Toán Rời Rạc(Chương II: Quan Hệ)

QUAN HỆ Giảng viên: ThS Hồ Văn Ngọc CHƯƠNG Nội dung  Giới thiệu Quan hệ  Các tính chất quan hệ  Quan hệ tương đương  Quan hệ thứ tự  Quan hệ toàn phần Giới thiệu Quan hệ  Tập hợp: hiểu tổng quát tụ tập số hữu hạn hay vơ hạn đối tượng Các đối tượng gọi phần tử tập hợp  Ký hiệu:  Tập hợp: Dùng chữ HOA: A, B, C,  Phần tử tập hợp: Dùng chữ thường: a, b, x, y, Giới thiệu Quan hệ  Nếu a phần tử tập hợp A ta viết a ∈ A Ngược lại viết a ∉ A  Ví dụ tập hợp:  A = {x ∈ N | x số nguyên tố}  B = {x ∈ Z | x2 < 15}  C = {-2, -1, 0, 1, 2}  Nếu tập A có n phần tử, ta ký hiệu: |A| = n Giới thiệu Quan hệ  Tập hợp con: Tập hợp A tập (hay tập hợp con) tập hợp B A "được chứa" B  Nếu A B tập hợp phần tử A phần tử B, thì:  A tập B (hay A chứa B), ký hiệu A ⊆ B  B tập cha A (hay B chứa A), ký hiệu B ⊇ A  A ⊆ B ⇔ {∀a| a ∈ A ⇒ a ∈ B} Giới thiệu Quan hệ  Tập hợp rỗng: kí hiệu ∅ , tập hợp không chứa phần tử  Tích Descartes (Đề-các) hai tập hợp A B, ký hiệu A×B, tập hợp chứa tất có dạng (a, b) với a phần tử A b phần tử B AxB = {(a,b)| a ∈ A, b ∈ B}  Nếu tập |A| = n |B| = m |AxB| = n x m Giới thiệu Quan hệ  Ví dụ: Nếu: A = {1,2}; B = {p,q,r} thì: B = {(1,p),(1,q),(1,r),(2,p),(2,q),(2,r)} và: B×A = {(p,1),(q,1),(r,1),(p,2),(q,2),(r,2)} Giới thiệu Quan hệ  Định nghĩa: Một quan hệ tập A tập B tập ℜ tích Descartes AxB Nếu (a,b) ∈ ℜ, ta viết: aℜb  Quan hệ từ A đến A (chính nó) gọi quan hệ A Giới thiệu Quan hệ  Ví dụ: Một cách biểu diễn quan hệ: Giới thiệu Quan hệ  Ví dụ: A = tập sinh viên; B = tập lớp học R = {(a, b) | sinh viên a học lớp b} Biểu diễn quan hệ  Ví dụ: Cho R quan hệ từ A = {1,2,3,4} đến B = {u,v,w} sau: R = {(1,u),(1,v),(2,w),(3,w),(4,u)} Ta có: |A| = 4; |B| = Khi R biễu diễn ma trận 4x3 : Biểu diễn quan hệ  Ví dụ: Nếu R quan hệ từ A = {1, 2, 3} đến B = {1, 2} cho a R b a > b Khi ma trận biểu diễn R Biểu diễn quan hệ  Nhận xét:  Nếu R quan hệ tập A, MR ma trận vng  R phản xạ tất phần tử đường chéo MR (mii = ∀i)  R đối xứng MR đối xứng qua đường chéo Quan hệ tương đương  Xét ví dụ: Cho S = {sinh viên lớp} Gọi R = {(a,b)| a có họ với b} Hỏi: R phản xạ? R đối xứng? R bắc cầu? YES YES YES Quan hệ tương đương  Định nghĩa: Quan hệ R tập A gọi tương đương có tính chất: - Phản xạ - Đối xứng - Bắc cầu Quan hệ tương đương  Ví dụ: Quan hệ R chuỗi ký tự xác định a R b a b có độ dài Khi R quan hệ tương đương Cho R quan hệ tập số thực cho a R b a – b số nguyên Khi R quan hệ tương đương Quan hệ tương đương  Lớp tương đương: Cho R quan hệ tương đương A phần tử a ∈ A Lớp tương đương chứa a ký hiệu [a]R [a] tập [a]R = {b ∈ A | b R a} Quan hệ tương đương  Ví dụ: Tìm lớp tương đương modulo chứa modulo chứa 1?  Giải: - Lớp tương đương modulo chứa gồm tất số nguyên a chia hết cho Ta có: [0]8 = { , -16, -8, 0, 8, 16, } - Lớp tương đương modulo chứa gồm tất số nguyên a chia dư Ta có: [1]8 = { , -15, -7, 1, 9, 17, } Quan hệ thứ tự  Xét ví dụ: Cho R quan hệ tập số thực: a R b a ≤ b Hỏi: + R phản xạ ? + R phản xứng ? + R đối xứng ? + R bắc cầu ? YES YES NO YES Quan hệ thứ tự  Định nghĩa: Quan hệ R tập A quan hệ thứ tự có tính chất: - Phản xạ - Phản xứng - Bắc cầu  Khi đó, ta nói A tập hợp thứ tự  Ký hiệu: Cặp (A, ) Quan hệ thứ tự  Ví dụ: + (R, ≤) tập hợp có thư tự + (Z, |) tập hợp có thư tự (|: ước) Quan hệ toàn phần  Định nghĩa: Các phần tử a b cặp (S,  ) gọi so sánh a b hay b a Định nghĩa: Cho (S, ), hai phần tử tùy ý S so sánh với ta gọi tập thứ tự toàn phần  Ta nói thứ tự tồn phần hay thứ tự tuyến tính S Quan hệ tồn phần  Ví dụ: Quan hệ “≤” tập số nguyên dương Z+ thứ tự toàn phần Quan hệ ước số “|” tập hợp số nguyên dương không thứ tự tồn phần, số không so sánh Add your company slogan Company LOGO ...Nội dung  Giới thiệu Quan hệ  Các tính chất quan hệ  Quan hệ tương đương  Quan hệ thứ tự  Quan hệ toàn phần Giới thiệu Quan hệ  Tập hợp: hiểu tổng quát tụ tập số hữu... quan hệ  Ví dụ: Quan hệ “≤” Z phản xạ a ≤ a với a∈ Z Quan hệ “>” Z không phản xạ 1 Các tính chất quan hệ  Tính đối xứng: Quan hệ R A gọi đối xứng nếu: ∀a∈A, ∀b∈A, a R b ⇒ b R a  Ví dụ: + Quan. .. Descartes AxB Nếu (a,b) ∈ ℜ, ta viết: aℜb  Quan hệ từ A đến A (chính nó) gọi quan hệ A Giới thiệu Quan hệ  Ví dụ: Một cách biểu diễn quan hệ: Giới thiệu Quan hệ  Ví dụ: A = tập sinh viên; B =