10 DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN HAY gặp TRONG các kì THI cao đẳng, đại học

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 uO nT hi D H oc Trong các kì thi Đại Học – Cao Đẳng câu tích phân ln mặc định xuất đề thi mơn Tốn Tích phân khơng phải câu hỏi khó, tốn “nhẹ nhàng”, mang tính chất “cho điểm” Vì việc điểm trở nên “vô duyên” với bỏ chút thời gian đọc tài liệu Ở viết nhỏ cung cấp tới em dạng tích phân thường xuyên xuất kì thi Đại Học - Cao Đẳng ( đề thi khơng nằm ngồi dạng này) Với cách giải tổng quát cho dạng, ví dụ minh họa kèm, với lượng tập đa dạng, phong phú Mong sau đọc tài liệu, việc đứng trước tốn tích phân khơng rào cản em Chúc em thành công ! Trong viết giới thiệu tới em phần: Trang 01 10 DẠNG TÍCH PHÂN HAY GẶP TRONG CÁC KÌ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG iL ie I SƠ ĐỒ CHUNG GIẢI BÀI TỐN TÍCH PHÂN …………………………… II CÁC CƠNG THỨC NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ…………………………… III LỚP TÍCH PHÂN HỮU TỈ VÀ TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN… –12– 26 IV 10 DẠNG TÍCH PHÂN TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG 27 – 81 V ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN…………………………………………………… 82 – 93 VI CÁC LỚP TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT VÀ TÍCH PHÂN TRUY HỒI…… 94 – 102 - 106 Ta VII DÙNG TÍCH PHÂN ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC CHỨA Cnk …… 107 - 110 s/ VIII KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TỐN TÍCH PHÂN ĐẠI HỌC ………………111- 114 w w w fa ce bo ok c om /g ro up I SƠ ĐỒ CHUNG GIẢI BÀI TỐN TÍCH PHÂN Trang www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 H oc Điều kiện tiên để làm tốt phần tích phân phải nhớ hiểu cách vận dụng công thức nguyên hàm sau: (chỉ cần hiểu công thức biết cách suy luận cơng thức lại) 01 II CÁC CƠNG THỨC NGUN HÀM CẦN NHỚ uO nT hi D  1   x 1  ax  b     x dx     C ;   ax  b  dx  a    C u 1 1)  u du   C (  1)    1 du du  du  u  C ;    C;        1  C  u u u   u    ie  dx  ln x  C  du 2)   ln u  C   x u  dx  ln ax  b  C   ax  b a Ta iL  x ax a dx   C;  eu du  eu  C u   a ln a 3)  au du  C   ln a  e x dx  e x  C ; eax b dx  e axb  C    a up s/   sin xdx   cos x  C 4)  sin udu   cos u  C     sin(ax  b)dx   cos(ax  b)  C a  om /g ro   cos xdx  sin x  C 5)  cos udu  sin u  C     cos( ax  b)dx  sin( ax  b)  C a  ok c  dx   sin x   cot x  C du 6)    cot u  C   dx sin u    cot(ax  b)  C  sin (ax  b) a fa ce bo  dx   cos x  tan x  C du 7)   tan u  C   dx cos2 u   tan(ax  b)  C  cos (ax  b) a w w w  du ua   a  u   2a ln u  a  C du 1  ua  8)  2     du  ln C    u  a 2a  u  a u  a  2a u  a dx xa   ln C   x  a 2a xa Trang www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 III LỚP TÍCH PHÂN HỮU TỈ VÀ TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC LỚP TÍCH PHÂN HỮU TỈ  01 (*) om /g ro up s/ Ta iL ie uO nT hi D H oc CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ I   f ( x) dx  g ( x) c Chú thích: Sơ đồ hiểu sau : w w w fa ce bo ok Khi đứng trước tốn tích phân có dạng hữu tỉ trước tiên ta quan tâm tới bậc tử số mẫu số *) Nếu bậc tử số nhỏ bậc mẫu số, ta ý tới bậc mẫu số Cụ thể: ++) Nếu bậc mẫu số ta có ln cơng thức bảng nguyên hàm đưa đáp số ++) Nếu bậc mẫu số ta quan tâm tới  hay “tính có nghiệm” phương trình mẫu +) Nếu   tức ta phân tích mẫu thành tích dùng kĩ thuật tách ghép để tách thành hai biểu thức có mẫu bậc (quay trường hợp mẫu số có bậc ) +) Nếu   tức ta phân tích mẫu thành đẳng thức dùng kĩ thuật tách ghép để đưa tích phân dạng biết +) Nếu   tức ta khơng thể phân tích mẫu số thành tích đẳng thức -) Nếu tử số khác ta dùng phương pháp lượng giác hóa để chuyển dạng ( theo cách đổi biến sơ đồ trên) -) Nếu tử có dạng bậc ta chuyển bậc ( số hay số tự do) kĩ thuật vi phân cách trình bày sơ đồ quay trường hợp trước (tử số khác ) ++) Nếu bậc mẫu số lớn ta tìm cách giảm bậc phương pháp đổi biến kĩ thuật: Nhân, chia, tách ghép (đồng hệ số), vi phân… *) Nếu bậc tử số lớn bậc mẫu số ta chuyển sang TH2 (trường hợp 2) Trang www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 H oc 01 GV: THANH TÙNG CHÚ Ý : f ( x) m ( ax  b) (cx  dx  e) n  A1 ( ax  b )  A2 (ax  b)   Am ( ax  b ) m  B1 x  C1 (cx  dx  e) uO nT hi D Việc đồng hệ số dựa theo cách phân tích sau:  B2 x  C 2 (cx  dx  e)   Bn x  Cn (cx  dx  e) n Sau quy đồng bỏ mẫu, dùng tính chất “hai đa thức hệ số tương ứng chúng nhau” từ tìm Ai , B j , C j (i  1, m; j  1, n) dùng cách chọn x để tìm Ai , B j , C j 1) k  2) k  3) k  s/ : 4 up Giải: 1) Với k  dx với : x  2x  k Ta Ví dụ Tính tích phân I   iL ie Các ví dụ minh họa 2 3) Với k  : I    ln 15 /g dx dx    2 x  x  ( x  1) x 1 om 2 dx dx  x  x  ( x  1)  c 2) Với k  : I   ro 4dx (2 x  3)  (2 x  1)  2x 1  I   2 dx     dx  ln  x  8x  (2 x  1)(2 x  3) x 1 2x   2x  x2  2x  0 dx bo ok 3dt      Đặt x   tan t với t    ;   dx   3.(1  tan t ) dt x :  t :  cos t  2   3.(1  tan t )dt 3 3  dt  t    3.(tan t  1)  18 fa ce Khi I    w w w Ví dụ Tính tích phân sau: dx 1) I1   2) dx I2   4x 1 2x  x  1 5) I   4x  dx x2  x  2 6) I   1 3) I   3x  dx 4x  x  dx x  6x  7) I  x 1 x 3 dx  2x  Trang www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 4) I   dx x  2x  2 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 2 3 Giải: 1) I1   dx  ln x   ln 4x 1 4 1 0 (2 x  3)  2( x  1) dx ( x  1)(2 x  3) 1 dx dx 1 x  x   1 ( x  1)(2 x  3)   1   x 1    dx  ln  1  x  x   2x  1 ln  ln   1 1 uO nT hi D dx dx 1    2 x  x  ( x  3) x  12 3) I3   dx dx  x  x  ( x  1)  4) I   01  H oc 2) I  dt     Đặt x   tan t với t    ;   dx   (1  tan t )dt x :  t :   cos t  2  0  dt  t       1 4x  ( x  1)  3( x  2)   dx   dx      dx   ln x   3ln x    ln 2 x  x2 ( x  1)( x  2) x  x 1  0 Ta 5) I    ie  (1  tan t )dt  tan t  iL Khi I  s/ Chú ý: Việc phân tích x   x   3( x  2) có ta tìm hệ số a , b thỏa mãn: om /g ro up a  b  a  x   a ( x  1)  b( x  2)  x   ( a  b) x  a  2b    a  2b  5 b  3 2  x  1   3x  dx   6) I   dx    dx  2   4x  4x 1 (2 x  1) 2(2 x  1) 2(2 x  1)  1 1 3  7   ln x     ln  4(2 x  1)  4 c 2  x  2  x 3 (2 x  2) dx 7) I   dx   2 dx   dx    A  B (*) x  2x  x  2x  1 x  x  x  2x  1 1 1 ok 2 bo (2 x  2) d ( x  x  4) dx  1 x  x  1 x  x   ln x  x  ce +) Tính A  w w w fa +) Tính B  1  ln (1) dx dx 1 x  x   1 ( x  1)  3dt     Đặt x   tan t với t    ;   dx   3.(1  tan t ) dt x : 1  t :  cos t  2  B   3.(1  tan t )dt 3   dt  t  (2) Thay (1) (2) vào (*) ta được: I  ln    tan t  3 Trang www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Ví dụ Tính tích phân sau: 2 x3  x  x  1) I1   dx 2x 1 1 2) I   2 ( x  1) dx ( D – 2013) x2  4) I   5) I   http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 x  x3  x  x  dx x2  2x  3) I3   x3  x  x  dx 4x2  x  2x  x 1 dx x2  2x  2  x3  x3  x  x   10  1) I1   dx    x    ln  dx    x  ln x    2x 1 2x 1   1 1 uO nT hi D Giải: 2) I   1  x  x3  x  x  x5  2( x  1)  ( x  3)   dx  x   dx  x 1 dx    2   x  2x  x  2x   ( x  1)( x  3)  0  1 Ta 2    x3  x  x  6x   3(2 x  1)    dx  x  dx  x  dx  x  dx     2  2    4x  x  4x  x 1  (2 x  1)  x  (2 x  1)  1   iL ie  x3        x2 1    dx    x  ln x   ln x    ln  ln    x  x    0  3) I3   s/  x2  11    ln x      ln 2(2 x  1)   2 ( x  1) dx ( D – 2013) x2  1 ro 1 1 x2 1  2x 2x  2x d ( x  1)  dx   dx  dx  dx  dx    x  ln( x  1)    ln   2 2      x 1 x 1  x 1 x 1 0 0 0 /g I4   up 4) I     2 (2 x  2)    2x2  x 1 x    5) I5   dx      dx  dx     x  x  x  x  x  2x    0 0   c om 2 2 3 d ( x  x  4) dx     x  ln( x  x  4)   6I   ln  I (*)   dx    6 2 x  2x  x  2x   2 0 0 bo ok 2 Tính I   ce dx dx  x  x  ( x  1)  w w w fa  dt  3(1  tan t )dt    dx     Đặt x   tan t (với t    ;  )   x :  t :  cos t  2 ( x  1)2   3(1  tan t )   I     6 3(1  tan t )dt 3 3  dt  t   3(1  tan t )   18 01 0947141139 – 0925509968 H oc GV: THANH TÙNG 3 (2*) Thay (2*) vào (*) ta được: I5   ln  Trang www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 1 (B – 2012) 1 2x  dx ( x  x)( x  x  3) 5) I5  x dx (1  x) 8) I8   Giải: 1) I1   x3 dx x  3x  dx x 1  x 2014  1 x2  dx x( x  3x  2) 6) I   9) I9  (B – 2012) Đặt t  x  dt  xdx hay xdx  x :  t :   I1    x 1 2 x  x3  x  x  dx 7) I   3) I3  dx x  x5 x dx  (1  x)8 1 4) I   x7 2) I   dx (3  x ) uO nT hi D 2 x3 1) I1   dx x  3x  H oc 1 dt x xdx t.dt 2(t  1)  (t  2)       dt      dt x  x  2 t  3t  2 (t  1)(t  2)  t  t 1  ie     ln t   ln t    ln  ln 2  0 iL  dt  8 x 3dx  x3dx   dt   Đặt t   x   x :  t :   t  x4   3t 1 x x 3t Khi I   dx  x dx   dt  dt 0 (3  x )2 (3  x ) 3 t 16 1 t ro up s/ Ta x7 2) I   dx (3  x ) /g om  x2  dx x( x  x  2) Khi I3   bo t 1 thành tổng phân thức có mẫu bậc phương pháp đồng t (t  3t  2) t 1 t 1 A B C     t (t  3t  2) t (t  1)(t  2) t t  t   t   A(t  1)(t  2)  Bt (t  2)  Ct (t  1) (*) ce fa dt x :1  t :1  2 ( x  1) t 1 xdx   dt x ( x  x  2) t (t  3t  2) Lúc ta phân tích hệ số Cụ thể: Đặt t  x  dt  xdx  xdx  c 3) I3   1 1  ln       dt     ln t   16  t t  16  t 16 1 ok 2 w w w Việc tìm A, B, C làm theo cách :  A  A  B  C    Cách 1: (*)  t   ( A  B  C )t  (3 A  B  C )t  A 3 A  B  C    B   A  1   C    Trang www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 01 Ví dụ Tính tích phân sau: www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 +) Chọn t  1 (*) có dạng: 2   B  B  Cách 2: +) Chọn t  (*) có dạng: 1  A  A   01 +) Chọn t  2 (*) có dạng: 3  2C  C   2 2x  2x  2x  dx   dx   dx 2 ( x  x)( x  x  3) x( x  2)( x  1)( x  3) ( x  3x)( x  3x  2) 1 uO nT hi D Cách 1: (đổi biến) Đặt t  x  x  dt  (2 x  3) dx x :1  t :  10 10 10 10  15 ln 12 ie dt 1  t Khi I       dt  ln t (t  2)  t t   t2 4) I   H oc   ln  11.ln   Vậy I3       dt    ln t  ln(t  1)  ln(t  2)     2t t  2(t  2)  4  1 Ta iL Cách 2: (tách ghép sử dụng kĩ thuật vi phân) 2 2 ( x  x  2)  ( x  x)  (2 x  3)  (2 x  3) dx (2 x  3) dx  I4    dx     2  21 ( x  x)( x  x  2)  x  3x x  3x   1 x 2 x 1 dx  x  x2  4x   1 15 ln 12 Chia tử mẫu biểu thức tích phân cho x ta được: ro 5) I5  up s/ 2  d ( x  x) d ( x  x  2)  x  3x     ln   x  3x x  3x   x  3x  x2 c om 1 /g   1   dx  x  I5   dx   1 1   2 x  x   2  x    4 x      x x x   x  1 1 bo ok    dt  1   dx    x  Cách 1: (đổi biến) Đặt t  x    x : 2  1 t :   2 x t  x   2  x 2 2 2    2 fa ce dt dt dt 1 Khi I5       t   36 (t  2)  4t  t  4t  (t  2) 2 2 w w w Cách 2: (tách ghép sử dụng kĩ thuật vi phân – dành cho có kĩ phân tích tốt) 1 1     2 1 1 d  x  1   dx 1 x  x    I5      2 36 1 1   2  2  x 2  x    4 x     x   2 x  x x x     Trang www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG 6) I   0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 dx dx  3 x x x (1  x ) dt x :1  t :1  2 4 4 xdx dt (t  1)  t 1   (t  1)  t  Khi I     dt   dt   dt x (1  x ) 1 t (t  1) 1 t (t  1) 1  t t (t  1)  1  t t (t  1)  H oc Đặt t  x  dt  xdx  xdx  4 uO nT hi D 1 1  1 t 1      dt     ln    ln   t t t 1 2 t t 1 8 Cách 2: (Dùng kĩ thuật tách ghép) 2  (1  x )  x  1  x  (1  x )  x 1 dx   dx   dx     3   dx  3     x (1  x ) x x(1  x )  x x(1  x )  x x  x2  1   1 I6   2 5 d (1  x )   1       dx       ln x  ln(1  x )    ln  ln   ln x x 1 x 2 8  2x 1 1 ie 1   x 1 2x 1  1 1 1 7) I   dx  dx   dx       3 3 2   (1  x) (1  x)  (1  x) (1  x)   2(1  x) 4(1  x)  18 dx x 1  x 2014  1 22014  dt  (t  1)t 2014 x dx  (1  x) 2  1   dt   t 1 t  t 1  ln 2014 t 1 22014  2015ln  ln(1  2014 ) 2014 2 (1  t )2 dt  2t  t 1  33 1 1  1 t 1 t dt 1  t  t  t  dt    7t  3t  5t   4480 ce bo Khi I9   Đặt t   x  dt  dx x : 1  t :1  1 1 2014 c 9) I9  ok om /g x 2013dx Khi I8   2014  2014 1  x  2014 x ro dt x :1  t :   2014 2014 up Đặt t   x 2014  dt  2014 x 2013 dx  x 2013dx  s/ 8) I8   Ta iL fa Ví dụ Tính tích phân sau: 1) I1   x2  dx x3 ln 2) I  w w w Giải: 1) I1   x2 1 dx x3 tdt  xdx Đặt t  x   t  x    2 cận t :  x  t 1 2  I1   x2  x  1.xdx dx  1 x  x3  t.tdt  (t  1)2  t2 dt (1  t )2 Trang www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01  01 Cách 1: (đổi biến) e x  1dx www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 Đặt t  tan u  dt   http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 du   (1  tan u)du cận u :  cos u      H oc 01 tan u.(1  tan u )du tan u sin u  du   cos udu   sin udu 2 2 (1  tan u )  tan u cos u 0  I1    e x  1dx e x  1dx  ln  I2   ln  1 uO nT hi D 3t dt  e x dx Đặt t  e x   t  e x    x cận t :  e  t  ln 2) I   cos 2u 4  3 1 3   du   u  sin 2u     24 2 0 e x  1.e x dx t.3t dt t 3dt      3   dt x 3   e t 1 t 1 t 1  0 0 ie Ta dùng phương pháp đồng hệ số: 1 A Bt  C      A.(t  t  1)  ( Bt  C )(t  1) t  (t  1)(t  t  1) t  t  t  A  B  1    ( A  B ) t  (  A  B  C )t  A  C    A  B  C   A  ; B   ; C  3 A  C   ( Có thể chọn t  t   ba pt ẩn A, B, C giải tìm A, B, C (máy tính giúp ) ) 1 t  1 t 2        t  3(t  1) 3(t  t  1)  t  t  t   up Vậy ta có: s/ Ta iL ro   (2t  1)   1  1  d (t  t  1) dt t2     I2        dt   dt    dt      2     t 1 t  t 1  t 1 t  t 1  t 1  t  t 1 t  t 1 0 0 0   om /g 1 ok ce bo  3(1  tan u ) dt  du  du  cos t  Đặt t   tan u   2 2  t       (1  tan u )        fa  w w w J     3(1  tan u ) du  2 3(1  tan u ) Thay (2*) vào (*) ta : I   ln   t :  cận u :   3 du  u  (2*)    6 dt dt  2 t  t     2  t      2   (*) với J   c     3t  ln(t  1)  ln(t  t  1)   J   ln  J  0 3 Trang 10 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01    6 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968  http://www.facebook.com/giaidaptoancap3          Khi I1     t   tan   t   cot   t   dt     t   cot t  tan t  dt                 cos t sin t     cot t  tan t  dt   t  tan t  cot t  dt    dt   dt   I1 2   sin t   cos t  6 6         d sin t d cos t   sin t      I1  ln  I1  ln  I1    sin t  cos t  cos t  6 6     Vậy I1  ln  I1  I1  ln  I1  ln (*) 2     x sin x  x cos x.(1  cos x) x sin x x(sin x  cos x  cos x) 2) I   dx   dx   x cos xdx  A  B (*) dx    cos x  cos x  cos x 0 0 uO nT hi D H oc  01  x sin x dx  cos x Đặt x    t  dx  dt x :   t :   ie +) Tính A     t  sin   t  dt     t  sin t dt   sin t dt   t.sin t dt    sin t dt  A 0  cos t 0  cos t 0  cos t 0  cos t  cos   t  iL  Ta Khi A      (1  cos u )du    cos u    2 (1) du  u     4 u  x  du  dx Đặt    dv  cos xdx v  sin x c +) Tính B   x cos xdx  ro  om  Suy A  du    (1  cot u ) du  sin tdt  (1  cot u )du t :   u :   cos u 4 /g Đặt cos t  tan u   sin tdt  up s/   sin t dt 0  cos t Vậy A    ok  Khi B  x sin x   sin xdx   cos x  2 (2) bo ce Thay (1) , (2) vào (*) ta được: I  2 x sin x   cos x dx fa 3) I  2 2 Đặt x  2  t  dx  dt x :  2 t : 2  0   2  t  sin  2  t dt  2  2  t  sin t dt  2 2 sin t dt  2 t.sin t dt 0  cos  2  t  0  cos t 0  cos t 0  cos t 2 d   cos t  2  2  I   2 ln  cos t  I   I   I x sin x dx   cos x w w Khi I  2 2 w   cos t 3 Vậy I   I  I  Trang 101 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 3 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 a T Bài toán 4: Hàm số f ( x) liên tục  tuần hồn với chu kì T, : f ( x) dx   f ( x)dx (*)  a Từ ta suy  0 T f ( x) dx  n  f ( x) dx (2*) 01 nT T a T Ta có: a T T f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx   a a H oc Chứng minh: (Trong thi muốn sử dụng tính chất em cần chứng minh sau)  f ( x)dx (1) T Xét tích phân:  Đặt x  t  T  dx  dt x : T  a  T t :  a f ( x)dx a T Khi  T a 0 uO nT hi D T a T f ( x) dx   f (t  T ) dt    f (t )dt    f ( x )dx   f ( x )dx  a a T Thay (2) vào (1) ta được:  a a a T a T f ( x) dx   f ( x)dx (*) iL ie Chú ý: f ( x ) có chu kì T f ( x  T )  f ( x) f ( x )dx  (2)  T 2014 1) I1   cos xdx  Giải:  cos x dx  cos x  ro 2014  2) I  up 1) I1  2014 s/ Tính tích phân sau: Ta VÍ DỤ MINH HỌA Xét hàm f ( x)   cos x với x    cos xdx /g om Ta có: f ( x   )   cos 2( x   )   cos x  f ( x) a T Do áp dụng tính chất  c a 2014 I1  T f ( x) dx   f ( x)dx (*) (trong em phải Chứng minh ) ta được:   cos xdx    cos xdx  ok  fa ce bo 2     3 2  0  0     2014   cos xdx  2014  sin x dx  2014  sin xdx   2014 cos x  4028 0 nT  cos x dx  cos x Hướng dẫn: 0 w w w   cos xdx   2014  2013    cos xdx    cos xdx    cos xdx     cos xdx Chú ý: Cách trình bày vừa cách ta chứng minh 2) I  2014  cos xdx    cos xdx   T f ( x) dx  n  f ( x) dx (2*) x 2sin  cos x  tan x f ( x)   x  cos x 2 cos 2 Trang 102 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 f ( x  2 )  f ( x) www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 TÍCH PHÂN TRUY HỒI H oc  01  Ở phần em tìm hiểu dạng tích phân truy hồi I n   f ( x, n)dx với câu hỏi hay gặp là: uO nT hi D Thiết lập công thức truy hồi I n  g ( I n  k ) với k  1; n Chứng minh công thức truy hồi cho trước Sau thiết lập công thức truy hồi yêu cầu tính I n ứng với vài giá trị n tính giới hạn hàm số dãy số có liên quan với I n CÁC VÍ DỤ MINH HỌA  Ví dụ Xét tích phân I n   sin n xdx với n   * ie Tính I I Xét dãy số (un ) cho un  (n  1) I n I n1 Tìm lim un iL Tìm mối liên hệ I n I n  Tính I n Ta  up  s/ Giải: Tìm mối liên hệ I n I n   n    ro +) Ta có: I n    sin n  xdx   sin n x.(1  cos x)dx   sin n xdx   sin n x.cos xdx  I n   sin n x.cos xdx (1)  0 /g  0 om +) Tính  sin n x.cos xdx   sin n x.cos x.cos xdx  ok c du   sin xdx u  cos x  Đặt   sin n 1 x n n n dv  sin x cos x  v   sin x.cos xdx   sin x.d sin x  n 1    ce bo I I cos x.sin n 1 x 2 n2 Suy  sin n x.cos xdx   sin xdx   n   n  (2)  n 1 n 1 n 1 n 1 0 I n I n2  I n  I n  n   I n  I n n 1 n 1 n 1 n2 n 1 Ta có I n  I n  I n  I n Khi : n 1 n2 fa Thay (2) vào (1) ta được: I n   I n  w w w Tính I5 I    4 8   I  I  I1  15  sin xdx   15 cos x  15  0      2 5 15 15  cos x 15 15   I6  I  I  sin xdx  dx  x  sin x       6 24 24 48  96 0 Trang 103 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Ta có: +) Với n chẵn hay n  2k (k  * ) Áp dụng (*) ta được:  I2  I4   I  I    2k I  I 2k k  2k   Với I n  n2 I n  (*) n 1 H oc     1 I  sin xdx   cos x         2  cos x 1     I  sin xdx  dx  x  sin x       2 0 0 ie Nhân theo vế đẳng thức ta được: 4.6 2k  4.6 k 3.5 (2k  1)  I2  I2k   I 2k  I 2k  3.5 (2k  1) 3.5 (2k  1) 4.6 k Ta iL   I1  I   I  I    2k  I  I  k 3 2k  2 k 1 up s/ +) Với n lẻ hay n  2k  (k  * ) Áp dụng (*) ta được: om /g ro Nhân theo vế đẳng thức ta được: 3.5 (2k  1) 3.5 (2k  1) 2.4 (2k  2) I1  I k 1   I k 1  I k 1  2.4 (2 k  2) 2.4 (2k  2) 3.5 (2 k  1) Xét dãy số (un ) cho un  ( n  1) I n I n 1 Tìm lim un n  c n2 I n  I n 1  ( n  2).I n 1 I n   u n 1 n 1     Vậy un 1  un nên un  un 1   u1  I1 I  2.1   lim un  lim  n  n  2 bo ok Ta có: un  ( n  1) I n I n 1  ( n  1)   ce Chú ý: I n   sin n xdx   cos n xdx (xem lại Bài tốn lớp tích phân đặc biệt) fa n w w w Ví dụ Xét tích phân I n   1  x  dx với n  * Tính I n Giải: n Tính I n   1  x  dx u  (1  x )n  du  n.(1  x )n 1.(2 x)dx Đặt    dv  dx v  x Trang 104 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 01 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 uO nT hi D Tính I n 0947141139 – 0925509968 GV: THANH TÙNG I n 1 n  I n Tìm lim www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 1 Suy I n  x(1  x ) n  2n  x 1  x  n 1 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 dx n 1 1  n 1 n dx  2n   1  x  dx   1  x  dx   n  I n 1  I n  0  2n Vậy I n  2n  I n 1  I n   I n  I n 1 (*) 2n  2n 2n n  2 n 2n  4.6.8 n Từ (*) ta có: I n  I n 1  I n  I1  I1 (1) 2n  2n  2n  2n  n  5.7.9.(2n  1) 1  x3  Mặt khác: I1   1  x  dx   x    (2) 0  iL 2n 2( n  1) I 2n  I 2n  , suy lim n 1  lim I n 1  I n 1  I n  n 1  1 n  n  2n  2( n  1)  In 2n  In 2n  Ta Ta có: I n  2.4.6.8 2n 3.5.7.9.(2n  1) ie Thay (2) vào (1) ta được: I n  H oc n 1  2n  1  (1  x )  1  x  uO nT hi D 1 1  n 1 n dx  2n   1  x  dx   1  x  dx   n  I n 1  I n  0  01  2n  1  (1  x )  1  x   s/ Ví dụ Xét tích phân I n   tan n xdx với n   *  In n 1 Tính I5 I Giải:  In n 1 om Chứng minh rằng: I n   /g ro Chứng minh rằng: I n   up    c Ta có: I n    tan n  xdx    tan n  x  tan n x   tan n x  dx    tan n x 1  tan x   tan n x  dx bo ok     I n (đpcm) n 1 Tính I I fa ce Vậy I n       4  sin x d cos x   I  tan xdx  dx     ln cos x ln      0 cos x cos x Ta có:     4   I  tan xdx     dx   tan x  x     0 0  cos2 x   w w w  tan n x tan n 1 x n n  dx  tan xdx  tan xd tan x  I   In   In n   cos x n 1 n 1 0 Trang 105 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3  In n 1  1 1  1   I   I     I1      ln   ln       Ta có:   I   I     I          13     5     15 H oc 01 Áp dụng công thức truy hồi I n   en 1  e nx dx * , với Chứng minh rằng: I   I n 1 n   n 1 ex n 1 uO nT hi D Xét tích phân I n   Ví dụ Xét tích phân I n   (3  x) n e x dx , với n  * Chứng minh rằng: I n  3n  nI n 1 Giải: en 1  enx dx * , với n   Chứng minh rằng: I   I n1 n 1 ex n 1 e e x  1 dx  ex  e ( n 1) x n 1 1  I n1 (đpcm) n 1 e( n 1) x dx  n 1  en 1  n 1 s/ hay I n  ( n 1) x iL e enx dx e( n 1) x dx Ta có I n  I n 1     x x  1 e 1 e 0 Ta ie Xét tích phân I n   up Xét tích phân I n   (3  x) n e x dx , với n   * Chứng minh rằng: I n  3n  nI n 1 ro om /g n n 1 u  (3  x)  du  n(3  x) dx Đặt    x x v  e  dv  e dx Khi I n  (3  x) n e x  n  (3  x ) n 1 e x dx  3n  nI n 1 0 n ok c Vậy I n  3  nI n 1 (đpcm) bo Ví dụ Cho I n    x x n dx với n  * Biết (un ) dãy số cho un  Khi : fa ce  du  nx n 1dx u  x n  Giải: Đặt    dv   xdx v    xdx   (1  x)  x  In tính lim un I n 1 w w w 1  2 2  n n 1 I n   (1  x )  x x  n. (1  x )  x x dx  n    x x n 1dx   x x n dx   n  I n 1  I n  3 0  2n Vậy I n  n  I n 1  I n   (2n  3) I n  2nI n 1  I n  I n 1 2n  2n  2n  I 2n  Suy I n 1   lim un  lim I n 1  lim 1 In  n  2n  2n  I n 1 2n  Trang 106 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 01 VII DÙNG TÍCH PHÂN ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC Cnk n Bước : Khai triển (1  x) n   Cnk x k  Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n k 0    uO nT hi D  Bước : Lấy tích phân hai vế với cận thích hợp :  (1  x)n dx    Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n  dx H oc PHƯƠNG PHÁP GIẢI: ( Nếu hệ số đẳng thức cần chứng minh có chứa b k  a k ta chọn cận tích phân b  ) a DẤU HIỆU NHẬN BIẾT : Các hệ số đẳng thức cần chứng minh có dạng phân số, đồng thời mẫu số thường tăng giảm đơn vị iL ie CÁC VÍ DỤ MINH HỌA om /g ro up s/ Ta Ví dụ 1: Với n   Chứng minh rằng: 20  12 203  123 20 n 1  12 n 1 n 21n 1  13n 1 1) 8Cn0  Cn  Cn   Cn  n 1 n 1 n 1 n 1 4 1 2) 4Cn0  Cn1  Cn2   Cnn  n 1 n 1 1 n1  3) Cn0  Cn1  Cn2   Cnn  n 1 n 1 62  1 63  n1  n n 1  n1 4) 5Cn0  Cn  Cn   Cn  n 1 n 1 c Giải: 202  122 203  123 20 n1  12 n1 n 21n1  13n 1 Cn  Cn   Cn  n 1 n 1 n 2 n n +) Ta có: (1  x)  Cn  Cn x  Cn x   Cn x bo ok 1) 8Cn0  20 12 12 20  (1  x) ce +) Suy ra: n dx  n 1 20 w w w fa (1  x)  n 1 n 1  21 12 n  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n  dx 20  x2 x3 x n 1    Cn0 x  Cn1  Cn2   Cnn  n   12  n 1  13 n 1 Hay 8Cn0   C  8Cn0  202  12 203  123 20 n 1  12n 1 n Cn  Cn   Cn n 1 20  12 203  123 20 n 1  12 n 1 n 21n 1  13n 1 Cn  Cn   Cn  (đpcm) n 1 n 1 Trang 107 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 42 43 4n 1 n 5n1  Cn  Cn   Cn  n 1 n 1 +) Ta có: (1  x ) n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n 2) 4Cn0  n 1 (1  x)  n 1 H oc dx    Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n  dx  x2 x3 x n 1    Cn0 x  Cn1  Cn2   Cnn  n 1   (1  x) n 01 +) Suy ra:  1 42 43 n 1 n  4Cn0  Cn1  Cn2   Cn n 1 n 1 Hay 4Cn0  uO nT hi D n 1 42 43 n1 n 5n1  (đpcm) Cn  Cn   Cn  n 1 n 1 iL n 2 n n  (1  x) dx   Cn  Cn x  Cn x   Cn x  dx Ta +) Suy ra: ie 1 2n 1  3) Cn0  Cn1  Cn2   Cnn  n 1 n 1 +) Ta có: (1  x) n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n 1 2n 1  1 1  Cn0  Cn1  Cn2   Cnn n 1 n 1 ro  up s/  (1  x) n 1 x2 x3 x n 1     Cn0 x  Cn1  Cn2   Cnn  n 1  n 1  om /g 1 2n 1  Hay Cn0  Cn1  Cn2   Cnn  (đpcm) n 1 n 1 62  1 63  n 1  n n 1  n 1 Cn  Cn   Cn  n 1 n 1 n 2 n n +) Ta có: (1  x)  Cn  Cn x  Cn x   Cn x ok c 4) 5Cn0  6 n 2 n n  (1  x) dx   Cn  Cn x  Cn x   Cn x  dx bo +) Suy ra: n 1 fa ce (1  x)  n 1 2 n 1 Hay 5Cn0  n 1  x2 x3 x n 1    Cn0 x  Cn1  Cn2   Cnn  n 1    1 63  6n 1  n  5C  Cn  Cn   Cn n 1 n  1 63  6n 1  n n 1  n 1 Cn  Cn   Cn  (đpcm) n 1 n 1 w w w  n 1 Trang 108 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 22  1 23  2n1  n Cn  Cn   Cn n 1 01 Ví dụ ( B – 2003) Cho n số nguyên dương Tính tổng: Cn0  H oc Giải: +) Ta có: (1  x ) n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n 1 (1  x)  n 1 uO nT hi D n 1  +) Suy ra:  (1  x)n dx    Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n  dx  x2 x3 x n1    Cn0 x  Cn1  Cn2   Cnn  n 1  3n1  2n1 22  1 23  2n1  n  Cn0  Cn  Cn   Cn n 1 n 1 2  1 23  2n 1  n 3n 1  n 1 Cn  Cn   Cn  n 1 n 1 om /g ro up s/ Ta Ví dụ :Với n   Chứng minh rằng: 1 (1)n n 1) Cn0  Cn1  Cn2  Cn3   Cn  n 1 n 1 2n 1 1 1 2) C21n  C23n  C25n   C22nn1  (A – 2007) 2n 2n  1 1 4n 3) C20n  C22n  C24n   C22nn  2n  2n  iL ie Vậy Cn0  Giải: bo ok c 1 ( 1) n n 1) Cn0  Cn1  Cn2  Cn3   Cn  n 1 n 1 n 2 3 +) Ta có: (1  x )  Cn  Cn x  Cn x  Cn x   ( 1) n Cnn x n +) Suy ra:  (1  x) n dx    Cn0  Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x   ( 1) n Cnn x n  dx ce w w w fa (1  x)  n 1  n 1 1  x2 x3 x4 x n 1    Cn0 x  Cn1  Cn2  Cn3   (1)n Cnn  n 1   1 1 (1)n n  Cn0  Cn1  Cn2  Cn3   Cn n 1 n 1 1 (1) n n Hay Cn0  Cn1  Cn2  Cn3   Cn  (đpcm) n 1 n 1 Trang 109 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 1 22 n  C2 n  C2n  C2n   C22nn1  (A – 2007) 2n 2n  (1  x) n  C20n  C21n x  C22n x  C23n x3   C22nn 1 x n 1  C22nn x n (1) +) Ta có:  2n 2 3 n 1 n 1  C22nn x n (2) (1  x)  C2 n  C2 n x  C2 n x  C2 n x   C2 n x 01 2) (1  x)2 n  (1  x )2n  C21n x  C23n x3  C25n x5   C22nn1 x n1 1 (1  x) n  (1  x) n +) Suy ra:  dx    C21n x  C23n x3  C25n x5   C22nn 1 x n 1 dx 0 H oc +) Lấy (1) – (2) ta được: (1  x) n  (1  x)2 n   C21n x  C23n x3  C25n x   C22nn 1 x n 1  uO nT hi D 1  (1  x) n 1  (1  x) n 1 x2 x4 x6 x 2n     C21n  C23n  C25n   C22nn 1  2n  2n   1 4n 3) C20n  C22n  C24n   C22nn  2n  2n  2n 2 +) Ta có: (1  x)  C2 n  C2 n x  C2 n x   C22nn x n 1 2n  (1  x) dx   C 1 2n 1 n 1 ro 2 n 1 2  2C20n  C22n  C24n   C22nn 2n  2n  om   x2 x3 x n 1    C20n x  C21n  C22n   C22nn  n   1  1 /g (1  x)  2n  ie  C21n x  C22n x   C22nn x n  dx up +) Suy ra: Ta 1 22 n  (đpcm) C2 n  C2n  C2n   C22nn1  2n 2n  s/ Hay 22 n  1 1  C2 n  C2 n  C2 n   C22nn 1 2n  2n iL   w w w fa ce bo ok c 1 4n Hay C20n  C22n  C24n   (đpcm) C22nn  2n  2n  Trang 110 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 uO nT hi D H oc Qua phần tìm hiểu trên, em nhận thấy tích phân ta có tay hai cơng cụ để giải ĐỔI BIẾN TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN vài kĩ thuật để làm cho hai công cụ phát huy tác dụng như: Tách tích phân (dùng phương pháp đồng hệ số, thêm bớt…), kĩ thuật nhân, chia dấu tích phân, kĩ thuật vi phân, dùng công thức để biến đổi (cơng thức lượng giác, đẳng thức…), sử dụng tích phân liên kết ( quan sát để tìm tích phân liên kết, sử dụng cận để đổi biến, sử dụng đẳng thức tính chẵn lẻ hàm số…) Vì tổng kết lại sau : Khi đứng trước tốn tích phân em có hướng : TH1: Nếu dấu tích phân có : +) Hướng tư 1: Đặt t ( cho tất đề thi Đại Học – Cao Đẳng từ 2002 – 2013) Nếu không ổn chuyển sang: 01 VIII KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TỐN TÍCH PHÂN ĐẠI HỌC  +) Hướng tư thứ 2: Với tích phân I   f ( ax  bx  c )dx mà ax  bx  c ta biến đổi dạng:  m cos t m2  u đặt u  m sin t ( u  m cos t ) *) u  m đặt u  *) u  m đặt u  m tan t ( u  m cot t ) *) u  u đặt u  sin t (u  m ) sin t ( u  cos t ) ie *)    dx x k    x2  k ( x  x  k )dx 2 (x  x  k ) x  k ta không dùng tới phương pháp Cụ thể ta biến đổi: s/  dx   up  d ( x  x2  k )  (x  x  k ) ro  CHÚ Ý: Với tích phân có dạng Ta iL   m x  Với tích phân I   f  đặt x  m cos 2t  m  x  dx     ln( x  x  k )    bo ok c om /g Nếu chưa ổn chuyển sang : +) Hướng tư thứ 3: Nhân với lượng liên hợp tương ứng quay hướng tư đầu TH2 : Nếu dấu tích phân có hàm lượng giác hàm mũ có dạng sin u eu mà u  ax  b ( nghĩa u không hàm bậc bậc không ) điều đặt t  u Sau quay TH1 TH3 TH3: Nếu dấu tích phân xuất hai bốn hàm: log, đa thức ( kể phân thức), lượng giác mũ liên hệ với phép nhân theo : +) Hướng tư 1:Sử dụng tích phân phần theo thứ tự ưu tiên “u→dv” : “log → đa thức → lượng giác → mũ” b b b ce (nghĩa anh đứng trước thứ tự thầy nêu đặt u anh đứng sau dv:  udv  uv a   vdu ) a fa ( Các em có cách nhớ “hài hước” theo thứ tự “u→dv” là: “nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” ) Nếu vấn chưa ổn chuyển sang: +) Hướng tư 2: Sử dụng kĩ thuật vi phân ( du  u ' dx (**) ) đổi biến Nếu sử dụng (**) : +) theo chiều thuận (từ Trái  Phải): em phải tính đạo ĐẠO HÀM +) theo chiều nghịch (từ Phải  Trái): em phải tính NGUN HÀM Các em nhớ theo cách sau : “đưa vào vi phân tính NGUN HÀM, đưa tính ĐẠO HÀM” w w w a Trang 111 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968  TH4: Nếu dấu tích phân có dạng hữu tỉ: I  http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 f ( x)  g ( x) dx +) Hướng tư 1: Nếu bậc f ( x) lớn bậc g ( x ) Thì thực phép chia chuyển I dạng:    H oc  r ( x)  r ( x) I    h( x)  dx  I1  I Với I1 tính đơn giản tính I chuyển sang:  dx   h( x)dx   g ( x ) g ( x)     uO nT hi D  f ( x) A dx A   I  A  ln ax  b g ( x) ax  b a  ax  b +) Hướng tư 2: Nếu bậc f ( x) nhỏ bậc g ( x) theo thứ tự: *) Hướng tư 2.1: Nếu  ?      k ax  bx  c ' l Ax  B f ( x) Ax  B  I   *) Hướng tư 2.2: Nếu biến đổi  ax  bx  c  ax  bx  c dx g ( x) ax  bx  c  tính I3     l I ie   iL   d (ax  bx  c) dx  l  k ln ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c  dx cách chuyển sang Hướng tư 2.3: ax  bx  c Ta   k  s/ f ( x) A dx   I  A g ( x) ax  bx  c  ax  bx  c thì: up *) Hướng tư 2.3: Nếu   dx A  A x  x2    ln ? **) Khả 1: I  A   dx   a( x2  x1 )   x  x2 x  x1  a( x2  x1 ) x  x1   a ( x  x1 )( x  x2 ) /g  dx A  a( x  x0 ) a( x  x0 ) om **) Khả 2: I  A ro    ?  ok c kdt    k (1  tan t )dt A dx  dx  **) Khả 3: I   đặt x  x0  k tan t   cos t a  ( x  x0 )2  k ( x  x )2  k  k (1  tan t )    A k (1  tan t ) A A( 1  1 ) dt  dt  2   a 1 k (1  tan t ) ka 1 ka  ?  ce bo I w w w fa *) Hướng tư 2.4: Nếu g ( x ) có bậc lớn tìm cách đưa hướng tư 2.1, 2.2, 2.3 kĩ thuật: +) Đổi biến tách ghép, nhân, chia để giảm bậc +) Đồng hệ số theo thuật toán: f ( x) m ( ax  b ) (cx  dx  e) n  A1 (ax  b)  A2 ( ax  b )   Am ( ax  b) m  B1 x  C1 (cx  dx  e)  B2 x  C2 (cx  dx  e)   Bn x  Cn (cx  dx  e) n Sau quy đồng bỏ mẫu số dùng tính chất “hai đa thức hệ số tương ứng nhau” từ ta tìm Ai , B j , C j (i  1, m; j  1, n) dùng cách chọn x để tìm Ai , B j , C j Trang 112 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 01  www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3  TH5: Nếu dấu tích phân có dạng lượng giác: I   f (sin x, cos x)dx thì:  +) Hướng tư 1: Nếu I   sin m x.cos n xdx ( m, n  Z ) dựa vào tính chẵn, lẻ để đổi biến.Cụ thể:  H oc *) Nếu m, n khác tính chẵn lẻ em đặt t theo anh mang mũ chẵn Cụ thể : **) m chẵn, n lẻ đặt t  sin x ** ) m lẻ, n chẵn đặt t  cos x *) Nếu m, n tính chẵn lẻ Cụ thể : uO nT hi D **) m, n lẻ đặt t  sin x t  cos x (kinh nghiệm nên đặt theo anh mang mũ lớn hơn) **) m, n chẵn đặt t  tan x (hoặc t  cot x ) dùng công thức hạ bậc, biến đổi lượng giác  +) Hướng tư : Nếu I   f (sin x).cos xdx đặt t  sin x   I   f (cos x).sin xdx đặt t  cos x  h( x ) h( x), g ( x) chứa hàm lượng giác thì: g ( x) iL ie +) Hướng tư 3: Nếu f (sin x, cos x)  Ta *) Hướng tư 3.1 : Ý nghĩ tính g '( x) phân tích h( x)  u.g ( x)  l ( g ( x)) g '( x )    s/ I   udx   r ( g ( x )).g '( x)dx  I1  I tính I   r ( g ( x)).g '( x)dx đổi biến: t  g ( x)   up  ro ( Hướng tư áp dụng với h( x), g ( x) chứa hàm khác loga, đa thức, mũ…) /g Nếu việc phân tích h( x) gặp khó khăn ta chuyển tới việc làm “thủ công” qua Hướng tư 3.2 om *) Hướng tư 3.2: Nếu h( x), g ( x) hàm bậc theo sin x cos x dùng phương pháp ok c đồng hệ số Cụ thể : h ( x) a sin x  b cos x c sin x  d cos x c cos x  d sin x  A B **) Khi đó: g ( x) c sin x  d cos x c sin x  d cos x c sin x  d cos x     bo  c cos x  d sin x d (c sin x  d cos x) I  A dx  B  dx A dx  B    A.x  B ln c sin x  d cos x   ?  c sin x  d cos x   c sin x  d cos x   h( x) a sin x  b cos x  e c sin x  d cos x  h c cos x  d sin x  A B C g ( x) c sin x  d cos x  h c sin x  d cos x  h c sin x  d cos x  h c sin x  d cos x  h ce **)  dx hai cách:  c sin x  d cos x  h  fa Khi đó: I   Ax  B ln c sin x  d cos x  h   C I ta tính I3    w w w C1: Dùng công thức biến đổi lượng giác để chuyển công thức lượng giác bảng nguyên hàm Nếu không ổn chuyển sang : x 2dt 2t 1 t2 C2: Đặt t  tan  dx  Sau quay TH4 sinx  ; cos x  1 t2 1 t2 1 t2 Trang 113 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 01  www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 0947141139 – 0925509968   *) Hướng tư 3.3: Nếu I     Với trường hợp hay gặp : I    http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 f (tan x) f (cot x ) dx (hoặc I   dx ) đặt t  tan x (hoặc t  cot x ) 2 cos x  sin x f (tan x).dx a sin x  b sin x cos x  c cos x  (hoặc I    f (cot x).dx ) a sin x  b sin x cos x  c cos x   H oc dx f (tan x) f (t ) biến đổi: I   sau đặt t  tan x  dt   I  dt dx 2 2  cos x 1 at  bt  c  cos x ( a tan x  b tan x  c )   dt  (cos x  sin x) dx  f (sin x  cos x;sin x cos x)dx đặt t  sin x  cos x   t2 1 sin x cos x     uO nT hi D *) Hướng tư 3.4: Nếu I   Sau quay TH4  Sau quay TH4 b a f (ln u ) dx đặt t  ln u u ie TH6: Khi gặp tích phân chứa hàm log chứa hàm mũ ta có hướng sau : *) Hướng tư 1: Nếu có dạng I   iL ( đặt t  g (ln u ) nghĩa đặt t hàm theo ln u ) Ta Nếu dấu tích phân có mặt log a u em nên chuyển ln u công thức : log a u  ln u ln a s/ b up *) Hướng tư 2: Nếu có dạng I   f (e x ) dx đặt t  e x ( t hàm theo e x ) a  ro TH7: Nếu dấu tích phân có dấu trị tuyệt đối I   f ( x) dx tìm cách phá trị tuyệt đối cách  /g xét dấu f ( x ) đoạn  ;   Cụ thể: om B1: Giải phương trình f ( x)   xi  ? chọn xi  [ ;  ] chuyển sang: c B2: Lập bảng xét dấu: (Giả sử ta bảng xét dấu:   bo  xi )   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx (      ) để tách : ok B3: Ta dựa vào công thức     xi  I   f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x)dx   f ( x)dx Sau chuyển sáu TH đầu ce   xi  xi fa TH8: Khi tốn u cầu tính diện tích hình phẳng thể tích vật thể tạo quay hình phẳng qua trục Ox, Oy em cần nhớ kiến thức sau: Hình phẳng giới hạn đường : w w w b b   (2*)  y  f ( x)  S   f ( x)  g ( x) dx  S   f ( x) dx    a a (nếu y  g ( x)  )    y  g ( x) b b x  a ; x  b  a V   f ( x)  g ( x) dx (3*) V   f ( x)dx   a  0x  0x  a  Nếu khơng dựa vào hình vẽ cần phá trị tuyệt đối chuyển TH6 Trang 114 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 01 GV: THANH TÙNG www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 ie Hy vọng viết giúp ích nhiều cho bạn đọc http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 uO nT hi D Mọi ý kiến góp ý xin chuyển vào email: giaidaptoancap3@yahoo.com Các bạn tham khảo viết khác ghé qua trang: H oc Mặc dù cố gắng song với khả khoảng thời gian hạn chế, với lượng giải lớn nên viết không tránh khỏi sai xót Rất mong góp ý xây dựng từ phía bạn đọc, để viết hồn thiện w w w fa ce bo ok c om /g ro up s/ Ta iL CẢM ƠN CÁC BẠN ĐÃ ĐỌC TÀI LIỆU ! Trang 115 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 01 GV: THANH TÙNG ...    f g ( x), n g ( x) g '( x)dx 01 IV 10 DẠNG TÍCH PHÂN HAY GẶP TRONG CÁC KÌ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG (*) H oc  ie uO nT hi D CÁCH GIẢI CHUNG Ta iL Các ví dụ minh họa 4 x  x 1  1 x3  x... http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 01 Trước vào 10 dạng tích phân hay gặp kì thi Đại Học – Cao Đẳng em cần nắm cách tính tích phân lượng giác qua ví dụ sau: A   sin k xdx B   cos k xdx  ... số có bậc ) +) Nếu   tức ta phân tích mẫu thành đẳng thức dùng kĩ thuật tách ghép để đưa tích phân dạng biết +) Nếu   tức ta khơng thể phân tích mẫu số thành tích đẳng thức -) Nếu tử số khác