báo cáo bài tập lớn môn toán rời rạc tập hợp, quan hệ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN TOÁN RỜI RẠC Đề tài Nhóm 26 BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC MỤC LỤC NHÓM 26 Page BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC GIẢI BÀI TẬP – LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ Vấn đề 1: Đồ thị hình có phải đồ thị Euler? Hãy chu trình Euler chứng minh Hình 1: Bạn vẽ đồ thị nét không? Trả lời: Đồ thị đồ thị Euler Cơ sở: Là đồ thị liên thông Đồ thị đỉnh bậc lẻ Chu trình Euler: A B C F J H E B F E D G H D A Vấn đề 2: Một đỉnh với đỉnh lân cận Mọi G với nhiều đỉnh có Thật vậy: Cho G đồ thị liên thông không chu trình tùy ý với nhiều đỉnh Vì G đồ thị liên thông có nhiều đỉnh, đỉnh có bậc lớn NHÓM 26 Page BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC Lấy vo, v1,….,vn đường dài G Vì đường dài nhất, phải qua đỉnh lân cận v n Nếu kề với vi với i < n-1, v i, vi+1, …., vn, vi chu trình G Vì G đồ thị không chu trình nên có chu trình G Vì vậy, kề với vn-1, Chứng minh tương tự v0 => đpcm a) b) c) d) e) f) g) h) i) Các vấn đề khác bạn nên chứng minh: Mọi đồ thị liên thông có |V| - cạnh Mọi đồ thị không chu trình có nhiều |V| - cạnh Bất kỳ đồ thị liên thông có |V| - cạnh Bất kỳ đồ thị không chu trình bào có |V| - cạnh Mọi đồ thị liên thông tối thiểu Mọi đồ thị không chu trình tối đa Một đồ thị có đường từ đỉnh sang đỉnh khác Mọi có chứa đỉnh bậc N có tối thiểu N Trong bất kỳ, đa số đỉnh có bậc lớn Chứng minh: a, Mọi đồ thị liên thông có |V| - cạnh Trường hợp sở: |V| = |V| = 1, |E| >= >= |V| - Với đồ thị lớn hơn: Giả sử , ta chứng minh G đồ thị liên thông Ta có => Có đỉnh v với => G không liên thông => loại , xét đồ thị G1 thu cách loại v cạnh nối v |E1| = |E|-1 < |V1| - = |V| - Tiếp tục loại đỉnh cạnh khỏi đồ thị, cuối ta đưa trường hợp |V| = 1, gia thiết ban đầu |E| < |V| - sai => G1 không liên thông => G không liên thông => |E| >= |V| - Đpcm b, Mọi đồ thị không chu trình có nhiều |V| - cạnh Trường hợp sở: |V| = |E| = | => |E| loại - Thêm vào số đỉnh lớn số cạnh: với đồ thị xây theo kiểu bổ sung nút, cạnh, xuất chu trình đồ thị => loại Như cách bổ sung đỉnh, cạnh nối đỉnh với đồ thị có ta thu đồ thị không chu trình có số cạnh lớn |E| = |V| - => |E| Đồ thị G liên thông chu trình Với đồ thị G lớn => Nếu đồ thị không liên thông, điều trái với giả thiết Nếu , ta loại v cạnh v khỏi đồ thị G thu đồ thị G1 có: |V| - đỉnh |E| - = |V| - cạnh Bằng cách qui nạp => G1 mạch hở Nếu thêm v vào G1 tạo thêm chu trình chu trình vào v cạnh để tiếp => G chu trình => G d, Bất kỳ đồ thị không chu trình bào có |V| - cạnh Như chứng minh phần b, đồ thị không chu trình có |V| - cạnh xây dựng cách thêm liên tục cạnh nút vào đồ thị sở nút số đỉnh |V| Bằng cách làm ta thu đồ thị liên thông, không chu trình, có số cạnh |V| - Như e, Mọi đồ thị liên thông tối thiểu Giả sử G đồ thị liên thông, có chu trình Giả sử u, v đỉnh liền kề chu trình, có chu trình u, x 1, … , xk, v, u Ta xóa cạnh chu trình ví dụ cạnh (u, v) ta có đường từ u đến v u, x1, …, xk, v đồ thị G liên thông, không bị ngắt kết nối, G NHÓM 26 Page BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC đồ thị liên thông tối thiểu => đồ thị liên thông tối thiểu đồ thị liên thông chu trình Mà theo định nghĩa đồ thị liên thông chu trình Vậy đồ thị liên thông tối thiểu f, Mọi đồ thị không chu trình tối đa Đồ thị không chu trình tối đa đồ thị không chu trình mà thêm cạnh vào đồ thị tạo chu trình Giả sử G đồ thị không chu trình tối đa Ta thêm cạnh nối đỉnh u, v đồ thị đồ thị có chu trình qua u, v => trước phải tồn đường từ u đến v Từ ta thấy có đường đỉnh đồ thị G, tức G đồ thị liên thông chu trình Và G g, Một đồ thị có đường từ đỉnh sang đỉnh khác - Chứng minh đồ thị có đường từ đỉnh sang đỉnh khác: Một đồ thị đồ thị liên thông chu trình Đồ thị liên thông đảm bảo có đường từ đỉnh sang đỉnh khác Đồ thị không chu trình đảm bảo có nhiều đường đỉnh có nhiều đường đỉnh có chu trình qua điểm Vì đồ thị có đường từ đỉnh đến đỉnh khác - Chứng minh đồ thị có đường từ đỉnh đến đỉnh khác Có đường từ đỉnh đến đỉnh khác => tồn đường đỉnh đồ thị liên thông Nếu đỉnh có đường, giả sử đỉnh u, v Khi từ u đến v không đường khác để từ v u Và đồ thị chu trình Một đồ thị liên thông chu trình h, Mọi có chứa đỉnh bậc N có tối thiểu N Xét đỉnh v với deg(v) = N => v có N đỉnh lân cận u1, …, uN Xét đường dài qua v u giả sử yn…, v, u1, x1, …, xn Vì đường dài nên qua tất đỉnh lân cận x n Nếu xn NHÓM 26 Page BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC có đỉnh lân cận yn, v, u1, xi tồn chu trình, điều với => xn có đỉnh lân cận x n-1 => xn => nhánh u1 có Tương tự ta có đỉnh v có N => Mọi chứa đỉnh bậc N có N Vấn đề 3: Gọi T đơn đồ thị vô hướng liên thông kết nối trật tự n Chứng minh T kích thước T n -1 Biết trật tự số nút mà có kích thước số cạnh mà có =>Gọi T đơn đồ thị vô hướng liên thông có n nút Chứng minh T có n-1 cạnh Chứng minh: Điều kiện cần: Nếu T có n nút đơn đồ thị vô hướng liên thông có n – cạnh Gọi P(n) mệnh đề có n nút có n-1 cạnh T k có k cạnh Ta thấy với n = T có nút cạnh P(1) Giả sử mệnh đề P với n = k Ta cần chứng minh P với n = k+1 Thật vậy: Ta xét việc thêm nút v vào T k Để đảm bảo T sau thêm nút v v phải nút bậc v hay có cạnh nối nút v vào Tk ta Tk+1 có thêm cạnh nút so với T k.Mà Tk có k nút k-1 cạnh Tk+1 có k+1 nút k cạnh P(k+1) Giả thiết quy nạp Thử lại: Cho Tk+1 với k+1 nút Hủy bỏ cạnh e T.Vì Tk+1 chu trình, nên e phải cầu nối Vì loại e khỏi T k+1 tạo T1 T2 có k1 k2 nút Theo giả thiết quy nạp T T2 có k1-1 k2-1 cạnh Đưa cạnh e lại lần ta T k+1 có (k1 - 1) + (k2 1) + = k cạnh Giả thiết quy nạp Điều kiện đủ: Nếu T đơn đồ thị vô hướng liên thông có n nút với n-1 cạnh T Giả sử T Khi có chứa chu trình Vì đò thị T tồn chu trình nên tồn cạnh cầu nối Loại bỏ cạnh khỏi đồ thị ta đò thị T’ có n nút n-2 cạnh NHÓM 26 Page BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC Ta thử xây dựng đơn đồ thị liên thông với n nút n-2 cạnh xem xảy không Đầu tiên chọn đỉnh n đỉnh gọi u u2, ta sử dụng cạnh để kết nối chúng, gọi cạnh e1 Tiếp theo chọn đỉnh khác đánh số u3 sử dụng cạnh để kết nối với đỉnh u1 u2, gán nhãn e2 Tiếp tục chọn đỉnh khác đánh số u4, sử dung cạnh e3 để kết nối với ba đỉnh lại.Tiếp tục bước chọn đỉnh gắn nhãn u n-1 , sử dụng cạnh en-2 để kết nối đỉnh u 1, u2, … , un-2 en-2 phần tử cuối tập cạnh, chưa kết nối hết số đỉnh Vì tạo đơn đồ thị vô hướng liên thông từ n đỉnh n-2 cạnh  T phải Kết luân: từ điều kiện cần đủđpcm Vấn đề 4: Đối với đồ thị liên thông, có 2k đỉnh bậc lẻ, đồ thị vẽ k nét Chứng minh: Với G đồ thị liên thông, có đỉnh bậc lẻ u v vẽ nét Thật vậy, ta gọi G’ đồ thị thu từ G cách thêm vào cạnh (u, v) Khi đỉnh G’ có bậc chẵn hay G’ đồ thị Euler Bỏ cạnh (u, v) khỏi chu trình Euler G’ ta có đường Euler từ u đến v G hay G vẽ nét Đối với đồ thị liên thông, có 2k đỉnh bậc lẻ( k>1), ta nối 2(k-1) đỉnh bậc lẻ k-1 nét toán đưa đồ thị có đỉnh bậc lẻ vẽ nét mà ta chứng minh bên Vậy đồ thị liên thông, có 2k đỉnh bậc lẻ, đồ thị vẽ k nét Vấn đề 5: Chứng minh đồ thị liên thông tối thiểu, tức loại bỏ cạnh ngắt kết nối đồ thị Chứng minh: Chiều thuận: Một đồ thị liên thông tối thiểu NHÓM 26 Page BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC Theo định nghĩa, đồ thị mà hai đỉnh nối với đường Nếu loại bỏ cạnh (u, v), u v ngắt kết nối (u, v) đường Như đồ thị liên thông tối thiểu Chiều đảo: Một đồ thị liên thông tối thiểu Giả sử G đồ thị liên thông, có chu trình Giả sử u, v đỉnh liền kề chu trình, có chu trình u,x1,x2,…,xk,v,u Ta xóa cạnh chu trình đồ thị G ví dụ cạnh (u, v) ta có đường từ u đến v u,x1,x2,…,xk,v đồ thị G liên thông, không bị ngắt kết nối, G đồ thị liên thông tối thiểu Ngược lại đồ thị liên thông tối thiểu đồ thị liên thông chu trình Mà theo định nghĩa đồ thị liên thông chu trình Vậy đồ thị liên thông tối thiểu Kết luận: Một đồ thị liên thông tối thiểu Vấn đề 6: Ông bà Smith tổ chức buổi tiệc nhà với n cặp vợ chồng Mọi người bắt tay ông Smith quan sát thấy: - Không có cặp vợ chồng bắt tay - Không có tự bắt tay với - Không có bắt tay nhiều lần với người khác - Số bắt tay người (bao gồm n cặp đôi bà Smith) khác Với n=3, n=4 tính số bắt tay ông bà Smith Tính số bắt tay ông bà Smith trường hợp tổng quát Chứng minh: Với n=3 ta có cặp vợ chồng đến tham dự nên có người bắt tay nhiều lần với người khác nên ta có ông bà smith người có lần bắt tay Với n=4 tương tự ta số lần bắt tay ông bà smith lần NHÓM 26 Page BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC Với trường hợp tổng quát Để thuận tiện, ta kí hiệu Pi vị khách (hoặc bà Smith) với i bắt tay P2n số bắt tay với người trừ vợ/chồng P0 vợ chồng Bây thấy cặp đôi ông bà Smith: thấy ông Smith có bắt tay, P2n có nhiều bắt tay Bây không tính ông bà Smith số lượng bắt tay người khác giảm Số bắt tay ông bà Smith n-1 cặp vợ chồng 0,1,2 2n-2 Bằng giả thiết quy nạp, ông bà Smith có n-1 bắt tay với n-1 cặp vợ chồng Cộng bắt tay họ có với P2n , ông bà Smith có n bắt tay Do với n >1, ông bà Smith có tất n bắt tay Vấn đề 7: Xác định cặp đồ thị đẳng cấu Hình Hình NHÓM 26 Page 10 BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC DỊCH TÀI LIỆU– TẬP HỢP, QUAN HỆ Chương Tập hợp, quan hệ 1.1 Định nghĩa 1.1.1 Tập hợp giá trị Khái niệm tập hợp khái niệm toán học Chúng không cố gắng để định nghĩa xác tập hợp Tuy nhiên, mô tả tập hợp: xác định đối tượng Các đối tượng cấu thành tập hợp đối tượng gọi phần tử tập hợp Các phần tử tập hợp không cần phải có điểm chung (trừ thuộc đặc trưng để chúng phần tử tập hợp) Như vậy, hạn chế số lượng phần tử cho phép tập hợp; có vô hạn, hữu hạn chí phần tử tập hợp Tuy nhiên, hạn chế cần ý: cho trước tập hợp đối tượng, định (về nguyên tắc - khó khăn thực tế) có hay không đối tượng thuộc tập hợp Một khái niệm chung có nhiều ví dụ quen thuộc có nhiều ví dụ trừu tượng Ví dụ 1 Một tập hợp chứa phần tử: Niuton, Tháp Hà Nội số Đây tập hợp hữu hạn Tập hợp số nguyên dương chẵn tập hợp vô hạn Xem xét “tập hợp” 10 hát hay thời đại Điều chưa thừa nhận ta đưa định nghĩa “hay nhất” Tốt bạn, hay với tôi? Nếu không câu nệ xác định hát có thuộc tập hợp không Ký hiệu Chúng ta thường dùng chữ hoa để đặt tên cho tập hợp dùng chữ thường để biểu thị phần tử (Đôi điều không đúng, ví dụ phần tử tập hợp.) Ký tự để “một phần tử thuộc” nghĩa (phần tử) a thuộc (tập hợp) A nghĩa a không thuộc A NHÓM 26 Page 13 BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC 1.1.2 Đặc điểm tập hợp Tập hợp định nghĩa nhiều cách khác Trước tiên xem xét cách: liệt kê vị từ đặc trưng Liệt kê: Đơn giản liệt kê giá trị dấu {} ví dụ đầu viết: Ở trường hợp tập B không liệt kê hết phần tử Chúng ta liệt kê vừa đủ phần tử để tạo qui luật dùng dấu “…” để biểu thị nhiều phần tử khác Một ví dụ khác: Cho số nguyên dương xác định n, Nn2,…, n} tập hợp n số nguyên dương “…” biểu thị có nhiều phần tử khác không viết Mặc dù trường hợp có hữu hạn phần tử , tập hợp rỗng, không chứa phần tử Tập rỗng ký hiệu Vị từ đặc trưng Liệt kê phần tử tập hợp không thực tế ngoại trừ tập hợp nhỏ tập hợp giống B, Nn Ta thay cách định nghĩa phần tử tính chất điều kiện Nếu P(x) điều kiện biến đơn x, ta giá trị tập hợp a với a thỏa mãn điều kiện P(a) Một tập hợp định nghĩa (Điều có nghĩa: tập hợp tất giá trị x thỏa mãn P(x).) Ví dụ Tập hợp B định nghĩa cách số chẵn, nguyên dương}, , m >0 m nguyên} m nguyên} Chú ý, điều kiện khác phần tử Tập hợp Nn định nghĩa Nn số nguyên Tập hợp {3, 5} định nghĩa cách Ta nói {3, 5} tập nghiệm phương trình Đồ thị rỗng định nghĩa điều kiện giá trị thỏa mãn Ví du: thỏ màu xanh có đôi tai màu tím} trị gia trung thực} tập hợp định nghĩa xác “trung thực” NHÓM 26 Page 14 BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC Định nghĩa Nếu A tập hợp hữu hạn, số phần tử A, kí hiệu |A|, số lượng phần tử chứa A Nếu A có vô hạn số phần tử, ta nói số phần tử vô hạn viết |A| = Ký hiệu khác cho số phần tử tập A N(A), #A Ví dụ If |X| = n+1 |{2, 4, 6, 8, …}| = Mặc dù số phần tử dường khái niệm đơn giản, xác định số phần tử tập hợp khó khăn thực tế Trường hợp đặc biệt vài toàn phần tử tập hợp tập hợp Ví dụ cho X = {{1, 2}} X chứa phần tử tập hợp {1, 2}, |X| = Đây ví dụ rõ ràng để thấy khác biệt tập hợp {1, 2} (có phần tử) X, đồ thị chứa phần tử {1, 2} Tương tự, tập hợp khác Tập hợp phía trước phần tử sau có phần tử - tên Vì Ví dụ Cho Chú ý A có phần tử, số tập hợp {1, 2} Vì |A| =2 Tương tự, , , 1.1.3 Nghịch lý Russell Nghịch lý, đặt tên theo nhà logic học Bertrand Russell (1872-1970), “tập hợp tập hợp” khái niệm có vấn đề Nếu coi tập hợp, ví dụ cho tập hợp chứa Như vậy, vài “tập hợp” chứa phần tử số khác không Cho S “tập hợp” chứa “các tập hợp không chứa phần tử” Câu hỏi: Liệu S có phần tử nó? • Nếu “có”, S không môt phần tử theo định nghĩa NHÓM 26 Page 15 BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC • Nếu “không”, S phần tử S (theo định nghĩa) Một giải pháp tập hợp tập hợp không tập hợp 1.2 Các phép toán tập hợp 1.2.1 So sánh tập hợp Hai tập hợp chúng chứa phần tử nhau, tức A = B la mệnh đề ngược lại Thứ tự phần tử liệt kê không quan trọng Ta không quan tâm đến lặp lặp lại phần tử danh sách Như tập hợp nhau: Chúng ta nên lưu ý có tập rỗng, hoặc, nói cách khác, tất tập rỗng Điều hai tập rỗng không chứa Vì P(x) Q(x) mệnh đề mà với đối tượng x đồ thị chúng định nghĩa Cho ví dụ: , mệnh đề với giá trị x = -1 x = Tập hợp Tập hợp B tập hợp A, kí hiệu , phần tử B phần tử A: Tập hợp B tập hơp thực A B tập A A chứa phần tử không thuộc B Kí hiệu thường dùng B thực A, dùng với nghĩa tập tùy ý Như và Lưu ý với tập hợp A Ví dụ Tương tự ta sử dụng kí hiệu để biểu diễn quan hệ tập hợp Thì không X Tuy phần tử X, Để chứng minh tập hợp nhau, , ta chứng minh đầy đủ tập hợp tập hợp lại, NHÓM 26 Page 16 BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC Từ khái niệm rộng lớn, tập hợp thường hạn chế phạm vi để tập hợp liên quan bối cảnh cụ thể Đó điều thuận lợi để xác định tập tổng quát có tập tập ta nghiên cứu học tập tập hợp số tự nhiên tập số nguyên tập sô hữu tỉ R = tập hợp số thực; Số thực coi tương ứng với điểm trục số viết dạng thập phân tập số phức Ta có quan hệ: Cũng thường xuyên xử dụng Z+, Q+ R+ Chú ý N không Z+ không thuộc Z+ 1.2.2 Sơ đồ Venn Sơ đồ Venn dạng biểu diễn trực quan quan hệ tập hợp Một tập hợp biểu diễn vùng mặt phẳng, phần tử đặt bên Nếu phần tử thuộc nhiều sơ đồ có sơ đồ phải chồng lên vùng gọi vùng cắt Ví dụ, vùng mặt phẳng B vùng A Hình Hình Ví dụ Tập hợp biểu diễn sơ đồ Venn hình NHÓM 26 Page 17 BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC Hình 1.2.3 Các phép toán tập hợp Cho tập hợp A, B ta tạo tập hợp cách Giao Giao A B tập hợp chứa phần tử thuộc A B Kí hiệu Như Tập hợp A giao B hình dung dễ qua sơ đồ Venn Kí hiệu Được sử dụng cho giao họ đồ thị A, mục tập hợp I tập hợp A, B giao Tập tập hợp không giao Một tập tập hợp đôi không giao cặp tập hợp không giao Hợp Hợp A B tập hợp chứa tất phần tử thuộc A B Kí hiệu NHÓM 26 Page 18 BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC Hợp A B hình dung dễ dàng qua sơ đồ Venn Có liên kết rõ ràng giao đồ thị hội mệnh đề, hợp đồ thị chia rẽ mệnh đề Nếu A, B định nghĩa P(x), Q(x) Và Rõ ràng ta mở rộng định nghĩa hợp nhiều tập hợp Cho A1, A2, , An tập hợp Hợp củ chúng là: Phần bù Cho tập hợp A, phần bù A tập hợp chứa phần tử không thuộc A Phần bù A kí hiệu Có liên kết phần bù phủ định mệnh đề Phần bù thể sơ đồ Venn NHÓM 26 Page 19 BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC Hiệu Có liên quan với phần bù hiệu tập hợp A B, kí hiệu A – B A\B Tập hợp chứa phần tử thuộc A không thuộc B Chú ý khác với A-B biểu diễn hình A-B Hiệu đối xứng Hiệu đối xứng A B ký hiệu , định nghĩa Được biểu diễn sơ đồ Venn NHÓM 26 Page 20 BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC Ví dụ Cho Thì AB = {3}, A\B = {1,2} 1.2.4 Phân hoạch phủ Giả sử = {Ei}, họ tập tập M, E1 M.Họ gọi phủ tập M phần tử M phần tử tập số tập i M1 Nếu phủ rời cỉa tập M, gọi phân hoạch M phân hoạch M MI , Ví dụ 9: M = {1,2,3,4} đó: - Họ E1 = {{1,2},{1,3},{2,4}} phủ M - Họ E2 = {{1,2},{3,4}} phân hoạch M - Họ E3 = {{1,2},{3}} họ rời không phủ không phân hoạch M NHÓM 26 Page 21 BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC 1.3 Đại số tập hợp 1.3.1 Dàn Bun (power set) Tập tất tập M gọi dàn bun M Kí hiệu: P(M) = {A|AM} Định lý : Nếu M tập hữu hạn có n phần tử số tập 2n Chứng minh: Sử dụng quy nạp Ví dụ 10: P() = {} P(a) = {a,} P(a,b) = {} P(a,b,c) = {} Cho A = {1,2,3} B{1,2} Kiểm tra mệnh đề sau: i BP(A) ii BA iii AP(A) iv AP(A) v BP(A) vi {{1},B} P(A) vii P(A) viii P(A) Giải: i ii iii iv Đúng: B tập A nên BP(A) Sai : B phần tử A Đúng: A phần tử P(A) Sai: phần tử A số phần tử P(A) tập hợp v Sai: giải thích giống ý vi Đúng: P(A) chứa {1} B vii Đúng: A nên P(A) viii Đúng : Vì tập P(A) NHÓM 26 Page 22 BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC 1.3.2 Tính chất phép toán tập hợp Giả sử U tập vũ trụ Khi với tập A, B, C U ta có đẳng thức sau đây: Đồng Giao hoán Kết hợp Phân phối Luật De Morgan Bù Ví dụ 11: Chứng minh: Bước 1: ta chứng minh : Với ta suy o Nếu suy o Nếu suy Suy Bước 2: Chứng minh tương tự Chứng minh Ta có = {x|(x)} = NHÓM 26 Page 23 BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC =} = {x|x} = {x|x} 3.Chứng minh (A)-B = A – B.Ta sử dụng bảng giá trị chân lý A 0 1 B 1 Dựa vào bảng ta thấy (A)-B 0 0 1 A–B 0 (A)-B = A – B đpcm 1.4 Biểu diễn tập hợp máy tính Có nhiều phương pháp biểu diễn khác nhau.Chúng ta có phương pháp 1.4.1 Vecto đặc trưng Giả sử tập vũ trụ U = {u1,u2,u3,……,un},trong n không lớn Khí tập M biểu diễn vector b1 = 1ui ,i = 1,2,…,n vector b xây dựng theo qui tắc gọi vector đặc trưng tập M Mỗi tập M tương ứng vector đặc trưng b,và ngược lại,mỗi vector nhị phân n-chiều b tương ứng với tập U Ví dụ 12: Cho U = {1,2,3,… ,11}.Xét tập S,Q S = {2,3,5,7,11}01101010001 Q = {1,2,4,11}11010000001 Trong cách biểu diễn phép toán tập hợp thực nhờ phép toán logic OR,AND,NOT với bit NHÓM 26 Page 24 BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC Ví dụ 13: S S = 01101010001 1.4.2 Liệt kê tập Trong nhiều thuật toán duyệt đòi hỏi phải xét tất tập tập cho trước U = {u1,u2,… ,un} Nếu biểu diễn tập U vector đặc trưng, toán đặt dẫn liệt kê tất vector nhị phân n chiều Do vector nhị phân n chiều b coi biểu diễn nhị phân số nguyên không âm n1, nên toán đặt qui việc liệt kê biểu diễn nhị phân tất số nguyên không âm từ đến 2n -1 Từ ta có thuật toán sau: Bước k = 0,1,2,….,2n-1: Đưa biểu diễn nhị phân k Dễ thấy ta có b1,b2,…….,bn lên 1: Binary_Increment{ i=n; while(n>=1)and(b1=1){ b[i]=0; i=i-1; } bi=1; } NHÓM 26 Page 25 BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC Ví dụ 14: 100101111111111 + 100110000000000 1.4.3 Danh sách phần tử Nếu tập U gồm nhiều phần tử, tập vector đặc trưng không thích hợp Trong trường hợp ta thường biểu diễn tập hợp danh sách phần tử Danh sách thông thường mô tả dạng danh sách liên kết(linked list) Mỗi phần tử danh sách ghi gồm trường ghi nhận: thông tin phần tử trỏ đến phần tử tiếp theo: elem = record i: info; (trường thông tin phần tử) next: ^elem (Con trỏ đến phần tử tiếp theo) end Với cách biểu diễn o Thời gian để kiểm tra phần tử có thuộc tập M O(|A|) o Thời gian để thực phép toán hai tập A,B O(|A|.| B|) 1.5 Quan hệ Quan hệ mà học khái niệm trừu tượng, chúng có nhiều sống bố con,giữa xe chủ nhân, địa số điện thoại… 1.5.1 Cặp có thứ tự Nếu a b hai đối tượng cặp có thứ tự ký hiệu (a,b), a gọi phần tử thứ cong b phần tử thứ haitrong cặp Định nghĩa : cặp có thứ tự cặp bị thay đổi thay dổi vị trí phần tử nó.Nếu có phần tử x y cặp có thứ tự (x,y) (y,x) NHÓM 26 Page 26 BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC Hai cặp có thứ tự (a,b)#(b,a) Định nghĩa: Hai cặp có thứ tự (a,b) (c,d) gọi a = c b=d Ví dụ : cặp có thứ tự (a,b) (1,2) a = b = 2.Cặp có thứ tự (1,2) khác với cặp có thứ tự (2,1) 1.5.2 Tích đề tập hợp (Cartesian product) Định nghĩa: Tích đề A B tập có thứ tự (a,b), a phần tử A, b phần tử b A x B={(a,b)|a} Khi A = B AxA = A2 Định nghĩa: Giả sử A1,A2,…….,An tập hợp , n Z+ n Tích đề n tập A1,A2,… ,An tập: A1 x A2 x …… x An def{(a1,a2,……,an)|ai I,1} Khi A1 = A2 = …… = An A1 x A2 x…….x An = An NHÓM 26 Page 27 ... 11 BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC (3, 3, 3, 3, 3, 3) trình tự bậc đồ thị hình NHÓM 26 Page 12 BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC DỊCH TÀI LIỆU– TẬP HỢP, QUAN HỆ Chương Tập hợp, quan hệ 1.1 Định nghĩa 1.1.1 Tập. ..BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC MỤC LỤC NHÓM 26 Page BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC GIẢI BÀI TẬP – LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ Vấn đề 1: Đồ thị hình có phải đồ... 16 BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC Từ khái niệm rộng lớn, tập hợp thường hạn chế phạm vi để tập hợp liên quan bối cảnh cụ thể Đó điều thuận lợi để xác định tập tổng quát có tập tập ta nghiên cứu học tập