Toán rời rạc tập hợp và ánh xạ

Chương TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ Phần I Hướng dẫn sử dụng Maple 2.1 Tập hợp Cho A tập hợp x phần tử, ta có số hàm liên quan • {a, b, c, }: Tạo tập hợp {a, b, c, } • {seq(f(i), i=n m)}: Tập hợp với phần tử f (i) với i chạy từ n đến m • nops(A): Số phần tử A • op(A): Trích xuất tất phần tử A • A[i]: Phần tử thứ i A • member(x, A): Kiểm tra x có phần tử A không? > A:={1,5,2,2,3,2,3,4,7}; {1, 2, 3, 4, 5, 7} > nops(A); > op(A); 1, 2, 3, 4, 5, > A[6]; > member(4, A); true > member(6, A); f alse > {seq(2ˆi, i = 5)}; {2, 4, 8, 16, 32} Cho A, B tập hợp, • A union B: Tìm hợp A B • A intersect B: Tìm giao A B • A minus B: Tìm hiệu A B • A subset B: Kiểm tra A có tập B không? CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt > A := {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9}: B := {2, 4, 6, 8, 10}: > A union B; {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} > A intersect B; {2, 6, 8} > A minus B; {1, 3, 5, 7, 9} > A subset B; f alse 2.2 Ánh xạ Một số hàm liên quan tới ánh xạ • f:=x -> exp: Xây dựng ánh xạ biến f với f (x) = exp, exp biểu thức theo biến x • f:=(x, y, ) -> exp: Xây dựng ánh xạ nhiều biến f với f (x, y, ) = exp, exp biểu thức theo biến x, y, • f(t): Tính giá trị ánh xạ f t • f@g: Tìm ánh xạ hợp f◦ g • f@@k: Tìm ánh xạ hợp k lần f • g:=x -> solve(f(y)=x, y); Khi f song ánh g ánh xạ ngược f > f:=x -> (3*x+2)/(x-5): f := x → 3x + x−5 > f(4); −14 > f3:=f@@3: simplify(f3(t)); #Tìm ánh xạ hợp f 29t + 42 21t − 139 > g:=t -> 2*t+1; g := t → 2t + > h := g@f; simplify(h(t)); #Tìm h = g◦ f 7t − t−5 > fn := x-> solve(f(y) = x, y): simplify(fn(t)); #Tìm ánh xạ ngược f + 5t −3 + t CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Phần II Bài tập Bài 2.1 Những khẳng định sau a) ∈ ∅ c) {0} ⊂ ∅ e) {0} ∈ {0} b) ∅ ∈ {0} d) ∅ ⊂ {0} f) {0} ⊂ {0} Bài 2.2 Những khẳng định sau a) ∅ ∈ {∅} c) {∅} ∈ {{∅}} e) {{∅}} ⊂ {∅, {∅}} b) ∅ ∈ {∅, {∅}} d) {∅} ⊂ {∅, {∅}} f) {{∅}} ⊂ {{∅}, {∅}} Bài 2.3 Liệt kê tập hợp sau: a) A = {1 + (−1)n | n ∈ N} b) B = {n + | n ∈ N∗ } n m c) C = {x = | m, n ∈ Z, n = 0, m2 < 6n > n2 − 7} n nπ d) D = {2 sin + | n ∈ Z} √ √ m e) E = {x = | m, n ∈ Z, 17 < n ≤ 80 < x < 1} n 2 x + 3x − 10 ≤ 0} f) F = {x ∈ Z | x+4 √ √ g) G = {x ∈ Q | x4 ≥ 256 x = cos x − sin 3x} Bài 2.4 Cho A, B ⊂ R Viết A, B, A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A thành phần hội đoạn, khoảng rời R a) A = (−9, −3) ∪ [−1, 2] ∪ [4, 5) ∪ (7, 11] ∪ (13, +∞) B = (−∞, −7] ∪ [−4, −2) ∪ (0, 3) ∪ (6, 8] ∪ [10, 15] b) A = (−∞, −4) ∪ [4, 7] ∪ {−1, 2, 8, 10} B = (−5, 1] ∪ [6, 9) ∪ {−6, 3, 5, 10} Bài 2.5 Cho A, B, C, D ⊂ E Hãy rút gọn biểu thức sau đây: a) (A \ B) ∪ (B \ A) ∪ (A ∩ B) b) (A ∪ B) \ [(A \ B) ∪ (A ∩ B)] c) A ∪ B ∪ (A ∩ B ∩ C) d) (A ∩ B) ∪ (A ∩ B ∩ C ∩ D) ∪ (A ∩ B) e) A ∪ (A ∩ B) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C ∩ D) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài 2.6 Cho A, B, D ⊂ E Hãy chứng minh a) D \ (A ∪ B) = (D \ A) ∩ (D \ B) = (D ∪ B) \ (A ∪ B) b) D \ (A ∩ B) = (D \ A) ∪ (D \ B) c) (A ∪ B) \ D = (A \ D) ∪ (B \ D) d) (A ∩ B) \ D = (A \ D) ∩ (B \ D) e) (A \ B) \ D = A \ (B ∪ D) = (A \ D) \ (B \ D) Bài 2.7 Cho A, B, H, K ⊂ E Chứng minh a) [(A ∩ H) ∪ (B ∩ K)] ⊂ [(A ∪ B) ∩ (H ∪ K)] b) (A \ H) ⊂ [(A \ B) ∪ (B \ H)] c) [(A ∪ B) \ (H ∪ K)] ⊂ [(A \ H) ∪ (B \ K)] ⊂ [(A ∪ B) \ (H ∩ K)] d) [(A ∪ B) \ H] ⊂ [A ∪ (B \ H)] e) [(A ∪ B) \ (A ∪ H)] ⊂ (B \ H) Cho ví dụ để thấy trường hợp khơng có dấu đẳng thức xảy a), b), c), d) e) Bài 2.8 Cho A = {0, 1, a}, B = {a, 2} C = {2, b} a) Liệt kê tập hợp A2 , A × B, C × A, B × C C × B b) Liệt kê tập hợp B , A × B , C × A × C, A × B × C C × B Bài 2.9 Cho A, B ⊂ E H, K ⊂ F Chứng minh a) A × (H \ K) = (A × H) \ (A × K) b) [(A × H) \ (B × K)] = [(A \ B) × H] ∪ [A × (H \ K)] c) (A × H) ∩ (B × K) = (A ∩ B) × (H ∩ K) d) [(A × H) ∪ (B × K)] ⊂ [(A ∪ B) × (H ∪ K)] e) [(A \ B) × (H \ K)] ⊂ [(A × H) \ (B × K)] Cho ví dụ để thấy trường hợp khơng có dấu đẳng thức xảy d) e) Bài 2.10 Các qui tắc f : X → Y sau có phải ánh xạ khơng ? Tại ? x , ∀x ∈ X a) X = (−2, 1], Y = R, f (x) = x + 2x − b) X = R, Y = (6, +∞), f (x) = ex + 9e−x , ∀ x ∈ X c) X = Y = R, f (x) = ln | sin x|, ∀ x ∈ X d) X = [−1, +∞), Y = R, f (x) = y cho y − 2y = x, ∀ x ∈ X CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt e) X = [1, 3], Y = R \ {0}, f (x) = 3x2 − 9x + 5, ∀ x ∈ X m m f) X = Q, Y = Z, f = m2 + 3n − mn, ∀ ∈X n n Bài 2.11 Xét tính đơn ánh tồn ánh ánh xạ f : X → Y sau: x , ∀x ∈ X x2 + b) X = [−2, +∞), Y = (−20, +∞), f (x) = x2 + 6x − 3, ∀ x ∈ X a) X = Y = R, f (x) = c) X = Y = R, f (x) = (x − 1)(x + 3)(x − 4), ∀ x ∈ X 2x − d) X = R \ {0}, Y = R, f (x) = , ∀x ∈ X x √ e) X = R, Y = [−2, 2], f (x) = sin x + cos x, ∀ x ∈ X f) X = Y = R, f (x) = cos 2x − 7x + 8, ∀ x ∈ X Bài 2.12 Xét hai ánh xạ f, g : R → R xác định bởi: f (x) = ax + b g(x) = − x + x2 Giả sử g◦ f = f◦ g, xác định a b? Bài 2.13 Xác định u = go f, v = f◦ g w = h◦ g◦ f (nếu có) f : X → Y, g : Z → T h : U → V a) X = Y = Z = T = U = V = R, f (x) = 2x + 1, g(x) = x2 + x − h(x) = x3 + cos x b) X = T = U = (0, +∞), Y = Z = R, V = [1, +∞), f (x) = ln x − 2, g(x) = esin x h(x) = 5x4 − x2 + 3x + c) X = V = R, Y = Z = R \ {1}, T = U = R \ {−3}, f (x) = x2 − 4x + 6, g(x) = 1−x h(x) = ln |x + 3| Bài 2.14 Cho hai ánh xạ f, g : R → R xác định f (x) = x2 − g(x) = 2x2 + 4x + Hãy tìm f (A), g(A), f −1 (A) g −1 (A) với a) A = {2, 3} c) A = (−3, 3) e) A = [−7, 2] b) A = {−3, −2, 2, 3} d) A = (−3, 2] f) A = (−4, −3] ∪ [5, 6] Bài 2.15 Tìm f (A), f (B), f (C), f (D), f (E), f (R), f −1 (G), f −1 (H), f −1 (K), f −1 (L), f −1 (M ) f −1 (N ) cho ánh xạ sau a) f : R → R với f (x) = • • • • • • x − x ≤ 2x + x > A = {−1, 0, 1, 2, 3} B = [1, 3] C = (−1, 2) D = (−∞, 0] E = (3, +∞) G = {−7, −5, −3, 1, 2, 5, 7, 9} • H = [−7, −5] • K = (−5, 5) • L = [7, +∞) • M = [1, 9) • N = (−3, 2] CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt    x + x ≤ b) f : R → R với f (x) = − 2x < x <   x − x ≥ • • • • • • • H = [−5, −1] A = {−2, −1, 0, 1, 2, 4, 5} B = [−2, 1] C = (2, 4) D = (−1, 5] E = [0, +∞) G = {−5, −2, −1, 0, 4, 5, 7, 10, 11} • K = (−∞, 0] • L = [−2, 4) • M = (5, 10] • N = (7, 11) Bài 2.16 Chứng minh ánh xạ song ánh tìm ánh xạ ngược chúng: x + |x| b) h : [1, 2) → [5, 7), h(x) = 3x + x − 2ex c) p : R → (−2, 3), p(x) = x e +3 − 3x x−1 e) g : R → R, g(x) = ex − 3e−x + a) f : R → (−1, 1), f (x) = d) q : R \ {1} → R \ {−3}, q(x) = f) r : (0, 3] → (2, 17 ], r(x) = (x+1)+ x+1 Bài 2.17 Với ánh xạ cho trên, tìm ánh xạ u, v, w thỏa p−1 ◦ u = g, v◦ f = g −1 f◦ w◦ p = g CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... theo biến x, y, • f(t): Tính giá trị ánh xạ f t • f@g: Tìm ánh xạ hợp f◦ g • f@@k: Tìm ánh xạ hợp k lần f • g:=x -> solve(f(y)=x, y); Khi f song ánh g ánh xạ ngược f > f:=x -> (3*x+2)/(x-5): f... subset B; f alse 2.2 Ánh xạ Một số hàm liên quan tới ánh xạ • f:=x -> exp: Xây dựng ánh xạ biến f với f (x) = exp, exp biểu thức theo biến x • f:=(x, y, ) -> exp: Xây dựng ánh xạ nhiều biến f với... simplify(f3(t)); #Tìm ánh xạ hợp f 29t + 42 21t − 139 > g:=t -> 2*t+1; g := t → 2t + > h := g@f; simplify(h(t)); #Tìm h = g◦ f 7t − t−5 > fn := x-> solve(f(y) = x, y): simplify(fn(t)); #Tìm ánh xạ ngược f