TOÁN RỜI RẠC, Chương 3. QUAN HỆ

Chương QUAN HỆ HỆ I Quan hệ Định nghĩa tính chất Biểu diễn quan hệ Quan hệ tương đương Đồng dư Quan hệ thứ tự, biểu đồ Hass Định nghĩa Một quan hệ hai từ tập A đến tập B tập tích Đề R ⊆ A x B Chúng ta viết a R b thay cho (a, b) ∈ R Quan hệ từ A đến gọi quan hệ A R = { (a1, b1), (a1, b3), (a3, b3) } Định nghĩa Ví dụ A = tập sinh viên; B = lớp học R = {(a, b) | sinh viên a học lớp b} Định nghĩa Ví dụ Cho A = {1, 2, 3, 4}, R = {(a, b) | a ước b} Khi R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4,4)} 4 Các tính chất Quan hệ Định nghĩa Quan hệ R A gọi phản xạ nếu: ∀a ∈ A, a R a Ví dụ Trên tập A = {1, 2, 3, 4}, quan hệ: R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 4)} không phản xạ (3, 3) ∉ R1 R2 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 4)} phản xạ (1,1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) ∈ R2 Quan hệ ≤ Z phản xạ a ≤ a với a∈ Z Quan hệ > Z khơng phản xạ > Quan hệ“ | ” (“ước số”) Z + phản xạ số nguyên a ước Chú ý Quan hệ R tập A phản xạ chứa đường chéo A × A : ∆ = {(a, a); a ∈ A} 1 Các tính chất Quan hệ Định nghĩa Quan hệ R A gọi đối xứng nếu: ∀a ∈ A ∀b ∈ A (a R b) → (b R a) Quan hệ R gọi phản xứng ∀ a ∈ A ∀b ∈ A (a R b) ∧ (b R a) → (a = b) Ví dụ Quan hệ R1 = {(1,1), (1,2), (2,1)} tập A = {1, 2, 3, 4} đối xứng Quan hệ ≤ Z không đối xứng Tuy nhiên phản xứng (a ≤ b) ∧ (b ≤ a) → (a = b) Các tính chất Quan hệ Quan hệ“ | ” (“ước số”) Z + khơng đối xứng Tuy nhiên có tính phản xứng (a | b) ∧ (b | a) → (a = b) Chú ý Quan hệ R A đối xứng đối xứng qua đường chéo ∆ A × A Quan hệ R phản xứng có phần tử nằm đường chéo đối xứng qua ∆ A × A 4 3 2 1 * * * 10 Các tính chất Quan hệ Định nghĩa Quan hệ R A có tính bắc cầu (truyền) ∀a, b,c ∈A,(a R b) ∧ (b R c) → (a R c) Ví dụ Quan hệ R = {(1,1), (1,2), (2,1), (2, 2), (1, 3), (2, 3)} tập A = {1, 2, 3, 4} có tính bắc cầu Quan hệ ≤ “|”trên Z có tính bắc cầu (a ≤ b) ∧ (b ≤ c) → (a ≤ c) (a | b) ∧ (b | c) → (a | c) 25 Phản xứng? có? a | b nghĩa b = ka, b | a nghĩa a = jb Khi a = jka Suy j = k = 1, nghĩa a = b Khơng phải Ví dụ (Z, | ) poset? Phản xứng? 3|-3, -3|3, Không ≠ -3 26 (P(S), ⊆ ), P(S) tập hợp S, poset? Có, poset Phản xạ? Bắc cầu? Phản xứng? Có, A ⊆ A, ∀A∈ P(S) Có Có A ⊆ B, B ⊆ C Suy A ⊆ C? A ⊆ B, B ⊆ A Suy A =B? Định nghĩa 27 Định nghĩa Các phần tử a b poset (S, p ) gọi so sánh a p b hay b p a Trái lại ta nói a b khơng so sánh Cho (S, p ), hai phần tử tùy ý S so sánh với ta gọi tập thứ tự tồn phần Ta nói p thứ tự tồn phần hay thứ tư tuyến tính S Ví dụ Ví dụ Quan hệ “≤ ” tập số nguyên dương thứ tự tồn phần Ví dụ Quan hệ ước số “ | ”trên tập hợp số nguyên dương không thứ tự tồn phần, số không so sánh 28 29 Biểu đồ Hasse Mỗi poset biễu diễn đồ thị đặc biệt ta gọi biểu đồ Hasse Để định nghĩa biểu đồ Hasse cần khái niệm phần tử trội trội trực tiếp Định nghĩa Phần tử b poset (S, p ) gọi phần tử trội phần tử a S a p b Chúng ta nói a trội b Phần tử b gọi trội trực tiếp a b trội a, không tồn trội c cho a p c p b, a ≠ c ≠ b 30 Biểu đồ Hasse Ta định nghĩa Biểu đồ Hasse poset (S, p ) đồ thị: Mỗi phần tử S biễu diễn điểm mặt phẳng Nếu b trội trực tiếp a vẽ cung từ a đến b b d a p b p d, a p c e a c 31 Biểu đồ Hasse Ví dụ Biểu đồ Hasse poset ({1,2,3,4}, ≤) vẽ sau Chú ý Chúng ta không vẽ mũi tên với qui ước cung từ lên 32 Ví dụ Biểu đồ Hasse P({a,b,c}) {a,b,c} {a,b} {a} {b,c} {a,c} {b} ∅ {c} 33 Phần tử tối đại phần tử tối tiểu Xét poset có biểu đồ Hasse đây: Mỗi đỉnh màu đỏ tối đại Mỗi đỉnh màu xanh tối tiểu Khơng có cung xuất phát từ điểm tối đại Khơng có cung kết thúc điểm tối tiểu 34 Chú ý Trong poset S hữu hạn, phần tử tối đại phần tử tối tiểu luôn tồn Thật vậy, xuất phát từ điêm a0 ∈ S Nếu a0 khơng tối tiểu, tồn a1 p a0, tiếp tục tìm phần tử tối tiểu Phần tử tối đại tìm phương pháp tương tự a0 a1 a2 35 Ví dụ Tìm phần tử tối đại, tối tiểu poset ({2, 4, 5, 10, 12, 20, 25}, | ) ? Giải Từ biểu đồ Hasse, thấy 12, 20, 25 phần tử tối đại, 2, phần tử tối tiểu Như phần tử tối đại, tối tiểu poset không 12 20 10 25 36 Chặn trên, chặn Định nghĩa Cho (S, p) poset A ⊆ S Phần tử chặn A phần tử x ∈ S (có thể thuộc A không) cho ∀ a ∈ A, a p x Phần tử chặn A phần tử x ∈ S cho ∀ a ∈ A, x p a a c b Ví dụ Phần tử chận {g,j} a d Tại b? g e f h i j Chặn trên, chặn 37 Định nghĩa Cho (S, p ) poset A ⊆ S Chặn nhỏ A phần tử chặn x A cho chặn y A, ta có y f x Chặn lớn A phần tử chặn x A cho chặn y A, ta có y p x Chặn nhỏ : supA Chặn lớn nhất: infA Chặn trên, chặn Ví dụ Chặn nhỏ {i,j} d Ví dụ Chặn chung lớn {a,b} gì? a b c g d e f h i j 38 Chặn trên, chặn 39 Chặn nhỏ (nếu có) A = {a, b} đựơc ký hiệu a ∨ b Chặn lớn (nếu có) A = {a, b} đựoc ký hiệu a ∧ b a c e b d f Ví dụ i ∨ j = d j Ví dụ b ∧ c = f g h i