Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 115 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
115
Dung lượng
1,98 MB
Nội dung
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 uO nT hi D H oc TrongcáckìthiĐạiHọc – CaoĐẳng câu tíchphân ln mặc định xuất đề thi mơn Tốn Tíchphân khơng phải câu hỏi khó, tốn “nhẹ nhàng”, mang tính chất “cho điểm” Vì việc điểm trở nên “vô duyên” với bỏ chút thời gian đọc tài liệu Ở viết nhỏ cung cấp tới em dạngtíchphân thường xuyên xuất kìthiĐạiHọc - CaoĐẳng ( đề thi khơng nằm ngồi dạng này) Với cách giải tổng quát cho dạng, ví dụ minh họa kèm, với lượng tập đa dạng, phong phú Mong sau đọc tài liệu, việc đứng trước tốn tíchphân khơng rào cản em Chúc em thành công ! Trong viết giới thiệu tới em phần: Trang 01 10DẠNGTÍCHPHÂNHAYGẶPTRONGCÁCKÌTHIĐẠIHỌC – CAOĐẲNG iL ie I SƠ ĐỒ CHUNG GIẢI BÀI TỐN TÍCHPHÂN …………………………… II CÁC CƠNG THỨC NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ…………………………… III LỚP TÍCHPHÂN HỮU TỈ VÀ TÍCHPHÂN LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN… –12– 26 IV 10DẠNGTÍCHPHÂNTRONGCÁC ĐỀ THIĐẠIHỌC – CAOĐẲNG 27 – 81 V ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN…………………………………………………… 82 – 93 VI CÁC LỚP TÍCHPHÂN ĐẶC BIỆT VÀ TÍCHPHÂN TRUY HỒI…… 94 – 102 - 106 Ta VII DÙNG TÍCHPHÂN ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC CHỨA Cnk …… 107 - 110 s/ VIII KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TỐN TÍCHPHÂNĐẠIHỌC ………………111- 114 w w w fa ce bo ok c om /g ro up I SƠ ĐỒ CHUNG GIẢI BÀI TỐN TÍCHPHÂN Trang www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 H oc Điều kiện tiên để làm tốt phầntíchphân phải nhớ hiểu cách vận dụng công thức nguyên hàm sau: (chỉ cần hiểu công thức biết cách suy luận cơng thức lại) 01 II CÁC CƠNG THỨC NGUN HÀM CẦN NHỚ uO nT hi D 1 x 1 ax b x dx C ; ax b dx a C u 1 1) u du C ( 1) 1 du du du u C ; C; 1 C u u u u ie dx ln x C du 2) ln u C x u dx ln ax b C ax b a Ta iL x ax a dx C; eu du eu C u a ln a 3) au du C ln a e x dx e x C ; eax b dx e axb C a up s/ sin xdx cos x C 4) sin udu cos u C sin(ax b)dx cos(ax b) C a om /g ro cos xdx sin x C 5) cos udu sin u C cos( ax b)dx sin( ax b) C a ok c dx sin x cot x C du 6) cot u C dx sin u cot(ax b) C sin (ax b) a fa ce bo dx cos x tan x C du 7) tan u C dx cos2 u tan(ax b) C cos (ax b) a w w w du ua a u 2a ln u a C du 1 ua 8) 2 du ln C u a 2a u a u a 2a u a dx xa ln C x a 2a xa Trang www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 III LỚP TÍCHPHÂN HỮU TỈ VÀ TÍCHPHÂN LƯỢNG GIÁC LỚP TÍCHPHÂN HỮU TỈ 01 (*) om /g ro up s/ Ta iL ie uO nT hi D H oc CÁCH TÍNH TÍCHPHÂN HÀM HỮU TỈ I f ( x) dx g ( x) c Chú thích: Sơ đồ hiểu sau : w w w fa ce bo ok Khi đứng trước tốn tíchphân có dạng hữu tỉ trước tiên ta quan tâm tới bậc tử số mẫu số *) Nếu bậc tử số nhỏ bậc mẫu số, ta ý tới bậc mẫu số Cụ thể: ++) Nếu bậc mẫu số ta có ln cơng thức bảng nguyên hàm đưa đáp số ++) Nếu bậc mẫu số ta quan tâm tới hay “tính có nghiệm” phương trình mẫu +) Nếu tức ta phântích mẫu thành tích dùng kĩ thuật tách ghép để tách thành hai biểu thức có mẫu bậc (quay trường hợp mẫu số có bậc ) +) Nếu tức ta phântích mẫu thành đẳng thức dùng kĩ thuật tách ghép để đưa tíchphândạng biết +) Nếu tức ta khơng thể phântích mẫu số thành tíchđẳng thức -) Nếu tử số khác ta dùng phương pháp lượng giác hóa để chuyển dạng ( theo cách đổi biến sơ đồ trên) -) Nếu tử có dạng bậc ta chuyển bậc ( số hay số tự do) kĩ thuật vi phân cách trình bày sơ đồ quay trường hợp trước (tử số khác ) ++) Nếu bậc mẫu số lớn ta tìm cách giảm bậc phương pháp đổi biến kĩ thuật: Nhân, chia, tách ghép (đồng hệ số), vi phân… *) Nếu bậc tử số lớn bậc mẫu số ta chuyển sang TH2 (trường hợp 2) Trang www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 H oc 01 GV: THANH TÙNG CHÚ Ý : f ( x) m ( ax b) (cx dx e) n A1 ( ax b ) A2 (ax b) Am ( ax b ) m B1 x C1 (cx dx e) uO nT hi D Việc đồng hệ số dựa theo cách phântích sau: B2 x C 2 (cx dx e) Bn x Cn (cx dx e) n Sau quy đồng bỏ mẫu, dùng tính chất “hai đa thức hệ số tương ứng chúng nhau” từ tìm Ai , B j , C j (i 1, m; j 1, n) dùng cách chọn x để tìm Ai , B j , C j 1) k 2) k 3) k s/ : 4 up Giải: 1) Với k dx với : x 2x k Ta Ví dụ Tính tíchphân I iL ie Các ví dụ minh họa 2 3) Với k : I ln 15 /g dx dx 2 x x ( x 1) x 1 om 2 dx dx x x ( x 1) c 2) Với k : I ro 4dx (2 x 3) (2 x 1) 2x 1 I 2 dx dx ln x 8x (2 x 1)(2 x 3) x 1 2x 2x x2 2x 0 dx bo ok 3dt Đặt x tan t với t ; dx 3.(1 tan t ) dt x : t : cos t 2 3.(1 tan t )dt 3 3 dt t 3.(tan t 1) 18 fa ce Khi I w w w Ví dụ Tính tíchphân sau: dx 1) I1 2) dx I2 4x 1 2x x 1 5) I 4x dx x2 x 2 6) I 1 3) I 3x dx 4x x dx x 6x 7) I x 1 x 3 dx 2x Trang www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 4) I dx x 2x 2 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 2 3 Giải: 1) I1 dx ln x ln 4x 1 4 1 0 (2 x 3) 2( x 1) dx ( x 1)(2 x 3) 1 dx dx 1 x x 1 ( x 1)(2 x 3) 1 x 1 dx ln 1 x x 2x 1 ln ln 1 1 uO nT hi D dx dx 1 2 x x ( x 3) x 12 3) I3 dx dx x x ( x 1) 4) I 01 H oc 2) I dt Đặt x tan t với t ; dx (1 tan t )dt x : t : cos t 2 0 dt t 1 4x ( x 1) 3( x 2) dx dx dx ln x 3ln x ln 2 x x2 ( x 1)( x 2) x x 1 0 Ta 5) I ie (1 tan t )dt tan t iL Khi I s/ Chú ý: Việc phântích x x 3( x 2) có ta tìm hệ số a , b thỏa mãn: om /g ro up a b a x a ( x 1) b( x 2) x ( a b) x a 2b a 2b 5 b 3 2 x 1 3x dx 6) I dx dx 2 4x 4x 1 (2 x 1) 2(2 x 1) 2(2 x 1) 1 1 3 7 ln x ln 4(2 x 1) 4 c 2 x 2 x 3 (2 x 2) dx 7) I dx 2 dx dx A B (*) x 2x x 2x 1 x x x 2x 1 1 1 ok 2 bo (2 x 2) d ( x x 4) dx 1 x x 1 x x ln x x ce +) Tính A w w w fa +) Tính B 1 ln (1) dx dx 1 x x 1 ( x 1) 3dt Đặt x tan t với t ; dx 3.(1 tan t ) dt x : 1 t : cos t 2 B 3.(1 tan t )dt 3 dt t (2) Thay (1) (2) vào (*) ta được: I ln tan t 3 Trang www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Ví dụ Tính tíchphân sau: 2 x3 x x 1) I1 dx 2x 1 1 2) I 2 ( x 1) dx ( D – 2013) x2 4) I 5) I http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 x x3 x x dx x2 2x 3) I3 x3 x x dx 4x2 x 2x x 1 dx x2 2x 2 x3 x3 x x 10 1) I1 dx x ln dx x ln x 2x 1 2x 1 1 1 uO nT hi D Giải: 2) I 1 x x3 x x x5 2( x 1) ( x 3) dx x dx x 1 dx 2 x 2x x 2x ( x 1)( x 3) 0 1 Ta 2 x3 x x 6x 3(2 x 1) dx x dx x dx x dx 2 2 4x x 4x x 1 (2 x 1) x (2 x 1) 1 iL ie x3 x2 1 dx x ln x ln x ln ln x x 0 3) I3 s/ x2 11 ln x ln 2(2 x 1) 2 ( x 1) dx ( D – 2013) x2 1 ro 1 1 x2 1 2x 2x 2x d ( x 1) dx dx dx dx dx x ln( x 1) ln 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 0 0 0 /g I4 up 4) I 2 (2 x 2) 2x2 x 1 x 5) I5 dx dx dx x x x x x 2x 0 0 c om 2 2 3 d ( x x 4) dx x ln( x x 4) 6I ln I (*) dx 6 2 x 2x x 2x 2 0 0 bo ok 2 Tính I ce dx dx x x ( x 1) w w w fa dt 3(1 tan t )dt dx Đặt x tan t (với t ; ) x : t : cos t 2 ( x 1)2 3(1 tan t ) I 6 3(1 tan t )dt 3 3 dt t 3(1 tan t ) 18 01 0947141139 – 0925509968 H oc GV: THANH TÙNG 3 (2*) Thay (2*) vào (*) ta được: I5 ln Trang www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 1 (B – 2012) 1 2x dx ( x x)( x x 3) 5) I5 x dx (1 x) 8) I8 Giải: 1) I1 x3 dx x 3x dx x 1 x 2014 1 x2 dx x( x 3x 2) 6) I 9) I9 (B – 2012) Đặt t x dt xdx hay xdx x : t : I1 x 1 2 x x3 x x dx 7) I 3) I3 dx x x5 x dx (1 x)8 1 4) I x7 2) I dx (3 x ) uO nT hi D 2 x3 1) I1 dx x 3x H oc 1 dt x xdx t.dt 2(t 1) (t 2) dt dt x x 2 t 3t 2 (t 1)(t 2) t t 1 ie ln t ln t ln ln 2 0 iL dt 8 x 3dx x3dx dt Đặt t x x : t : t x4 3t 1 x x 3t Khi I dx x dx dt dt 0 (3 x )2 (3 x ) 3 t 16 1 t ro up s/ Ta x7 2) I dx (3 x ) /g om x2 dx x( x x 2) Khi I3 bo t 1 thành tổng phân thức có mẫu bậc phương pháp đồng t (t 3t 2) t 1 t 1 A B C t (t 3t 2) t (t 1)(t 2) t t t t A(t 1)(t 2) Bt (t 2) Ct (t 1) (*) ce fa dt x :1 t :1 2 ( x 1) t 1 xdx dt x ( x x 2) t (t 3t 2) Lúc ta phântích hệ số Cụ thể: Đặt t x dt xdx xdx c 3) I3 1 1 ln dt ln t 16 t t 16 t 16 1 ok 2 w w w Việc tìm A, B, C làm theo cách : A A B C Cách 1: (*) t ( A B C )t (3 A B C )t A 3 A B C B A 1 C Trang www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 01 Ví dụ Tính tíchphân sau: www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 +) Chọn t 1 (*) có dạng: 2 B B Cách 2: +) Chọn t (*) có dạng: 1 A A 01 +) Chọn t 2 (*) có dạng: 3 2C C 2 2x 2x 2x dx dx dx 2 ( x x)( x x 3) x( x 2)( x 1)( x 3) ( x 3x)( x 3x 2) 1 uO nT hi D Cách 1: (đổi biến) Đặt t x x dt (2 x 3) dx x :1 t : 10101010 15 ln 12 ie dt 1 t Khi I dt ln t (t 2) t t t2 4) I H oc ln 11.ln Vậy I3 dt ln t ln(t 1) ln(t 2) 2t t 2(t 2) 4 1 Ta iL Cách 2: (tách ghép sử dụng kĩ thuật vi phân) 2 2 ( x x 2) ( x x) (2 x 3) (2 x 3) dx (2 x 3) dx I4 dx 2 21 ( x x)( x x 2) x 3x x 3x 1 x 2 x 1 dx x x2 4x 1 15 ln 12 Chia tử mẫu biểu thức tíchphân cho x ta được: ro 5) I5 up s/ 2 d ( x x) d ( x x 2) x 3x ln x 3x x 3x x 3x x2 c om 1 /g 1 dx x I5 dx 1 1 2 x x 2 x 4 x x x x x 1 1 bo ok dt 1 dx x Cách 1: (đổi biến) Đặt t x x : 2 1 t : 2 x t x 2 x 2 2 2 2 fa ce dt dt dt 1 Khi I5 t 36 (t 2) 4t t 4t (t 2) 2 2 w w w Cách 2: (tách ghép sử dụng kĩ thuật vi phân – dành cho có kĩphântích tốt) 1 1 2 1 1 d x 1 dx 1 x x I5 2 36 1 1 2 2 x 2 x 4 x x 2 x x x x Trang www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG 6) I 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 dx dx 3 x x x (1 x ) dt x :1 t :1 2 4 4 xdx dt (t 1) t 1 (t 1) t Khi I dt dt dt x (1 x ) 1 t (t 1) 1 t (t 1) 1 t t (t 1) 1 t t (t 1) H oc Đặt t x dt xdx xdx 4 uO nT hi D 1 1 1 t 1 dt ln ln t t t 1 2 t t 1 8 Cách 2: (Dùng kĩ thuật tách ghép) 2 (1 x ) x 1 x (1 x ) x 1 dx dx dx 3 dx 3 x (1 x ) x x(1 x ) x x(1 x ) x x x2 1 1 I6 2 5 d (1 x ) 1 dx ln x ln(1 x ) ln ln ln x x 1 x 2 8 2x 1 1 ie 1 x 1 2x 1 1 1 1 7) I dx dx dx 3 3 2 (1 x) (1 x) (1 x) (1 x) 2(1 x) 4(1 x) 18 dx x 1 x 2014 1 22014 dt (t 1)t 2014 x dx (1 x) 2 1 dt t 1 t t 1 ln 2014 t 1 22014 2015ln ln(1 2014 ) 2014 2 (1 t )2 dt 2t t 1 33 1 1 1 t 1 t dt 1 t t t dt 7t 3t 5t 4480 ce bo Khi I9 Đặt t x dt dx x : 1 t :1 1 1 2014 c 9) I9 ok om /g x 2013dx Khi I8 2014 2014 1 x 2014 x ro dt x :1 t : 2014 2014 up Đặt t x 2014 dt 2014 x 2013 dx x 2013dx s/ 8) I8 Ta iL fa Ví dụ Tính tíchphân sau: 1) I1 x2 dx x3 ln 2) I w w w Giải: 1) I1 x2 1 dx x3 tdt xdx Đặt t x t x 2 cận t : x t 1 2 I1 x2 x 1.xdx dx 1 x x3 t.tdt (t 1)2 t2 dt (1 t )2 Trang www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 01 Cách 1: (đổi biến) e x 1dx www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 Đặt t tan u dt http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 du (1 tan u)du cận u : cos u H oc 01 tan u.(1 tan u )du tan u sin u du cos udu sin udu 2 2 (1 tan u ) tan u cos u 0 I1 e x 1dx e x 1dx ln I2 ln 1 uO nT hi D 3t dt e x dx Đặt t e x t e x x cận t : e t ln 2) I cos 2u 4 3 1 3 du u sin 2u 24 2 0 e x 1.e x dx t.3t dt t 3dt 3 dt x 3 e t 1 t 1 t 1 0 0 ie Ta dùng phương pháp đồng hệ số: 1 A Bt C A.(t t 1) ( Bt C )(t 1) t (t 1)(t t 1) t t t A B 1 ( A B ) t ( A B C )t A C A B C A ; B ; C 3 A C ( Có thể chọn t t ba pt ẩn A, B, C giải tìm A, B, C (máy tính giúp ) ) 1 t 1 t 2 t 3(t 1) 3(t t 1) t t t up Vậy ta có: s/ Ta iL ro (2t 1) 1 1 d (t t 1) dt t2 I2 dt dt dt 2 t 1 t t 1 t 1 t t 1 t 1 t t 1 t t 1 0 0 0 om /g 1 ok ce bo 3(1 tan u ) dt du du cos t Đặt t tan u 2 2 t (1 tan u ) fa w w w J 3(1 tan u ) du 2 3(1 tan u ) Thay (2*) vào (*) ta : I ln t : cận u : 3 du u (2*) 6 dt dt 2 t t 2 t 2 (*) với J c 3t ln(t 1) ln(t t 1) J ln J 0 3 Trang 10 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 6 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Khi I1 t tan t cot t dt t cot t tan t dt cos t sin t cot t tan t dt t tan t cot t dt dt dt I1 2 sin t cos t 6 6 d sin t d cos t sin t I1 ln I1 ln I1 sin t cos t cos t 6 6 Vậy I1 ln I1 I1 ln I1 ln (*) 2 x sin x x cos x.(1 cos x) x sin x x(sin x cos x cos x) 2) I dx dx x cos xdx A B (*) dx cos x cos x cos x 0 0 uO nT hi D H oc 01 x sin x dx cos x Đặt x t dx dt x : t : ie +) Tính A t sin t dt t sin t dt sin t dt t.sin t dt sin t dt A 0 cos t 0 cos t 0 cos t 0 cos t cos t iL Ta Khi A (1 cos u )du cos u 2 (1) du u 4 u x du dx Đặt dv cos xdx v sin x c +) Tính B x cos xdx ro om Suy A du (1 cot u ) du sin tdt (1 cot u )du t : u : cos u 4 /g Đặt cos t tan u sin tdt up s/ sin t dt 0 cos t Vậy A ok Khi B x sin x sin xdx cos x 2 (2) bo ce Thay (1) , (2) vào (*) ta được: I 2 x sin x cos x dx fa 3) I 2 2 Đặt x 2 t dx dt x : 2 t : 2 0 2 t sin 2 t dt 2 2 t sin t dt 2 2 sin t dt 2 t.sin t dt 0 cos 2 t 0 cos t 0 cos t 0 cos t 2 d cos t 2 2 I 2 ln cos t I I I x sin x dx cos x w w Khi I 2 2 w cos t 3 Vậy I I I Trang 101 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 3 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 a T Bài toán 4: Hàm số f ( x) liên tục tuần hồn với chu kì T, : f ( x) dx f ( x)dx (*) a Từ ta suy 0 T f ( x) dx n f ( x) dx (2*) 01 nT T a T Ta có: a T T f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx a a H oc Chứng minh: (Trong thi muốn sử dụng tính chất em cần chứng minh sau) f ( x)dx (1) T Xét tích phân: Đặt x t T dx dt x : T a T t : a f ( x)dx a T Khi T a 0 uO nT hi D T a T f ( x) dx f (t T ) dt f (t )dt f ( x )dx f ( x )dx a a T Thay (2) vào (1) ta được: a a a T a T f ( x) dx f ( x)dx (*) iL ie Chú ý: f ( x ) có chu kì T f ( x T ) f ( x) f ( x )dx (2) T 2014 1) I1 cos xdx Giải: cos x dx cos x ro 2014 2) I up 1) I1 2014 s/ Tính tíchphân sau: Ta VÍ DỤ MINH HỌA Xét hàm f ( x) cos x với x cos xdx /g om Ta có: f ( x ) cos 2( x ) cos x f ( x) a T Do áp dụng tính chất c a 2014 I1 T f ( x) dx f ( x)dx (*) (trong em phải Chứng minh ) ta được: cos xdx cos xdx ok fa ce bo 2 3 2 0 0 2014 cos xdx 2014 sin x dx 2014 sin xdx 2014 cos x 4028 0 nT cos x dx cos x Hướng dẫn: 0 w w w cos xdx 2014 2013 cos xdx cos xdx cos xdx cos xdx Chú ý: Cách trình bày vừa cách ta chứng minh 2) I 2014 cos xdx cos xdx T f ( x) dx n f ( x) dx (2*) x 2sin cos x tan x f ( x) x cos x 2 cos 2 Trang 102 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 f ( x 2 ) f ( x) www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 TÍCHPHÂN TRUY HỒI H oc 01 Ở phần em tìm hiểu dạngtíchphân truy hồi I n f ( x, n)dx với câu hỏi haygặp là: uO nT hi D Thiết lập công thức truy hồi I n g ( I n k ) với k 1; n Chứng minh công thức truy hồi cho trước Sau thiết lập công thức truy hồi yêu cầu tính I n ứng với vài giá trị n tính giới hạn hàm số dãy số có liên quan với I n CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Xét tíchphân I n sin n xdx với n * ie Tính I I Xét dãy số (un ) cho un (n 1) I n I n1 Tìm lim un iL Tìm mối liên hệ I n I n Tính I n Ta up s/ Giải: Tìm mối liên hệ I n I n n ro +) Ta có: I n sin n xdx sin n x.(1 cos x)dx sin n xdx sin n x.cos xdx I n sin n x.cos xdx (1) 0 /g 0 om +) Tính sin n x.cos xdx sin n x.cos x.cos xdx ok c du sin xdx u cos x Đặt sin n 1 x n n n dv sin x cos x v sin x.cos xdx sin x.d sin x n 1 ce bo I I cos x.sin n 1 x 2 n2 Suy sin n x.cos xdx sin xdx n n (2) n 1 n 1 n 1 n 1 0 I n I n2 I n I n n I n I n n 1 n 1 n 1 n2 n 1 Ta có I n I n I n I n Khi : n 1 n2 fa Thay (2) vào (1) ta được: I n I n w w w Tính I5 I 4 8 I I I1 15 sin xdx 15 cos x 15 0 2 5 15 15 cos x 15 15 I6 I I sin xdx dx x sin x 6 24 24 48 96 0 Trang 103 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Ta có: +) Với n chẵn hay n 2k (k * ) Áp dụng (*) ta được: I2 I4 I I 2k I I 2k k 2k Với I n n2 I n (*) n 1 H oc 1 I sin xdx cos x 2 cos x 1 I sin xdx dx x sin x 2 0 0 ie Nhân theo vế đẳng thức ta được: 4.6 2k 4.6 k 3.5 (2k 1) I2 I2k I 2k I 2k 3.5 (2k 1) 3.5 (2k 1) 4.6 k Ta iL I1 I I I 2k I I k 3 2k 2 k 1 up s/ +) Với n lẻ hay n 2k (k * ) Áp dụng (*) ta được: om /g ro Nhân theo vế đẳng thức ta được: 3.5 (2k 1) 3.5 (2k 1) 2.4 (2k 2) I1 I k 1 I k 1 I k 1 2.4 (2 k 2) 2.4 (2k 2) 3.5 (2 k 1) Xét dãy số (un ) cho un ( n 1) I n I n 1 Tìm lim un n c n2 I n I n 1 ( n 2).I n 1 I n u n 1 n 1 Vậy un 1 un nên un un 1 u1 I1 I 2.1 lim un lim n n 2 bo ok Ta có: un ( n 1) I n I n 1 ( n 1) ce Chú ý: I n sin n xdx cos n xdx (xem lại Bài tốn lớp tíchphân đặc biệt) fa n w w w Ví dụ Xét tíchphân I n 1 x dx với n * Tính I n Giải: n Tính I n 1 x dx u (1 x )n du n.(1 x )n 1.(2 x)dx Đặt dv dx v x Trang 104 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 01 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 uO nT hi D Tính I n 0947141139 – 0925509968 GV: THANH TÙNG I n 1 n I n Tìm lim www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 1 Suy I n x(1 x ) n 2n x 1 x n 1 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 dx n 1 1 n 1 n dx 2n 1 x dx 1 x dx n I n 1 I n 0 2n Vậy I n 2n I n 1 I n I n I n 1 (*) 2n 2n 2n n 2 n 2n 4.6.8 n Từ (*) ta có: I n I n 1 I n I1 I1 (1) 2n 2n 2n 2n n 5.7.9.(2n 1) 1 x3 Mặt khác: I1 1 x dx x (2) 0 iL 2n 2( n 1) I 2n I 2n , suy lim n 1 lim I n 1 I n 1 I n n 1 1 n n 2n 2( n 1) In 2n In 2n Ta Ta có: I n 2.4.6.8 2n 3.5.7.9.(2n 1) ie Thay (2) vào (1) ta được: I n H oc n 1 2n 1 (1 x ) 1 x uO nT hi D 1 1 n 1 n dx 2n 1 x dx 1 x dx n I n 1 I n 0 01 2n 1 (1 x ) 1 x s/ Ví dụ Xét tíchphân I n tan n xdx với n * In n 1 Tính I5 I Giải: In n 1 om Chứng minh rằng: I n /g ro Chứng minh rằng: I n up c Ta có: I n tan n xdx tan n x tan n x tan n x dx tan n x 1 tan x tan n x dx bo ok I n (đpcm) n 1 Tính I I fa ce Vậy I n 4 sin x d cos x I tan xdx dx ln cos x ln 0 cos x cos x Ta có: 4 I tan xdx dx tan x x 0 0 cos2 x w w w tan n x tan n 1 x n n dx tan xdx tan xd tan x I In In n cos x n 1 n 1 0 Trang 105 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 In n 1 1 1 1 I I I1 ln ln Ta có: I I I 13 5 15 H oc 01 Áp dụng công thức truy hồi I n en 1 e nx dx * , với Chứng minh rằng: I I n 1 n n 1 ex n 1 uO nT hi D Xét tíchphân I n Ví dụ Xét tíchphân I n (3 x) n e x dx , với n * Chứng minh rằng: I n 3n nI n 1 Giải: en 1 enx dx * , với n Chứng minh rằng: I I n1 n 1 ex n 1 e e x 1 dx ex e ( n 1) x n 1 1 I n1 (đpcm) n 1 e( n 1) x dx n 1 en 1 n 1 s/ hay I n ( n 1) x iL e enx dx e( n 1) x dx Ta có I n I n 1 x x 1 e 1 e 0 Ta ie Xét tíchphân I n up Xét tíchphân I n (3 x) n e x dx , với n * Chứng minh rằng: I n 3n nI n 1 ro om /g n n 1 u (3 x) du n(3 x) dx Đặt x x v e dv e dx Khi I n (3 x) n e x n (3 x ) n 1 e x dx 3n nI n 1 0 n ok c Vậy I n 3 nI n 1 (đpcm) bo Ví dụ Cho I n x x n dx với n * Biết (un ) dãy số cho un Khi : fa ce du nx n 1dx u x n Giải: Đặt dv xdx v xdx (1 x) x In tính lim un I n 1 w w w 1 2 2 n n 1 I n (1 x ) x x n. (1 x ) x x dx n x x n 1dx x x n dx n I n 1 I n 3 0 2n Vậy I n n I n 1 I n (2n 3) I n 2nI n 1 I n I n 1 2n 2n 2n I 2n Suy I n 1 lim un lim I n 1 lim 1 In n 2n 2n I n 1 2n Trang 106 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 01 VII DÙNG TÍCHPHÂN ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC Cnk n Bước : Khai triển (1 x) n Cnk x k Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn x n k 0 uO nT hi D Bước : Lấy tíchphân hai vế với cận thích hợp : (1 x)n dx Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn x n dx H oc PHƯƠNG PHÁP GIẢI: ( Nếu hệ số đẳng thức cần chứng minh có chứa b k a k ta chọn cận tíchphân b ) a DẤU HIỆU NHẬN BIẾT : Các hệ số đẳng thức cần chứng minh có dạngphân số, đồng thời mẫu số thường tăng giảm đơn vị iL ie CÁC VÍ DỤ MINH HỌA om /g ro up s/ Ta Ví dụ 1: Với n Chứng minh rằng: 20 12 203 123 20 n 1 12 n 1 n 21n 1 13n 1 1) 8Cn0 Cn Cn Cn n 1 n 1 n 1 n 1 4 1 2) 4Cn0 Cn1 Cn2 Cnn n 1 n 1 1 n1 3) Cn0 Cn1 Cn2 Cnn n 1 n 1 62 1 63 n1 n n 1 n1 4) 5Cn0 Cn Cn Cn n 1 n 1 c Giải: 202 122 203 123 20 n1 12 n1 n 21n1 13n 1 Cn Cn Cn n 1 n 1 n 2 n n +) Ta có: (1 x) Cn Cn x Cn x Cn x bo ok 1) 8Cn0 20 12 12 20 (1 x) ce +) Suy ra: n dx n 1 20 w w w fa (1 x) n 1 n 1 21 12 n Cn1 x Cn2 x Cnn x n dx 20 x2 x3 x n 1 Cn0 x Cn1 Cn2 Cnn n 12 n 1 13 n 1 Hay 8Cn0 C 8Cn0 202 12 203 123 20 n 1 12n 1 n Cn Cn Cn n 1 20 12 203 123 20 n 1 12 n 1 n 21n 1 13n 1 Cn Cn Cn (đpcm) n 1 n 1 Trang 107 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 42 43 4n 1 n 5n1 Cn Cn Cn n 1 n 1 +) Ta có: (1 x ) n Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn x n 2) 4Cn0 n 1 (1 x) n 1 H oc dx Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn x n dx x2 x3 x n 1 Cn0 x Cn1 Cn2 Cnn n 1 (1 x) n 01 +) Suy ra: 1 42 43 n 1 n 4Cn0 Cn1 Cn2 Cn n 1 n 1 Hay 4Cn0 uO nT hi D n 1 42 43 n1 n 5n1 (đpcm) Cn Cn Cn n 1 n 1 iL n 2 n n (1 x) dx Cn Cn x Cn x Cn x dx Ta +) Suy ra: ie 1 2n 1 3) Cn0 Cn1 Cn2 Cnn n 1 n 1 +) Ta có: (1 x) n Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn x n 1 2n 1 1 1 Cn0 Cn1 Cn2 Cnn n 1 n 1 ro up s/ (1 x) n 1 x2 x3 x n 1 Cn0 x Cn1 Cn2 Cnn n 1 n 1 om /g 1 2n 1 Hay Cn0 Cn1 Cn2 Cnn (đpcm) n 1 n 1 62 1 63 n 1 n n 1 n 1 Cn Cn Cn n 1 n 1 n 2 n n +) Ta có: (1 x) Cn Cn x Cn x Cn x ok c 4) 5Cn0 6 n 2 n n (1 x) dx Cn Cn x Cn x Cn x dx bo +) Suy ra: n 1 fa ce (1 x) n 1 2 n 1 Hay 5Cn0 n 1 x2 x3 x n 1 Cn0 x Cn1 Cn2 Cnn n 1 1 63 6n 1 n 5C Cn Cn Cn n 1 n 1 63 6n 1 n n 1 n 1 Cn Cn Cn (đpcm) n 1 n 1 w w w n 1 Trang 108 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 22 1 23 2n1 n Cn Cn Cn n 1 01 Ví dụ ( B – 2003) Cho n số nguyên dương Tính tổng: Cn0 H oc Giải: +) Ta có: (1 x ) n Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn x n 1 (1 x) n 1 uO nT hi D n 1 +) Suy ra: (1 x)n dx Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn x n dx x2 x3 x n1 Cn0 x Cn1 Cn2 Cnn n 1 3n1 2n1 22 1 23 2n1 n Cn0 Cn Cn Cn n 1 n 1 2 1 23 2n 1 n 3n 1 n 1 Cn Cn Cn n 1 n 1 om /g ro up s/ Ta Ví dụ :Với n Chứng minh rằng: 1 (1)n n 1) Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 Cn n 1 n 1 2n 1 1 1 2) C21n C23n C25n C22nn1 (A – 2007) 2n 2n 1 1 4n 3) C20n C22n C24n C22nn 2n 2n iL ie Vậy Cn0 Giải: bo ok c 1 ( 1) n n 1) Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 Cn n 1 n 1 n 2 3 +) Ta có: (1 x ) Cn Cn x Cn x Cn x ( 1) n Cnn x n +) Suy ra: (1 x) n dx Cn0 Cn1 x Cn2 x Cn3 x ( 1) n Cnn x n dx ce w w w fa (1 x) n 1 n 1 1 x2 x3 x4 x n 1 Cn0 x Cn1 Cn2 Cn3 (1)n Cnn n 1 1 1 (1)n n Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 Cn n 1 n 1 1 (1) n n Hay Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 Cn (đpcm) n 1 n 1 Trang 109 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 1 22 n C2 n C2n C2n C22nn1 (A – 2007) 2n 2n (1 x) n C20n C21n x C22n x C23n x3 C22nn 1 x n 1 C22nn x n (1) +) Ta có: 2n 2 3 n 1 n 1 C22nn x n (2) (1 x) C2 n C2 n x C2 n x C2 n x C2 n x 01 2) (1 x)2 n (1 x )2n C21n x C23n x3 C25n x5 C22nn1 x n1 1 (1 x) n (1 x) n +) Suy ra: dx C21n x C23n x3 C25n x5 C22nn 1 x n 1 dx 0 H oc +) Lấy (1) – (2) ta được: (1 x) n (1 x)2 n C21n x C23n x3 C25n x C22nn 1 x n 1 uO nT hi D 1 (1 x) n 1 (1 x) n 1 x2 x4 x6 x 2n C21n C23n C25n C22nn 1 2n 2n 1 4n 3) C20n C22n C24n C22nn 2n 2n 2n 2 +) Ta có: (1 x) C2 n C2 n x C2 n x C22nn x n 1 2n (1 x) dx C 1 2n 1 n 1 ro 2 n 1 2 2C20n C22n C24n C22nn 2n 2n om x2 x3 x n 1 C20n x C21n C22n C22nn n 1 1 /g (1 x) 2n ie C21n x C22n x C22nn x n dx up +) Suy ra: Ta 1 22 n (đpcm) C2 n C2n C2n C22nn1 2n 2n s/ Hay 22 n 1 1 C2 n C2 n C2 n C22nn 1 2n 2n iL w w w fa ce bo ok c 1 4n Hay C20n C22n C24n (đpcm) C22nn 2n 2n Trang 110 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 uO nT hi D H oc Qua phần tìm hiểu trên, em nhận thấy tíchphân ta có tay hai cơng cụ để giải ĐỔI BIẾN TÍCHPHÂN TỪNG PHẦN vài kĩ thuật để làm cho hai công cụ phát huy tác dụng như: Tách tíchphân (dùng phương pháp đồng hệ số, thêm bớt…), kĩ thuật nhân, chia dấu tích phân, kĩ thuật vi phân, dùng công thức để biến đổi (cơng thức lượng giác, đẳng thức…), sử dụng tíchphân liên kết ( quan sát để tìm tíchphân liên kết, sử dụng cận để đổi biến, sử dụng đẳng thức tính chẵn lẻ hàm số…) Vì tổng kết lại sau : Khi đứng trước tốn tíchphân em có hướng : TH1: Nếu dấu tíchphân có : +) Hướng tư 1: Đặt t ( cho tất đề thiĐạiHọc – CaoĐẳng từ 2002 – 2013) Nếu không ổn chuyển sang: 01 VIII KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TỐN TÍCHPHÂNĐẠIHỌC +) Hướng tư thứ 2: Với tíchphân I f ( ax bx c )dx mà ax bx c ta biến đổi dạng: m cos t m2 u đặt u m sin t ( u m cos t ) *) u m đặt u *) u m đặt u m tan t ( u m cot t ) *) u u đặt u sin t (u m ) sin t ( u cos t ) ie *) dx x k x2 k ( x x k )dx 2 (x x k ) x k ta không dùng tới phương pháp Cụ thể ta biến đổi: s/ dx up d ( x x2 k ) (x x k ) ro CHÚ Ý: Với tíchphân có dạng Ta iL m x Với tíchphân I f đặt x m cos 2t m x dx ln( x x k ) bo ok c om /g Nếu chưa ổn chuyển sang : +) Hướng tư thứ 3: Nhân với lượng liên hợp tương ứng quay hướng tư đầu TH2 : Nếu dấu tíchphân có hàm lượng giác hàm mũ có dạng sin u eu mà u ax b ( nghĩa u không hàm bậc bậc không ) điều đặt t u Sau quay TH1 TH3 TH3: Nếu dấu tíchphân xuất hai bốn hàm: log, đa thức ( kể phân thức), lượng giác mũ liên hệ với phép nhân theo : +) Hướng tư 1:Sử dụng tíchphânphần theo thứ tự ưu tiên “u→dv” : “log → đa thức → lượng giác → mũ” b b b ce (nghĩa anh đứng trước thứ tự thầy nêu đặt u anh đứng sau dv: udv uv a vdu ) a fa ( Các em có cách nhớ “hài hước” theo thứ tự “u→dv” là: “nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” ) Nếu vấn chưa ổn chuyển sang: +) Hướng tư 2: Sử dụng kĩ thuật vi phân ( du u ' dx (**) ) đổi biến Nếu sử dụng (**) : +) theo chiều thuận (từ Trái Phải): em phải tính đạo ĐẠO HÀM +) theo chiều nghịch (từ Phải Trái): em phải tính NGUN HÀM Các em nhớ theo cách sau : “đưa vào vi phân tính NGUN HÀM, đưa tính ĐẠO HÀM” w w w a Trang 111 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 TH4: Nếu dấu tíchphân có dạng hữu tỉ: I http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 f ( x) g ( x) dx +) Hướng tư 1: Nếu bậc f ( x) lớn bậc g ( x ) Thì thực phép chia chuyển I dạng: H oc r ( x) r ( x) I h( x) dx I1 I Với I1 tính đơn giản tính I chuyển sang: dx h( x)dx g ( x ) g ( x) uO nT hi D f ( x) A dx A I A ln ax b g ( x) ax b a ax b +) Hướng tư 2: Nếu bậc f ( x) nhỏ bậc g ( x) theo thứ tự: *) Hướng tư 2.1: Nếu ? k ax bx c ' l Ax B f ( x) Ax B I *) Hướng tư 2.2: Nếu biến đổi ax bx c ax bx c dx g ( x) ax bx c tính I3 l I ie iL d (ax bx c) dx l k ln ax bx c ax bx c ax bx c dx cách chuyển sang Hướng tư 2.3: ax bx c Ta k s/ f ( x) A dx I A g ( x) ax bx c ax bx c thì: up *) Hướng tư 2.3: Nếu dx A A x x2 ln ? **) Khả 1: I A dx a( x2 x1 ) x x2 x x1 a( x2 x1 ) x x1 a ( x x1 )( x x2 ) /g dx A a( x x0 ) a( x x0 ) om **) Khả 2: I A ro ? ok c kdt k (1 tan t )dt A dx dx **) Khả 3: I đặt x x0 k tan t cos t a ( x x0 )2 k ( x x )2 k k (1 tan t ) A k (1 tan t ) A A( 1 1 ) dt dt 2 a 1 k (1 tan t ) ka 1 ka ? ce bo I w w w fa *) Hướng tư 2.4: Nếu g ( x ) có bậc lớn tìm cách đưa hướng tư 2.1, 2.2, 2.3 kĩ thuật: +) Đổi biến tách ghép, nhân, chia để giảm bậc +) Đồng hệ số theo thuật toán: f ( x) m ( ax b ) (cx dx e) n A1 (ax b) A2 ( ax b ) Am ( ax b) m B1 x C1 (cx dx e) B2 x C2 (cx dx e) Bn x Cn (cx dx e) n Sau quy đồng bỏ mẫu số dùng tính chất “hai đa thức hệ số tương ứng nhau” từ ta tìm Ai , B j , C j (i 1, m; j 1, n) dùng cách chọn x để tìm Ai , B j , C j Trang 112 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 TH5: Nếu dấu tíchphân có dạng lượng giác: I f (sin x, cos x)dx thì: +) Hướng tư 1: Nếu I sin m x.cos n xdx ( m, n Z ) dựa vào tính chẵn, lẻ để đổi biến.Cụ thể: H oc *) Nếu m, n khác tính chẵn lẻ em đặt t theo anh mang mũ chẵn Cụ thể : **) m chẵn, n lẻ đặt t sin x ** ) m lẻ, n chẵn đặt t cos x *) Nếu m, n tính chẵn lẻ Cụ thể : uO nT hi D **) m, n lẻ đặt t sin x t cos x (kinh nghiệm nên đặt theo anh mang mũ lớn hơn) **) m, n chẵn đặt t tan x (hoặc t cot x ) dùng công thức hạ bậc, biến đổi lượng giác +) Hướng tư : Nếu I f (sin x).cos xdx đặt t sin x I f (cos x).sin xdx đặt t cos x h( x ) h( x), g ( x) chứa hàm lượng giác thì: g ( x) iL ie +) Hướng tư 3: Nếu f (sin x, cos x) Ta *) Hướng tư 3.1 : Ý nghĩ tính g '( x) phântích h( x) u.g ( x) l ( g ( x)) g '( x ) s/ I udx r ( g ( x )).g '( x)dx I1 I tính I r ( g ( x)).g '( x)dx đổi biến: t g ( x) up ro ( Hướng tư áp dụng với h( x), g ( x) chứa hàm khác loga, đa thức, mũ…) /g Nếu việc phântích h( x) gặp khó khăn ta chuyển tới việc làm “thủ công” qua Hướng tư 3.2 om *) Hướng tư 3.2: Nếu h( x), g ( x) hàm bậc theo sin x cos x dùng phương pháp ok c đồng hệ số Cụ thể : h ( x) a sin x b cos x c sin x d cos x c cos x d sin x A B **) Khi đó: g ( x) c sin x d cos x c sin x d cos x c sin x d cos x bo c cos x d sin x d (c sin x d cos x) I A dx B dx A dx B A.x B ln c sin x d cos x ? c sin x d cos x c sin x d cos x h( x) a sin x b cos x e c sin x d cos x h c cos x d sin x A B C g ( x) c sin x d cos x h c sin x d cos x h c sin x d cos x h c sin x d cos x h ce **) dx hai cách: c sin x d cos x h fa Khi đó: I Ax B ln c sin x d cos x h C I ta tính I3 w w w C1: Dùng công thức biến đổi lượng giác để chuyển công thức lượng giác bảng nguyên hàm Nếu không ổn chuyển sang : x 2dt 2t 1 t2 C2: Đặt t tan dx Sau quay TH4 sinx ; cos x 1 t2 1 t2 1 t2 Trang 113 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 0947141139 – 0925509968 *) Hướng tư 3.3: Nếu I Với trường hợp haygặp : I http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 f (tan x) f (cot x ) dx (hoặc I dx ) đặt t tan x (hoặc t cot x ) 2 cos x sin x f (tan x).dx a sin x b sin x cos x c cos x (hoặc I f (cot x).dx ) a sin x b sin x cos x c cos x H oc dx f (tan x) f (t ) biến đổi: I sau đặt t tan x dt I dt dx 2 2 cos x 1 at bt c cos x ( a tan x b tan x c ) dt (cos x sin x) dx f (sin x cos x;sin x cos x)dx đặt t sin x cos x t2 1 sin x cos x uO nT hi D *) Hướng tư 3.4: Nếu I Sau quay TH4 Sau quay TH4 b a f (ln u ) dx đặt t ln u u ie TH6: Khi gặptíchphân chứa hàm log chứa hàm mũ ta có hướng sau : *) Hướng tư 1: Nếu có dạng I iL ( đặt t g (ln u ) nghĩa đặt t hàm theo ln u ) Ta Nếu dấu tíchphân có mặt log a u em nên chuyển ln u công thức : log a u ln u ln a s/ b up *) Hướng tư 2: Nếu có dạng I f (e x ) dx đặt t e x ( t hàm theo e x ) a ro TH7: Nếu dấu tíchphân có dấu trị tuyệt đối I f ( x) dx tìm cách phá trị tuyệt đối cách /g xét dấu f ( x ) đoạn ; Cụ thể: om B1: Giải phương trình f ( x) xi ? chọn xi [ ; ] chuyển sang: c B2: Lập bảng xét dấu: (Giả sử ta bảng xét dấu: bo xi ) f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx ( ) để tách : ok B3: Ta dựa vào công thức xi I f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx f ( x)dx f ( x)dx Sau chuyển sáu TH đầu ce xi xi fa TH8: Khi tốn u cầu tính diện tích hình phẳng thể tích vật thể tạo quay hình phẳng qua trục Ox, Oy em cần nhớ kiến thức sau: Hình phẳng giới hạn đường : w w w b b (2*) y f ( x) S f ( x) g ( x) dx S f ( x) dx a a (nếu y g ( x) ) y g ( x) b b x a ; x b a V f ( x) g ( x) dx (3*) V f ( x)dx a 0x 0x a Nếu khơng dựa vào hình vẽ cần phá trị tuyệt đối chuyển TH6 Trang 114 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 01 GV: THANH TÙNG www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 ie Hy vọng viết giúp ích nhiều cho bạn đọc http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 uO nT hi D Mọi ý kiến góp ý xin chuyển vào email: giaidaptoancap3@yahoo.com Các bạn tham khảo viết khác ghé qua trang: H oc Mặc dù cố gắng song với khả khoảng thời gian hạn chế, với lượng giải lớn nên viết không tránh khỏi sai xót Rất mong góp ý xây dựng từ phía bạn đọc, để viết hồn thiện w w w fa ce bo ok c om /g ro up s/ Ta iL CẢM ƠN CÁC BẠN ĐÃ ĐỌC TÀI LIỆU ! Trang 115 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 01 GV: THANH TÙNG ... f g ( x), n g ( x) g '( x)dx 01 IV 10 DẠNG TÍCH PHÂN HAY GẶP TRONG CÁC KÌ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG (*) H oc ie uO nT hi D CÁCH GIẢI CHUNG Ta iL Các ví dụ minh họa 4 x x 1 1 x3 x... http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 01 Trước vào 10 dạng tích phân hay gặp kì thi Đại Học – Cao Đẳng em cần nắm cách tính tích phân lượng giác qua ví dụ sau: A sin k xdx B cos k xdx ... số có bậc ) +) Nếu tức ta phân tích mẫu thành đẳng thức dùng kĩ thuật tách ghép để đưa tích phân dạng biết +) Nếu tức ta khơng thể phân tích mẫu số thành tích đẳng thức -) Nếu tử số khác