5,23)=1 Ta cú ì 14 70 1( 16) nờn 23) nờn c) Phng trỡnh cú dng 12 10( M ì 1( 11) nờn ì 10 64) nờn 14(6 7) 9( 16) 23) 11) d) Phng trỡnh cú dng 52 12( M ì 13 65 1( 11 ì 13( (11) 64) 13 ì 12 28( 64) CHNG a) Gi s v l hai phn bự ca M ( ) Suy =( )( Ta cú: ( ) )=( =0 = )1 = = Tng t nu xột ( ) ta cng cú Ngha l = b) Kim tra trc tip t nh ngha ca phn bự ri s dng a) GS Nguyn Hu Anh 125 a) Do nờn l tri chung ca Nh th = sup{ , } = b) Do a) c) d) a) v v = Suy Suy b) ( ) nờn ( )= ( ) = ( ) thỡ = : ( ) = l tri chung ca , v Hn na nu = = ( ) ( ) ( ) = ( ) Do ú phn bự ca nú l: Khi y v = a) Xột mt phn t , = , = , { }, { , }, { , , } , = , { }, { , }, { , , } , = b) Cú i s l , { }, { , } { , , } c) Vi , tựy ý ta cú , nờn Suy = ú l i s Bool vi phn t trung hũa i vi l Hn na vi thỡ l phn bự ca Tuy nhiờn nú khụng phi l i s nu vỡ y nú khụng cha a) Gi s ( ) , tn ti cho = hay = , ngha l = hay = ( ) = Ta cú ( ) ( ) nờn suy (2,3,7) ta phi cú (35) = b) Trc tip t nh ngha ca i s (5,7), 70 = (35,2) 42 = a) Do 35 = { , }, (70) = { , , }, (42) = { , , } b) Mi ng cu phi bin nguyờn t thnh nguyờn t nờn c xỏc nh hon ton bi mt song ỏnh gia {2,3,5,7} v { , , , } Cú tt c 4! = 24 ng cu khỏc 11 a) ( ) = ( ) ( ) ( = = ( ) = ) ( ) ( ) ( ) = ( ) = ( ) = ( ) ( ) = ( )( ) Cỏc tớnh cht khỏc hin nhiờn b) t = ( ) ( ) Suy Tng t GS Nguyn Hu Anh = = 126 Vy ( ) = Do ú ( ) Mt khỏc = ( ) ( ) = ( )( ) = Nh th = = 13 a) = t Mt khỏc gi s b) =( )( )= = Ta cú: = = = Ngc li gi s Suy = = ( )= c) Ta cú ( ) = v =1 Khi y l nghim ca (1) d) Nu l nghim, b) thỡ = = e) Nghim ca = cú dng vi = Ngc li nu = Nh th nờn l nghim c) cng l nghim ca = vi nờn ta a v (1) 14 Do 1728 = chia ht cho chớnh phng nờn khụng l i s Bool Hn na s m khụng cú dng 1, nờn khụng cú th t no trờn cho nú tr thnh dn bự phõn b, ngha l i s Bool 16 a) ( ) = nu l nguyờn t b) Nhn xột rng nu l nguyờn t khụng tri bi thỡ l tri trc tip ca Do ú ta cú th chng minh bng qui np rng ( ) = nu cú ỳng nguyờn t tri bi Suy ( ) = ( ) + ( ) ( ) 17 a) b) = 1 18 a), b) 19 a) b) c) =1 d) e) c), d) = 1, ự ý c) d) = 15 im cú ỳng thnh phn bng Cũn li (2 15) = 49 im, nờn cú hm Bool tha iu kin ny 20 a) Cú 6 + = im ú s thnh phn cú giỏ tr bộhon 2, nờn tng s hm Bool tha iu kin ny l = 128 b) Cú c) =2 v = = 256 21 Ta cú (1,0) = (0,1) nờn cỏc hm Bool ny u cú dng , , l cỏc hng s bt k thuc {0,1} 22 Ta cú (1,0,0) = (0,0,1) = (0,1,0) v (1,1,0) = (1,0,1) = (0,1,1) Do ú cỏc hm Bool ny u cú dng: ( , , ) = ( ) ú l cỏc hng s tựy ý thuc {0,1} GS Nguyn Hu Anh ( ( ), vi ) 127 23 Hm Bool bin khụng thay i giỏ tr ta hoỏn v bin bt k chớnh l cỏc h m Bool 22 Tng t mt hm Bool bin thay i giỏ tr ta hoỏn v bin bt k cú dng: ( ) ( ( , , , )= thuc {0,1} ) vi ) ( , , , , l cỏc hng s tựy ý 24 Xột , , {0,1} Khi y ớt nht s s trờn bng Gi s = Ta cú: ( , , )= ( , , ) ( , , )=0 Tng t cỏc trng hp khỏc ta cng cú = Nu > 2 cng khụng tn ti hm Bool bin tha iu kin trờn Tuy nhiờn nu = thỡ cỏc hm Bool nh vy cú dng ( , ) = vi l hng s tựy ý thuc {0,1} 25.Lp bng chõn tr Khi y hm chn c xỏc nh hon ton bi = tiờn Do ú hm chn l = 2, ta c hm chn: Vi bin l 26 Tng t 25, s hm l = hay 27 a) Hai v bng Vi , dũng u , 0,1 = 2, ta c hm l: , , , =0 ì b) Xột ỏnh x ( , ) )= ( ,, vi ( , , , ỏnh x trờn l song ỏnh Suy | c) Bng qui np trờn ) ( ,, ) Khi y ta kim c d dng | = | | ì | |.Bng qui np trờn ta suy | | = v tớnh phõn b 28 a) Vit hm hng theo bin cũn li nh l tng Bool ca t ti tiu v s dng tớnh phõn b, ta vit c nh l tng Bool ca t ti tiu theo bin b) : = Do ú hm Bool tri 29 a) b) = 31 a) b) 32 = l tớch ca mt s t n xut hin Suy cú 34 35 Cng NOT cú th tng hp nh sau: GS Nguyn Hu Anh 128 = Do ú cng AND v cng OR c tng hp nh cỏc cụng thc: =( 36 ) ( = v = ) 37 = Ta vit = s dng mt cng NOR vo tng hp t ti tiu ny Tng t cho cỏc t ti tiu khỏc = Mt khỏc ta cú th vit thit k mng ch dựng cng NAND , , , 38 a) Cỏc t bo ln: , , = hai cụng thc: = L ti tiu Dựng phng phỏp biu Karnaugh ta uc , ú ch c cụng thc du , , , , , Cú cụng thc a ti tiu: , = b) Cỏc t bo ln: , = = c) Dng ni ri chớnh tc cng l cụng thc a thc ti tiu nht , , d) Cỏc t bo ln: , Cụng thc cụng thc a thc ti tiu nht: , e) Cỏc t bo ln: , , f) Cỏc t bo ln: , , = v = b) = = = d) = , , = = , = = = c) Cú cụng thc a thc ti tiu: Cú cụng thc a thc ti tiu: 39 a) = e) Dựng phng phỏp biu Karnaugh c cụng thc trog ú ch cú mt cụng thc ti tiu: = f) = g) = h) = i) = 40 a) = õy cng l cụng thc a thc ti tiu nht mng ti u s dng cng AND v cng OR b) = õy cng l cụng thc a thc ti tiu nht Mng ti u s dng cng AND v cng OR õy cng l cụng thc a thc c) = ti tiu nht Mng ti u s dng 24 cng AND v cng OR GS Nguyn Hu Anh 129 ... dụng hai quy tắc Bình chơi Bình không học Toán rời rạc Bình không học Toán rời rạc Bình trượt Toán rời rạc Mà Bình thích chơi Vậy Bình trượt Toán rời rạc Nếu trừu tượng hóa med nguyên thủy thành... chăm Minh đạt Toán rời rạc Mà Minh học chăm Suy Minh đạt Toán rời rạc Thật quy tắc Modus Ponens, mệnh đề p→q thường có dạng tổng quát “với sinh viên X nào, X học chăm X đạt Toán rời rạc ta đặc... giỏi Toán yếu Anh văn b) Minh yếu Toán lẫn Anh văn c) Minh giỏi Toán hay Minh vừa giỏi Anh văn vừa yếu Toán d) Nếu Minh giỏi Toán Minh giỏi Anh văn e) Minh giỏi Toán Anh văn hay Minh giỏi Toán