Bài tập có lời giải môn toán rời rạc dành cho học viên ôn thi cao học CNTT. 1 Xét chân trị của các vị từ p(x) , p(x)q(x), p(x)q(x), p(x) q(x) và p(x) q(x) tùy theo biến thực x : a) p(x) = “ x2 2x 8 0 “ và q(x) = “ (x + 1)(x 2)1 > 0 “ b) p(x) = “(3 2x)(x + 4) 1 0 “ và q(x) = “ (x2 + x 2)(x 3x + 10) > 0 “ 2 Cho a R. Viết mệnh đề phủ định A nếu A có nội dung như sau : a) 2a3 +5a = 10 b) (2a 5)(3a + 1) 1 7 c) 85a 2 d) ln(a2 a 2) < 3 e) Khoảng 23 số học sinh có thể chất tốt f) Không đến 34 số tài xế có bằng lái hợp lệ g) Không quá 25 dân số tốt nghiệp đại học h) Hơn một nửa số Bộ trưởng thực sự có năng lực i) Không ít hơn 16 số trẻ em bị thất học j) Nhiều nhất là 30 ứng viên thi đạt ngoại ngữ k) Có ít nhất 5 sinh viên đạt giải thưởng l) Đúng 12 thí sinh dự vòng chung kết của cuộc thi m) Hơn 7 vận động viên phá kỷ lục quốc gia n) Ít hơn 16 quốc gia thi đấu môn bóng rổ o) Nếu Sơn thắng trận thì anh ấy được đi Paris p) Không ai muốn làm việc vào ngày chủ nhật q) Cả lớp nói chuyện ồn ào r) Có ai đó gọi điện thoại cho Tuấn s) Các cầu thủ không thích bơi lội t) Hắn thông minh nhưng thiếu thận trọng u) Ngọc học Toán mà không học Lịch sử v) Dũng cùng An đi thi ngoại ngữ w) Vũ vừa giỏi Vật Lý vừa giỏi Hóa học x) Hải đạt kết quả thấp ở cả môn Tin học lẫn môn Toán y) Họ đến trường hay họ đi xem phim z) Chúng tôi đi Vinh nhưng các anh ấy không đi Huế ) Nhóm bác sĩ hay nhóm kỹ sư đi làm từ thiện Từ bài 3 đến bài 5, các ký hiệu p, q, r và s là các biến mệnh đề .
HƯỚNG DẪN BÀI TẬP TOÁN RỜI RẠC CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LOGIC 1/ a) p(x) x [2,4] ; p(x) sai x (,2) (4,+) ; q(x) x (,1) (2,+) ; q(x) sai x [1,2] Từ suy chân trị vị từ tùy theo giá trị biến x b) Tương tự a) Để ý (x2 3x + 10) > x R 2/ b) Ta viết A = “ (3a + 1) (2a 5) (3a + 1)1 > “ suy A c) d) Để ý miền xác định biểu thức thể A tương tự b) Từ suy A e), f), g), h) i) A nêu tỉ lệ dùng dấu , =, , Từ suy A j), k), l), m) n) A nêu số lượng dùng dấu , =, , Từ suy A o) Mệnh đề kéo theo p) Không muốn = người không muốn q) Cả lớp = người lớp s) Các cầu thủ = cầu thủ t) x) Các từ nối có nghĩa “ và” y) Họ = người số họ z),) Chúng = người chúng tơi ; anh ấy, nhóm bác sĩ, nhóm kỹ sư hiểu tương tự 3/ a) p q b) p q c) p q r d) p q e) p q r s 4/ a) h) j) Dùng luật logic biến đổi tương đương vế trái thành vế phải i) Chiều () : dùng qui tắc suy diễn tam đoạn luận ; Chiều () : hiển nhiên 5/ a) g) Dùng luật logic biến đổi thành h), i) j) Dùng luật logic biến đổi thành O a), c), f) g) Có thể dùng qui tắc suy diễn để chứng minh 6/ a) b) Lần lượt gán = = ( câu xét mệnh đề A1 A2 ) c), d), e), f) g) Lần lượt gán ( = , =), ( = , = ), ( = , = ), ( = , = ) ( câu xét mệnh đề A1, A2 ,A3 A4 ) g) Để ý a R, ! a’ Z thỏa a’ a < a’ + Ký hiệu a’ = [ a ] gọi a’ phần nguyên a 7/ a) x | y nghĩa “x ước số y” e) Để ý y Q, 2y + 2y (Cauchy) f) A sai g) A 8/ a) j) Dùng giả thiết qui nạp yếu k) l) Dùng giả thiết qui nạp mạnh e) f) Giải thích bất đẳng thức phụ (dễ dàng) trước chứng minh bất đẳng thức g) Tự giải thích n 0, 21 (2n + 1) 1 + (2n + 2) 1 + (2n + 3) 1 + … + (2n + 2n ) 1 < (*) dùng bất đẳng thức phụ (*) để chứng minh bất đẳng thức h) Để ý (3k + + k + 2) = [ 7(3k + k ) 4(3k + 3) ] k i) Để ý n 0, | (3.7 n 3) chứng minh trực tiếp (không cần qui nạp) k k1 k1 j) Đặt a = 23 b = ( 23 + 1) = a3 + b3 = (a + b)[ (a + b)2 3ab ] giải thích 3k + | ( 23 + 1) k) Ta có (a0 + a0 ) = Z (a1 + a1 ) Z (*) Xét k giả sử (an + an ) Z n = 1,…, k (**) Để ý (ak + + ak ) = (ak + ak ) (a1 + a1 ) (ak + a1 k ) dùng (*) (**) l) Thử n = n = Xét k giả sử an = ( 5) 1 (n n) n = 0,1,…, k (*) Để ý ak + = ak + ak = ( 5)1 (k + k k k ) để suy ak + = ( 5) 1 (k + k + 1) 9/ Dùng qui tắc suy diễn phối hợp với luật logic 10/ Chọn phản ví dụ ( cách gán cho biến mệnh đề chân trị tùy ý ) cho a), b) f) Một vế vế sai c) e) Vế trái sai d) Vế trái g) n) Vế trái vế phải sai 11/ 12/ Dùng định nghĩa lượng từ, qui tắc suy diễn phối hợp với luật logic CHƯƠNG : TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ 1/ C : m {0, 1} n {1,2,3,4,5,6} D : cần chọn n {0,1,2,…,11} tính trực tiếp phần tử E : n {5,6,7,8}, tìm m thỏa 21 < (m/n) < F : xét nghiệm nguyên (x + 5)(x 2)(x + 4)1 G : | x | | x | + < 2/ Biểu diễn A B trục x’Ox để xác định kết phép toán tập hợp bù, giao, hội hiệu 3/ Rút gọn phép toán tập hợp a) A B b) B \ A c) A B C d) B e) A B C D 4/ Dùng phép toán tập hợp biến đổi vế thành vế 5/ Dùng phép toán tập hợp rút gọn vế trước chứng minh bao hàm thức 7/ a),b) c) Chứng minh “ (x,y) vế trái (x,y) vế phải “ e) f) Chứng minh “ (x,y) vế trái (x,y) vế phải “ 8/ a) Xét f(1) b) Xét f(ln3) c) Xét f(0) d) Xét f(0) e) Có a [1,3] mà f(a) = f) (1/1) = (2/2) Q 9/ a) f(2) = f(1/2) f(x) (1/2) x X b) f’(x) > f(x) = (x + 3)2 12 12 x X c) f(1) = f(3) f(X) = Y d) x,t X, (f(x) = f(t) x = t) f(X) = Y \ {2} e) f(0) = f(2) f(x) = 2sin(x + /3) x X thỏa f(X) = Y f) f’(x) < x X f(X) = Y 12/ a) y ( 1,0 ), phương trình f(x) = y có nghiệm X x = y / (1 + y) = y / ( | y | ) y [ 0,1 ), phương trình f(x) = y có nghiệm X x = y / (1 y) = y / ( | y | ) b) y R, phương trình g(x) = y e2x + (1 y) ex = t2 + (1 y) t = với t = ex > Như y R, phương trình g(x) = y có nghiệm R x = ln { 21 [ y + ( y 1)2 12 ] } c) y [ 5,7) , phương trình h(x) = y 3x2 yx + = có nghiệm [ 1,2 ) x = x1 = 61( y + y 24 ) y 24 [ 1,5 ) ( loại nghiệm x2 = 61( y y 24 ) (0,1)) f) Xét : ( 0,3 ] ( 1,4 ] với (x) = x + x ( 0,3 ] song ánh 1(x) = x x ( 1,4 ] Xét : ( 1,4 ] ( 2, 41.17 ] với (x) = x + x1 x ( 1,4 ] Ta có r = o Ta kiểm tra song ánh để có r song ánh r1 = 1o1 y ( 2, 41.17 ], phương trình (x) = y x2 yx + = có nghiệm ( 1,4 ] x = x1 = 21( y + y ) y ( 0,15/4 ] ( loại nghiệm x2 = (1/ x1) [ 1/4,1)) g) Giải phương trình ánh xạ, ta có u = pog, v = gof 1, w = fogop1 CHƯƠNG : PHƯƠNG PHÁP ĐẾM 1/ Dùng | X Y | = | X | + | Y | | X Y | cho ( X = A, Y = B C ), ( X = B, Y = C ) ( X = A B, Y = A C ) 2/ b) Để ý Y = B H với H tùy ý ( E \ A ), Z = ( D \ A ) K với K tùy ý A, T = ( A \ B ) L với L tùy ý ( E \ A ) W = P C với P tùy ý A 3/ N = abcdef với b, c, d, e { 0, 1,…, 9}, f { 0, 2, 4, 6, }, a, b, c, d, e, f khác đôi a) Trường hợp (N số nguyên dương) a {1, 2, …,9}: dùng nguyên lý nhân nguyên lý cộng * Khi f = : cách chọn a, cách chọn b, cách chọn c, cách chọn d cách chọn e * Khi f {2,4,6,8}: {b,c,d,e} nên ta giả sử b = (3 trường hợp lại cho kết quả) : cách chọn f, cách chọn a, cách chọn c, cách chọn d cách chọn e b) Trường hợp (N dãy số nguyên ) a {0,1,2, …,9}: làm tương tự trường hợp 4/ b) A = {3} A’ với | A’ | = A’ {4,5,…,10}: để ý số tập hợp A = số tập hợp A’ c) Xét minA = 3, minA = hay minA = : trường hợp tương tự b) dùng nguyên lý cộng d) Cách : phối hợp kết a) c) ; Cách : xét minA = 4, minA = hay minA = : tương tự c) 5/ a) Trường hợp n = 2k chẵn (A1 = {1,3,…,(2k 1)}, A2 = {2,4,…,2k} có | A1 | = k) : kết |(A) \ (A1) | = |(A) | \ |(A1) | b) Trường hợp n = (2k + 1) lẻ (A1 = {1,3,…,(2k 1), (2k + 1)} có | A1 | = k + 1) : tương tự a) 6/ = {A S / | A | = 5} = {A S / | A | = A} Ta có | | = | | phương trình theo ẩn số n mà ta cần giải Việc tính | | làm tương tự b) 7/ S1 = { 1, 3,…, 15 }, S2 = { 2, 4,…, 14} có | S1 | = | S2 | = a) Đếm số tập A thỏa A S1 b) A = A1 A2 với A1 S1, | A1 | = A2 S2 : nguyên lý nhân c) Như b) thêm | A2 | = : nguyên lý nhân d) Như b) thêm | A2 | = 5,6 hay : nguyên lý nhân cộng 8/ a) Chỉ cần xác định đội học Anh văn : số cách chia Cn1 + Cn2 + … + Cnn 1 = 2n b) Chỉ cần xác định đội nhỏ (có khơng q 21n sinh viên) : * Khi n = 2k chẵn : số cách chia Cn1 + Cn2 + … + Cnk = 2n + 21 Cnk * Khi n = (2k + 1) lẻ : số cách chia Cn1 + Cn2 + … + Cnk = 2n 9/ Dùng tổ hợp, nguyên lý nhân nguyên lý cộng : a) nam nữ b) (8 + 4) hay (9 + 3) hay (10 + 2) c) (5 + 7) hay (4 +8) hay (3 + 9) hay (2 +10) d) (2 +10) hay (4 +8) hay (6 + 6) hay (8 +4) hay (10 + 2) 10/ Chỉ quan tâm xuất bit : dùng tổ hợp nguyên lý cộng a) chọn b) có từ đến bit c) có từ đến bit d) có từ đến bit 11/ Xem việc chia bút cho người việc liên tiếp : dùng tổ hợp nguyên lý nhân 12/ b) Đặt x = u, y3 = v, z2 = w t3 = h Ta tìm hệ số u3v3w2h khai triển (2u v 3w + 4h)9 13/ b) n c) n(n 4) [ cạnh đa giác liên kết với (n 4) đỉnh không liền kề ] d) Dùng a), b) c) 14/ Nhóm người xếp gần (nhóm nam, nhóm nữ, nhóm đồng nghiệp) xem “một người” xếp hàng với người khác Dùng phép hoán vị (đối nội đối ngoại), nguyên lý cộng nguyên lý nhân a) 2.5!5! b) 6!5! c) 4!7! d) 2.4!6! e) dùng nguyên lý bù trừ phối hợp b),c) d) f) 3!6!7!8! 15/ Ghi số thứ tự cho ghế từ đến 10 (theo chiều kim đồng hồ) Dùng phép hoán vị (đối nội đối ngoại), nguyên lý cộng nguyên lý nhân a) Có 10 cách chia thành khu : khu cho nam ngồi gần nhau, khu cho nữ ngồi gần b) Có cách chia thành khu :mỗi khu gồm ghế liên tiếp dành cho cặp vợ chồng ngồi gần 16/ Tương tự 14 Tính chất “cùng màu” tương đồng vói tính chất “đồng nghiệp” hay “ giới tính” 17/ Dùng phép hốn vị lặp Ý tưởng 16 khơng có hốn vị đối nội 18/ 21/ Dùng tổ hợp lặp, phép đổi biến phép lấy bù để đưa trường hợp biến nguyên Nếu bất phương trình tạo thêm ẩn giả nguyên để chuyển dạng phương trình 22/ Đây việc đồng thời Dùng nguyên lý nhân, tổ hợp lặp phép đổi biến để đưa trường hợp biến nguyên 23/ Đây việc liên tiếp Dùng nguyên lý nhân, tổ hợp, tổ hợp lặp phép đổi biến để đưa trường hợp biến nguyên 24/ Đây việc đồng thời Dùng nguyên lý nhân, hoán vị lặp, chỉnh hợp, tổ hợp lặp nguyên lý cộng 25/ Dùng nguyên lý Dirichlet Tạo 13 ô Đưa số hạng A vào ô ô nhận không số (ô nhận hay 25 ; ô nhận hay 24 ; … ; ô 12 nhận 12 hay 14 ; ô 13 nhận 13) 26/ Dùng nguyên lý Dirichlet Tạo 10 ô Đưa số hạng A vào ô (ô nhận từ 12 đến 22 ; ô nhận từ 22 đến 32 ; … ; ô nhận từ 92 đến 102 ; ô 10 nhận 102 ) 27/ Dùng nguyên lý Dirichlet Chia tam giác cạnh thành tam giác nhỏ cạnh Để ý hai điểm tam giác nhỏ có khoảng cách khơng q 28/ Dùng nguyên lý Dirichlet Có dạng lịch học (2 buổi, buổi, buổi) Số lịch học có < 782 29/ a) Xóa số Khi 24 số cịn lại đường trịn chia thành nhóm rời (mỗi nhóm gồm số gần nhau) Tổng nhóm = (2 + + … + 25) > (40 x 8) b) Xóa số 25 Khi 24 số cịn lại đường trịn chia thành nhóm rời (mỗi nhóm gồm số gần nhau) Tổng nhóm = (1 + + … + 24) < (38 x 8) 30/ Dùng nguyên lý Dirichlet A có ( C61 + C62 + … + C65 ) tập hợp khác có phần tử Tổng số hạng tập có giá trị nằm khoảng từ đến (10 + 11 + … + 14) CHƯƠNG : HỆ THỨC ĐỆ QUI 1/ a) an = 2(3)n n d) an = 3(2n) 2(3n) n b) an = 5(8n1) n 2/ a) an = 9n n b) an = 3n 5(2)n n d) an = (5n n 7)(4) n n c) an = 3(2n) + 4(2)n n e) an = (4 n)2n n c) an = 7(3n) + 2(1 n) n e) an = 5n + n 3/ a) an = 2(3n) 3(2n) + n b) an = 2(4n) n 11 n c) an = 4n + 5n2 n n n n d) an = (4 2n)(1) 3 n e) an = 4(2) + (5)n + (n 1)3n n f) an = 3n2 + 5n n4 4n3 n 4/ a) S1 = 1, Sn + = Sn + (n + 1)3 n Sn = 41n2(n + 1)2 n b) S1 = 1, Sn + = Sn + (n + 1)4 n Sn = 301n(n + 1)(6n3 + 9n2 + n 1) n c) S1 = –1, Sn + = Sn + (1)n + 1(n + 1)4 n Sn = 21(1)n n(n3 + 2n2 1) n d) S0 = 2, Sn + = Sn + (n + 2)(n + 3) 2n + n Sn = 2[ 2n (n2 + n + 2) ] n e) S0 = – 1, Sn + = Sn + (2n + 1)(3)n + n Sn = 81[ 3(3)n (4n 1) ] n f) S1 = – 3, Sn + = Sn + (1)n + 1(n + 1)(n2 + 3) n Sn = 81[(1)n (4n3 2n2 + 8n + 7) ] n 5/ a1 = 2, an + = an + (n + 1) n an = 21(n2 + n + 2) n ( để ý đường thẳng thứ (n + 1) bị n đường thẳng trước chia thành (n + 1) đoạn thẳng ) 6/ a2000 = 7.109, an + = (1 + 3.102 )an n 2000 an = 7.109(1 + 3.102) n 2000 n 2000 (5 2) n (5 2) n ( ) ( ) 2 3 trường hợp un + = a hay un + a ) 7/ a1 = 3, a2 = 8, an + = 2an + + 2an n an = n ( Xét An + = u1u2 un un + 1un + (3 5) n (3 5) n ( ) ( ) 2 5 n ( Xét An + = u1u2 un un + 1un + trường hợp [un + = 2] hay [ un + = = un + 1] hay [un + = un + = 2] ) 8/ a2 = 1, a3 = 3, an + = an + + an + n an = 9/ Chứng minh cách qui nạp (dùng giả thiết qui nạp mạnh) theo n 10/ Tìm c, d R thỏa an + + cbn + = d(an + cbn) n (*) Mặt khác, từ giả thiết ta có an + + cbn + = (c + 3)an + (2c + 2)bn n (**) Từ (*) (**), ta có c(c + 3) = 2c + d = (c + 3) Do (c = 1, d = 4) (c = 2, d = 1) Đặt un = (an + bn) = (an 2bn) n Hãy hệ thức đệ qui cho dãy un (n 0) (n 0) để tính un theo n Suy an = 2.4n 1 bn = 4n + n CHƯƠNG : QUAN HỆ TRÊN CÁC TẬP HỢP 1/ Liệt kê tập hợp = { (x,y) S2 / x y } xét tính chất phản xạ, đối xứng, phản xứng truyền a) + + b) + + c) + d) + e) + + f) ( + : có ; : khơng có ) 2/ Xét tính chất phản xạ, đối xứng, phản xứng truyền : a) + b) c) + + d) + + e) + f) + ( + : có ; : khơng có ) 3/ e) x y sinx = siny ( x = y + k2 hay x = y + k2 với k Z ) 4/ a) [ a ] = { x R / (x a)(x + a + 3) = } Biện luận số phần tử [ a ] ( hay ) tùy theo a R b) Tương tự a) c) Trường hợp () : [ a ] = { x R / (x a)(x2 + ax + a2 + 12) = } = { a } a R Trường hợp (+) : [ a ] = { x R / (x a)(x2 + ax + a2 12) = } Biện luận số phần tử [ a] ( 1, hay ) tùy theo a R d) [ a ] = { x R / (x a)(ax + 7) = } Biện luận số phần tử [ a ] ( hay ) tùy theo a R e) [ a ] = { x R / (x a)(ax 4) = } Biện luận số phần tử [ a ] ( hay ) tùy theo a R f) [ a ] = { x R / (cos2x cos2a)(sinax + 2) = } = { x R / cos2x = cos2a } có phần tử nào? 5/ a) có 14 cặp b) C61C52C33 6/ a) tồn phần, có max c) bán phần, có max phần tử tối tiểu e) bán phần, có phần tử tối tiểu phần tử tối đại c) C61C52C33 + C62C42C22 + C61C51C44 b) bán phần, có phần tử tối đại d) bán phần, có max f) tồn phần, có max 7/ Liệt kê 12 phần tử S 8/ a) Có trường hợp khác b) Có trường hợp khác 10/ b) d) Chọn thứ tự tồn phần khơng trùng với thứ tự thơng thường S c) Chọn thứ tự tồn phần không trùng với thứ tự thông thường S CHƯƠNG : HÀM BOOL 1/ Dùng luật hàm Bool để nhân dạng đa thức, rút gọn nâng bậc đơn thức 2/ a) tế bào lớn loại ô, phép phủ, công thức đa thức tối tiểu b) tế bào lớn (2 tế bào lớn loại ơ, cịn lại loại ô), phép phủ, công thức đa thức tối tiểu c) tế bào lớn loại ô, phép phủ tối tiểu, công thức đa thức tối tiểu ngang d) tế bào lớn (1 tế bào lớn loại ơ, cịn lại loại ô), phép phủ tối tiểu, công thức đa thức tối tiểu e) tế bào lớn loại ô, phép phủ tối tiểu, công thức đa thức tối tiểu ngang f) tế bào lớn (5 tế bào lớn loại ô, cịn lại loại ơ), phép phủ tối tiểu, công thức đa thức tối tiểu g) tế bào lớn (2 tế bào lớn loại ô, cịn lại loại ơ), phép phủ tối tiểu,2 công thức đa thức tối tiểu ngang h) tế bào lớn (5 tế bào lớn loại ô, lại loại ô), phép phủ tối tiểu,1 công thức đa thức tối tiểu Dựa vào ô S = Kar(f) hay S , ta viết dạng nối rời tắc f f 3/ a) tế bào lớn (1 tế bào lớn loại ơ, cịn lại loại ô), phép phủ, công thức đa thức tối tiểu b) tế bào lớn (2 tế bào lớn loại ơ, cịn lại loại ơ), phép phủ tối tiểu, công thức đa thức tối tiểu ngang c) tế bào lớn (3 tế bào lớn loại ơ, cịn lại loại ô), phép phủ tối tiểu, công thức đa thức tối tiểu d) tế bào lớn (3 tế bào lớn loại ơ, cịn lại loại ô), phép phủ tối tiểu, công thức đa thức tối tiểu e) tế bào lớn (2 tế bào lớn loại ơ, cịn lại loại ô), phép phủ tối tiểu, công thức đa thức tối tiểu ngang f) tế bào lớn (1 tế bào lớn loại ơ, cịn lại loại ô), phép phủ tối tiểu, công thức đa thức tối tiểu g) tế bào lớn (1 tế bào lớn loại ơ, cịn lại loại ô), phép phủ tối tiểu, công thức đa thức tối tiểu ngang h) tế bào lớn (1 tế bào lớn loại ơ, cịn lại loại ô), phép phủ tối tiểu, công thức đa thức tối tiểu Dựa vào ô S = Kar(f), ta viết dạng nối rời tắc f f 4/ Chọn công thức đa thức tối tiểu f để vẽ mạng cổng tổng hợp f 5/ a) Có tất 26 = 64 vector Bool Có C62 = 15 vector Bool có biến nhận giá trị Số hàm Bool cần tính 264 15 = 249 b) Có C62 + C63 + … + C66 = 26 ( C60 + C61 ) = 57 vector Bool có biến nhận giá trị Số hàm Bool cần tính 264 57 = 27 = 128 c) Số hàm Bool cần tính = số hàm Bool F5 = 22 = 232 d) Số hàm Bool cần tính = số hàm Bool F3 = 22 = 28 = 256 CHƯƠNG : ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐỒ THỊ : 2/ Đặt | V | = k Dùng công thức bậc = 2| E | để lập phương trình tính tốn suy luận a) 2k = x 12 b) (3 x 4) + 5(k 3) = x 21 c) kr = x với r k ( r = bậc đỉnh ) d) p đỉnh bậc 3, q đỉnh bậc k = p + q + (3 x 5) + 3p + 4q = x 16 Từ tính p q 3/ Đặt | V | = k Dùng công thức bậc = 2| E | để lập phương trình tính tốn suy luận a) x = 2| E | : vô lý b) đỉnh bậc a, a + 1,…, a + a + (a + 1) + … + (a + 5) = 2| E | : vô lý c) kr = 2| E | k = 2m chẵn mr = | E | d) x 19 = 2| E | = bậc 3k 3k 38 k nguyên 4/ a) Khơng có chu trình Euler đường Euler b), d), f) Có chu trình Euler c), e), g) Có đường Euler 6/ ( G G’ ) : tính số đỉnh bậc đồ thị ( H H’ ) : lập ma trận đồ thị theo tập hợp đỉnh có thứ tự V = {a, b, c, p, q, r} ( H ) V’ = {x, m, j, n, s, t} ( H’ ) ( K K’ ) : xét tính liên thơng đồ thị ( L L’ ) : tính số chu trình tứ giác đồ thị ( P P’ ) : lập ma trận đồ thị theo tập hợp đỉnh có thứ tự V = {a, b, c, u, v, w, x} ( P ) V’ = {m, q, s, n, p, t, r} ( P’ ) ( Q Q’ ) : lập ma trận đồ thị theo tập hợp đỉnh có thứ tự V = {a, b, c, u, v, w, p, q, h, k} ( Q ) V’ = {m, s, z, i, j, x, t, y, r, n} ( Q’ ) ( S S’ ) : tính số chu trình tam giác đồ thị ( T T’ ) : đồ thị có chu trình tam giác T’ có chu trình tứ giác mà cạnh lấy từ chu trình tam giác Tuy nhiên T khơng có tính chất ... Biểu diễn A B trục x’Ox để xác định kết phép toán tập hợp bù, giao, hội hiệu 3/ R? ?t gọn phép toán tập hợp a) A B b) B A c) A B C d) B e) A B C D 4/ Dùng phép toán tập hợp biến đổi... 4/ a) Khơng có chu trình Euler đường Euler b), d), f) Có chu trình Euler c), e), g) Có đường Euler 6/ ( G G’ ) : tính số đỉnh bậc đồ thị ( H H’ ) : lập ma trận đồ thị theo tập hợp đỉnh có thứ... trịn chia thành nhóm r? ??i (mỗi nhóm gồm số gần nhau) Tổng nhóm = (1 + + … + 24) < (38 x 8) 30/ Dùng nguyên lý Dirichlet A có ( C61 + C62 + … + C65 ) tập hợp khác có phần tử Tổng số hạng tập