Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 38 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
38
Dung lượng
650,47 KB
Nội dung
BÀI TẬP Toán rời rạc Tài liệu học tập theo học chế tín dành cho sinh viên Khoa CNTT Phiên 1.0 2011 MỤC LỤC CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LOGIC CHƢƠNG 2: PHƢƠNG PHÁP ĐẾM CHƢƠNG 3: QUAN HỆ CHƢƠNG 4: ĐẠI SỐ BOOLE NỘI DUNG BỔ SUNG: PHƢƠNG PHÁP HÀM SINH ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM GIỮA KỲ (THAM KHẢO) 24 ĐỀ THI KẾT THÚC MÔN HỌC (THAM KHẢO) 25 MỘT SỐ ĐỀ THI THAM KHẢO Ở TRƢỜNG KHÁC 26 Bài tập toán rời rạc CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LOGIC Lập bảng chân trị mệnh đề đúng: a x (y z) x b [(a b) (c b)] (a c) c [m (n p)] (m p) d [ p (r p)] [( p q) (r p)] Áp dụng luật logic để rút gọn mệnh đề đâu công thức hằng: a (a c) (b c) (a b) b [( x y) (y z)] ( x z) c m (n p) (m n p) d [[(m n) p] [(m p) p]] n Một xạ thủ bắn cung vào mục tiêu, kết thể theo mệnh đề sau: Pk = { Phát thứ k trúng đích} k = 1, 2, Hãy giải thích mệnh đề phức hợp sau: a P1 P2 P3 b P1 P2 P3 c (P1 P2 P3 ) (P1 P1 P3 ) (P1 P2 P3 ) d (P1 P2 ) (P1 P2 P3 ) (P1 P2 P3 ) Cho thí sinh A, B, C, D tham gia thi đấu xếp hạng Kết xếp hạng nếu: - Người thứ dự đoán: B hạng nhì, C hạng ba - Người thứ dự đoán: A hạng nhì, C hạng tư - Người thứ dự đoán: B hạng nhất, D hạng nhì - Được biết người có phần phần sai Trong chatroom, có tổng công người An, Bình, Chinh, Dung, Yến thảo luận đề tài logic toán với mạng Biết rằng: - Hoặc An, Bình thảo luận - Hoặc Chinh, Dung, thảo luận - Nếu Yến thảo luận Chinh Bài tập toán rời rạc - Dung An, thảo luận, không thảo luận - Nếu Bình thảo luận Yến An Hãy giải thích xem tất khẳng định thảo luận? Sau thu gọn, tìm nghiệm (x, y, z, t ) để công thức hàm sau đạt giá 0: a F [( yt xz) ( xt y z)] [ x yt ( y z xt )] b F [( x y zt ) ( yz xt )] [( xz yt ) ( y z xt )] c F [( x y z yt ) ( xt y z)] [( yt xz) x y z] Chuyển tất công thức sau thành dạng chuẩn tuyển hoàn toàn chuẩn hội hoàn toàn: a (m n) (n p) b [m (n p)] (n p) c n (m (m n p)) d [(m n) (n m)] (m n) e m (n p) (m n p) f [m (n p)] [(m p) (n p)] Tìm chân trị vị từ ứng với giá trị tương ứng sau: m(x): “x > 2” n(x): “ x-1 lẻ ” p(x): “ x < ” a m(2) b n(210) c m(1) n(3) d m(0) n(4) e [m(7) n(1)] p(1) f [m(1) n(1)] p(1) g [m(3) n(3)] p(3) h m(1) [n(1) p(1)] Xác định chân trị vị từ sau: p(x,y) : “x ước y ” a b c d p(1,5) p(3,4) x, p( x, x) y, p( y, y) Bài tập toán rời rạc e xy, p( x, y) f yx, p( x, y) g xy,( p( x, y) p(y, x)) ( x y) h xyz,( p( x, y) p(y, z)) p( x, z) 10 Xác định chân trị mệnh đề sau : a x R,[( x2 x 0) ( x 0)] b x R, y R,[( x y 1) ( x y 3)] c x R, y R, z R,[( x y z ) ( x z)] d x R, y R, z R,[( x y z) (2 x y z 0)] e x R, y R, z R,[( x y z ) ( x z )] f x , y , z ,[( x y z) (2 x y z 0)] g x R, y R, z R,[( x2 y z ) ( x z)] 11 Xác định suy luận cho biết qui tắc suy diễn áp dụng: a Nếu Bình chơi Bình không học logic toán Nếu Bình không học thi trượt môn logic toán Mà Bình lại chơi nên Bình thi trượt môn logic toán b Nếu sinh viên CNTT trường Đại học Sư Phạm phải học toán rời rạc Hùng không học Toán rời rạc nên Hùng sinh viên ngành công CNTT trường Đại học Sư Phạm c Mọi sinh viên nghiêm túc không nộp chưa làm xong Minh không nộp chưa làm xong Vậy Minh sinh viên nghiêm túc d Mọi sinh viên lười học không chịu đến lớp học thường xuyên Tân đến lớp học thường xuyên Vì Vân sinh viên không lười học 12 Dùng qui tắc suy diễn để chứng minh kết luận sau: a {p q , (s q) , (r s) , p u } r, u b {(x y) z , z(w u) , (t w) , w t } x 13 Trong trận thi đấu đối kháng võ thuật Vovinam, thí sinh tính điểm có số trọng tài phất cờ Người ta thiết kế máy chấm điểm cho trận đấu với thể thức thi đấu a Tìm công thức logic tương ứng với máy chấm điểm b Hãy vẽ mạch điện tử tương ứng với công thức (không rút gọn công thức) Bài tập toán rời rạc CHƢƠNG 2: PHƢƠNG PHÁP ĐẾM Cho tập X={5, 6, , 200} a Có số chẵn, lẻ b Có số chia hết cho c Có số gồm chữ số phân biệt d Có số không chứa số e Có số lớn 101 không chứa số f Có số có chữ số đƣợc tăng thực g Có số có dạng xyz x y, y z Có 10 sách khác nhau, có sách thuộc lĩnh vực tin học, sách thuộc lĩnh vực toán học, sách thuộc lĩnh vực văn học a Có cách lấy sách bất kỳ? b Có cách lấy sách có sách tin học? c Có cách lấy sách với đủ loại sách? d Có cách xếp sách giá sách? e Có cách xếp sách giá sách cho theo thứ tự liệt kê? f Có cách xếp sách giá sách cho sách toán học không đƣợc xếp cạnh nhau? Một ngƣời làm việc máy tính quên mật đăng nhập vào tài khoản sử dụng, nhớ mật có dạng XXXX-YYY XXXX chữ số khác lấy từ 10 số, YYY chữ khác lấy từ 26 chữ Hỏi trƣờng hợp xấu phải thử lần để có đƣợc mật ban đầu? Có ngƣời lúc đăng ký thử tài tin học A, B, C, D, E, F: a Có cách xếp thứ tự thi đấu để DEF đứng cạnh nhau? b Có cách xếp thứ tự thi đấu để bắt đầu A kết thúc F Có chuỗi bit bắt đầu 1100? Có chuỗi bit bit thứ bit thứ 1? Có chuỗi bit đọc xuôi hay ngƣợc giống nhau? Có xâu nhị phân có độ dài bắt đầu 110 101? Có chuỗi bit bắt đầu 100 có bit thứ 1? 10 Có chuỗi bit bắt đầu 10 kết thúc 01? 11 Có xâu nhị phân độ dài 16 mà có số 1? 12 Các ký thự ABCDEF dùng để tạo thành chuỗi có độ dài 3? a Có chuỗi nhƣ cho phép lặp b Có chuỗi nhƣ không cho phép lặp c Có chuỗi bắt đầu A cho phép lặp d Có chuỗi bắt đầu A không cho phép lặp e Có chuỗi không chứa A cho phép lặp f Có chuỗi không chứa A không cho phép lặp 13 Có xâu ký tự đƣợc tạo từ chữ Telecommunication? 14 Phƣơng trình x1 x2 x3 x4 23 Có nghiệm tự nhiên ( x1 , x2 , x3 , x4 ) cho x1 15 Phƣơng trình x1 x2 x10 100 Có nghiệm tự nhiên ( x1 , x2 , , x10 ) cho x1 1, x2 2, , x10 10 Bài tập toán rời rạc CHƢƠNG 3: QUAN HỆ Cho tập hợp X={a, b, c} Y = {b, c, d, e} a Tính X x Y b Tìm số quan hệ Y c Tìm số quan hệ X Y chứa (b, c), (b, d) d Hãy tìm quan hệ X có tính phản xạ bắc cầu không đối xứng e Hãy tìm quan hệ Y có tính phản xạ đối xứng không bắc cầu R quan hệ A = {1, 2, 3, 4, 5} với: R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 3) , (4, 1), (4, 2), (4, 4), (5, 2), (5, 5)} R có phải quan hệ tương đương hay không? Cho R quan hệ tập hợp số tự nhiên với R = {(x, y): x+y chẵn} Chứng minh R quan hệ tương đương Cho R quan hệ A x A với A= {1, 3, 5, 7, 8, 9} cho : (a, b) R (c, d) b = d a Chứng minh R quan hệ tương đương b Tìm lớp tương đương chứa (1, 3) c Phân hoạch A x A thành lớp tương đương tách biệt phân hoạch R R quan hệ A x A với A = {1, 2, 3, 4, 5}: R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (2, 5), (3, 3), (3, 5) , (4, 4), (4, 5), (5, 5)} R có phải quan hệ thứ tự hay không? Cho quan hệ X={ 2, 3, 4, 5, 12, 15, 60} xác định bởi: x, y X , x a Chứng minh y y kx, k Z quan hệ thứ tự b Tìm phần tử tối đại, tối tiểu, lớn nhất, nhỏ xác định quan hệ c Vẽ biểu đồ Hasse tương ứng Cho quan hệ A x A với A ={2, 4, 6, 12, 24} xác định bởi: ( x, y),( z, t ) A,( x, y) ( z, t ) x y z t có phải quan hệ thứ tự hay không? Nếu quan hệ thứ tự xác định phần tử tối đại, tối tiểu, lớn nhất, nhỏ xác định quan hệ Bài tập toán rời rạc CHƢƠNG 4: ĐẠI SỐ BOOLE Cho (A, , ) Đại số Boole chứng minh: a b c d e f g h x A, x x x x A, x x x x A, x x x A, x x x, y A, x y x y x, y A, x y x y x, y A, x ( x y) x x, y A, x ( x y) x Cho U30 = (1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30) Trên U30 ta định nghĩa phép toán sau: x, y U30 , x y UCLN ( x, y) x, y U30 , x y BCLN ( x, y) Chứng minh (U30, , ) Đại số Boole Đơn giản hàm Bool sau vẽ mạch hàm đơn giản: a f ( x, y, z ) x y z x y z x y z x y z x y z b f ( x, y, z, t ) x y zt x y z t x y z t x y z t x y zt x y zt x y zt x y z t x y z t c f ( x, y, z, t ) x y z t x y z t x y z t x y z t x y zt x y zt x y zt x y z t x y z t d f ( x, y, z, t ) x y z x y z x y z t x y z t x y zt y zt x y zt x y z t x y t e f ( x, y, z, t ) x y z t x y z t x y z t x y z x y zt y zt x y z y z t Bài tập toán rời rạc PHƢƠNG PHÁP HÀM SINH Hàm sinh sáng tạo thần tình, bất ngờ, nhiều ứng dụng toán rời rạc Nói cách nôm na, hàm sinh chuyển toán dãy số thành toán hàm số Điều tuyệt vời có tay cỗ máy lớn để làm việc với hàm số Nhờ vào hàm sinh, áp dụng cỗ máy vào toán dãy số Bằng cách này, sử dụng hàm sinh việc giải tất dạng toán phép đếm Có ngành toán học lớn nghiên cứu hàm sinh, thế, này, tìm hiểu vấn đề chủ đề Trong viết này, dãy số để ngoặc < > để phân biệt với đối tượng toán học khác Hàm sinh Hàm sinh thường dãy số vô hạng chuỗi luỹ thừa hình thức G(x) = g0 + g1x + g2x2 + g3x3 … Ta gọi làm sinh chuỗi hình thức thông thường ta coi x ký hiệu thay thay số Chỉ vài trường hợp ta cho x nhận giá trị thực, ta gần không để ý đến hội tụ chuỗi Có số loại hàm sinh khác này, ta xét đến hàm sinh thường Trong này, ta ký hiệu tương ứng dãy số hàm sinh dấu mũi tên hai chiều sau g0 + g1x + g2x2 + g3x3 +… Ví dụ, số dãy số hàm sinh chúng + 0.x + 0.x2 + 0.x3 + … = + 0.x + 0.x2 + 0.x3 + … = + 2x + x2 + 0.x3 + … = x2 + 2x + Quy tắc đơn giản: Số hạng thứ i dãy số (đánh số từ 0) hệ số x i hàm sinh Nhắc lại công thức tính tổng số nhân lùi vô hạn z z z 1 z Đẳng thức không với |z| 1, lần ta không quan tâm đến vấn đề hội tụ Công thức cho công thức tường minh cho hàm sinh hàng loạt dãy số + x + x2 + x3 + … = 1/(1-x) Bài tập toán rời rạc - x + x2 - x3 + … = 1/(1+x) + ax + a2x2 + a3x3 + … = 1/(1-ax) + x2 + x4 + … = 1/(1-x2) Các phép toán hàm sinh Phép màu hàm sinh nằm chỗ ta chuyển phép toán thực dãy số thành phép toán thực hàm sinh tương ứng chúng Chúng ta xem xét phép toán tác động chúng thuật ngữ dãy số 2.1 Nhân với số Khi nhân hàm sinh với số dãy số tương ứng, số hạng nhân với số Ví dụ + x2 + x4 + … = 1/(1-x2) Nhân hàm sinh với 2, ta 2/(1-x2) = + 2x2 + 2x4 + … hàm sinh dãy số Quy tắc (Quy tắc nhân với số) Nếu F(x) cF(x) Chứng minh cf0 + (cf1)x + (cf2)x2 + (cf3)x3 + … = c(f0 + f1x+f2x2 + f3x3 + …) = cF(x) 2.2 Cộng Cộng hai hàm sinh tương ứng với việc cộng số hạng dãy số theo số Ví dụ, ta cộng hai dãy số trước 1/(1-x) + 1/(1+x) 1/(1-x) + 1/(1+x) Bây ta thu hai biểu thức khác sinh dãy (2, 0, 2, 0, …) Nhưng điều ngạc nhiên thực chúng nhau: 1/(1-x) + 1/(1+x) = [(1+x) + (1-x)]/(1-x)(1+x) = 2/(1-x2) Quy tắc (Quy tắc cộng) Nếu F(x), G(x) Bài tập toán rời rạc a) Mỗi loại kẹo xuất kiện số lẻ lần b) Số loại kẹo chia hết cho c) Không có kẹo sô-cô-la có nhiều viên kẹo chanh d) Có 1, hay 11 viên kẹo sô-cô-la, 2, viên kẹo chanh e) Mỗi loại kẹo xuất 10 lần 11 Vé hạnh phúc Một vé xe buýt đánh số từ 000000 đến 999999 Vé xe buýt gọi vé hạnh phúc tổng ba chữ số đầu số ghi vé tổng ba chữ số cuối Ví dụ 000000, 999999, 123006 vé hạnh phúc Bài toán có mục đích tìm số vé hạnh phúc 106 vé (từ 000000 đến 999999) a) Chứng minh số vé hạnh phúc số nghiệm phương trình a1 + a2 + a3 = a4 + a5 + a6, b) Gọi ck số nghiệm phương trình a1 + a2 + a3 = k với 27 Chứng minh số vé hạnh phúc N c k2 k 0 c) Tìm hàm sinh cho dãy ck d) Chứng minh ck = c27-k với k=0, 1, …, 27 e) Chứng minh số nghiệm phương trình a1 + a2 + a3 = a4 + a5 + a6 với số nghiệm phương trình a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 27 với f) Từ N hệ số x27 khai triển (1+x+x2+…+x9)6 Suy giá trị N 12 Số Catalan Số Catalan số xác định cách truy hồi sau C0 = 1, Cn = C0Cn-1 + C1Cn-2 + …+ Cn-1C0 với n = 1, 2, 3, … Số Catalan có nhiều định nghĩa tổ hợp khác nhau, chẳng hạn, số Catalan số cách nối 2n điểm đường tròn n dây cung không cắt nhau, số nhị phân có gốc có n+1 lá, số đường ngắn lưới nguyên từ điểm (0, 0) đến điểm (n, n) không vượt qua đường thẳng y = x … a) Gọi F(x) hàm sinh dãy Cn Chứng minh F(x) = + xF2(x) Từ suy F ( x) 4x 2x b) Sử dụng kết tập 2e, suy công thức tổng quát tính Cn Cn C 2nn n 1 23 Bài tập toán rời rạc ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM GIỮA KỲ (THAM KHẢO) MÔN: TOÁN RỜI RẠC Thời gian: 45 phút – không kể thời gian phát đề Phát biểu mệnh đề? a Hôm trời thật đẹp quá! b Ngày mai thứ 7, bạn có biết không? c Một ngựa đau tàu bỏ cỏ d Thôi em về, quê hương chờ em Chân trị mệnh đề x R,[( x 0) ( x2 x 0)] là: a Đúng b Sai Chân trị mệnh đề lượng tự hóa x R, y R,[( x y 5) (2 x y 4)] là: a Đúng b Sai Phủ định mệnh đề x R, y R, z R,[( x y z ) ( x z)] là: a x R, y R, z R,[( x y z ) ( x z )] b x R, y R, z R,[( x2 y z ) ( x z)] c x R, y R, z R,[( x y z ) ( x z )] d x R, y R, z R,[( x y z ) ( x z )] e Tất sai Phủ định biểu thức mệnh đề xz [( y z ) xy] a xz [( y z ) x y] b xz [( y z ) x y] c xz [( y z ) x y] d xz [( y z ) x y] e Tất sai F = x y [yz y x )] , biểu diễn F dạng chuẩn hội hoàn toàn là: b f ( x y z)( x y z)( x y z) c f ( x y z)( x y z ) d f ( x y z)( x y z ) e f ( x y z)( x y z)( x y z) e Tất sai F = xz ( yz y z) , biểu diễn F dạng chuẩn tuyển hoàn toàn là: a f x y z x y z x y z x y z x y z b f x y z x y z x y z x y z x y z x y z c f x y z x y z x y z x y z x y z x y z d f x y z x y z x y z x y z x y z x y z 24 Bài tập toán rời rạc e Tất sai Công thức [ x ( y x)] [( x z) ( xy)] ( x z) a Công thức b Công thức sai c Công thức khả đúng/sai Công thức ( x y) ( xz xy) ( y z) x a Công thức b Công thức sai c Công thức khả đúng/sai 10 Khẳng định tập hợp A = { 0, {1}, {2}} b {{2}} A c {{ }} A a {{1}} A d A 11 Chọn tập hợp rỗng: a {x N/ 2x2-7=1} b {x Z/ 3x2-7=2} c {x Q/4x2+3=1} d {x R/ x2+3=5} 12 Chọn ánh xạ song ánh: a f : R R, f ( x) x b f : R R, f ( x) x3 c f : R Z , f ( x) x3 d f : Q Q, f ( x) x 13 Có cách ghép cặp gữa nam nữ? a 77 b 7*7 c ! d.77 e Kết khác 14 Có xâu nhị phân có độ dài 10 bắt đầu 110 hết thúc 011? a 28 b 26 c 28-26 d C106 e Kết khác 15 Có số chứa số khoảng (1911, 2008) a 16 b 61 c 17 d Kết khác 16 Có số tăng thực đoạn [111, 234] a 34 b 36 c 38 d Kết khác 17 Số sinh viên dự thi môn toán rời rạc để 234 thí sinh có số điểm nếu lấy thang điểm 100 a 23301 b 23401 c 22999 d Kết khác 18 Số nghiệm nguyên dương ( x1, x2 , x3 ) phương trình : x1 x2 x3 20, x1 3, x2 a 18.19.20 b C2620 c C203 d 12! e Kết khác 19 Hệ số x3y7z khai triển (3x-7y+z)11 20 Tổng tất hệ số khai triển: (2x-2y+z)8 25 Bài tập toán rời rạc ĐỀ THI KẾT THÚC MÔN HỌC (THAM KHẢO) MÔN: TOÁN RỜI RẠC Thời gian: 90 phút – không kể thời gian phát đề Câu (2 điểm) Xét mật mã có dạng ABC-XYZ, A, B, C chữ khác (có 26 chữ bảng chữ tiếng Anh) X,Y,Z chữ số khác (có 10 chữ số thập phân từ đến 9) a Có tất mật mã vậy? b Có tất mật mã mà tổng số vị trí tận 13? (VD: mật mã RAS-319 mật mã hợp lệ Mật mã RAS-271 không hợp lệ) Câu (1 điểm) Tìm phần tử x7 y3 z2 khai triển (4x - 5y + 2z)12 Câu (3 điểm) Cho quan hệ X={2, 4, 5, 8, 10, 15, 16, 30} xác định bởi: x, y X , x d Chứng minh y y kx, k Z quan hệ thứ tự e Tìm phần tử tối đại, tối tiểu, lớn nhất, nhỏ xác định quan hệ f Vẽ biểu đồ Hasse tương ứng Câu (3 điểm) Tìm đa thức tối tiểu vẽ mạch logic tương ứng với kết tìm với f ( x, y, z, t ) yzt xzt xyzt xyzt xyt xyzt xyzt Câu (1 điểm) Cho ( A, , ) đại số Boole Chứng minh: x, y A x y x x y y - Hết MỘT SỐ ĐỀ THI THAM KHẢO Ở TRƢỜNG KHÁC ĐỀ THI MÔN TOÁN RỜI RẠC - Thời gian: 90 phút - (không sử dụng tài liệu) Đề : Câu Kiểm tra suy luận sau cách khác nhau: p (q r) qp p -r Câu a) Hãy tính số dãy bit khác số bit số chẵn b) Cho n số nguyên dương Tính số dãy n bit khác số bit số chẵn 26 Bài tập toán rời rạc Câu Cho X = a,b,c,d,e a) Tìm quan hệ thứ tự X cho a phần tử nhỏ nhất, d e phần tử tối đại b) Hỏi có quan hệ thứ tự X thỏa điều kiện yêu cầu câu (a) Câu 4.Tìm công thức dạng tắc công thức đa thức tối tiểu hàm Bool f(x,y,z,t) có bảng giá trị sau: x y z t f 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 Câu Tính số hàm Bool theo biến f(x,y,z) thỏa điều kiện f(x,y,z) = f(x,z,y) = f(y,x,z) với x, y, z Đề : Câu Cho biểu thức logic E theo biến p, q, r, s sau: A = (p ( q r) s ) ( s r p ) Hãy rút gọn biểu thức A tìm giá trị biến p, q, r, s A = Câu Cho n số nguyên dương đặt Sn = 1, 2, , n 27 Bài tập toán rời rạc a) Tính số tập hợp Sn chứa số chẵn trường hợp n = 14 trường hợp n = 15 b) Tính số tập hợp Sn chứa số chẵn trường hợp tổng quát (n tùy ý) Câu a) Nêu lên định nghĩa quan hệ thứ tự tập hợp cho ví dụ b) Cho X = a, b, c, d, e Tìm tất quan hệ thứ tự X thỏa mãn điều kiện: a phần tử nhỏ e phần tử lớn Câu Tìm công thức dạng tắc công thức đa thức tối tiểu hàm Bool f(x,y,z,t) có bảng giá trị sau: x y z t f 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 Câu Cho X = x1, x2, , xn tập hợp hữu hạn có n phần tử Giả sử R quan hệ thứ tự X Hãy viết thuật toán tìm tất phần tử tối đại X theo quan hệ thứ tự R Đề : 28 Bài tập toán rời rạc Câu 1: Xét vị từ theo biến nguyên sau đây: p(x) : x2 – 5x + = q(x) : x2 – 4x – = r(x) : x>0 us(x, y) : “x ước số y” Hãy xác định chân trị mệnh đề sau đây: a) b) c) d) x : p(x) r(x) x : q(x) r(x) y, x : us(x,y) y, x : us(x,y) Câu 2: Cho m n số nguyên dương Tính số dãy bit gồm n bit thỏa điều kiện sau đây: Tổng số bit vị trí chẳn m Hãy tính số dãy bit theo điều kiện trường hợp n = 32, m = Câu 3: a) Nêu lên định nghĩa biểu đồ Hasse tập hợp X có thứ tự (tức có quan hệ thứ tự xét X) Vẽ biểu đồ Hasse tập P(a,b,c) theo quan hệ thứ tự , P(a,b,c) tập hợp gồm tất tập hợp a,b,c b) Nếu tập hợp P(a,b,c) ta xét quan hệ thứ tự biểu đồ Hasse có dạng nào? Khi cho biết phần tử “lớn nhất” phần tử “nhỏ nhất” gì? Câu 4: Cho hàm Bool f(x,y,z,t) theo biến x, y, z, t Giả sử f có biểu đồ Karnaugh sau: 1 1 1 1 1 Hãy tìm công thức dạng nối rời tắc công thức đa thức tối tểu hàm Bool f Câu 5: Cho X tập hợp có n phần tử Tính số quan hệ X có tính chất phản xạ có tính chất đối xứng Đề : Câu 1: Xét vị từ theo biến nguyên sau đây: p(x) : x2 – 5x + = q(x) : x2 – 4x – = r(x) : x>0 us(x, y) : “x ước số y” Hãy xác định chân trị mệnh đề sau đây: x : q(x) r(x) 29 Bài tập toán rời rạc x : p(x) r(x) x, y : us(x,y) x, y : us(x,y) Câu 2: Một lớp học có 12 học sinh giỏi văn hay giỏi toán có học sinh giỏi môn (Văn Toán) có học sinh giỏi Toán Hỏi có học sinh giỏi Văn mà không giỏi Toán Giả sử ta phải chọn tổ học sinh để đại diện thi học sinh giỏi: tổ học sinh giỏi Văn tổ học sinh giỏi Toán, tổ gồm có người học sinh chọn thi tham gia vào tổ mà Hỏi có cách chọn tổ học sinh thế? Câu 3: Nêu lên định nghĩa phần tử nhỏ phần tử tối tiểu tập hợp X theo quan hệ thứ tự R Cho ví dụ minh họa Giả sử X = x1, x2, , xn tập hợp hữu hạn có n phần tử R quan hệ thứ tự X Viết thuật toán tìm phần tử tối tiểu phần tử nhỏ (nếu có) X theo quan hệ thứ tự R Câu 4: Cho hàm Bool f(x,y,z,t) theo biến x, y, z, t Giả sử f có biểu đồ Karnaugh sau: 1 1 1 1 1 Hãy tìm công thức dạng nối rời tắc công thức đa thức tối tểu hàm Bool f Câu 5: Cho X tập hợp có n phần tử Tính số quan hệ X có tính chất chất đối xứng tính chất phản xạ Đề : Câu Kiểm tra suy luận sau cách khác nhau: p (q r) ps q r -s Câu Một lớp học có 14 học sinh giỏi văn hay giỏi toán có 10 học sinh giỏi Toán có học sinh giỏi Văn Hỏi có học sinh giỏi Văn mà không giỏi Toán 30 Bài tập toán rời rạc Giả sử ta phải chọn tổ học sinh để đại diện thi học sinh giỏi: tổ học sinh giỏi Văn tổ học sinh giỏi Toán, tổ gồm có người học sinh chọn thi tham gia vào tổ mà Hỏi có cách chọn tổ học sinh thế? Câu Cho X = a, b, u, v Tìm quan hệ thứ tự X cho a b phần tử tối tiểu không tối đại, u v phần tử tối đại không tối tiểu Hỏi có quan hệ thứ tự X thỏa điều kiện yêu cầu câu (a) Câu Tìm công thức dạng tắc công thức đa thức tối tiểu hàm Bool f(x,y,z,t) có bảng giá trị sau: x y z t f 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 Câu Cho X tập hợp hữu hạn R quan hệ thứ tự X Chứng minh X có phần tử tối tiểu Hỏi có phải X luôn có phần tử nhỏ không? Đề : Câu 1: Phát biểu nguyên lý qui nạp dùng để chứng minh mệnh đề có dạng: 31 Bài tập toán rời rạc n : p(n) p(n) vị từ theo biến số tự nhiên n Hãy dùng nguyên lý qui nạp để chứng minh công thức số nguyên dương n: Trong công thức trên, ký hiệu C(n,k) số tổ hợp n chọn k Câu 2: Cho m n số nguyên dương Tính số dãy bit gồm n bit thỏa điều kiện sau đây: Tổng số bit vị trí chẳn số chẳn Hãy tính số dãy bit theo điều kiện trường hợp n = 32, m = Câu 3: Trên tập hợp số tự nhiên N ta xét quan hệ R định nghĩa sau : a R b n N : b.n = a Chứng minh quan hệ R quan hệ thứ tự N Đặt D = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 Trên tập hợp D ta xét quan hệ R định nghĩa phần (a) Hỏi R có phải quan hệ thứ tự D không? Nếu có vẽ biểu đồ Hasse cho biết phần tử nhỏ phần tử lớn D theo thứ tự R Câu 4: Cho hàm Bool f(x,y,z,t) theo biến x, y, z, t Giả sử f có biểu đồ Karnaugh sau: 1 1 1 1 1 1 Hãy tìm công thức dạng nối rời tắc công thức đa thức tối tểu hàm Bool f Câu 5: Tìm hàm Bool f(x,y,z,t) thỏa điều kiện: Nếu x+y+z+t số chẳn f(x,y,z,t) = Tính số hàm Bool thỏa mãn điều kiện Đề : Câu 1: Phát biểu nguyên lý qui nạp dùng để chứng minh mệnh đề có dạng: n : p(n), p(n) vị từ theo biến số tự nhiên n Hãy dùng nguyên lý qui nạp để chứng minh phát biểu p(n) sau số tự nhiên n : p(n) : Nếu tập hợp X có n phần tử số tập hợp X 2n Câu 2: Cho m n số nguyên dương Tính số dãy bit gồm n bit thỏa điều kiện sau đây: Tổng số bit vị trí chẳn số lẻ Hãy tính số dãy bit theo điều kiện trường hợp n = 32, m = Câu 3: Nêu lên định nghĩa quan hệ tập hợp định nghĩa tính chất: phản xạ, đối xứng bắc cầu Cho ví dụ quan hệ tập hợp số nguyên có tính chất phản xạ, đối xứng bắc cầu 32 Bài tập toán rời rạc Giả sử X tập hợp hữu hạn R quan hệ X cho cách liệt kê Viết thuật toán để kiểm tra xem R có tính chất bắc cầu hay không Câu 4: Cho hàm Bool f(x,y,z,t) theo biến x, y, z, t Giả sử f có biểu đồ Karnaugh sau: 1 1 1 1 1 Hãy tìm công thức dạng nối rời tắc công thức đa thức tối tểu hàm Bool f Câu 5: Tính số hàm Bool f(x,y,z,t,u,v) thỏa điều kiện: Nếu số bit dãy bit (x,y,z,t,u,v) số nguyên tố f(x,y,z,t,u,v) = Đề : Câu Cho biểu thức logic E theo biến p, q, r, s sau: E = ( ( q r) s p) ( s r p ) Hãy rút gọn biểu thức E tìm giá trị biến p, q, r, s E = Câu Cho n số nguyên dương đặt Sn = 1, 2, , n Tính số tập hợp Sn chứa số lẻ trường hợp n = 11 trường hợp n = 12 Tính số tập hợp Sn chứa số lẻ trường hợp tổng quát (n tùy ý) Câu Nêu lên định nghĩa quan hệ thứ tự tập hợp cho ví dụ Cho X = a, b, c, d, e Tìm tất quan hệ thứ tự X thỏa mãn điều kiện: tập hợp phần tử tối tiểu a, b tập hợp phần tử tối đại c, d, e Câu Tìm công thức dạng tắc công thức đa thức tối tiểu hàm Bool f(x,y,z,t) có bảng giá trị sau: x y z t f 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 33 Bài tập toán rời rạc 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 Câu Cho X tập hợp có n phần tử Tính số quan hệ X có tính chất chất đối xứng tính chất phản xạ Đề : Câu 1: Kiểm tra suy luận sau đây: pq prq rst s -t Câu 2: Trong lớp có n (n > 5) học sinh, người ta muốn chia thành tổ mà tổ phải có học sinh Hỏi có cách phân chia? Tính số cách phân chia trường hợp n = 10 Câu 3: Biểu đồ Hasse cấu trúc thứ tự (hữu hạn) gì? Dựa vào biểu đồ Hasse liệt kê quan hệ thứ tự R X = 1, 2, 3, 4 thỏa điều kiện: X có phần tử nhỏ có phần tử lớn Có quan hệ thứ tự X thỏa điều kiện trên? Câu 4: Tìm công thức dạng tắc công thức đa thức tối tiểu hàm Bool f(x, y, z, t) có bảng Karnaugh sau: 1 1 1 34 Bài tập toán rời rạc 1 Đề 10 : Câu 1: Cho biểu thức Logic E theo biến sau : E= (p [ ( q V r) s]) [ s (r p) ] Xác định giá trị p, q, r, s để E =1 Câu 2: Chứng minh công thức sau : Câu 3: Lớp tin học có 21 sinh viên phải thực thực hành Biết tất học sinh thực hành bài, học sinh không làm thứ nhất, học sinh không làm thứ hai, học sinh không làm thứ ba, có học sinh làm Hỏi có học sinh làm Câu 4: Cho tập X = { 1,2,3,4} Xét quan hệ hai R định nghĩa sau: R = { (1,1) , (1,4), (2,2) , (2,3), (3,2), (3,3), (4,1) , (4,4) } Biểu diễn quan hệ dạng ma trận dạng biểu dồ Hasse Quan hệ có tính chất ? ? Kết luận quan hệ (tương đương hay thứ tự ) Câu 5: Cho hàm Bool f(a.b.c.d) thỏa : f-1 (1) = { 0101 , 0110 , 1000 , 1011 ] Vẽ biểu đồ Karnaugh f Tìm công thức đa thức tối tiểu f Vẽ mạch tổ hợp f theo kết câu b Đề 11 : Câu 1: Cho biểu thức Logic E theo biến p, q, r, s sau : E= (( q V r) V s p ) ( s r p) Hãy rút gọn biểu thức E tìm giá trị p, q, r, s để E=0 Câu 2: Hãy kiểm tra suy luận sau: 35 Bài tập toán rời rạc Nếu A lên chức làm việc nhiều A tăng lương Nếu tăng lương A mua xe Mà A không mua xe Vậy A không lên chức hay A không làm việc nhiều Câu 3: CM : / A B C/ = /A/ + /B/ + /C/ - /AB/ - /AC/ - /BC/ - /ABC/ Lớp tin học có 21 sinh viên phải thực thực hành Biết tất học sinh thực hành bài, học sinh không làm thứ nhất, học sinh không làm thứ hai, học sinh không làm thứ ba, có học sinh làm Hỏi có học sinh làm Câu 4: Cho tập X = { 1,2,3,4} Xét quan hệ hai R định nghĩa sau: R = { (1,1) , (1,3), (2,2) , (2,4), (3,1) , (3,3), (4,2) , (4,4) } Biểu diễn quan hệ dạng ma trận dạng biểu dồ Hasse Quan hệ có tính chất ? ? Kết luận quan hệ (tương đương hay thứ tự ) Câu 5: Cho hàm Bool f(a.b.c.d) thỏa : f-1 (0) = { 0100 , 0000 , 0110 , 0010 ] Vẽ biểu đồ Karnaugh f Tìm công thức đa thức tối tiểu f Vẽ mạch tổ hợp f theo kết câu b Đề 12 : Câu 1: Cho biểu thức Logic E theo biến sau : E= [ (p V q) V [( p q) V q ]] [ (p q)] Hãy rút gọn biểu thức E tìm giá trị p, q E =1 Câu 2: Hãy kiểm tra suy luận sau: Nếu B làm muộn vợ anh giận Nếu A thường xuyên vắng nhà vợ anh giận Nếu vợ A hay vợ B giận cô H bạn bạn học A B nhận lời than phiền Mà H không nhận lời than phiền Vậy B làm sớm A vắng nhà 36 Bài tập toán rời rạc Câu 3: N số cho trước Xác định giá trị biến C sau thực đoạn chương trình C:=0 ; For i:= to N For j:= to N For k:= j to N C:= C+1; Câu 4: Cho tập X = { 1,2,3,4} Xét quan hệ hai R định nghĩa sau: R = { (1,1) , (1,2), (2,1) (2,2) ,(2,4), (3,3), (4,2) , (4,4) } (a) Biểu diễn quan hệ dạng ma trận dạng biểu dồ Hasse (b) Quan hệ có tính chất ? ? (c) Kết luận quan hệ (tương đương hay thứ tự ) Câu 5: Tìm công thức dạng tắc công thức đa tối tiểu hàm Bool f(x,y,z) có bảng giá trị: X y z t f 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 37