TOÁN RỜI RẠC, Chương 2. Phép đếm

Chương LOGO2 TOÁN RỜI RẠC Chương Phép đếm Nội dung - Các nguyên lý - Giải tích tổ hợp - Hoán vị lặp, tổ hợp lặp - Hệ thức đệ qui I Các nguyên lý Nguyên lý cộng Giả sử để làm cơng việc A có phương pháp - Phương pháp có n cách làm - Phương pháp có m cách làm Khi số cách làm cơng việc A n+m Ví dụ An có áo tay dài, áo tay ngắn Để chọn áo An có cách Phép đếm I Các nguyên lý Nguyên lý nhân Giả sử để làm công việc A cần thực bước - Bước có n cách làm - Bước có m cách làm Khi số cách làm cơng việc A n.m Ví dụ: A B C Có 3.2 =6 đường từ A đến C I Các nguyên lý Ví dụ: Cho tập X ={1,2,3,4,5,0} Hỏi có số tự nhiên có chữ số khác mà chia hết cho Giải Gọi số có chữ số abc TH1 c=0 Khi c có cách chọn TH1 có 1.4.5 =20 a có cách chọn ( a∈X\{0} ) b có cách chọn ( b∈X\{a, 0} ) TH2 c≠0 Khi c có cách chọn a có cách chọn ( a∈X\{c, 0} ) b có cách chọn ( b∈X\{a, c} ) TH2 có 2.4.4 =32 Vậy có 20+32 =52 I Các nguyên lý Nguyên lý chuồng bồ câu (Derichlet) Gọi  x  số nguyên nhỏ lớn hay x Giả sử có n chim bồ câu k chuồng Khi tồn chuồng chứa từ n / k  bồ câu trở lên Ví dụ Có 20 chim bồ câu chuồng Khi có chuồng có bồ câu trở lên - Trong nhóm có 367 người có người sinh ngày I Các nguyên lý Ví dụ Cho tập X ={1,2,3,4,5,6,7,8,9} Lấy A tập hợp X gồm phần tử Khi A có hai phần tử có tổng 10 Giải Ta lập chuồng sau: {1,9} {2,8} {3,7} {4,6} {5} Do A có phần tử nên phần tử có phần tử chuồng Suy đpcm I Các nguyên lý Nguyên lý bù trừ Cho A B hai tập hữu hạn Khi |A ∪ B|= |A|+|B| - |A ∩ B| A∩B A B I Các nguyên lý C B∩C A∩C A∩B∩C A A∩B |A ∪ B ∪ C|=? B I Các nguyên lý Ví dụ Trong lớp ngoại ngữ Anh Pháp Có 24 HS học Tiếng Pháp, 26 học sinh học Tiếng Anh 15 học sinh học Tiếng Anh Tiếng Pháp Hỏi lớp có người Giải Gọi A học sinh học Tiếng Pháp B học sinh học Tiếng Anh Khi Số học sinh lớp |A ∪ B | Theo nguyên lý bù trừ ta có |A ∪ B|= |A|+|B| - |A ∩ B|=24+26-15=35 10 II Giải tích tổ hợp Hốn vị Định nghĩa Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách đặt có thứ tự n phần tử A gọi hoán vị n phần tử Số hoán vị n phần tử ký hiệu Pn Pn = n! = n.(n-1).(n-2) Quy ước 0! =1 Ví dụ Cho A ={a,b,c} Khi A có hốn vị sau abc,acb, bac,bca, cab,cba 11 Ví dụ Nếu A tập hợp n phần tử số song ánh từ A vào A n! Cho X ={1,2,3,4,5} Hỏi có số tự nhiên gồm chữ số khác tạo từ tập X 5! 12 II Giải tích tổ hợp Chỉnh hợp Định nghĩa Cho A tập hợp gồm n phần tử Mỗi gồm k phần tử (1 ≤ k ≤n) thứ tự tập hợp A gọi chỉnh hợp chập k n phần tử k A Số chỉnh hợp chập k n ký hiệu n - Công thức n! A = ( n − k )! k n Ví dụ Cho X ={abc} Khi X có chỉnh hợp chập là: ab, ba, ac, ca, bc, cb 13 II Giải tích tổ hợp Ví dụ Có số tự nhiên gồm chữ số tạo thành từ 1,2,3,4,5,6 Kết quả: A63 14 II Giải tích tổ hợp 3.Tổ hợp Định nghĩa Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi tập gồm k phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử Số tổ hợp chập k n phần tử kí hiệu C n! C = k !( n − k )! k n Tính chất C n−k n =C Cnk + Cnk −1 = Cnk+1 k n 15 k hay n n   k  II Giải tích tổ hợp Ví dụ Cho X = {1,2,3,4} Tổ hợp chập phần tử X {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4} , {2,3,4} Một lớp có 30 học sinh Hỏi có cách chọn 10 bạn - Số cách chọn tổ hợp chập 10 30 16 10 C30 III Hoán vị lặp, tổ hợp lặp Hoán vị lặp Định nghĩa Cho n đối tượng có ni đối tượng loại i giống hệt (i =1,2, ,k ; n1+ n2, + nk= n) Mỗi cách xếp có thứ tự n đối tượng cho gọi hoán vị lặp n Số hoán vị n đối tượng, có n1 đối tượng giống thuộc loại 1, n2 đối tượng giống thuộc loại 2, , nk đối tượng giống thuộc loại k, 17 n! n1 !n2 ! nk ! II Giải tích tổ hợp Ví dụ Có chuỗi kí tự khác cách xếp chữ từ SUCCESS? Giải Trong từ SUCCESS có chữ S, chữ U, chữ C chữ E Do số chuỗi có 7! = 420 3!1!2!1! 18 III Hoán vị lặp, tổ hợp lặp Tổ hợp lặp Định nghĩa Mỗi cách chọn k vật từ n loại vật khác (trong loại vật chọn lại nhiều lần) gọi tổ hợp lặp chập k n Số tổ hợp lặp chập k n ký hiệu K =C k n k n + k −1 19 K k n III Hốn vị lặp, tổ hợp lặp Ví dụ Có loại nón A, B, C An mua nón Hỏi An có cách chọn Ta có cách chọn tổ hợp lặp chập Cụ thể AA, AB, AC, BB, BC, CC K =C 3+ 2−1 =C =6 20 Hệ Số nghiệm nguyên không âm (x1,x2, ngun khơng âm) phương trình x1+ x2+ + xn = k K =C k n ,xn) (mỗi xi k n + k −1 Số cách chia k vật đồng chất vào n hộp phân biệt số tổ hợp lặp chập k n K =C k n k n + k −1 21 III Hốn vị lặp, tổ hợp lặp Ví dụ Tìm số nghiệm ngun khơng âm phương trình x1+ x2 + x3 + x4 = 20 (1) Thỏa điều kiện x1 ≤ 3; x2 ≥ 2; x3 > (∗) Giải Ta viết điều kiện cho thành x1 ≤ 3; x2 ≥ 2; x3 ≥ Xét điều kiện sau: x2 ≥ 2; x3 ≥ (∗∗) x1 ≥ 4; x2 ≥ 2; x3 ≥ (∗∗∗) Gọi p, q, r số nghiệm nguyên khơng âm phương trình (1) thỏa điều kiện (∗), (∗∗), (∗∗∗) Ta có: 22 III Hốn vị lặp, tổ hợp lặp p = q – r Trước hết ta tìm q Đặt x1’ = x1; x2’ = x2 – 2; x3’ = x3 - 5; x4’ = x4 Phương trình (1) trở thành x1’+ x2’ + x3’ + x4’ = 13 (2) Số nghiệm nguyên không âm phương trình (1) thỏa điều kiện (∗∗) số nghiệm ngun khơng âm phương trình (2) 23 III Hốn vị lặp, tổ hợp lặp 13 13 13 K = C = C Số nghiệm 4+13−1 16 Vậy q=C 13 16 Lý luận tương tự, ta có r = K 49 = C.49+9−1 = C12 p = q − r = C1613 − C129 = 560 − 220 = 340 Suy Vậy số nghiệm ngun khơng âm phương trình (1) thỏa điều kiện (∗) 340 24