Lý thuyết và các dạng toán về tập hợp và mệnh đề

Chương MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP §1 I Tóm tắt lí thuyết Mệnh đề MỆNH ĐỀ Định nghĩa Mệnh đề logic (gọi tắt mệnh đề) câu khẳng định hoặc sai • Một mệnh đề khơng thể vừa vừa sai • Một câu khẳng định gọi mệnh đề Một câu khẳng định sai gọi mệnh đề sai ! Những điểm cần lưu ý • Các câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh mệnh đề • Mệnh đề thường kí hiệu chữ in hoa Ví dụ: Q:“6 chia hết cho 3” • Một câu mà chưa thể nói hay sai chắn sai, khơng thể vừa vừa sai mệnh đề Ví dụ: “Có sống ngồi Trái Đất” mệnh đề • Trong thực tế, có mệnh đề mà tính sai ln gắn với thời gian địa điểm cụ thể: thời gian địa điểm sai thời gian địa điểm khác Nhưng thời điểm nào, địa điểm ln có giá trị chân lí sai Ví dụ: Sáng bạn An học Mệnh đề chứa biến Định nghĩa Những câu khẳng định mà tính đúng-sai chúng tùy thuộc vào giá trị biến gọi mệnh đề chứa biến Å ã mệnh đề Ví dụ: Cho P(x) : x > x với x số thực Khi P(2) mệnh đề sai, P Mệnh đề phủ định Định nghĩa Cho mệnh đề P Mệnh đề “Không phải P” gọi mệnh đề phủ định P kí hiệu P 11 12 CHƯƠNG MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP • Mệnh đề P mệnh đề phủ định P hai câu khẳng định trái ngược Nếu P P sai, P sai P • Mệnh đề phủ định P diễn đạt theo nhiều cách khác Chẳng hạn, xét mệnh đề P: “2 số chẵn” Khi đó, mệnh đề phủ định P phát biểu P: “2 số chẵn” “2 số lẻ” Mệnh đề kéo theo mệnh đề đảo Định nghĩa Cho hai mệnh đề P Q Mệnh đề “Nếu P Q” gọi mệnh đề kéo theo • Kí hiệu P ⇒ Q • Mệnh đề kéo theo sai P Q sai • P ⇒ Q cịn phát biểu “ P kéo theo Q”, “P suy Q” hay “Vì P nên Q” ! Chú ý • Trong tốn học, định lí mệnh đề đúng, thường có dạng: P ⇒ Q Khi ta nói P giả thiết, Q kết luận định lí, P điều kiện đủ để có Q, Q điều kiện cần để có P • Trong logic tốn học, xét giá trị chân lí mệnh đề P ⇒ Q người ta không quan tâm đến mối quan hệ nội dung hai mệnh đề P, Q Không phân biệt trường hợp P có phải ngun nhân để có Q hay khơng mà quan tâm đến tính đúng, sai chúng Ví dụ: “Nếu mặt trời quay quanh trái đất Việt Nam nằm châu Âu” mệnh đề Vì hai mệnh đề P: “Mặt trời quay xung quanh trái đất” Q: “Việt Nam nằm châu Âu” mệnh đề sai Định nghĩa Cho mệnh đề kéo theo P ⇒ Q Mệnh đề Q ⇒ P gọi mệnh đề đảo mệnh đề P ⇒ Q ! Mệnh đề đảo mệnh đề không thiết mệnh đề Mệnh đề tương đương Định nghĩa Cho hai mệnh đề P Q Mệnh đề có dạng “P Q” gọi mệnh đề tương đương • Kí hiệu P ⇔ Q • Mệnh đề P ⇔ Q hai mệnh đề P ⇒ Q Q ⇒ P sai (Hay P ⇔ Q hai mệnh đề P Q sai) • P ⇔ Q cịn phát biểu “P Q”, “P tương đương với Q”, hay “P điều kiện cần đủ để có Q” Hai mệnh đề P, Q tương đương với hồn tồn khơng có nghĩa nội dung chúng nhau, mà nói lên chúng có giá trị chân lí (cùng sai) Ví dụ: “Hình vng có góc tù 100 số nguyên tố” mệnh đề ! Các kí hiệu ∀ ∃ • Kí hiệu ∀ (với mọi): “∀x ∈ X, P(x)” “∀x ∈ X : P(x)” • Kí hiệu ∃ (tồn tại): “∃x ∈ X, P(x)” “∃x ∈ X : P(x)” ! Chú ý • Phủ định mệnh đề “∀x ∈ X, P(x)” mệnh đề “∃x ∈ X, P(x)” • Phủ định mệnh đề “∃x ∈ X, P(x)” mệnh đề “∀x ∈ X, P(x)” MỆNH ĐỀ II 13 Các dạng tốn Dạng Mệnh đề có nội dung đại số số học Ví dụ Tìm mệnh đề phủ định mệnh đề sau: √ a) A : “ số hữu tỉ” b) B : “n chia hết cho n chia hết cho 15” c) C : “∀x ∈ N : x2 + x + > 0” d) D : “∃x ∈ N, ∃y ∈ R : x y + = 2” y x Lời giải √ a) A : “ không số hữu tỉ” b) B : “n không chia hết cho n không chia hết cho khơng chia hết cho 15 ” c) C : “∃x ∈ N : x2 + x + ≤ 0” x y d) D : “∀x ∈ N, ∀y ∈ R : + = 2” y x Ví dụ Xét tính - sai mệnh đề sau tìm mệnh đề phủ định nó: a) ∀x ∈ R : x2 + > b) ∃x ∈ R : x2 + x + = c) ∃x ∈ R : x > x2 Lời giải a) Mệnh đề Phủ định A : ∃x ∈ R : x2 + ≤ b) Mệnh đề sai phương trình x2 + x + = vơ nghiệm R Phủ định B : “∀x ∈ R : x2 + x+ = c) Mệnh đề đúng, ví dụ x = Phủ định ∀x ∈ R : x ≤ x2 Ví dụ Điều chỉnh mệnh đề sau để mệnh đề đúng: a) ∀x ∈ R : 3x − = b) ∀x ∈ R : x2 − 4x = c) ∃x ∈ R : x2 + < d) ∀x ∈ R : x > x Lời giải 14 CHƯƠNG MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP a) ∃x ∈ R : 3x − = b) ∃x ∈ R : x2 − 4x = c) ∃x ∈ R : x2 + > ∀x ∈ R : x2 + > d) ∃x ∈ R : x > x Ví dụ Chứng minh “Nếu n2 số chẵn n số chẵn.” Lời giải Giả sử n số lẻ ⇒ n = 2k + 1, k ∈ N ⇒ n2 = 4k2 + 4k + = 2k2 + 2k + ⇒ n2 số lẻ (trái giả thiết) Vậy n số chẵn Ví dụ Chứng minh rằng: a) Với số nguyên n n3 − n chia hết cho b) Với số nguyên n n(n − 1)(2n − 1) chia hết cho Lời giải a) Ta có: n3 − n = n(n2 − 1) = n(n − 1)(n + 1) = (n − 1)n(n + 1) Do n − 1, n, n + số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho Khi (n − 1)n(n + 1) chia hết cho hay n3 − n chia hết cho b) Ta có n − 1, n số nguyên liên tiếp nên tích n(n − 1)(2n − 1) chia hết cho Xét số nguyên liên tiếp n − 1, n, n + 1, số có số chia hết cho • Nếu số n − 1, n cho hết cho tích n(n − 1)(2n − 1) chia hết cho • Nếu n + chia hết cho 2n − = 2(n + 1) − chia hết cho Suy tích n(n − 1)(2n − 1) chia hết cho Vậy tích n(n − 1)(2n − 1) vừa chia hết cho vừa chia hết chia hết cho BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Hãy xét tính - sai mệnh đề sau tìm mệnh đề phủ định chúng: a) A : “∀x ∈ R : x2 > 1” b) B : “∃x ∈ Z : 6x2 − 13x + = 0” c) C : “∀x ∈ N, ∃y ∈ N : y = x + 2” d) D : “∀x ∈ R, ∀y ∈ R : x y + ≥ 0” y x Lời giải a) Mệnh đề sai, ví dụ x = Phủ định A : “∃x ∈ R : x2 ≤ 1” MỆNH ĐỀ 15  x=  , hai nghiệm không thuộc Z b) Mệnh đề sai 6x2 − 13x + = ⇔  x= Phủ định B : “∀x ∈ Z : 6x2 − 13x + = 0” c) Mệnh đề Phủ định C : “∃x ∈ N, ∀y ∈ N : y = x + 2” d) Mệnh đề sai, ví dụ x = 1, y = −2 x y Phủ định D : “∃x ∈ R, ∃y ∈ R : + < 0” y x Bài Xét tính - sai mệnh đề sau Nếu mệnh đề sai sửa lại cho đúng: a) ∀x ∈ R : x > ⇒ x > 16 b) ∀x ∈ R : x2 > 36 ⇒ x > ® ax + bx + c = c) có nghiệm kép ⇔ ∆ = b2 − 4ac = a=0 ® d) ∀a, b, c ∈ R : e) ∀a, b ∈ Z : a>b ⇔ a > c b>c  a  b.2 ⇔ ab Lời giải a) Mệnh đề b) Mệnh đề sai, ví dụ x = −7 Sửa lại ∀x ∈ R : x > ⇒ x2 > 36 ∃x ∈ R : x2 > 36 ⇒ x > c) Mệnh đề ® a>b d) Mệnh đề ⇒ a > c b>c ® a>b Mệnh đề a > c ⇒ sai, dụ a = 3, c = 1, b = b>c ® ax + bx + c = Như mệnh đề có nghiệm kép ⇔ ∆ = b2 − 4ac = sai a=0 ® a>b Sửa lại mệnh đề ∀a, b, c ∈ R : ⇒ a > c b>c e) Mệnh đề  a  b.2 ⇒ ab Mệnh đề ab ⇒  a  b.2 sai, ví dụ a = 6, b = 16 CHƯƠNG MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP Như mệnh đề ∀a, b ∈ Z :  a ⇔ ab sai  b.2  a Sửa lại mệnh đề ∀a, b ∈ Z : ⇒ ab  b.2 Bài Xét tính - sai mệnh đề sau tìm mệnh đề phủ định chúng: a) ∀a ∈ R, ∀b ∈ R : (a + b)2 = a2 − 2ab + b2 b) ∀a ∈ R, ∀b ∈ R : a2 + > b2 + c) ∃a ∈ R, ∃b ∈ R : a + b > d) ∃a ∈ R, ∀b ∈ R : a2 < b e) ∀a ∈ R, ∃b ∈ R : a2 = b + f) ∀a, b, c ∈ R mà a + b + c = − a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca Lời giải a) Mệnh đề sai (a + b)2 = a2 − 2ab + b2 Phủ định ∃a ∈ R, ∃b ∈ R : (a + b)2 = a2 − 2ab + b2 b) Mệnh đề sai, ví dụ a = 0, b = Phủ định ∃a ∈ R, ∃b ∈ R : a2 + ≤ b2 + c) Mệnh đề Phủ định ∀a ∈ R, ∀b ∈ R : a + b ≤ d) Mệnh đề sai, ví dụ a = 3, b = Phủ định ∀a ∈ R, ∃b ∈ R : a2 ≥ b e) Mệnh đề đúng, số b xác định b = a2 − 1, ∀a ∈ R Phủ định ∃a ∈ R, ∀b ∈ R : a2 = b + f) Mệnh đề a + b + c = ⇔ (a + b + c)2 = ⇔ a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac) = a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca ⇔− a2 + b2 + c2 Phủ định ∃a, b, c ∈ R mà a + b + c = − = ab + bc + ca a b Bài Chứng minh ∀a, b > : + ≥ b a Lời giải a b Giả sử: + < ⇒ a2 + b2 < 2ab ⇒ (a − b)2 < (vô lý) b a a b Vậy ∀a, b > : + ≥ b a Bài a) Nếu a + b < hai số a b nhỏ b) Nếu x = −1 y = −1 x + y + xy = −1 c) Nếu tích hai số tự nhiên số lẻ tổng chúng số chẵn d) Nếu x2 + y2 = x = y = Lời giải MỆNH ĐỀ 17 a) Giả sử a ≥ b ≥ 1, suy a + b ≥ (trái giả thiết) Vậy a + b < hai số a b nhỏ ñ x = −1 (trái giả thiết) b) Giả sử: x + y + xy = ⇒ x + + y + xy = ⇒ (x + 1)(y + 1) = ⇒ y = −1 Vậy x = −1 y = −1 x + y + xy = −1 c) Giả sử tổng a + b số lẻ hai số a, b có số số lẻ số lại số chẵn nên tích a.b số chẵn (trái giả thiết) Vậy tích hai số tự nhiên số lẻ tổng chúng số chẵn d) Giả sử x = y = • Nếu x = ⇒ x2 > ⇒ x2 + y2 > (trái giả thiết) • Nếu y = ⇒ y2 > ⇒ x2 + y2 > (trái giả thiết) Vậy x2 + y2 = x = y = ® |x| < ⇒ |x + y| < |1 + xy| Bài Chứng minh |y| < Lời giải Giả sử |x + y| ≥ |1 + xy| ⇒ (|x + y|)2 ≥ (|1 + xy|)2 ⇒ x2 + y2 + 2xy ≥ + x2 y2 + 2xy ⇒ − x2 (1 − y2 ) ≤ ® ® − x2 ≤ |x| ≥    1−y ≥  ®|y| ≤ ⇒ ⇒⇒ (trái giả thiết)  ®   |x| ≤  1−x ≥ − y2 ≤ |y| ≥ ® |x| < ⇒ |x + y| < |1 + xy| |y| < √ √ √ Bài Chứng minh a + a + < a + 1, ∀a > Lời giải √ √ √ Giả sử a + a + ≥ a + 1, ∀a > √ √ √ 2 ⇒ a+ a+2 ≥ a+1 ⇒ a + a(a + 2) + a + ≥ 4(a + 1) ⇒ a(a + 2) ≥ a + 1, với a + > ⇒ a2 + 2a ≥ a2 + 2a + ⇒ >√1 (vơ√lí) √ Vậy ∀a > : a + a + < a + Vậy Bài Chứng minh ac > 2(b + d) hai phương trình sau có nghiệm x2 + ax + b = (1) x2 + cx + d = (2) Lời giải Giả sử hai phương trình vơ nghiệm, ta có ® ∆1 = a2 − 4b < ⇒ a2 + c2 < 4(b + d) ∆2 = c2 − 4d < ⇒ a2 + c2 < 2ac (do 2(b + d) ≤ ac) ⇒ (a − c)2 < (vơ lí) Vậy phương trình cho có nghiệm 18 CHƯƠNG MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP Bài Chứng minh ta nhốt n + gà vào n lồng có lồng chứa gà Lời giải Giả sử khơng có lồng chứa nhiều gà Khi số gà khơng nhiều số lồng Vậy có nhiều n gà Điều mâu thuẫn với giải thiết có n + gà Vậy ta nhốt n + gà vào n lồng có lồng chứa gà Bài 10 Chứng minh với số tự nhiên n: a) n2 + n + không chia hết cho b) n2 + 11n + 39 không chia hết cho 49 Lời giải a) Giả sử n2 + n + chia hết cho 9, n2 + n + = 9k, với k số nguyên Như phương trình n2 + n + − 9k = (1) có nghiệm nguyên Xét ∆ = − 4(1 − 9k) = 36k − = 3(12k − 1) Ta thấy ∆ chia hết cho 3, 12k − không chia hết ∆ khơng chia hết cho 9, ∆ khơng số phương nên phương trình (1) khơng có nghiệm nguyên (mâu thuẫn giả thiết) Vậy n2 + n + không chia hết cho b) Giả sử n2 + 11n + 39 chia hết cho 49, n2 + 11n + 39 = 49k, với k số nguyên Như phương trình n2 + 11n + 39 − 49k = (1) có nghiệm nguyên Xét ∆ = 112 − 4(39 − 49k) = 196k − 35 = 7(28k − 5) Ta thấy ∆ chia hết cho 7, 28k − không chia hết ∆ không chia hết cho 49, ∆ khơng số phương nên phương trình (1) khơng có nghiệm ngun (mâu thuẫn giả thiết) Vậy n2 + 11n + 39 không chia hết cho 49 Dạng Mệnh đề có nội dung hình học Ví dụ Xét tính đúng-sai mệnh đề sau: a) P : “Hai véc-tơ có độ dài nhau” b) Q : “Hai véc-tơ chúng có độ dài nhau” Lời giải a) Mệnh đề P mệnh đề theo định nghĩa hai véc-tơ b) Mệnh đề Q mệnh đề sai Hai véc-tơ chúng hướng có độ dài Như cịn thiếu điều kiện hướng hai véc-tơ Ví dụ Cho tam giác ABC Xét tính đúng-sai mệnh đề sau: a) Nếu AB2 + AC2 = BC2 tam giác ABC vng B b) Nếu AB > AC C > B c) Tam giác ABC thỏa mãn đồng thời hai điều kiện AB = AC A = 600 Lời giải a) Mệnh đề sai Mệnh đề là: “Nếu AB2 + AC2 = BC2 tam giác ABC vuông A” b) Mệnh đề theo mối liên hệ góc cạnh đối diện tam giác MỆNH ĐỀ 19 c) Mệnh đề theo dấu hiệu nhận biết tam giác Ví dụ Cho tứ giác lồi ABCD Xét tính đúng-sai mệnh đề sau: a) Tứ giác ABCD hình chữ nhật thỏa mãn AC = BD b) Tứ giác ABCD hình chữ nhật có ba góc vng Lời giải a) Mệnh đề sai Mệnh đề có cấu trúc P ⇔ Q mệnh đề P ⇒ Q: “Tứ giác ABCD hình chữ nhật AC = BD” mệnh đề mệnh đề Q ⇒ P mệnh đề sai b) Mệnh đề đúng, theo dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 11 Xét tính đúng-sai mệnh đề sau: → − → − − − − a) Hai véc-tơ → a b hướng với véc-tơ → c → a , b hướng → − b) Trong ba véc-tơ khác véc-tơ phương có hai véc-tơ hướng Lời giải a) Mệnh đề theo cách hiểu hướng véc-tơ → − − → − − b) Mệnh đề Thật vậy: Xét ba véc-tơ → a , b ,→ c khác véc-tơ phương Khi có trường hợp: → − − Trường hợp Hai véc-tơ → a , b hướng Trường hợp phù hợp kết luận → − − Trường hợp Hai véc-tơ → a , b ngược hướng → − − − − Khi véc-tơ → c ngược hướng với véc-tơ → a → c b hướng Bài 12 Xét tính đúng-sai mệnh đề sau: a) Hai tam giác chúng có diện tích b) Một tam giác tam giác có góc 60◦ hai đường trung tuyến Lời giải a) Mệnh đề sai hai tam giác có diện tích ngược lại, hai tam giác có diện tích khơng Ví dụ tam giác vng có cạnh góc vng 8, tam giác vng thứ hai có cạnh góc vng có diện tích hai tam giác không b) Mệnh đề Thật vậy, xét tam giác ABC tùy ý +) Nếu tam giác ABC ba góc 60◦ cặp trung tuyến +) Ngược lại, giả sử có hai trung tuyến BM CN Khi hình thang BCMN có hai đường chéo nên hình thang cân Do tam giác ABC có B = C góc góc 60◦ nên tam giác ABC Bài 13 Xét tính đúng-sai mệnh đề sau: 20 CHƯƠNG MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP a) Một tứ giác hình bình hành có cặp cạnh đối song song b) Một tứ giác hình bình hành có hai đường chéo Lời giải a) Mệnh đề đúng, theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành b) Mệnh đề sai Chẳng hạn hình thang cân có hai đường chéo không thiết phải hình bình hành Bài 14 Cho tứ giác ABCD Xét hai mệnh đề: P: “Tứ giác ABCD hình vng” Q: “Tứ giác ABCD hình thoi có hai đường chéo nhau” Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q hai cách cho biết mệnh đề hay sai Lời giải Phát biểu mệnh đề: Cách “Tứ giác ABCD hình vng hình thoi có hai đường chéo nhau” Cách “Tứ giác ABCD hình vng điều kiện cần đủ để hình thoi có hai đường chéo nhau” Mệnh đề theo tính chất dấu hiệu nhận biết hình vng Bài 15 Xét tập hợp: X: tập hợp tứ giác A: Tập hợp hình vng B: Tập hợp hình chữ nhật D: Tập hợp hình thoi E: Tập hợp tứ giác có trục đối xứng Phát biểu thành lời nội dung mệnh đề sau xét tính sai chúng a) ∀x ∈ X, x ∈ B ⇒ x ∈ A b) ∀x ∈ X, x ∈ A ⇒ x ∈ D c) ∀x ∈ X, x ∈ E ⇒ x ∈ B d) ∀x ∈ X, x ∈ D ⇒ x ∈ E e) ∃x ∈ E : x ∈ / B Lời giải a) Phát biểu: “Mọi hình chữ nhật hình vng” Mệnh đề sai hai cạnh hình chữ nhật khơng phải lúc b) Phát biểu: “Mọi hình vng hình thoi” Mệnh đề hình vng tứ giác có bốn cạnh c) Phát biểu: “Mọi tứ giác có trục đối xứng hình chữ nhật” Mệnh đề sai, ví dụ hình thang cân có trục đối xứng hình thang cân có góc có số đo khơng thiết phải 90◦ d) Phát biểu: “Mọi hình thoi có trục đối xứng” Mệnh đề hình thoi có hai trục đối xứng hai đường chéo CÁC TẬP HỢP SỐ Ví dụ 13 Tìm m biết a) (−1; 3) ∩ (m; +∞) = ∅ b) (5; m) ∪ (3; 9) = (3; 9) c) (4; 12) \ (−∞; m) = ∅ Lời giải a) Biểu diễn tập hợp (−1; 3) trục số: ( ) −1 Biểu diễn tập hợp (m; +∞) trục số: ( m (−1; 3) ∩ (m; +∞) = ∅ ⇔ m ≥ b) Biểu diễn tập hợp (5; m) trục số: ( ) m Biểu diễn tập hợp (3; 9) trục số: ( ) (5; m) ∪ (3; 9) = (3; 9) ⇔ ≤ m ≤ c) Biểu diễn tập hợp (4; 12) trục số: ( ) 12 Biểu diễn tập hợp (−∞; m) trục số: ) m (4; 12) \ (−∞; m) = ∅ ⇔ m ≥ 12 Ví dụ 14 Cho tập khác rỗng: A = (m − 1; 5] B = (−3; 2m + 3); m = R Tìm m để a) A ∩ B = ∅ b) A ⊂ B c) B ⊂ A d) (A ∩ B) ⊂ (−2; 4) Lời ta cần xét điều kiện để tập A, B khác ∅ là: ® giải Đầu tiên ® m−1 < m −3 m > −3 Với điều kiện (∗) ta có: a) A ∩ B = ∅ ⇔ 2m + > m − ⇔ m > −4 Đối chiếu với điều kiện (∗), giá trị m thỏa yêu cầu toán −3 < m < 57 58 CHƯƠNG MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP ® m ≥ −2 m − ≥ −3 ⇔ m > ⇔ b) A ⊂ B ⇔ m>1 2m + > Đối chiếu với điều kiện (∗), giá trị m thỏa yêu cầu toán < m < ® ® m − ≤ −3 m ≤ −2 c) B ⊂ A ⇔ ⇔ ⇔ m ≤ −2 2m + ≤ m≤1 Đối chiếu với điều kiện (∗), giá trị m thỏa yêu cầu toán −3 < m ≤ −2  ® m ≥ −1 m − ≥ −2 d) (A ∩ B) ⊂ (−2; 4) ⇔ ⇔ ⇔ −1 ≤ m ≤ (thỏa yêu cầu điều kiện (∗)) m ≤ 2m + ≤ ® ị ï m+1 , B = (−∞; −3) ∪ [3; +∞) Tìm m để Ví dụ 15 Cho tập A = m − 1; a) A ⊂ B b) (A ∩ B) = ∅ Lời giải Trước tiên ta cần tìm điều kiện để tồn tập A là: m − ≤ m+1 ⇔ m ≤ (∗) Biểu diễn tập hợp A trục số: [ ] m+1 m−1 Biểu diễn tập hợp B trục số: ) [ −3  ñ ñ m+1 m < −7 A ⊂ (−∞; −3) < −3 ⇔ a) A ⊂ B ⇔ ⇔ m ≥ A ⊂ [3; +∞) m−1 ≥ Đối chiếu điều kiện (∗), ta có m < −7 thỏa u cầu tốn  ® m − ≥ −3 m ≥ −2 ⇔ b) A ∩ B = ∅ ⇔ m + ⇔ −2 ≤ m <  m thu Bài 17 Cho a > Hãy xác định tập hợp a ; 5a ∪ (0; a) ∩ (3a; 6a) = (0; 5a] ∩ (3a; 6a) = (3a; 5a] 62 CHƯƠNG MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP §5 I ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG I Đề số 1a Bài (3 điểm) a) Xét tính sai lập mệnh đề phủ định mệnh đề P : ∃x ∈ R : x2 = −3 b) Cho tam giác ABC, xét hai mệnh đề P : AB2 + AC2 = BC2 , Q : A = 90◦ Hãy lập mệnh đề P ⇒ Q xét tính sai mệnh đề Lời giải a) Mệnh đề P sai Phủ định P P : ∀x ∈ R : x2 = −3 b) Cho tam giác ABC, mệnh đề P ⇒ Q phát biểu sau: Trong tam giác ABC, AB2 + AC2 = BC2 góc A = 90◦ Mệnh đề P ⇒ Q Bài (2 điểm) Cho hai tập hợp A = (2; 5), B = [−1; 3) Xác định tập hợp sau: A ∩ B, A ∪ B, A \ B B \ A Lời giải A ∩ B = (2; 3), A ∪ B = [−1; 5), A \ B = [3; 5), B \ A = [−1; 2] Bài Cho tập hợp CR A = [−3; 2) CR B = (−2; 3) Tìm tập hợp CR (A ∩ B) Lời giải Tập hợp CR A = [−3; 2) ⇒ A = (−∞; −3) ∪ [2; +∞) Tập hợp CR B = (−2; 3) ⇒ B = (−∞; −2] ∪ [3; +∞) Tập hợp A ∩ B = (−∞; −3) ∪ [3; +∞) ⇒ CR (A ∩ B) = [−3; 3) Bài (2 điểm) Mỗi học sinh lớp 10A chơi bóng bàn cầu lơng Biết có 25 bạn chơi bóng bàn, 23 bạn chơi cầu lơng 10 bạn chơi hai mơn Hỏi lớp 10A có học sinh? Lời giải Gọi X Y tập hợp bạn chơi bóng bàn cầu lơng lớp 10A Ta có số phần tử X ∩Y 10 Số phần tử X ∪Y 25 + 23 − 10 = 38 Vậy lớp 10A có 38 học sinh Bài (1 điểm) Độ cao h = 50, 54m ± 0, 1m Hãy viết số quy tròn số 50, 54 Lời giải Số quy tròn 50, 54 51 II Đề số 1b Bài (3 điểm) a) Xét tính sai lập mệnh đề phủ định mệnh đề P: "∃x ∈ R : x2 = 3" b) Cho tam giác ABC, xét hai mệnh đề P : AB = BC, Q : A = C Hãy lập mệnh đề P ⇒ Q xét tính sai mệnh đề Lời giải a) Mệnh đề P Phủ định P P : "∀x ∈ R : x2 = 3" b) Cho tam giác ABC, mệnh đề P ⇒ Q phát biểu sau: Trong tam giác ABC, AB = BC góc A góc C Mệnh đề P ⇒ Q Bài (2 điểm) Cho hai tập hợp A = (1; 6), B = [0; 4) Xác định tập hợp sau: A ∩ B, A ∪ B, A \ B B \ A Lời giải A ∩ B = (1; 4), A ∪ B = [0; 6), A \ B = [4; 6), B \ A = [0; 1] Bài Cho tập hợp CR A = [−4; 2) CR B = (−3; 3) Tìm tập hợp CR (A ∩ B) Lời giải Tập hợp CR A = [−4; 2) ⇒ A = (−∞; −4) ∪ [2; +∞) Tập hợp CR B = (−3; 3) ⇒ B = (−∞; −3] ∪ [3; +∞) Tập hợp A ∩ B = (−∞; −4) ∪ [3; +∞) ⇒ CR (A ∩ B) = [−4; 3) ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG I 63 Bài (2 điểm) Mỗi học sinh lớp 10B giỏi Toán giỏi Tiếng Anh Biết có 28 bạn giỏi Toán , 22 bạn giỏi Tiếng Anh 10 bạn giỏi hai mơn Hỏi lớp 10B có học sinh? Lời giải Gọi X Y tập hợp bạn giỏi Toán giỏi Tiếng Anh lớp 10B Ta có số phần tử X ∩Y 10 Số phần tử X ∪Y 28 + 22 − 10 = 40 Vậy lớp 10B có 40 học sinh Bài (1 điểm) Chiều dài cầu l = 150, 45m ± 0, 1m Hãy viết số quy tròn số 150, 45 Lời giải Số quy tròn 150, 45 150 III Đề số 2a Bài (3,0 điểm) a) Mệnh đề sau hay sai? giải thích "Mọi số thực chia hết cho chia hết cho 3" b) Dùng kí hiệu ∃ để viết mệnh đề: "Có số thực mà bình phương −1." √ c) Lập mệnh đề phủ định mệnh đề "∀x ∈ R : x2 + > x." Lời giải a) Số chia hết Số chia hết cho chia hết cho Vậy mệnh đề cho mệnh đề b) Mệnh đề viết là: "∃x ∈ R : x2 = −1." √ c) Mệnh đề phủ định là: "∃x ∈ R : x2 + ≤ x." Bài (2,0 điểm) a) Liệt kê phần tử tập hợp B = x ∈ R : 4x2 − 7x + = b) Liệt kê tập tập hợp C = {1, 2, 3} Lời giải ß a) B = ™ ,1 b) Các tập tập hợp C là: ∅; {1} ; {2} ; {3} ; {1, 2} ; {1, 3} ; {2, 3} ; {1, 2, 3} Bài (2,0 điểm) Cho hai tập hợp A = {2, 3, 4, 7, 9} B = {2, 4, 5, 6, 7, 9} Tìm: A ∪ B; A ∩ B; B \ A; A \ B Lời giải ∗A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} ∗ A ∩ B = {2, 4, 7, 9} ∗ B \ A = {5, 6} ∗ A \ B = {3} Bài (2,0 điểm) Cho tập hợp A = (−3; 9) ; B = [−2017; 5] ;C = (8; 2018] Tìm: a) A ∪ B; A ∩ B b) A \ B; (A ∪ B) \C 64 CHƯƠNG MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP Lời giải −3 − 2017 ; 2018 a) A ∪ B = [−2017; 9) ; A ∩ B = (3; 5] b) A \ B = (5; 9) ; (A ∪ B) \C = [−2017; 8] Bài (1,0 điểm) Hãy viết số quy tròn số gần a = 2, 7182 biết a¯ = 2, 7182 ± 0, 001 Lời giải Do độ xác đến hàng phần nghìn nên số quy tròn là: 2, 72 IV Đề số 2b Bài (3,0 điểm) a) Mệnh đề sau hay sai? giải thích " Bình phương số thực lớn nó." b) Dùng kí hiệu ∀ để viết mệnh đề: " Mọi số thực bình phương lớn " c) Lập mệnh đề phủ định mệnh đề "∃x ∈ R : 2x2 − 3x + = 0." Lời giải a) Số 0, 12 = 0, 01 < 0, Nên mệnh đề cho sai b) "∀x ∈ R : x2 > 0." c) Mệnh đề phủ định là: "∀x ∈ R : 2x2 − 3x + = 0." Bài (2,0 điểm) a) Liệt kê phần tử tập hợp A = x ∈ N : x2 − x − = b) Liệt kê tập tập hợp P = {3, 5, 7} Lời giải a) A = {3} b) Các tập tập hợp P là: ∅; {3} ; {5} ; {7} ; {3, 5} ; {3, 7} ; {5, 7} ; {3, 5, 7} ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG I 65 Bài (2,0 điểm) Cho hai tập hợp A = {2, 3, 5, 7, 8, 9} B = {5, 6, 7, 8, 9} Tìm: A ∪ B; A ∩ B; B \ A; A \ B Lời giải ∗A ∪ B = {2, 3, 5, 6, 7, 8, 9} ∗ A ∩ B = {5, 7, 8, 9} ∗ B \ A = {6} ∗ A \ B = {2, 3} Bài (2,0 điểm) Cho tập hợp A = [−3; 10] ; B = [−2017; 7) ;C = (−10; 2017] Tìm: a) B ∪C; B ∩C b) A \C; (A ∪ B) \C Lời giải −3 − 2017 10 ; − 10 2017 a) B ∪C = [−2017; 2017] ; B ∩C = (−10; 7) b) A \C = ∅; (A ∪ B) \C = [−2017; −10] Bài (1,0 điểm) Hãy viết số quy tròn số gần a = 3, 141592 biết a¯ = 3, 141592 ± 0, 0001 Lời giải Do độ xác đến hàng phần chục nghìn nên số quy tròn là: 3, 142 V Đề số 3a Bài (2, điểm) Cho mệnh đề A : "∀k ∈ N, k(k + 1)(k + 2) chia hết cho 6" a) Viết mệnh đề phủ định mệnh đề A b) Chứng minh mệnh đề A mệnh đề Lời giải a) Mệnh đề phủ định mệnh đề A là: A : ∃k ∈ N, k(k + 1)(k + 2) không chia hết cho b) Ta có k(k + 1) chia hết cho Trong số tự nhiên liên tiếp tồn số chia hết k(k + 1)(k + 2) chia hết cho Mà (2, 3) = nên k(k + 1)(k + 2) chia hết cho Bài (3, điểm) Cho hai tập hợp X = x ∈ Z |2x + 1| ≤ Y = x ∈ R (x + 1) (x − 2) x2 − 8x + 15 = a) Viết tập X,Y cách liệt kê phần tử 66 CHƯƠNG MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP b) Tìm X ∩Y, X ∪Y X \Y Lời giải a) Ta có |2x + 1| ≤ ⇔ −3 ≤ 2x + ≤ ⇔ −2 ≤ x ≤ ⇒ X = {−2; −1; 0; 1}  x+1 =  Ta lại có (x + 1) (x − 2) x2 − 8x + 15 = ⇔ x − = x2 − 8x + 15 =  x = −1 x =  ⇒ Y = {−1; 2; 3; 5} ⇔ x = x=5 b) X ∩Y = {−1} X ∪Y = {−2, −1, 0, 1, 2, 3, 5} X \Y = {−2, 0, 1} Bài (2, điểm) Cho hai tập hợp A = [m; m + 2] ; B = [−1; 2] a) Khi m = Tìm tập hợp CR A ∩ B b) Tìm tất giá trị thực tham số m để A ⊂ B Lời giải a) Với m = A = [0; 2] ⇒ CR A = (−∞; 0) ∪ (2; +∞) Khi CR A ∩ B = [−1; 0) ® m ≥ −1 b) Để A ⊂ B m+2 ≤ ® m ≥ −1 ⇔ ⇔ −1 ≤ m ≤ m≤0 Bài (1, điểm) Trong kì thi học sinh giỏi cấp trường, lớp 10C1 có 45 học sinh có 17 bạn đạt học sinh giỏi Văn, 25 bạn đạt học sinh giỏi Toán 13 bạn học sinh khơng đạt học sinh giỏi Tìm số học sinh giỏi Văn Toán lớp 10C1 Lời giải Số bạn đạt học sinh giỏi: 45 − 13 = 32(học sinh) Số học sinh giỏi Văn Toán là: 25 + 17 − 32 = 10(học sinh) Bài (1, điểm) Bác nông dân đo mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài 4±0, 2m chiều rộng 3±0, 3m Hỏi diện tích mảnh vườn lớn (quy trịn đến hàng phần chục)? Lời giải Chiều dài chiều rộng lớn 4, 2m 3, 3m Diện tích lớn mảnh vườn là: S = 4, 2.3, = 13, 86 ≈ 13, 9m2 VI Đề số 3b Bài (2, điểm) Cho mệnh đề A : "∀k ∈ R, k2 + 3k + > 0" a) Viết mệnh đề phủ định mệnh đề A b) Chứng minh mệnh đề A mệnh đề Lời giải ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG I 67 a) Mệnh đề phủ định mệnh đề A là: A : ∃k ∈ R, k2 + 3k + ≤ Å ã 11 b) Ta có k + 3k + = k + + ã2 Å ≥ nên k2 + 3k + > 0, ∀k ∈ R Vì k + Bài (3, điểm) Cho hai tập hợp X = x ∈ Z |2x − 1| ≤ Y = x ∈ R x(x − 1)(x2 − 6x + 8) = a) Viết tập X,Y cách liệt kê phần tử b) Tìm X ∩Y, X ∪Y X \Y Lời giải a) Ta có |2x − 1| ≤ ⇔ −2 ≤ 2x − ≤ ⇔ − ≤ x ≤ ⇒ X = {0; 1} 2  x=0  Ta lại có x(x − 1)(x2 − 6x + 8) = = ⇔ x − = x2 − 6x + =  x=0 x =  ⇔ ⇒ Y = {0; 1; 2; 4} x = x=4 b) X ∩Y = {0, 1} X ∪Y = {0, 1, 2, 4} X \Y = 0/ Bài (2, điểm) Cho hai tập hợp A = (m − 2; m + 1] ; B = [−1; 4) a) Khi m = Tìm tập hợp CR A ∩ B b) Tìm tất giá trị thực tham số m để A ⊂ B Lời giải a) Với m = A = (0; 3] ⇒ CR A = (−∞; 0] ∪ (3; +∞) Khi CR A ∩ B = [−1; 0] ∪ (3; 4) ® m − ≥ −1 b) Để A ⊂ B m+1 < ® m≥1 ⇔ ⇔1≤m a a) Khi a = 1, tìm A ∩ B b) Tìm a < để A ∩ B = ∅ Lời giải ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG I 71 a) Khi a = có A(−∞; 2), B = (18; +∞) 0,5 điểm ⇒ A ∩ B = ∅ 0,5 điểm 18 < 2a ⇔ a2 < (do a < 0) 0,5 điểm a ⇔ (a − 3)(a + 3) < ⇔ −3 < a < Kết hợp với điều kiện a < ta −3 < a < 0,5 điểm b) A ∩ B = ∅ ⇔ Bài Trong số 50 cán nhóm phiên dịch triệu tập để phục vụ hội nghị quốc tế có 35 cán phiên dịch tiếng Anh, 20 cán phiên dịch tiếng Pháp, có 15 cán vừa phiên dịch tiếng Anh, vừa phiên dịch tiếng Pháp Hỏi a) Nhóm có cán cấp thẻ đỏ, biết muốn cấp thẻ đỏ cán phải phiên dịch tiếng Anh phiên dịch tiếng Pháp b) Nhóm có cán khơng phiên dịch tiếng Anh không phiên dịch tiếng Pháp Lời giải a) Số cán cấp thẻ đỏ 35 + 20 − 15 = 40 1,0 điểm b) Số cán không phiên dịch tiếng Anh khơng phiên dịch tiếng Pháp số cán không không cấp thẻ đỏ bằng: 50 − 40 = 10 1,0 điểm √ Bài Tính độ dài cạnh hình vng có độ dài đường chéo 5, biết ≈ 1, 414213562 (lấy kết chữ số thập phân) Lời giải Gọi x dộ dài cạnh hình vng, áp dụng định lý Pi-ta-go ta có x2 + x2 = 0,5 điểm ⇔ x = √ ≈ 3, 535533906 Vậy x ≈ 3, 536 0,5 điểm ... định mệnh đề “∀x ∈ X, P(x)” mệnh đề “∃x ∈ X, P(x)” • Phủ định mệnh đề “∃x ∈ X, P(x)” mệnh đề “∀x ∈ X, P(x)” 1 MỆNH ĐỀ II 13 Các dạng toán Dạng Mệnh đề có nội dung đại số số học Ví dụ Tìm mệnh đề. .. kê phần tử tập hợp • Chỉ tính chất đặc trưng cho phần tử tập hợp Tập hợp rỗng Định nghĩa Tập hợp rỗng, kí hiệu ∅, tập hợp không chứa phần tử Tập Hai tập hợp • Tập hợp A gọi tập tập hợp B, kí hiệu... ⊂ C II Các dạng toán Dạng Xác định tập hợp - phần tử tập hợp • Liệt kê phần tử tập hợp (giải phương trình cần) • Nêu đặc trưng tập hợp 26 CHƯƠNG MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP Ví dụ Xác định tập hợp A gồm