TOÁN RỜI RẠC, Chương 4. Hàm bool

Chương LOGO4 TOÁN RỜI RẠC Chương Hàm bool Bài giảng có tham khảo đồng nghiệp Nội dung Đại Số Bool Hàm Bool Biểu đồ karnaugh Mạch logic Mở đầu Xét mạch điện hình vẽ Tùy theo cách trạng thái cầu dao A, B, C mà ta có dòng điện qua MN Như ta có bảng giá trị sau Mở đầu Câu hỏi: Khi mạch điện gồm nhiều cầu dao, ta kiểm sốt Giải pháp đưa công thức, với biến xem cầu dao A B C MN 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 I ðại Số Bool Xét tập hợp B = {0, 1} Trên B ta định nghĩa hai phép toán ∧,∨ sau: Khi đó, B trở thành đại số Bool II Hàm Bool Hàm Bool n biến ánh xạ f : Bn → B , B = {0, 1} Như hàm Bool n biến hàm số có dạng : f = f(x1,x2, ,xn), biến x1, x2, , xn nhận hai giá trị 0, f nhận giá trị B = {0, 1} Ký hiệu Fn để tập hàm Bool biến Ví dụ Dạng mệnh đề E = E(p1,p2, p2, , pn hàm Bool n biến ,pn) theo n biến p1, Bảng chân trị Xét hàm Bool n biến f(x1,x2, ,xn) Vì biến xi nhận hai giá trị 0, nên có 2n trường hợp biến (x1,x2, ,xn) Do đó, để mơ tả f, ta lập bảng gồm 2n hàng ghi tất giá trị f tùy theo 2n trường hợp biến Ta gọi bảng chân trị f Ví dụ Xét kết qủa f việc thông qua định dựa vào phiếu bầu x, y, z Mỗi phiếu lấy hai giá trị: (tán thành) (bác bỏ) Kết qủa f (thông qua định) đa số phiếu tán thành, (không thông qua định) đa số phiếu bác bỏ Hàm Bool Khi f hàm Bool theo biến x, y, z có bảng chân trị sau: x y z f 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 10 Các phép toán hàm Bool Các phép toán Fn định nghĩa sau: Phép cộng Bool ∨: Với f, g ∈ Fn ta định nghĩa tổng Bool f g: f ∨ g = f + g – fg Suy ∨ 0 1 1 Dạng nối rời tắc Hàm Bool Xét tập hợp hàm Bool n biến Fn theo n biến x1, x2, ,xn Mỗi hàm bool xi hay x i gọi từ đơn Đơn thức tích khác khơng số hữu hạn từ đơn Từ tối tiểu tích khác khơng n từ đơn Công thức đa thức công thức biểu diễn hàm Bool thành tổng đơn thức Dạng nối rời tắc cơng thức biểu diễn hàm Bool thành tổng từ tối tiểu 14 từ tối tiểu 15 III Mạng logic (Mạng cổng) Ta nói mạng logic tổng hợp hay biểu diễn hàm Bool f 16 Cổng NOT Bảng chân trị Kí hiệu cổng X Input Nếu đưa mức HIGH vào ngõ vào cổng, ngõ mức LOW ngược lại F ( x) = x 17 not X Output Cổng AND Cổng AND có ngõ vào Ngõ tất ngõ vào 1, ngược lại x and y x y x • y , x ∧ y , x & y , xy Bảng chân trị X Y 0 1 1 18 X and Y 0 xy Cổng OR Cổng OR có ngõ vào Ngõ 1, có ngõ vào 1, ngược lại x or y x y x + y , x ∨ y , x| y Bảng chân trị: X Y 0 1 1 19 xvy X or Y 1 Cổng NAND Là cổng bù AND Có ngõ ngược lại với cổng AND X nand Y = not (X and Y) = x y X 0 1 20 Y 1 Z 1 Cổng NOR Là cổng bù OR Có ngõ ngược với cổng OR X nor Y = not (X or Y) = x∨ y X 0 1 21 Y 1 Z 0 Ví dụ f = xz ∨ yz ∨ xt ∨ y t ∨ xyz 22 Ví dụ 23 Cho sơ đồ Viết biểu thức f f ( x , y , z) = ( x ∨ y ∨ z) x y z Thiết kế mạch điều khiển cầu dao Mỗi cầu dao xem biến x, y : bật tắt Cho F(x, y) =1 đèn sáng đèn tắt Giả sử F(x, y) =1 hai bật tắt Ta có bảng chân trị sau 25 x y F(x, y) 1 1 0 0 x y x y xy xy ∨ x y x y xy 26 Thiết kế mạch điều khiển cầu dao Mỗi cầu dao xem biến x, y : bật tắt Cho F(x, y) =1 đèn sáng đèn tắt Giả sử F(x,y,z) =1 bật Ta có bảng chân trị sau 27 x y z F(x, y) 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 xyz x y z x xyz y y Mạch z z x x y z z x y z y x yz x x yz 28 xyz∨xyz ∨x yz ∨x yz