Các dạng toán và phương pháp giải Toán 7

TOÁN HỌC LỚP CHUYÊN ĐỀ I: SỐ HỮU TỈ I ÔN LẠI CÁC TẬP HỢP - Số tự nhiên: N - Số nguyên: Z -2 -1 - Số hữu tỉ: Q -1/2 - Số vô tỉ: I 2 3/2 0 2 - Số thực: I+Q=R II Số hữu tỉ: Kiến thức cần nhớ: - Số hữu tỉ có dạng b≠0; số hữu tỉ dương a,b dấu, số hữu tỉ âm a,b trái dấu Số số hữu tỉ dương, khơng phải số hữu tỉ âm - Có thể chia số hữu tỉ theo hai chách: Cách 1:Số thập phân vơ hạn tuần hồn (Ví dụ: ) số thập phân hữu hạn (Ví dụ: ) Cách 2: Số hữu tỉ âm, số hữu tỉ dương số - Để cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ, ta thực phân số: Cộng trừ số hữu tỉ Nhân, chia số hữu tỉ Qui tắc - Đưa mẫu, cộng trừ tử số giữ nguyên mẫu - Nhân tử với tử, mẫu với mẫu Phép chia phép nhân nghịch đảo Nghịch đảo x 1/x Tính chất a) Tính chất giao hốn: x + y = y +x; x y = y z b) Tính chất kết hợp: (x+y) +z = x+( y +z) (x.y)z = x(y.z) c) Tính chất cộng với số 0: x + = x; x.y=y.x ( t/c giao hoán) (x.y)z= x.(y,z) ( t/c kết hợp ) x.1=1.x=x x =0 x(y+z)=xy +xz (t/c phân phối phép nhân phép cộng Bổ sung Ta có tính chất phân phối phép chia phép cộng phép trừ, nghĩa là: ; ; x.y=0 suy x=0 y=0 -(x.y) = (-x).y = x.(-y) - Các kí hiệu:  : thuộc ,  : không thuộc , : tập Biên soạn giảng dạy:ThS Ngơ Văn Thọ Trang TỐN HỌC LỚP Các dạng toán: Dạng 1: Thực phép tính - Viết hai số hữu tỉ dạng phân số - áp dụng qui tắc cộng, trừ, nhân, chia phân số để tính - Rút gọn kết (nếu có thể) Chỉ áp dụng tính chất: a.b + a.c = a(b+c) a : c + b: c = (a+b):c Không áp dụng: a : b + a : c = a: (b+c) Ví dụ: Bài 1: a)  1  26 b) 11  30  17 34 c) d) 1 1 17 24 e) 5 : ;   4 5 f) :    Bài số 2: Thực phép tính: a)  1   .11   6 1 3  4.   2 4 b)  1        24     c)      d)                10   Bài số 3: Tính hợp lí:  2   16        11   11 a)   13     :    :  14   21  b)   c)  1  1 :    :    7  7 Dạng 2: Biểu diễn số hữu tỉ trục số: -Phương pháp: Nếu số hữu tỉ dương, ta chia khoảng có độ dài đơn vị làm b phần nhau, lấy phía chiều dương trục Ox a phần , ta vị trí số Ví dụ: biểu diễn số : ta chia khoảng có độ dài đơn vị thành phần nhau, lấy phần ta phân số biểu diễn số Hình vẽ: Nếu số hữu tỉ âm, ta chia khoảng có độ dài đơn vị làm b phần nhau, lấy phía chiều âm trục Ox a phần , ta vị trí số BÀI TẬP Biểu diễn số hữu tỉ sau trục số: a Dạng 3: So sánh số hữu tỉ Phương pháp: Biên soạn giảng dạy:ThS Ngơ Văn Thọ Trang TỐN HỌC LỚP * Đưa phân số có mẫu số dương so sánh tử số * So sánh với số 0, so sánh với số 1, với -1… * Dựa vào phần bù * So sánh với phân số trung gian( phân số có tử số phân số mẫu số phân số kia) BÀI TẬP Bài So sánh số hữu tỉ sau: a) x 25 444 y  ; 35 777 b) x   110 17 y  c) x  y = 0,75 50 20 Bài So sánh số hữu tỉ sau: a) 7 ; 2010 19 b) 3737  37 ; 4141 41 c) 497 2345 499 2341 d) 1 3 2000 2001 2001 2002 19 31 và f) ; h) ; k) ; g) 2001 2002 2000 2001 60 90 Dạng 4: Tìm điều kiện để số số hữu tỉ dương, âm, số (không dương không âm) Phương pháp: e) Dựa vào t/c số hữu tỉ dương a,b dấu, số hữu tỉ âm a,b trái dấu, a=0 Ví dụ: Cho số hữu tỉ x  a) x số dương HD: m  2011 Với giá trị m : 2013 b) x số âm c) x không số dương khơng số âm a Để x>0 , suy m-2011>0 ( 2013>0), suy m>2011 b Để x 23 x+4 x+4 -1 -23 23 x -5 -3 -27 19 Biên soạn giảng dạy:ThS Ngơ Văn Thọ Trang TỐN HỌC LỚP Với biểu thức có dạng ax+bxy+cy=d ta làm sau: - Nhóm hạng tử chứa xy với x (hoặc y) - Đặt nhân tử chung phân tích hạng tử lại theo hạng tử ngoặc để đưa dạng tích Ví dụ: Tìm x, y ngun cho: xy+3y-3x=-1 Giải: y(x+3)-3x+1=0 (Nhóm hạng tử chứa xy với hạng tử chứa y đặt nhân tử chung y ) y(x+3)-3(x+3)+10=0 ( phân tích -3x+1=-3x-9+10=-3(x+3)+10 ) (x+3)(y-3)=-10 Lập bảng: x+3 10 -1 -10 -5 -2 y+3 10 -10 -1 -2 -5 X -2 -4 -13 -1 -8 -5 Y -2 -13 -4 -1 -5 -8 Với biểu thức có dạng: ta nhân quy đồng đưa dạng Ax+By+Cxy+D=0 (nhân quy đồng với mẫu số chung 3xy) Ví dụ:  3x+3y-xy=0 ( tốn quay dạng ax+by+cxy+d=0)  x(3-y)-3(3-y)+9=0  (x-3)(3-y)=-9 Lập bảng: x-3 -9 -3 3-y -9 -3 x -6 y 12 BÀI TẬP Bài 1: Tìm số nguyên a để số hữu tỉ x =  101 số nguyên a7 Bài 2: Tìm số nguyên x để số hữu tỉ t = Bài 3: Chứng tỏ số hữu tỉ x  3x  số nguyên x5 2m  phân số tối giản, với m  N 14m  62 Bài 4: Tìm x để biểu thức sau nguyên A= ; B= ; C= ; D= ; E= Bài 5: Tìm số x,y nguyên thỏa mãn: a, xy+2x+y=11 b, 9xy-6x+3y=6 c, 2xy+2x-y=8 d, xy-2x+4y=9 Biên soạn giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ Trang TỐN HỌC LỚP Dạng 7: Các tốn tìm x Phương pháp: - Quy đồng khử mẫu số - Chuyển số hạng chứa x vế, số hạng tự vế ( chuyển vế đổi dấu) tìm x Chú ý: Một tích thừa số không - Chú ý toán nâng cao: dạng lũy thừa, dạng giá trị tuyệt đối, dạng tổng bình phương 0, tốn tìm x có quy luật BÀI TẬP Bài Tìm x, biết:  3 ; a) x       21  2 15 c) x :      ; 16  5 28 b) x  ; 9 d) 4 :x   Bài Tìm x, biết: a) x  ; 10 b) 3 x  Bài Tìm x, biết: a) 33 ; x x  25 Bài 4: a) 2   3  : x  ; b)  x      3  x 1 x  x  x     65 63 61 59 b) x  x  x  10 x  12    1999 1997 1995 1993 e) x  29 x  27 x  25 x  23 x  21 x  19       1970 1972 1974 1976 1978 1980  x5 x6 x7    3 2005 2004 2003 x  29 x  27 x  17 x  15    31 33 43 45 c) d) c) 1909  x 1907  x 1905  x 1903  x    40 91 93 95 91 x  1970 x  1972 x  1974 x  1976 x  1978 x  1980      29 27 25 23 21 19 HD: => => x= -2010 Bài 5:Giải phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt) a) x 1 x  x  x     35 33 31 29 (HD: Cộng thêm vào hạng tử) b) x  10 x  x  x  x       1994 1996 1998 2000 2002 (HD: Trừ vào hạng tử)  x  2002 x  2000 x  1998 x  1996 x  1994     10 c) x  1991 x  1993 x  1995 x  1997 x  1999      Biên soạn giảng dạy:ThS Ngơ Văn Thọ Trang TỐN HỌC  d) LỚP x  x  x  x  x 1     1991 1993 1995 1997 1999 x  85 x  74 x  67 x  64     10 15 13 11 (HD: Trừ vào hạng tử) (Chú ý: 10     ) x  x  13 x  15 x  27    13 15 27 29 Dạng 8: Các tốn tìm x bất phương trình: Phương pháp: e) (HD: Thêm bớt vào hạng tử) - Nếu a.b>0 ; - Nếu a.b≥0 - Nếu a.b suy b suy => hoặc =>x>3 x (không tồn x) => -5 -5 AD mμ AD = 2AM Suy ra: AB + AC > 2AM A M C D Bμi 9: Cho tam giác ABC, M l điểm nằm tam gi¸c Chøng minh r»ng: MB + MC < AB + AC Giải: A Vẽ đờng thẳng BM cắt AC D D Vì M tam giác ABC nên D nằm A v C Suy ra: AC = AD + DC XÐt tam gi¸c ABD cã: DB < AB + AD B C (bất đẳng thức tam gi¸c)  MB + MD < AB + AD (1) XÐt tam gi¸c MDC cã: MC < DC + MD (2) (bất đẳng thức tam giác) Công (1) với (2) vÕ víi vÕ ta cã: MB + MC + MD < AB + AD + DC + MD  MB + MC < AB + (AD + DC)  MB + MC < AB + AC Bμi 10: Cho tam giác ABC có AB > AC; AD l tia phân giác góc BAC (D BC) M l điểm nằm đoạn thẳng AD Chứng minh MB - MC < AB - AC Biên soạn giảng dạy:ThS Ngơ Văn Thọ Trang 152 TỐN HỌC LỚP Gi¶i: Trên cạnh AB lấy điểm E cho AE = AC AB > AC, nên E nằm A vμ B Suy ra: AE + EB = AB E  EB = AB - AE = AB - AC B XÐt  AEM vμ  ACM cã: AE = AC EAM = CAM (AD l tia phân giác BAC) AM cạnh chung Do đó: AEM ACM (c.g.c) Suy ra: ME = MC XÐt tam gi¸c MEB cã MB - ME < EB (bất đẳng thức tam giác) Do ®ã: MB - MC < AB - AC A M D C Bμi 11: Cho tam gi¸c ABC, M lμ trung điểm cạnh BC Chứng minh rằng: a Nếu A = 900 th× AM = BC b NÕu A > 900 th× AM < BC c NÕu A < 900 th× AM > BC TÝnh chÊt: thõa nhËn NÕu hai tam gi¸c cã hai cạnh tơng ứng từnmg đôi nhng góc xen chúng không v cạnh no đối diện với góc lớn l cạnh lớn hơn, góc no đối diện với cạnh lớn l góc lớn Giải: Vẽ tia đối tia MA tia ®ã lÊy ®iĨm D cho MD = MA Suy AD = 2AM A XÐt  MAB vμ  MDC cã: MA = MD; AMB = DMC (®èi ®Ønh) MB = MC (gt) B M C Do ®ã:  MAB =  MDC (c.g.c) Suy ra: AB = DC; BAM = CDM Ta cã: BAM = CDM mμ BAM vμ CDM (so le trong) nªn AB // CD  BAc + ACD = 1800 VËn dông vμo tÝnh chÊt trªn xÐt  ABC vμ  CDA cã: Biên soạn giảng dạy:ThS Ngơ Văn Thọ Trang 153 TỐN HỌC LỚP AB = CD; AC c¹nh chung Do ®ã: a BAC = ACD (BAC = 900; BAC + ACD = 1800 )nªn ACD = 900  BAC = ACD  BC = AD  AM = BC b BAC > ACD (BAC > 900; BAC + ACD = 1800) nªn ACD < 900  BAC > ACD  BC > AD  AM < BC c BAC < ACD (BAC < 900; BAC + ACD = 1800) nªn ACD > 900  BAC < ACD  BC < AD  AM > Tom l¹i: NÕu A = 900 th× AM = BC Nêu A > 900 AM < BC NÕu A < 900 th× AM > BC BC Bi 12: Trong trờng hợp sau trờng hợp no l ba cạnh tam giác a 5cm; 10cm; 12cm b 1m; 2m; 3,3m c 1,2m; 1m; 2,2m Giải: a Đúng vì: + 10 > 12 b Sai v×: + < 3,3 c Sai v×: 2,2 = 1,2 + Bμi 13: Cho tam gi¸c ABC cã AB = 4cm; AC = 1cm Hãy tìm độ di cạnh BC biết độ di ny l số nguyên (cm) Giải: A Theo bất đẳng thức tam giác AB - AC < BC < AB + AC  - < BC < + C B  < BC < Do độ di cạnh BC số nguyªn (cm) nªn BC = 4cm Bμi 14: a TÝnh chu vi tam giác cân có hai cạnh b»ng 4m vμ 9m Biên soạn giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ Trang 154 TOÁN HỌC LỚP b Cho tam giác ABC điểm D nằn B v C Chøng minh r»ng AD nhá h¬n nưa chu vi tam giác ABC Giải: a.Cạnh 4m l cạnh bên cạnh 4m l cạnh bên cạnh đáy lớn tổng hai cạnh (9 > + 4) trái với bất đẳng thức tam giác Vậy cạnh 4m l cạnh đáy thoả mãn < + A Chu vi cđa tam gi¸c lμ: + + = 22m b XÐt tam gi¸c ABD cã: AD < AB + BD (1) XÐt tam gi¸c ACD cã AD < AC + DC (2) B D C Céng tõng vÕ cña (1) vμ (2) 2AD < AB + AC + (BD + DC) Suy AD < AB  AC  BC Bμi 15: §é di hai cạnh tam giác l 7cm, 2cm Tính độ di cạnh lại biết số đo theo xentimét l số tự nhiên lẻ Giải: Gọi độ di cạnh lại l x (cm) Theo bất đẳng thức tam giác ta có: - < x < + tøc lμ < x < Do ®ã x lμ mét sè tự nhiên lẻ nên x = Cạnh lại b»ng 7cm Bμi 16: Cho tam gi¸c ABC trung tuyÕn Am vμ gãc B > C H·y so s¸nh hai góc AMB v AMC A Giải: Trong tam giác ABc B > C nên AC > AB Hai tam giác AMB v AMC có AM cạnh chung MB = MC nh−ng AC > AB B M C Nªn AMC > AMB Biên soạn giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ Trang 155 TON HC LP Các đờng đồng quy cđa tam gi¸c Tính chất ba đường trung tuyến tam giác  Đoạn thẳng AM nối đỉnh A tam giác ABC với trung điểm M cạnh BC gọi đường trung tuyến tam giác ABC Đôi đường thẳng AM gọi đường trung tuyến tam giác ABC Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến  Tính chất: Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm (điểm gọi trọng tâm) Điểm cách đỉnh khoảng độ dài đường trung tuyến qua đỉnh  Trong tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên  Nếu tam giác có hai đường trung tuyến tam giác cân A Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm Điểm cách đỉnh khoảng độ dài đường trung E F tuyến qua đỉnh ấy: G D C B G trọng tâm tam giác ABC Tính chất tia phân giác góc  Điểm nằm tia phân giác góc cách hai cạnh góc đó.Điểm nằm bên góc cách hai cạnh góc nằm tia phân giác góc  Tập hợp điểm nằm bên góc cách hai cạnh góc tia phân giác góc x Oz là phân giác  A O z   => MA = MB  M B y => M   Oz  Tính chất ba đường phân giác tam giác  Trong tam giác ABC, tia phân giác góc A cắt cạnh BC điểm M, đoạn thẳng AM đường phân giác tam giác ABC(đôi ta gọi đường thẳng AM đường phân giác tam giác) A B C M   A LỚP  Tính chất: Trong tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đồng thời đường trung tuyến ứng với cạnh đáy  Tính chất ba Biên soạn giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ   B M C Trang 156 TOÁN HỌC LỚP đường phân giác tam giác: Ba đường phân giác tam giác qua điểm Điểm cách ba cạnh tam giác  Nếu tam giác có đường trung tuyến đồng thời đường phân giác tam giác tam giác cân A A 2   O B 2 B M C C Tính chất đường trung trực đoạn thẳng  Điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng cách hai mút đoạn thẳng d A => AB = AC  B M C  Điểm cách hai mút đoạn thẳng nằm đường trung trực đoạn thẳng Tập hợp điểm cách hai mút đoạn thẳng đường trung trực đoạn thẳng Tính chất ba đường trung trực tam giác A  Trong tam giác, đường trung trực cạnh gọi đường trung trực tam giác  Trong tam giác cân, đường trung trực cạnh đáy đồng thời O đường trung tuyến ứng với cạnh  Tính chất ba đường trung trực tam giác: Ba đường trung trực B tam giác qua điểm Điểm cách ba đỉnh tam C giác O là giao điểm của các đường trung trực của   OA = OB = OC  LỚP  Nếu tam giác có đường trung tuyến đồng thời đường trung trực ứng với cạnh tam giác tam giác cân A   B Biên soạn giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ H C Trang 157 TỐN HỌC LỚP Tính chất ba đường cao tam giác  Đường cao tam giác: Trong tam giác, đoạn vng góc kẻ từ đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi đường cao tam giác Đơi ta gọi đường thẳng AI đường cao tam giác  Tính chất ba đường cao tam giác: Ba đường cao tam giác qua điểm Điểm gọi trực tâm tam giác A A A J K J J O I C B C B I C B≡I≡K≡O K O Lưu ý: Trực tâm tam giác nhọn nằm tam giác Trực tâm tam giác vng trùng với đỉnh góc vuông trực tâm tam giác tù nằm bên ngồi tam giác Tính chất tam giác cân: Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời đường phân giác, đường trung tuyến đường cao xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh  Nhận xét:  Trong tam giác,nếu hai bốn loại đường( đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao xuất phát từ đỉnh đường trung trực ứng với cạnh đối diện đỉnh này) trùng tam giác tam giác cân  Trong tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách ba đỉnh, điểm nằm tam giác cách ba cạnh bốn điểm trùng Bμi tËp: Bμi 1: Gäi AM l trung tuyến tam giác ABC, A/M/ l đờng trung tun cđa tam gi¸c A/B/C/ biÕt AM = A/M/; AB = A/B/; BC = B/C/ Chøng minh r»ng hai tam giác ABC v A/B/C/ A Giải: Xét ABC vμ  A/B/C/ cã: AB = A/B/ (gt); BM = B/M/ (Cã AM lμ trung tuyÕn cña BC vμ A/M/ lμ trung tuyÕn cña B/C/) AM = A/M/ (gt) ABM   A/B/M/ (c.c.c) Suy B = B/ V× cã AB = A/B/; BC = B/C/ (gt) B = B/ (c/m trªn) Biên soạn giảng dạy:ThS Ngơ Văn Thọ B M C A/ B/ M/ C/ Trang 158 TOÁN HỌC LỚP Suy ra: ABC   A/B/C/ Bμi 2: Cho tam gi¸c ABC (A = 900) trung tun AM, tia ®èi cđa tia MA lÊy ®iĨm D cho MD = MA a TÝnh sè ®o ABM b Chøng minh ABC  BAD c So s¸nh: AM v BC Giải: a Xét hai tam giác AMC vμ DMB cã: B D MA = MD; MC = MB (gt) M M1 = M2 (®èi ®Ønh) Suy AMC  DMB (c.g.c)  MCA = MBD (so le trong) A C Suy ra: BD // AC mμ BA  AC (A = 900)  BA  BD  ABD = 900 b Hai tam giác vuông ABC v BAD cã: AB = BD (do AMC  DMB c/m trên) AB chung nên ABC BAD (hai tam giác vuông có hai cạnh góc vuông nhau) c ABC  BAD  BC = AD mμ AM = 1 AD (gt) Suy AM = BC 2 Bμi 3: Cho tam gi¸c ABC cã AB < AC; BM vμ CN lμ hai ®−êng trung tun cđa tam giác ABC Chứng minh CN > BM Giải: Gọi G lμ giao ®iĨm cđa BM vμ CN XÐt ABC có BM v CN l hai đờng trung tuyến cắt G Do đó: G l tâm tam gi¸c ABC Suy Gb = 2 BM; GC = CN 3 VÏ ®−êng trung tuyÕn AI cđa ABC Ta cã: A; G; I th¼ng hμng XÐt AIB vμ AIC cã: AI c¹nh chung, BI = IC AB < AC (gt)  AIB < AIC XÐt GIB vμ GIC cã Biên soạn giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ A G B I C Trang 159 TOÁN HỌC LỚP GI c¹nh chung; BI = IC AIC > AIB  GC > GB  CN > BM Bμi 4: Cho tam gi¸c ABC cã BM vμ CN lμ hai ®−êng trung tuyÕn vμ CN > BM Chøng minh r»ng AB < AC Gi¶i: A Gäi G lμ giao ®iĨm cđa BM vμ CN  ABC cã: BM vμ CN lμ hai ®−êng trung tuyÕn N M Do ®ã: G l tâm tam giác ABC G Suy GB = 2 BM; GC = CN 3 Vẽ đờng trung tuyến AI tam giác ABC I qua G (Tính chất ba đờng trung tuyÕn) Ta cã: CN > BM mμ GB = B I C 2 BM; GC = CN nªn GB < GC 3 XÐt GIB  GIC cã: GI c¹nh chung; BI = IC; GB < GC Suy ra: GIB < GIC XÐt AIB vμ AIC cã: AI c¹nh chung; BI = IC; AIB < AIC Suy ra: AB < AC Bi 5: Trên hình bên có AC l tia phân giác góc BAD v CB = CD Chứng minh: ABC = ADC Gi¶i: H VÏ CH  AB (H  AD) A C CK  AD (K  AD) C thuộc tia phân giác BAD K B D Do ®ã: CH = CK XÐt CHB (CHB = 900 ) Vμ tam gi¸c CKD (CKD = 900) Cã CB = CD (gt); CH = CK (c/m trên) Do đó: CHB CKD (cạnh huyền - góc vuông) HBC = KDC  ABC = ADC Bμi 6: Cho tam giác ABC kẻ Ax phân giác BAC C kẻ đờng thẳng song song với tia Ax, cắt tiâ ®èi cđa tia AB t¹i D Chøng minh: xAB = ACD = ADC Biên soạn giảng dạy:ThS Ngô Văn Th Trang 160 TON HC LP Giải: D Vì Ax l tia phân giác góc BAC Nên xAB = xAC (1) Ax // CD bị cắt đờng th¼ng AC A hai gãc xAC vμ ACD lμ gãc so le nªn xAC = ACD (2) x hai góc xAB v ADC l góc đồng vị nên B C xAB = ADC (3) So sánh (1); (2); (3) ta cã: xAB = ACD = ADC Bμi 7: Cho tam giác ABC, kẻ tia phân giác Bx góc B, Bx cắt tia AC M Từ M kẻ đờng thẳng song song với AB, cắt BC N Từ N kẻ tia NY // Bx Chøng minh: B a xAB = BMN b Tia Ny l tia phân giác góc MNC N Giải: a.Trong tam giác ABC đỉnh B có: ABx = xBC (vì Bx l tia phân giác góc B) A M C BMN = ABx (2 gãc so le v× MN // BA) VËy xBC = BMN x y b BMN = MNy (2 gãc so le v× Ny // Bx) xBC = yNC (2 góc đồng vị v× Ny // Bx) VËy MNy = yNC mμ tia Ny lμ tia n»m gi÷a hai tia NM vμ NC Do đó: Ny l tia phân giác MNC Bi 8: Cho tam giác ABC Gọi I l giao điểm hai tia phân giác hai góc A v B Qua I vẽ đờng thẳng song song với BC cắt AB M, cắt AC N Chứng minh rằng: MN = BM + CN Giải: Ba phân giác củam tam giác qua điểm nên CI l tia phân giác góc C A Vì MN // BC nªn C1 = I1 (2 gãc so le trong) C1 = C2 nªn C2 = I2 M N Do đó: NIC cân v NC = NI (1) Chứng minh t−¬ng tù ta cã: MB = MI (2) Tõ (1) vμ (2) ta cã: B C MI + IM = BM + CN hay MN = BM + CN Biên soạn giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ Trang 161 TỐN HỌC LỚP Bμi 9: Cho tam gi¸c ABC (A = 900) đờng trung trực cạnh AB, AC cắt D Chứng minh D l trung điểm cạnh BC Giải: Vì D l giao điểm đờng trung trực cạnh AB v AC nên tam giác A DAB v DAC l cân v góc đáy tam giác DBA = DAB v DAC = DCA Theo tÝnh chÊt gãc ngoμi cđa tam gi¸c ta cã: B D C ADB = DAC + DCA ADC = DAB + DBA Do ®ã: ADB + ADC = DAC + DCA + DAB + DBA = 1800 Tõ ®ã suy ba ®iĨm B, D, C th¼ng hμng Hơn DB = DC nên D l trung ®iĨm cđa BC Bμi 10: Cho hai ®iĨm A vμ D nằm đờng trung trực AI đoạn thẳng BC D nằm hai điểm A v I, I l điểm nằm BC Chứng minh: a AD l tia phân giác góc BAC b ABD = ACD A Giải: a Xét hai tam giác ABI v ACI chóng cã: AI c¹nh chung AIC = AIB = 1v IB = IC (gt cho AI lμ ®−êng trung trùc đoạn thẳng BC) B I C Vậy ABI ACI (c.g.c) BAI = CAI Mặt khác I l trung điểm cạnh BC nên tia AI nằm hai tia AB vμ AC Suy ra: AD lμ tia phân giác góc BAC b Xét hai tam giác ABD vμ ACD chóng cã: AD c¹nh chung C¹nh AB = AC (vì AI l đờng trung trực đoạn thẳng BC) BAI = CAI (c/m trên) Vậy ABD ACD (c.g.c) ABD = ACD (cặp góc tơng ứng) Biên soạn giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ Trang 162 TỐN HỌC LỚP Bμi 11: Hai ®iĨm M vμ N nằm đờng trung trực đoạn thẳng AB, N l trung điểm đoạn thẳng AB Trên tia đối tia NM cxác định M/ cho MN/ = NM a Chøng minh: AB lμ ss−êng trung trùc đoạn thẳng MM/ b M/A = MB = M/B = MA Giải: a Ta có: AB MM/ (vì MN l đờng trung trực đoạn M thẳng AB nên MN AB ) Mặt khác N l trung điểm MM/ A N B (vì M/ nằm tia ®èi cđa tia NM vμ NM = NM/) / Vậy AB l đờng trung trực đoạn MM b Theo gả thiết ta có: MM/ l đờng trung trực đoạn thẳng AB nên M/ MA = MB; M/B = M/A Ta lại có: AB l đờng trung trực đoạn thẳng MM/ nên MA = M/B Từ ®ã suy ra: M/A = MB = M/B = MV Bμi 12: Cho tam gi¸c ABC cã AB < AC Xác định điểm D cạnh AC cho : DA + DB = AC Giải: A Vẽ đờng trung trực đoạn thẳng BC D cắt cạnh AC D D l điểm cần xác định Thật B C Ta có: DB = DC (vì D thuộc đờng trung trực đoạn thẳng BC) Do đó: DA + DB = DA + DC Mμ AC = DA + DC (vì D nằm A v C) Suy ra: DA + DB = AC Bμi 13: a Gäi AH v BK l đờng cao tam giác ABc Chøng minh r»ng CKB = CAH b Cho tam gi¸c cân ABC (AB = AC), AH v BK l ®−êng cao Chøng minh r»ng CBK = BAH Biên soạn giảng dạy:ThS Ngơ Văn Thọ Trang 163 TỐN HỌC Giải: a Trong tam giác AHC v BKC có: CBK v CAH l góc nhọn V có cạnh tơng ứng vuông góc với CB AH v BK  CA VËy CBK = CAH b Trong tam giác cân cho đờng cao AH l đờng phân giác góc A Do đó: BAH = CAH Mặt khác: CAH v CBK l hai góc nhọn v có cạnh tơng ứng vuông góc nên CAH = CBK Nh− vËy BAH = CBK LỚP K A B H C A K B H C Bμi 14: Hai đờng cao AH v BK tam giác nhọn ABC cắt D a Tính HDK C = 500 b Chøng minh r»ng nÕu DA = DB tam giác ABC l tam giác cân Giải: A Vì hai góc C v ADK l nhọn v có K cạnh tơng ứng vuông góc nên C = ADK Nh−ng HDK kỊ bï víi ADK nªnhai gãc C vμ HDK lμ bï Nh− vËy HDK = 1800 - C = 1300 b NÕu DA = DB DAB = DBA B H Do hai tam giác vuông HAB v KBA Vì có c¹nh hun b»ng vμ cã mét gãc nhän b»ng Tõ ®ã suy KAB = HBA hai gãc ny kề với đáy AB tam giác ABC Suy tam giác ABC cân với CA = CB Bi 15: Cho tam giác ABC cân A phân giác AM Kẻ đờng cao BN cắt AM H a Khẳng định CN AB l hay sai? A Đúng B Sai b Tính số đo góc: BHM vμ MHN biÕt C = 390 C BHM = 1410; MHN = 390 A BHM = 1310; MHN = 490 D BHM = 390; MHN = 1410 B BHM = 490; MHN = 1310 Biên soạn giảng dạy:ThS Ngơ Văn Thọ C Trang 164 TỐN HỌC LỚP Giải: A a Chọn A N AM BC tam giác ABC câb A Suy H l trực tâm tam giác ABC H Do CH  AB b Chän D B M C Ta cã: BHM = C = 390 (hai gãc nhän cã c¹nh tơng ứng vuông góc) MHN = 1800 - C = 1410 (hai góc có cạnh tơng ứng vuông góc v góc nhọn, góc tù) Vậy ta tìm đợc BHM = 390; MHN = 1410 Bμi 16: Cho gãc xOy = 600 ®iĨm A n»m gãc xOy vÏ ®iĨm B cho Ox lμ ®−êng trung trùc cđa AC, vÏ ®iĨm C cho Oy lμ ®−êng trung trực AC a Khẳng định OB = OC l ®óng hay sai? b TÝnh sè ®o gãc BOC B 900; C 1200; D 1500 A 600; Gi¶i: B x a Chän A NhËn xÐt lμ: OA = OB v× Ox lμ ®−êng trung trùc cđa AB OA = OC Oy l đờng trung trực AC A Do ®ã: OB = OC b Chän C O y NhËn xét l: C Tam giác OAB cân O nên O1 = O2 Tam giác OAC cân O nên O3 = O4 Khi ®ã: BOC = O1 + O2 + O3 + O4 = 2O2 + 2O3 = 2(O2 +O3) = 2xOy = 1200 VËy ta cã: BOC = 1200 Bμi 17: Chøng minh r»ng mét tam gi¸c trung tuyến ứng với cạnh lớn nhỏ trung tun øng víi c¹nh nhá Biên soạn giảng dạy:ThS Ngơ Văn Thọ Trang 165 TỐN HỌC LỚP Giải: Xét tam giác ABC đờng trung tuyến A AM, BN, CP trọng tâm G Giả sử AB < AC P N Ta cần chứng minh CP > BN G ThËt vËy Víi hai tam gi¸c ABM vμ ACM B M C Ta cã: MB = MC (v× M lμ trung ®iĨm cđa BC) AM chung: AB < AC đó: M1 < M2 Với hai tam giác GBM vμ GCM ta cã: MB = MC (M lμ TĐ BC); GM chung Do đó: GB < GC  2 GB < GC  BN < CP 3 Biên soạn giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ Trang 166 ... -1 0 -5 -2 y+3 10 -1 0 -1 -2 -5 X -2 -4 -1 3 -1 -8 -5 Y -2 -1 3 -4 -1 -5 -8 Với biểu thức có dạng: ta nhân quy đồng đưa dạng Ax+By+Cxy+D=0 (nhân quy đồng với mẫu số chung 3xy) Ví dụ:  3x+3y-xy=0... Bài 3: a, 3331 7và 33323 b, 20 071 0 200810 c, (200 8-2 0 07) 2009 (1998 - 19 97) 1999 Bài 4: e, 992 0và 999910 a, 230 0và 3200 f, 111 97 9và 371 320 b, 350 0và 73 00 g, 101 0và 48.505 c, 8 5và 3. 47 Biên soạn giảng... nên 2(x-1) x-1 hay 2x-2 x-1 (1) Để B nguyên 2x+3 x-1 (2) Từ (1) (2) suy 2x+ 3-( 2x-2) x-1 hay x-1 Suy (x-1) Ư(5)= {-5 ;-1 ;1;5} x-1 -5 -1 x -4 Ví dụ: Tìm x ngun để biểu thức nguyên suy Giải: Ta có