Toán dành cho ôn thi cao học

Bài tập PHƯƠNG PHÁP TOÁN LÝ Phương trình truyền sóng 1. Vẽ dạng của dây vô hạn dao động tự do nếu vận tốc ban đầu bằng không, còn độ lệch ban đầu được cho bởi: ( )        > ≤<− ≤<− ≤ = 3 0 32 3 21 1 1 0 0, xkhi xkhix xkhix xkhi xu tại các thời điểm 0 0 = t , 2 1 1 = t , 1 2 = t , 5,2 3 = t . Xét dao động tại các điểm 0 = x , 2 = x , 1 = x , 1 −= x ( khi nào bắt đầu dao động, khi nào thôi ), biết vận tốc truyền sóng 2 = a . 2. Vẽ dạng của dây nửa vô hạn, gắn chặt ở đầu mút, dao động tự do, biết rằng vận tốc ban đầu bằng không, độ lệch ban đầu được cho bởi: ( )        + ∞≤≤ ≤≤− ≤≤ = x lxl lx xu l2 0 2 x sin 0 0 0, nÕu nÕu l nÕu π tại các thời điểm t bằng a l 4 , a l , a l 4 5 , a l 2 3 , a l 4 7 , a l 4 9 . 3. Xác định dao động tự do của dây hữu hạn, gắn chặt tại các mút 0 = x , lx = , biết độ lệch ban đầu được cho bởi: ( ) ( ) 2 4 0, l xlx xu − = ( lx ≤≤ 0 ), còn vận tốc ban đầu bằng không. Đáp số: ( ) ( ) ( ) ( ) l atn l xn n txu n ππ π 12 cos 12 sin 12 132 , 0 33 ++ + = ∑ ∞ = . 4. Xác định dao động tự do của dây hữu hạn, gắn chặt tại các mút 0 = x , lx = , biết độ lệch ban đầu bằng không, và vận tốc ban đầu được cho bởi: Bài tập Phương pháp Toán Lý Trang 1 Ngày 19-08-2013 ( ) ( )        > < = ∂ ∂ 2 c-x 0 2 c-x c-xcos 0, 0 π π nÕu nÕuv t xu , trong đó 0 v là hằng số dương và 22 ππ −<< lc . Đáp số: ( ) l atk l xk l k k l k l ck a v txu k ππ π ππ π sinsin 1 2 cossin 4 , 1 2 22 2 0 ∑ ∞ =         − = . 5. Xác định dao động dọc của một thanh đồng chất nếu một mút gắn chặt, còn một mút tự do, biết các điều kiện ban đầu: ( ) xfu t = = 0 , ( ) xF t u t = ∂ ∂ = 0 . Đáp số: ( ) ( ) ( ) ( ) l xn l atn b l atn atxu n nn 2 12 sin 2 12 sin 2 12 cos, 1 πππ +       + + + = ∑ ∞ = với ( ) ( ) dx l xn xf l a l n ∫ + = 0 2 12 sin 2 π , ( ) ( ) ( ) dx l xn xF xn b l n ∫ + + = 0 2 12 sin 12 4 π π . 6. Cũng như bài 5. , nhưng cả hai mút đều tự do. Đáp số: ( ) ( ) ( ) [ ] l xn l atn b l atn adxxtFxf l txu n nn l πππ cossincos 1 , 1 0 ∑ ∫ ∞ =       +++= với ( ) dx l xn xf l a l n ∫ = 0 cos 2 π , ( ) dx l xn xF an b l n ∫ = 0 cos 2 π π . 7. Một thanh đồng chất có độ dài 2l bị nén nên độ dài của nó còn lại là 2l(1 - ε). Lúc t = 0, người ta buông ra. Chứng minh rằng độ lệch u của thiết diện có hoành độ x ở thời điểm t được cho bởi: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) l atn l xn n l txu n n 2 12 cos 2 12 sin 12 18 , 0 2 1 2 ππ π ε ++ + − = ∑ ∞ = + , nếu gốc toạ độ đặt ở tâm của thanh. Bài tập Phương pháp Toán Lý Trang 2 Ngày 19-08-2013 Hướng dẫn: Các điều kiện biên và điều kiện ban đầu là: ( ) 0 , = ∂ −∂ x tlu , ( ) 0 , = ∂ ∂ x tlu , ( ) xxu ε −= 0, , ( ) 0 0. = ∂ ∂ t xu . 8. Xét dao động tự do của một dây gắn chặt ở các mút 0 = x , lx = trong một môi trường có sức cản tỷ lệ với vận tốc, biết các điều kiện ban đầu: ( ) xfu t = = 0 , ( ) xF t u t = ∂ ∂ = 0 . Đáp số: ( ) ( ) l xn tqbtqatxu n nnnn π sinsincos, 1 ∑ ∞ = += 2 2 222 h l an q n −= π , ( ) dx l xn xf l a l n ∫ = 0 sin 2 π , ( ) dx l xn xF lq a q h b l n n n n ∫ += 0 sin 2 π . Hướng dẫn: Phương trình dao động là: 2 2 2 2 2 2 x u a t u h t u ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ . 9. Xác định dao động của một dây gắn chặt ở mút 0 = x , còn mút lx = chuyển động theo quy luật tA ω sin , biết rằng độ lệch và vận tốc ban đầu bằng không. Đáp số: ( ) ( ) l xn l atn l an l aA l a tx a A txu n n ππ π ω ω ω ω ω sinsin 12 sin sinsin , 1 2 2 1 ∑ ∞ = −       − − += . Hướng dẫn: Tìm u dưới dạng u = v +w, trong đó w thoả mãn phương trình dao động của dây với các điều kiện ( ) 0,0 = tw , ( ) tAtlw ω sin, = , còn v cũng thoả mãn phương trình đó với các điều kiện ( ) 0,0 = tv , ( ) 0, = tlv , ( ) ( ) 0,0, xwxv −= , ( ) ( ) t xw t xv ∂ ∂ −= ∂ ∂ 0,0, . 10. Tìm dao động dọc của một thanh đồng chất có một mút cố định, còn mút kia chịu tác dụng của lực Q (lên một đơn vị diện tích) dọc theo thanh, biết rằng độ lệch và vận tốc ban đầu bằng không. Đáp số: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∞ = + ++ − −= 0 22 12 2 12 sin 2 12 cos1 8 , n n n l xn l atn E Ql x E Q txu ππ π . Bài tập Phương pháp Toán Lý Trang 3 Ngày 19-08-2013 14. Một màng hình vuông đồng chất lúc 0 = t có độ lệch được xác định bởi ( ) ( )( ) ybxbAxyyxu −−= 0,, , trong đó bx ≤≤ 0 , by ≤≤ 0 , dao động với vận tốc ban đầu bằng không, mép gắn chặt. Hãy xác định dao động của màng. Đáp số: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b at mn mn b ym b xn Ab tyxu n π π π π 22 0 226 4 1212cos 1212 12 sin 12 sin 64 ,, +++ ++ + + = ∑ ∞ = 15. Một màng hình chữ nhật lx ≤≤ 0 , my ≤≤ 0 , gắn chặt ở mép, lúc 0 = t bị một xung lượng tập trung tại tâm của màng, sao cho: ∫∫ = → ε σ ε Adxdyv 0 0 lim , trong đó A là hằng số, v 0 là vận tốc ban đầu, ε σ là lân cận của tâm của màng. Hãy xác định dao động của màng. Đáp số: ( ) ( ) ∑ ∞ = Ψ       Ψ = 1, sin, 2 , 2 4 ,, nk knkn kn kn atyx ml mla A tyxu πµ µπ , với ( ) m yn l xk yx kn π π sinsin, =Ψ , 22       +       = m n l k kn µ . Phương trình truyền nhiệt 1. Tìm nghiệm của phương trình: 2 2 2 x u a t u ∂ ∂ = ∂ ∂ ( lx <<0 , 0 > t ) thoả mãn các điều kiện : ( ) 0,0 = tu , ( ) 0, = tlu ( 0 > t ), ( )        ≤< ≤< = lx l l l xx xu 2 x - 2 0 0, nÕu nÕu . Đáp số: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∞ = +       + − + − = 0 2 22 2 22 12 sin 12 exp 12 14 , n n l xn l tan n l txu ππ π 2. Một thanh đồng chất có độ dài l , hai mút được giữ ở nhiệt độ không, nhiệt độ ban đầu trong thanh được cho bởi: Bài tập Phương pháp Toán Lý Trang 4 Ngày 19-08-2013 ( ) 2 0 l xlcx u t − = = , Hãy xác định phân bố nhiệt độ trong thanh tại thời điểm t > 0. Đáp số: ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∞ = +       + − + = 0 2 22 2 33 12 sin 12 exp 12 18 , n l xn l tan n c txu ππ π 3. Một thanh đồng chất có độ dài l , mút x = 0 được giữ ở nhiệt độ không, còn tại mút x = l có sự trao đổi nhiệt với môi trường ngoài giữ ở nhiệt độ không. Tìm phân bố nhiệt độ trong thanh ở thời điểm t > 0 biết rằng nhiệt độ ban đầu trong thanh được cho bởi ( ) xu t ϕ = = 0 . Đáp số: ( ) ( ) ( ) dx l x x l x l ta pp p l txu n l n nn n n µ ϕ µµ µ µ sinsinexp 1 2 , 0 1 2 2 2 2 2 2 ∫ ∑ ∞ =         − ++ + = trong đó 1 µ , 2 µ , . là những nghiệm dương của phương trình p tg µ µ = , 0 >= hlp . 4. Một thanh đồng chất có một mút cách nhiệt, còn một mút giữ ở nhiệt độ không đổi u 0 . Tìm phân bố nhiệt độ trong thanh biết nhiệt độ ban đầu ( ) ( ) xxu ϕ = 0, . Đáp số: ( ) ( ) ( ) ∑ ∞ = +       + −+= 0 2 22 2 0 2 12 cos 4 12 exp, n n l xn l tan autxu ππ , với ( ) ( ) ( ) ( ) π π ϕ 12 4 1 2 12 cos 2 0 0 + −− + = ∫ n u dx l xn x l a n l n . Hướng dẫn: Tìm u(x,t) có dạng u(x,t) = u 0 + v(x,t). 5. Tìm phân bố nhiệt độ trong một thanh đồng chất, biết nhiệt độ ban đầu bằng không, nhiệt độ tại mút x = l bằng không, còn nhiệt độ tại mút x = 0 được cho bởi u(0,t) = At. Đáp số: ( ) ∑ ∞ =         −+               +       −       −       −= 1 2 222 223 2 23 2 2 sinexp 12 23 6 1, n l xn l tan na Al l x l x l x a Al l x Attxu ππ π . Hướng dẫn: Tìm u(x,t) dưới dạng u(x,t) = u 1 (x,t) + u 2 (x,t) , trong đó u 1 (x,t) thoả mãn phương trình truyền nhiệt, thoả mãn điều kiện u 1 (0,t) = At , u 1 (l,t) = 0. 6. Cũng bài toán như bài 5, nhưng u(0,t) = 4Asin ω t. Bài tập Phương pháp Toán Lý Trang 5 Ngày 19-08-2013 Đáp số: ( ) ∑ ∞ =         −−       −= 1 2 222 sinexp 2 sin1, n n l xn l tan n a A t l x Atxu ππ π ω ω , trong đó ∫       = l n d l an a 0 2 cosexp τωττ π . 7. Tìm nghiệm của phương trình: 2 2 x u t u ∂ ∂ = ∂ ∂ thoả mãn các điều kiện: ( ) 0,0 = tu , ( ) t Aetlu − = , , ( ) l x Axu = 0, . Đáp số: ( ) ( ) ( ) ∑ ∞ = −         −− − − += 1 2 22 222 2 sinexp 12 , n n t l xn t l tn lnn Al e l Ax txu ππ π π 8. Một tấm đồng chất hình chữ nhật px ≤≤ 0 , qy ≤≤ 0 có mép được giữ ở nhiệt độ không. Tìm phân bố nhiệt độ trong tấm ở thời điểm 0 > t , nếu nhiệt độ lúc 0 = t được cho bởi ( ) ( ) yxyxu ,0,, ϕ = . Đáp số: ( ) ∑ ∞ =               +−= 1, 2 2 2 2 2 sinsinexp,, mn mn q yn p xm t q n p m Atyxu π π π , trong đó ( ) dxdy q yn p xm yx pq A p q mn π π ϕ sinsin, 4 0 0 ∫∫ = . 9. Tìm hàm điều hoà trong miền hình chữ nhật { } mylxD ≤≤≤≤= 0 ; 0 thoả mãn điều kiện biên sau: ( ) ( ) ymAyyu −= ,0 , ( ) 0, = ylu , ( ) 00, = xu , ( ) 0, = mxu . 10. Tìm hàm điều hoà trong miền hình chữ nhật { } mylxD ≤≤≤≤= 0 ; 0 thoả mãn điều kiện biên sau: ( ) 0,0 = yu , ( ) 0, = ylu , ( ) l x Bxu π sin0, = , ( ) 0, = mxu . 11. Tìm nghiệm của phương trình Laplace trong miền hình chữ nhật { } mylxD ≤≤≤≤= 0 ; 0 thoả mãn điều kiện biên sau: ( ) ( ) ymAyyu −= ,0 , ( ) 0, = ylu , ( ) l x Bxu π sin0, = , ( ) 0, = mxu . 12. Tìm hàm điều hoà trong miền hình chữ nhật { } mylxD ≤≤≤≤= 0 ; 0 thoả mãn điều kiện biên sau: ( ) Ayu = ,0 , ( ) Ayylu = , , ( ) 0 0, = ∂ ∂ y xu , ( ) 0 , = ∂ ∂ y mxu . Bài tập Phương pháp Toán Lý Trang 6 Ngày 19-08-2013 13.Tìm miền hypebolic, parabolic và eliptic của phương trình: 0' 2 1 "" =+− yyyxx u y yuu . Đưa phương trình về dạng chính tắc trong miền hypebolic. 14. Đưa phương trình sau về dạng chính tắc: ( ) 0'"1" =+++ xyyxx uuyu . 15. Đưa phương trình sau về dạng chính tắc: 0' ' "" 2 2 =+++ y x yyxx u y u uyu . 12. Tính tích phân: ( ) ( ) ( )( ) ∫∫ ++ S dSznzynyxnx ,cos,cos,cos trong đó S là mặt (elipxoit : 1 2 2 2 2 2 2 =++ c z b y a x ) n  là pháp tuyến ngoài đối với S. 13.Tìm mô men quán tính của mặt chỏm cầu đồng chất có phương trình 2222 Rzyx =++ bị cắt bởi mặt phẳng Hz = ( chỏm phía trên ) đối với trục 0z . Biết tỷ khối mặt không đổi và bằng đơn vị. 14.Tìm toạ độ trọng tâm của phần mặt nón 2 2 2 22 z H R yx =+ bị cắt bởi mặt phẳng Hz = . Biết tỷ khối mặt không đổi và bằng đơn vị. Bài tập Phương pháp Toán Lý Trang 7 Ngày 19-08-2013 . PHƯƠNG PHÁP TOÁN LÝ Phương trình truyền sóng 1. Vẽ dạng của dây vô hạn dao động tự do nếu vận tốc ban đầu bằng không, còn độ lệch ban đầu được cho bởi: (. mút 0 = x , lx = , biết độ lệch ban đầu bằng không, và vận tốc ban đầu được cho bởi: Bài tập Phương pháp Toán Lý Trang 1 Ngày 19-08-2013 ( ) ( )   