VECTO tóm tắt lý thuyết vecto, các dạng toán và phương pháp giải file word

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải CHƯƠNG I: VECTƠ §1 CÁC ĐỊNH NGHĨA A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa vectơ: Vectơ đoạn thẳng có hướng, nghĩa hai điểm mút đoạn thẳng rõ điểm điểm đầu, điểm điểm cuối r x r a Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B ta kí hiệu : uuu r AB Hình 1.1 r r r r Vectơ cịn kí hiệu là: a, b, x, y, r Vectơ – khơng vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối Kí hiệu Hai vectơ phương, hướng - Đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ gọi giá vectơ - Hai vectơ có giá song song trùng gọi hai vectơ phương - Hai vectơ phương hướng ngược hướng Hình 1.2 uuu r uuu r Ví dụ: Ở hình vẽ trên (hình 2) hai vectơ AB CD hướng cịn uuur uur EF HG ngược hướng Đặc biệt: vectơ – không hướng với véc tơ Hai vectơ - Độ dài đoạn thẳng AB gọi độ dài véc uuu r hiệu AB uuu r tơ AB , kí Hình 1.3 http://dethithpt.com – Website chun đề thi, tài liệu file word có lời giải uuu r Vậy AB = AB - Hai vectơ chúng hướng độ dài uuu r uuu r Ví dụ: (hình 1.3) Cho hình bình hành ABCD AB = CD B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG 1: Xác định vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ Phương pháp giải • Xác định vectơ xác định phương, hướng hai vectơ theo định nghĩa • Dựa vào tình chất hình học hình cho biết để tính độ dài vectơ Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCDE Có vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu điểm cuối đỉnh ngũ giác A.12 B.13 C.14 D.16 Lời giải: Hai điểm phân biệt, chẳng hạn A , B ta xác định hai vectơ khác vectơuuu r uuu r không AB, BA Mà từ bốn đỉnh A , B, C , D ngũ giác ta có cặp điểm phân biệt có 12 vectơ thỏa mãn u cầu tốn Ví dụ 2: Chứng minh ba điểm A , B,C phân biệt thẳng hàng uuu r uuur AB, AC phương Lời giải uuu r uuur Nếu A , B,C thẳng hàng suy giá AB, AC đường thẳng qua ba uuu r uuur điểm A , B,C nên AB, AC phương uuu r uuur Ngược lại AB, AC phương đường thẳng AB AC song song trùng Nhưng hai đường thẳng qua điểm A nên hai đường thẳng AB AC trùng hay ba điểm A , B,C thẳng hàng http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Ví dụ 3: Cho tam giác ABC Gọi M , N , P trung điểm BC ,CA , AB uuuu r a) Có vectơ khác vectơ - khơng phương với MN có điểm đầu điểm cuối lấy điểm cho A.5 B.6 C.7 D.8 uuu r b) Có vectơ khác vectơ - khơng hướng với AB có điểm đầu điểm cuối lấy điểm cho A.3 B.4 C.6 D.5 uuu r c) Vẽ vectơ vectơ NP mà có điểm đầu A , B Lời giải: (Hình 1.4) a) Các vectơ khác vectơ không uuuu r phương với MN uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uur uur NM , AB, BA , AP , PA , BP , PB b) Các vectơ khác vectơ - không uuu r uur uuuu r uuu r hướng với AB AP , PB, NM Hình 1.4 c) Trên tia CB lấy điểm B' cho BB' = NP uuu r uuur Khi ta có BB' vectơ có điểm đầu B vectơ NP Qua A dựng đường thẳng song song với đường thẳng NP Trên đường thẳng uuu r uuuu r lấy điểm A ' cho AA ' hướng với NP AA ' = NP uuu r uuuu r Khi ta có AA ' vectơ có điểm đầu A vectơ NP Ví dụ 4: Cho hình vng ABCD tâm O cạnh a Gọi M trung điểm AB, uuuu r N điểm đối xứng với C qua D Hãy tính độ dài vectơ sau MD http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuuu r a 15 A MD = uuuu r a B MD = uuuu r a C MD = uuuu r a D MD = Lời giải: (hình 1.5) Áp dụng định lý Pitago tam giác vng MAD ta có ỉư a÷ 5a2 a DM = AM + AD = ỗ +a = ữ ị DM = ỗ ữ ç è2ø 2 2 Hình 1.5 uuuu r a Suy MD = MD = Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB P a 3a Khi tứ giác ADNP hình vng PM = PA + AM = a+ = 2 Áp dụng định lý Pitago tam giác vng NPM ta có ỉ3 13a2 a 13 ÷ MN = NP + PM = a +ỗ ữ= ị DM = ỗ ỗ ữ è2 ø 2 2 uuuu r a 13 Suy MN = MN = Bài tập luyện tập Bài 1.1: Cho ngũ giác ABCDE Có vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu điểm cuối đỉnh ngũ giác A.20 B.12 C.14 D.16 Lời giải: Bài 1.1 Hai điểm phân biệt, chẳng hạn A , B ta xác định hai vectơ khác uuu r uuu r vectơ-không AB, BA Mà từ năm đỉnh A , B, C , D , E ngũ giác ta có 10 cặp điểm phân biệt có 20 vectơ thỏa mãn yêu cầu toán http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 1.2: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Tìm vectơ từ điểm A, B, C, D, O r uuu r uuu a) Bằng vectơ AB ; OB uuu r uuur uuu r uuur A AB = AC , OB = AO uuu r uuur uuu r uuur B AB = OC , OB = DO uuu r uuur uuu r uuur C AB = DC , OB = AO uuu r uuur uuu r uuur D AB = DC , OB = DO uuu r b) Có độ dài OB uuu r uuur uuur A BC , DO , OD uuu r uuur uuur B BO , DC , OD uuu r uuur uuur C BO , DO , OD uuu r uuur uuur D BO , DO , AD Lời giải: uuu r uuur uuu r uuur Bài 1.2: a) AB = DC , OB = DO uuu r uuur uuur b) BO , DO , OD Bài 1.3: Cho ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng uuur uuu r a) Khi hai vectơ AB AC hướng ? A A nằm đoạn BC B Nằm BC C A nằm ngồi đoạn BC D Khơng tồn uuur uuu r b) Khi hai vectơ AB AC ngược hướng ? A A nằm đoạn BC B Nằm BC C A nằm ngồi đoạn BC D Khơng tồn Lời giải: Bài 1.3: a) A nằm đoạn BC b) A nằm đoạn BC Bài 1.4: Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt uuu r uuu r a) Nếu AB = BC có nhận xét ba điểm A, B, C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải A B trung điểm AC AC B B nằm C B nằm AC D Không tồn uuu r uuur b) Nếu AB = DC có nhận xét bốn điểm A, B, C, D A A, B, C, D thẳng hàng bình hành C.A, B B ABCD hình D.A, B sai Lời giải: Bài 1.4 a) B trung điểm AC b) A, B, C, D thẳng hàng ABCD hình bình hành Bài 1.5: Cho hình thoi ABCD có tâm O Hãy cho biết số khẳng định ? uuu r uuu r a) AB = BC uuu r uuur b) AB = DC uuur uuur c) OA =- OC uuu r uuur d) OB = OA uuu r uuu r e) AB = BC uuur uuu r f) OA = BD A.3 B.4 C.5 D.6 Lời giải: Bài 1.5: a) Sai b) Đúng d) Sai f) e) Sai c) Đúng Bài 1.6: Cho lục giác ABCDEF tâm O Hãy tìm vectơ khác vectơkhơng có điểm đầu, điểm cuối đỉnh lục giác tâm O cho uuu r a) Bằng với AB http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuu r uuu r uuu r A FO ,OC , FD uuu r uuur uuu r B FO , AC , ED uuu r uuur uuu r C BO ,OC , ED uuu r uuu r uuu r D FO ,OC , ED uuu r b) Ngược hướng với OC uuur uuu r uuu r uuu r A AO ,OF , BA , DE uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r B CO , AF , BA , DE C CO ,OF , BA , DE D BO ,OF , BA , DE Lời giải: uuu r uuu r uuu r Bài 1.6: a) FO ,OC , ED uuu r uuu r uuu r uuu r b) CO ,OF , BA , DE Bài 1.7: Cho hình vng ABCD cạnh a , tâm O M trung điểm AB uuur uuu r Tính độ dài vectơ OA + OB A a B 3a C a D 2a Lời giải: uuu r AB = AB = a ; Bài 1.7: (hình 1.40) Ta có uuur AC = AC = AB2 + BC = a uuur a uuur a OA = OA = AC = , OM = OM = 2 Gọi E điểm cho tứ giác OBEA hình bình hành hình vng Hình 1.40 uuur uuu r uuu r uuur uuu r Ta có OA + OB = OE Þ OA + OB = OE = AB = a Bài 1.8: Cho tam giác ABC cạnh a G trọng tâm Gọi I trung điểm AG uu r Tính độ dài vectơ BI A a 21 B a 21 C a D a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Lời giải: uuu r AB = AB = a Bài 1.8: (Hình 1.41)Ta có Gọi M trung điểm BC Ta có uuur 2 2 a a 2 AG = AG = AM = AB - BM = a= 3 Hình 1.41 uu r a2 a2 a 21 BI = BI = BM + MI = + = Bài 1.9: Cho trước hai điểm A , B phân biệt Tìm tập hợp điểm M thoả uuur uuur mãn MA = MB A đường thẳng song song đoạn thẳng AB B đường trung trực đoạn thẳng AB C đường vng góc đoạn thẳng AB D.Không tồn Lời giải: uuur uuur Bài 1,9: MA = MB Û MA = MB Þ Tập hợp điểm M đường trung trực đoạn thẳng AB  DẠNG 2: Chứng minh hai vectơ Phương pháp giải • Để chứng minh hai vectơ ta chứng minh chúng có độ dài hướng dựa vào nhận xét tứ giác ABCD hình uuu r uuur uuur uuu r bình hành AB = DC AD = BC Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Khảng định sau uuuu r uuu r A MN =QP uuuu r uuu r B MN = 2QP uuuu r uuuur C MN = 3QP uuuuur uuu r D 3MN =QP http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Lời giải: (hình 1.6) Do M, N trung điểm AB BC nên MN đường trung bình tam giác ABC suy MN / / AC MN = AC (1) Hình 1.6 Tương tự QP đường trung bình tam giác ADC suy QP / / AC QP = AC (2) Từ (1) (2) suy MN / /QP MN = QP tứ giác MNPQ hình bình hành uuuu r uuu r Vậy ta có MN =QP Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I trung điểm BC uuur uuur Dựng điểm B' cho B' B = AG Khẳng định sau a) uu r uur A BI = IC uu r uur B 3BI = 2IC uu r uuur C BI = 2IC uuur uur D 2BI = IC b) Gọi J trung điểm BB' Khẳng định sau uuur uur A 3BJ = 2IG uu r uur B BJ = IG uu r uur C BJ = 2IG uuur uur D 2BJ = IG Lời giải: (hình 1.7) a) Vì I trung điểm BC nên BI = CI uur uu r BI hướng với IC hai vectơ uu r uur uu r uur BI , IC hay BI = IC Hình 1.7 uuur uuur b) Ta có B' B = AG suy B' B = AG BB'/ / AG uu r uur Do BJ , IG hướng (1) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Vì G trọng tâm tam giác ABC nên IG = AG , J trung điểm BB' suy BJ = BB' Vì BJ = IG (2) uu r uur Từ (1) (2) ta có BJ = IG Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD Trên đoạn thẳng DC , AB theo thứ tự lấy điểm M , N cho DM = BN Gọi P giao điểm AM , DB Q giao điểm CN , DB Khẳng định sau đúng? uuuu r uuur A AM = NC uuu r uuu r B DB = QB C.Cả A, B D.Cả A, B sai Lời giải: (hình 1.8) Ta có DM = BN Þ AN = MC , mặt khác AN song song với MC tứ giác ANCM hình bình hành uuuu r uuur Suy AM = NC Hình 1.8 · · Xét tam giác D DMP D BNQ ta có DM = NB (giả thiết), PDM (so le = QBN trong) · · · · Mặt khác DMP (đối đỉnh) APQ (hai góc đồng vị) suy = NQB = APB · · DMP = BNQ Do D DMP = D BNQ (c.g.c) suy DB = QB uuu r uuu r uuu r uuu r Dễ thấy DB, QB hướng DB = QB Bài tập luyện tập http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Các quy tắc: uuu r uuu r uuur Quy tắc ba điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB + BC = AC uuu r uuur uuur Quy tắc hình bình hành : Nếu ABCD hình bình hành AB + AD = AC uuu r uuur uuu r Quy tắc hiệu vectơ : Cho O , A , B tùy ý ta có : OB- OA = AB Chú ý: Ta mở rộng quy tắc ba điểm cho n điểm A1 , A , , An uuuuu r uuuuu r uuuuuuu r uuuuu r A1A2 + A 2A + + An- 1An = A1An B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG 1: Xác định độ dài tổng, hiệu vectơ Phương pháp giải Để xác định độ dài tổng hiệu vectơ • Trước tiên sử dụng định nghĩa tổng, hiệu hai vectơ tính chất, quy tắc để xác định định phép tốn vectơ • Dựa vào tính chất hình, sử dụng định lí Pitago, hệ thức lượng tam giác vng để xác định độ dài vectơ Các ví dụ · Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vng A có ABC = 300 BC = a uuu r uuur Tính độ dài vectơ AB + AC A a B a C a D a Lời giải: (hình 1.10) Theo quy tắc ba điểm ta có uuu r uuu r uuur • AB + BC = AC AC · = Mà sin ABC BC a · Þ AC = BC.sin ABC = a 5.sin300 = Hình 1.10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuu r uuu r uuur a Do AB + BC = AC = AC = uuur uuu r uuur uur uuu r • AC - BC = AC + CB = AB Ta có AC + AB2 = BC Þ AB = BC - AC = 5a2 - 5a2 a 15 = uuur uuu r uuu r a 15 Vì AC - BC = AB = AB = • Gọi D điểm cho tứ giác ABDC hình bình hành uuu r uuur uuur Khi theo quy tắc hình bình hành ta có AB + AC = AD Vì tam giác ABC vuông A nên tứ giác ABDC hình chữ nhật suy AD = BC = a uuu r uuur uuur Vậy AB + AC = AD = AD = a Ví dụ 2: Cho hình vng ABCD có tâm O cạnh a M điểm uuu r uuur uuur uur uuu r uuur AB + AD , OA CB , CD - DA a) Tính uuu r uuur AB + AD = a A uuur uur OA - CB = a B uuu r uuur CD - DA = a C D.Cả A, B, C r uuur uuur uuur uuuu r b) Chứng minh u = MA + MB- MC - MD không phụ thuộc vị trí điểm M r Tính độ dài vectơ u A.2a B.3a C.a Lời giải: (hình 1.11) uuu r uuur uuur a) + Theo quy tắc hình bình hành ta có AB + AD = AC D.4a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuu r uuur uuur Suy AB + AD = AC = AC Áp dụng định lí Pitago ta có AC = AB2 + BC = 2a2 Þ AC = 2a uuu r uuur AB + AD = a Vậy uuur uuu r + Vì O tâm hình vng nên OA = CO suy uuur uur uuu r uur uuu r OA - CB = CO - CB = BC uuur uur uuur Vậy OA - CB = BC = a uuu r uuu r + Do ABCD hình vng nên CD = BA suy uuu r uuur uuu r uuur uuu r CD - DA = BA + AD = BD Hình 1.11 uuu r uuu r uuur 2 Mà BD = BD = AB + AD = a suy CD - DA = a b) Theo quy tắc phép trừ ta có r uuur uuur uuur uuuu r uuu r uuu r u = MA - MC + MB- MD = CA + DB ( ) ( ) r Suy u khơng phụ thuộc vị trí điểm M Qua A kẻ đường thẳng song song với DB cắt BC C ' Khi tứ giác ADBC ' hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song) suy uuu r uuuu r DB = AC ' r uuu r uuuu r uuur Do u = CA + AC ' = CC ' r uuur Vì u = CC ' = BC + BC ' = a+ a= 2a Bài tập luyện tập Bài 1.14: Cho tam giác ABC cạnh a Tính độ dài vectơ sau uuu r uuur uuu r uuur AB- AC , AB + AC http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuu r uuur A AB- AC = a uuu r uuur B AB + AC = a C.Cả A, B D.Cả A, B sai Lời giải: Bài 1.14: (Hình 1.45)Theo quy tắc trừ ta có uuu r uuur uur uuu r uuur AB- AC = CB Þ AB- AC = BC = a Gọi A ' đỉnh hình bình hành ABA 'C O tâm hình nình hành Khi ta có uuu r uuur uuuu r AB + AC = AA ' Ta có AO = AB2 - OB2 = a2 - Hình 1.45 a2 a = uuu r uuur Suy AB + AC = AA ' = 2AO = a Bài 1.15: Cho hình vng ABCD có tâm O cạnh a M điểm uuu r uuur uuu r uuu r uuur a) Tính AB + OD , AB- OC + OD uuu r uuur a A AB + OD = C.Cả A, B uuu r uuur uuur B AB- OC + OD = a D.Cả A, B sai uuur uuur uuur uuuu r b) Tính độ dài vectơ MA - MB- MC + MD uuur uuur uuur uuuu r A MA - MB- MC + MD = a uuur uuur uuur uuuu r B MA - MB- MC + MD = 3a uuur uuur uuur uuuu r C MA - MB- MC + MD = 2a uuur uuur uuur uuuu r 3a D MA - MB- MC + MD = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Lời giải: Bài 1.15 (Hình 1.46) a) Ta có uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur OD = BO Þ AB + OD = AB + BO = AO uuu r uuur AC a AB + OD = AO = = 2 Hình 1.46 uuu r uuur Ta có OC = AO suy uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur r AB- OC + OD = AB- AO + OD = OB + OD = uuu r uuur uuur Þ AB- OC + OD = b) Áp dụng quy tắc trừ ta có uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuu r uuur uuu r uuur MA - MB- MC + MD = MA - MB - MC - MD = BA - DC = BA - DC ( ) ( ) Lấy B' điểm đối xứng B qua A uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur Khi - DC = AB' Þ BA - DC = BA + AB' = BB' uuur uuur uuur uuuu r uuur Suy MA - MB- MC + MD = BB' = BB' = 2a · Bài 1.16: Cho hình thoi ABCD cạnh a BCD = 600 Gọi O tâm hình thoi uuu r uuur uuu r uuur Tính AB + AD , OB- DC uuu r uuur uuu r uuur a A AB + AD = a 3, B OB- DC = C.Cả A, B D.Cả A, B sai Lời giải: uuu r uuur uuur AB + AD = AD = 2acos300 = a 3, Bài 1.16: Ta có http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuu r uuur uuu r a OB- DC = CO = acos600 = uuur uuu r uuu r Bài 1.17: Cho bốn điểm A, B, C, O phân biệt có độ dài ba vectơ OA , OB, OC uuur uuu r uuur r a OA + OB + OC = a) Tính góc AOB, BOC , COA · A AOB= 1200 · B BOC = 600 · · · C AOB = BOC =COA = 1200 · D COA = 300 uuu r uuur uuur OB + AC - OA b) Tính uuu r uuur uuur OB + AC - OA = a A uuu r uuur uuur OB + AC - OA = 2a B uuu r uuur uuur OB + AC - OA = 3a C uuu r uuur uuur OB + AC - OA = a D Lời giải: Bài 1.17: a) Từ giả thiết suy ba điểm A, B, C tạo thành tam giác · · · nhận O làm trọng tâm AOB = BOC =COA = 1200 b) Gọi I trung điểm BC Theo câu a) D ABC nên AI = a uuu r uuur uuur OB + AC - OA = a Bài 1.18: Cho góc Oxy Trên Ox, Oy lấy hai điểm A, B Tìm điều kiện A,B uuur uuu r cho OA + OB nằm phân giác góc Oxy A OA = OB B OA = OB C 2OA = OB D OA = 2OB Lời giải: uuur uuu r uuur Bài 1.18: Dựng hình bình hành OACB Khi đó: OA + OB = OD http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur Vậy OD nằm phân giác góc xOy Û OACB hình thoi Û OA = OB  DẠNG 2: Chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp giải • Để chứng minh đẳng thức vectơ ta có cách biển đổi: vế thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế đại lương trung gian Trong trình biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt ba quy tắc tính vectơ Lưu ý: Khi biến đổi cần phải hướng đích , chẳng hạn biến đổi vế phải, ta cần xem vế trái có đại lượng để từ liên tưởng đến kiến thức có để xuất đại lượng vế trái Và ta thường biến đổi vế phức tạp vế đơn giản Các ví dụ Ví dụ 1: Cho năm điểm A , B,C , D , E Khẳng định đúng? a) uuu r uuu r uuu r uur uuu r AB + CD + EA = CB + ED A ( uuu r uuu r uuu r uur uuu r B AB + CD + EA = CB + ED ) ( uuu r uuu r uuu r uur uuu r C AB + CD + EA = CB + ED ( uuu r uuu r uuu r uur uuu r D AB + CD + EA = CB + ED ) b) uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uur AC + CD EC = AE DB + CB A ( ) uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uur AC + CD EC = AE DB + CB B ( ) uuu r uuu r uur uuur uuu r uuu r AE - DB + CB C AC + CD - EC = uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uur D AC + CD - EC = AE - DB + CB Lời giải: a) Biến đổi vế trái ta có ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur uur uuu r uuu r uuur VT = AC + CB + CD + ED + DA uur uuu r uuur uuu r uuur = CB + ED + AC + CD + DA uur uuu r uuur uuur = CB + ED + AD + DA ( ( ( ) ( ) ( ) ) ) uur uuu r = CB + ED = VP ĐPCM b) Đẳng thức tương đương với uuur uuu r AC - AE + uuu r uuu r Û EC + BD - ( ) ( uuu r uur uuu r uuu r r CD - CB - EC + DB = uuu r uuu r r EC + DB = ) uuu r uuu r r BD + DB = (đúng) ĐPCM Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O M điểm mặt phẳng Khẳng định sau nhất? a) uuu r uuur uuur r A BA + DA + AC = uuu r uuur uuur uuu r B BA + DA + AC = AB uuu r uuur uuur uuuuur C BA + DA + AC = 2AM uuu r uuur uuur uuuu r D BA + DA + AC = AM uuur uuu r uuur uuur uuur A OA + OB + OC + OD = OM uuur uuu r uuur uuur uuuuu r B OA + OB + OC + OD = 3OM uuur uuu r uuur uuur r C OA + OB + OC + OD = uuur uuu r uuur uuur uuuuu r D OA + OB + OC + OD = 4OM b) c) uuur uuur uuuur uuuu r A MA + MC = 2MB + 2MD uuur uuuu r uuur uuur MB + MD B MA + MC = uuur uuur uuur uuuu r C MA + MC = MB + MD uuur uuur uuur uuuu r D MA + MC = MB + MD ( ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Lời giải: (Hình 1.12) a) Ta có uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur BA + DA + AC =- AB- AD + AC uuu r uuur uuur =- AB + AD + AC ( ) Hình 1.12 Theo quy tắc hình bình hành ta có uuu r uuur uuur AB + AD = AC suy uuu r uuur uuur uuur uuur r BA + DA + AC =- AC + AC = uuur uuu r uuur uuur uuur uuur r b) Vì ABCD hình bình hành nên ta có: OA = CO Þ OA + OC = OA + AO = uuu r uuur r uuur uuu r uuu r uuur r Tương tự: OB + OD = Þ OA + OB + OC + OD = uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuu r r c) Cách 1: Vì ABCD hình bình hành nên AB = DC Þ BA + DC = BA + AB = uuur uuur uuur uuu r uuuu r uuur Þ MA + MC = MB + BA + MD + DC uuur uuuu r uuu r uuur uuur uuuu r = MB + MD + BA + DC = MB + MD Cách 2: Đẳng thức tương đương với uuur uuur uuuu r uuur uuu r uuu r MA - MB = MD - MC Û BA = CD (đúng ABCD hình bình hành) Ví dụ 3: Cho tam giác ABC Gọi M, N, P trung điểm BC , CA , AB Khẳng định sau nhất? a) uuur uuur uuu r uuu r A BM + CN + AP = AB uuur uuur uuu r uuu r B BM + CN + AP = AB uuur uuur uuu r r C BM + CN + AP = uuur uuur uuu r uuuur D BM + CN + AP = 2AB uuuur uuu r uuur uuur uuur 1AB A AP + AN - AC + BM = uuur uuu r uuur uuur uuur BC B AP + AN - AC + BM = b) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuu r uuur uuur uuur uuuu r C AP + AN - AC + BM = AM uuu r uuur uuur uuur r D AP + AN - AC + BM = c) với O điểm uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur OM + ON + OP A OA + OB + OC = uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur OM + ON + OP C OA + OB + OC = uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur OM + ON + OP B OA + OB + OC = uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r D OA + OB + OC = OM + ON + OP Lời giải: (Hình 1.13) a) Vì PN , MN đường trung bình tam giác ABC nên PN / / BM , MN / / BP suy tứ giác BMNP hình bình hành uuur uuur Þ BM = PN uuur uuur N trung điểm AC Þ CN = NA Do theo quy tắc ba điểm ta có uuur uuur uuu r uuur uuur uuu r BM + CN + AP = PN + NA + AP uuu r uuu r r = PA + AP = ( ) Hình 1.13 b) Vì tứ giác APMN hình bình hành nên theo quy uuu r uuur uuuu r tắc hình bình hành ta có AP + AN = AM , kết hợp với quy tắc trừ uuu r uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur uuur uuur Þ AP + AN - AC + BM = AM - AC + BM = CM + BM uuur uuur r Mà CM + BM = M trung điểm BC uuu r uuur uuur uuur r Vậy AP + AN - AC + BM = c) Theo quy tắc ba điểm ta có http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur OA + OB + OC = OP + PA + OM + MB + ON + NC uuur uuur uuu r uuu r uuur uuur = OM + ON + OP + PA + MB + NC uuur uuur uuu r uuur uuur uuu r = OM + ON + OP - BM + CN + AP ( ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) uuur uuur uuu r r uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r Theo câu a) ta có BM + CN + AP = suy OA + OB + OC = OM + ON + OP Bài tập luyện tập Bài 1.19: Cho bốn điểm A , B,C , D Tìm khẳng định nhất? a) uuur uuu r uuu r uur A DA - CA = DB- CB uuu r uur uuur uuu r DB- CB DA - CA = B uuu r uur uuur uuu r DB- CB C DA - CA = uuu r uur uuur uuu r DB- CB DA - CA = D b) uuur uuur uuu r uuur uuu r uuu r A AC + DA + BD = AD - CD + BA uuur uuu r uuu r uuur uuur uuu r AD - CD + BA B AC + DA + BD = uuur uuu r uuu r uuur uuur uuu r AD - CD + BA C AC + DA + BD = uuur uuu r uuu r uuur uuur uuu r AD - CD + BA D AC + DA + BD = Lời giải: Bài 1.19: a) Áp dụng quy tắc trừ ta có uuur uuu r uuu r uur uuur uuu r uuu r uur DA - CA = DB- CB Û DA - DB = CA - CB uuu r uuu r Û BA = BA (đúng) b) Áp dụng quy tắc ba điểm ta có http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuur uuu r AC + DA + BD = AD - CD + BA Û DA + AC + BD = BA + AD - CD ( ) ( ) uuur uuu r uuu r uuu r Û DC + BD = BD - CD (đúng) Bài 1.20: Cho điểm A , B, C , D , E, F Khẳng định nhất? uuu r uur uuu r uuur uur uur AE + BF + CD A AD + BE + CF = uuu r uur uuu r uuur uur uur AE + BF + CD B AD + BE + CF = uuu r uur uuu r uuur uur uur AE + BF + CD C AD + BE + CF = uuur uur uur uuu r uur uuu r D AD + BE + CF = AE + BF + CD Lời giải: Bài 1.20: Cách 1: Đẳng thức cần chứng minh tương đương với ( uuur uuu r uur uur uur uuu r r AD - AE + BE - BF + CF - CD = ) ( ) ( ) uuu r uur uuu r r Û ED + FE + DF = uur uur r Û EF + FE = (đúng) uuur uur uur uuu r uuu r uur uur uuu r uuu r Cách 2: VT = AD + BE + CF = AE + ED + BF + FE + CD + DF ( ) ( ) ( ) uuu r uur uuu r uuu r uur uuu r = AE + BF + CD + ED + FE + DF uuu r uur uuu r = AE + BF + CD = VP Bài 1.21: Cho hình bình hành ABCD tâm O M điểm mặt phẳng.Khẳng định a) uuur uuu r uuur uuur AC A AB + OD + OC = uuu r uuur uuu r uuuur B AB + OD +OC = 2AC uuu r uuur uuu r uuur C AB + OD +OC = AC uuu r uuur uuu r uuuur D AB + OD +OC = 3AC uuu r uuu r uuu r uuur b) BA + BC + OB = OD uuu r uuu r uuu r uuur A BA + BC + OB = 3OD uuu r uuu r uuu r uuur B BA + BC + OB = OD http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuu r uuu r uuu r uuur C BA + BC + OB = 4OD uuu r uuu r uuu r uuur D BA + BC + OB = 2OD uuu r uuu r uuu r uuuu r uuur c) BA + BC + OB = MO - MB uuuu r uuur uuu r uuu r uuu r MO - MB A BA + BC + OB = uuuu r uuur uuu r uuu r uuu r MO - MB B BA + BC + OB = uuu r uuu r uuu r uuuu r uuur C BA + BC + OB = MO - MB uuuu r uuur uuu r uuu r uuu r MO - MB D BA + BC + OB = Lời giải: uuur uuu r Bài 1.21 a) Ta có OD = BO uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuur uuur AB + OD + OC = AB + BO + OC = AO + OC = AC b) Theo quy tắc hình bình hành ta có uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur BA + BC + OB = BD + OB = OB + BD = OD Hình 1.47 uuu r uuu r uuu r uuur c) Theo câu b) ta có BA + BC + OB = OD uuuu r uuur uuu r Theo quy tắc trừ ta có MO - MB = BO uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuuu r uuur Mà OD = BO suy BA + BC + OB = MO - MB Bài 1.22: Cho tam giác ABC Gọi M, N, P trung điểm BC , CA , AB Khẳng định đúng? a) uuur uur uuur uuu r A NA + PB + MC = AB uuur uur uuur uuu r B NA + PB + MC = BC uuur uur uuur uuur C NA + PB + MC = AC uuur uur uuur r D NA + PB + MC = uuuur uuur uur uuur A MC + BP + NC = BC uuur uur uuur uuu r B MC + BP + NC = 2BC b) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur uur uuur uuuu r C MC + BP + NC = 3BC uuur uur uuur uuu r D MC + BP + NC = BC Lời giải: Bài 1.22: (Hình 1.48) uur uuu r uuur uuur a) Vì PB = AP , MC = PN nên uuur uur uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur r NA + PB + MC = NA + AP + PN = NP + PN = uuur uuur b) Vì MC = BM kết hớp với quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành ta có Hình 1.48 uuur uur uuur uuur uur uuur uuur uuur uuu r MC + BP + NC = BM + BP + NC = BN + NC = BC Bài 1.23: Cho hai hình bình hành ABCD AB'C ' D ' có chung đỉnh A Khẳng định uuur uuur uuuur uuur A B' B + CC ' + D ' D = AC uuur uuur uuuur r B B' B + CC ' + D ' D = uuur uuur uuuur uuu r C B' B + CC ' + D ' D = BC uuur uuur uuur uuuur BD D B' B + CC ' + D ' D = Lời giải: Bài 1.23: Theo quy tắc trừ quy tắc hình bình hành ta có uuur uuur uuuur B' B + CC ' + D ' D = uuu r uuur uuur = AB + AD - AC - ( ( ) uuu r uuur uuuu r uuur uuur uuuu r AB- AB' + AC '- AC + AD - AD ' uuur uuur uuur r AB' + AD ' + AC = ( ) ( ) ) ( ) Bài 1.24: Cho ngũ giác ABCDE tâm O Chứng minh uuur uuu r uuur uuu r uuu r r OA + OB + OC + OE + OF = Lời giải: r uuur uuu r uuur uuu r uuu r Bài 1.24: Đặt u = OA + OB + OC + OE + OF uuur uuu r uuur uuu r uuu r r Vì ngũ giác nên vectơ OA + OB + OC + OE phương với OF nên u uuu r phương với OF http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải r uuu r r r Tương tự u phương với OE suy u= uuuu r uuu r uuuu r uuur uuu r uuur Bài 1.25: Cho hình bình hành ABCD Dựng AM = BA , MN = DA , NP = DC , uuu r uuu r PQ = BC uuur r Chứng minh rằng: AQ = Lời giải: Bài 1.25: Theo quy tắc ba điểm ta có uuur uuuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuur uuu r AQ = AM + MN + NP + PQ = BA + DA + DC + BC uuu r uuu r uuu r uuur uuur uuu r uuur uuu r uuu r r Mặt khác BA + BC = BD , DA + DC = DB suy AQ = BD + DB = ... tài liệu file word có lời giải uuu r Vậy AB = AB - Hai vectơ chúng hướng độ dài uuu r uuu r Ví dụ: (hình 1.3) Cho hình bình hành ABCD AB = CD B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG 1: Xác... uuuuuuu r uuuuu r A1A2 + A 2A + + An- 1An = A1An B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG 1: Xác định độ dài tổng, hiệu vectơ Phương pháp giải Để xác định độ dài tổng hiệu vectơ • Trước tiên... vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ Phương pháp giải • Xác định vectơ xác định phương, hướng hai vectơ theo định nghĩa • Dựa vào tình chất hình học hình cho biết để tính độ dài vectơ Các ví