10 DẠNG TÍCH PHÂN HAY GẶP TRONG CÁC ĐỀ THI CAO ĐẲNG ĐẠI HỌC

Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 10 DẠNG TÍCH PHÂN HAY GẶP TRONG CÁC KÌ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Trong các kì thi Đại Học – Cao Đẳng câu tích phân mặc định xuất đề thi môn Toán Tích phân câu hỏi khó, toán “nhẹ nhàng”, mang tính chất “cho điểm” Vì việc điểm trở nên “vô duyên” với bỏ chút thời gian đọc tài liệu Ở viết nhỏ cung cấp tới em dạng tích phân thường xuyên xuất kì thi Đại Học - Cao Đẳng ( đề thi không nằm dạng này) Với cách giải tổng quát cho dạng, ví dụ minh họa kèm, với lượng tập đa dạng, phong phú Mong sau đọc tài liệu, việc đứng trước toán tích phân không rào cản em Chúc em thành công ! Trong viết giới thiệu tới em phần: Trang I SƠ ĐỒ CHUNG GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN …………………………… II CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ…………………………… III LỚP TÍCH PHÂN HỮU TỈ VÀ TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN… –12– 26 IV 10 DẠNG TÍCH PHÂN TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG 27 – 81 V ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN…………………………………………………… 82 – 93 VI CÁC LỚP TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT VÀ TÍCH PHÂN TRUY HỒI…… 94 – 102 - 106 VII DÙNG TÍCH PHÂN ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC CHỨA Cnk …… 107 - 110 VIII KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN ĐẠI HỌC ………………111- 114 I SƠ ĐỒ CHUNG GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN Trang Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 II CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ Điều kiện tiên để làm tốt phần tích phân phải nhớ hiểu cách vận dụng công thức nguyên hàm sau: (chỉ cần hiểu công thức biết cách suy luận công thức lại)  1    ax  b  x 1    x dx     C ;   ax  b dx  a    C u 1 1)  u du   C (  1)    1 du du 1  du  u  C ;    C;        1  C  u u u   u     dx  ln x  C  du 2)  ln u  C   x u  dx  ln ax  b  C   ax  b a  x ax a dx   C;  eu du  eu  C u   a a ln C   3) au du  ln a  e x dx  e x  C; eax b dx  eaxb  C    a   sin xdx   cos x  C 4)  sin udu   cos u  C     sin(ax  b)dx   cos(ax  b)  C a    cos xdx  sin x  C 5)  cos udu  sin u  C     cos( ax  b)dx  sin( ax  b)  C a   dx   sin x   cot x  C du 6)   cot u  C   dx sin u    cot(ax  b)  C  sin (ax  b) a  dx   cos x  tan x  C du 7)   tan u  C   dx cos2 u   tan(ax  b)  C  cos (ax  b) a  du ua   a  u   2a ln u  a  C du 1  ua  8)  2     du  ln C    u  a 2a  u  a u  a  2a u  a dx xa   ln C   x  a 2a xa Trang Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 III LỚP TÍCH PHÂN HỮU TỈ VÀ TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC LỚP TÍCH PHÂN HỮU TỈ  CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ I   f ( x) dx  g ( x) (*) Chú thích: Sơ đồ hiểu sau : Khi đứng trước toán tích phân có dạng hữu tỉ trước tiên ta quan tâm tới bậc tử số mẫu số *) Nếu bậc tử số nhỏ bậc mẫu số, ta ý tới bậc mẫu số Cụ thể: ++) Nếu bậc mẫu số ta có công thức bảng nguyên hàm đưa đáp số ++) Nếu bậc mẫu số ta quan tâm tới  hay “tính có nghiệm” phương trình mẫu +) Nếu   tức ta phân tích mẫu thành tích dùng kĩ thuật tách ghép để tách thành hai biểu thức có mẫu bậc (quay trường hợp mẫu số có bậc ) +) Nếu   tức ta phân tích mẫu thành đẳng thức dùng kĩ thuật tách ghép để đưa tích phân dạng biết +) Nếu   tức ta phân tích mẫu số thành tích đẳng thức -) Nếu tử số khác ta dùng phương pháp lượng giác hóa để chuyển dạng ( theo cách đổi biến sơ đồ trên) -) Nếu tử có dạng bậc ta chuyển bậc ( số hay số tự do) kĩ thuật vi phân cách trình bày sơ đồ quay trường hợp trước (tử số khác ) ++) Nếu bậc mẫu số lớn ta tìm cách giảm bậc phương pháp đổi biến kĩ thuật: Nhân, chia, tách ghép (đồng hệ số), vi phân… *) Nếu bậc tử số lớn bậc mẫu số ta chuyển sang TH2 (trường hợp 2) Trang Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 CHÚ Ý : Việc đồng hệ số dựa theo cách phân tích sau: f ( x) m ( ax  b) (cx  dx  e) n  A1 ( ax  b )  A2 (ax  b)   Am m ( ax  b )  B1 x  C1 (cx  dx  e)  B2 x  C2 2 (cx  dx  e)   Bn x  Cn (cx2  dx  e)n Sau quy đồng bỏ mẫu, dùng tính chất “hai đa thức hệ số tương ứng chúng nhau” từ tìm Ai , B j , C j (i  1, m; j  1, n) dùng cách chọn x để tìm Ai , B j , C j Các ví dụ minh họa Ví dụ Tính tích phân I   Giải: 1) Với k  dx với : x  2x  k 1) k  2) k  3) k  : 2 2 4dx (2 x  3)  (2 x  1)  2x  15  I dx    dx  ln   2   ln  x  8x  (2 x  1)(2 x  3) x  2x   2x  x2  2x  0 dx 2) Với k  : I   3) Với k  : I   2 dx dx    2 x  x  ( x  1) x 1 dx dx  x  x  ( x  1)2  3dt      Đặt x   tan t với t    ;   dx   3.(1  tan t )dt x :  t :  cos t  2  Khi I     3.(1  tan t )dt 3 3  dt  t    3.(tan t  1)  18 Ví dụ Tính tích phân sau: dx 1) I1   2) dx I2   4x  2x  x  1 5) I   4x  dx x2  x  2 6) I   1 3) I   3x  dx 4x  x  Trang dx x  6x  7) I  x 1 x 3 dx  2x  4) I   dx x  2x  2 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 2 3 Giải: 1) I1   dx  ln x   ln 4x 1 1 2) I  0 (2 x  3)  2( x  1) dx ( x  1)(2 x  3) 1 dx dx 1 x  x   1 ( x  1)(2 x  3)    1   x 1    dx  ln  1  x  x   2x  1 ln  ln   1 1 dx dx 1    2 x  x  ( x  3) x  12 3) I3   4) I   dx dx  x  x  ( x  1)  dt     Đặt x   tan t với t    ;   dx   (1  tan t )dt x :  t :   cos t  2 Khi I    5) I    (1  tan t )dt  tan t   dt  t       1 4x  ( x  1)  3( x  2)   dx   dx      dx   ln x   3ln x    ln 2 x  x2 ( x  1)( x  2) x  x 1  0 Chú ý: Việc phân tích x   x   3( x  2) có ta tìm hệ số a , b thỏa mãn: a  b  a  x   a ( x  1)  b( x  2)  x   ( a  b) x  a  2b    a  2b  5 b  3 2  x  1   3x  dx   6) I    dx   dx  2   4x  4x  (2 x  1) 2(2 x  1) 2(2x  1)  1 1 3  7   ln x     ln  4(2 x  1)  4 2  x  2  (2 x  2) x 3 dx 7) I   dx   2 dx   dx    A  B (*) x  2x  x  2x  1 x  x  x  2x  1 1 1 2 +) Tính A  +) Tính B  (2 x  2) d ( x  x  4) dx  1 x  x  1 x  x   ln x  x  1  ln (1) dx dx 1 x  x   1 ( x  1)2  3dt     Đặt x   tan t với t    ;   dx   3.(1  tan t )dt x : 1  t :  cos t  2  B   3.(1  tan t )dt 3   dt  t  (2) Thay (1) (2) vào (*) ta được: I  ln    tan t  3 Trang Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 Ví dụ Tính tích phân sau: 2 x3  x  x  1) I1   dx 2x 1 1 2) I   2 ( x  1) dx ( D – 2013) x2  4) I   5) I   x  x3  x  x  dx x2  2x  3) I3   x3  x  x  dx 4x2  x  2x  x  dx x2  2x  Giải: 2  x3  x3  x  x   10  1) I1   dx    x    ln  dx    x  ln x    2x 1 2x 1   1 1 2) I   1  x  x3  x  x  x5  2( x  1)  ( x  3)   dx  x   dx  x 1 dx    2   x  2x  x  2x   ( x  1)( x  3)  0  1  x3     dx    x2 1       x  ln x   ln x    ln  ln    x  x    0  3) I3   2    x3  x  x  6x   3(2 x  1)  1  dx x dx x dx x dx           2  2    4x  x  4x  x   (2 x  1)  x  (2 x  1)  1    x2  11    ln x      ln 2(2 x  1)   2 ( x  1)2 dx ( D – 2013) x2  4) I   1 I4   1 1 x2 1  2x 2x  2x d ( x  1)          x  ln( x 1)    ln dx dx dx dx dx   2 2      x 1 x 1  x 1 x 1 0 0 0   (2 x  2)   2  2x2  x 1 x    5) I5   dx      dx  dx     2 4 x  x  x  x  x  2x    0 0   2 2 3 d ( x  x  4) dx     x  ln( x  x  4)   6I   ln  6I (*)   dx    6 x  2x   x  2x  2 0 0 Tính I   dx dx  x  x  ( x  1)2   dt  3(1  tan t )dt    dx     Đặt x   tan t (với t    ;  )   x :  t :  cos t  2 2  ( x  1)   3(1  tan t )  I     6 3(1  tan t )dt 3 3  dt  t   3(1  tan t )   18 3 (2*) Thay (2*) vào (*) ta được: I5   ln  Trang Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 Ví dụ Tính tích phân sau: 4) I   1 x7 2) I   dx (3  x )2 (B – 2012) 1 2x  dx ( x  x)( x  x  3) 5) I5  x dx (1  x )3 Giải: 1) I1   8) I8   x3 dx x4  3x2  3) I3  dx x 1  x 2014  1 x2  dx x( x  3x  2) 6) I   9) I9  (B – 2012) Đặt t  x  dt  xdx hay xdx  x :  t :   I1    x 1 2 x  x3  x  x  dx 7) I   x3 1) I1   dx x  3x2  dx x  x5 x dx  (1  x)8 1 dt 1 x xdx t.dt 2(t  1)  (t  2)       dt      dt x  x  2 t  3t  2 (t  1)(t  2)  t  t  1 1     ln t   ln t    ln  ln 2  0  dt  8 x dx  x3 dx   dt   x :  t :  Đặt t   x    t  x4   3t 1 x x 3 t Khi I       dx x dx dt dt 0 (3  2x )2 (3  x )2 3 t 16 1 t x7 2) I   dx (3  x ) 3  1 1  ln       dt     ln t   16  t t  16  t 16 1 3) I3   x2  dx x( x  x  2) Khi I3   dt x :1  t :1  2 ( x  1) t 1 xdx   dt x ( x  x  2) t (t  3t  2) Lúc ta phân tích hệ số Cụ thể: Đặt t  x  dt  xdx  xdx  t 1 thành tổng phân thức có mẫu bậc phương pháp đồng t (t  3t  2) t 1 t 1 A B C     t (t  3t  2) t (t  1)(t  2) t t  t   t   A(t  1)(t  2)  Bt (t  2)  Ct (t  1) (*) Việc tìm A, B, C làm theo cách :  A  A  B  C    Cách 1: (*)  t   ( A  B  C )t  (3 A  B  C )t  A 3 A  B  C    B   A  1   C    Trang Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 +) Chọn t  1 (*) có dạng: 2   B  B  Cách 2: +) Chọn t  (*) có dạng: 1  A  A   +) Chọn t  2 (*) có dạng: 3  2C  C     Vậy I3       dt  2t t  2(t  2)  2 ln  11.ln      ln t  ln(t  1)  ln(t  2)   4  1 2 2x  2x  2x  dx   dx   dx 2 ( x  x)( x  x  3) x( x  2)( x  1)( x  3) ( x  3x)( x2  3x  2) 1 4) I   Cách 1: (đổi biến) Đặt t  x  x  dt  (2 x  3) dx x :1  t :  10 10 10 dt 1  t Khi I       dt  ln t (t  2)  t t   t2 10  15 ln 12 Cách 2: (tách ghép sử dụng kĩ thuật vi phân) 2 2 ( x  x  2)  ( x  x)  (2 x  3)  (2 x  3)dx (2 x  3)dx  I4    dx     2  x  3x   21 ( x  3x )( x  3x  2)  x  3x 2  d ( x  3x) d ( x  3x  2)  x  3x     ln   x  3x x  x   x  3x  1 5) I5   1 15 ln 12 x 2 x 1 dx  x  x2  4x  Chia tử mẫu biểu thức tích phân cho x ta được:   1   dx  x  I5   dx   1 1   2 x  x   2  x    4 x      x x x   x  1 1 x2 1    dt  1   dx    x  Cách 1: (đổi biến) Đặt t  x    x : 2  1 t :   2 x t  x   2  x 2 2 2    2 dt dt dt 1 Khi I5       t   36 (t  2)  4t  t  4t  (t  2) 2 2 Cách 2: (tách ghép sử dụng kĩ thuật vi phân – dành cho có kĩ phân tích tốt) 1 1    2 1 1 d  x  1   dx 1 x  x    I5      2 36 1 1   2  2  x 2  x    4 x     x  2 x  x x x     Trang Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV: THANH TÙNG 6) I   0947141139 – 0925509968 dx dx  3 x x x (1  x ) Cách 1: (đổi biến) dt x :1  t :1  2 4 4 (t  1)  t 1   (t  1)  t  xdx dt Khi I     dt dt dt     1  t t (t  1)  1  t t (t  1)  x (1  x ) 1 t (t  1) 1 t (t  1) Đặt t  x  dt  xdx  xdx  4 1 1  1 t 1      dt     ln    ln   t t t 1 2 t t 1 8 Cách 2: (Dùng kĩ thuật tách ghép) 2  (1  x )  x  1  x  (1  x )  x 1 dx dx   dx       3   dx  3     x (1  x ) x x(1  x )  x x(1  x )  x x  x2  1   1 I6   2 5 d (1  x )    1     ln x  ln(1  x )    ln  ln   ln      dx   x x 1 x 2 8  2x 1 1 1 1   x 1 2x 1  1 1 1 7) I   dx dx dx          3 3 2   (1  x) (1  x )  (1  x ) (1  x )   2(1 2x ) 4(1  2x )  18 8) I8   dx x 1  x 2014  Đặt t   x 2014  dt  2014 x 2013 dx  x2013 dx  x 2013dx Khi I8   2014  2014 1  x  2014 x 1 22014  dt x :1  t :   2014 2014 dt  (t  1)t 2014 1 2014   1   dt   t 1 t  t 1  ln 2014 t 9) I9  1 22014  2015ln  ln(1  22014 ) 2014 x dx  (1  x) Đặt t   x  dt  dx x : 1  t :1  1 Khi I9  2 (1  t )2 dt  2t  t 1  33 1 1  1 t 1 t dt  1  t8  t  t  dt    7t  3t  5t   4480 Ví dụ Tính tích phân sau: 1) I1   x2  dx x3 ln 2) I  Giải: 1) I1   x2 1 dx x3 tdt  xdx Đặt t  x   t  x    2 cận t :  x  t 1 2  I1   x2  x  1.xdx dx  1 x4  x3  t.tdt  (t  1)2  t2 dt (1  t )2 Trang  e x  1dx Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 Đặt t  tan u  dt   du   (1  tan u )du cận u :  cos u 2    tan u.(1  tan u )du tan u sin u du   cos udu   sin udu  2 2 (1  tan u )  tan u cos u 0  I1      cos 2u 4  3 1 3   du   u  sin 2u     24 2 0 3t dt  e x dx cận t :  Đặt t  e x   t  e x    x e  t  ln 2) I   e x  1dx e x  1dx  ln  I2   ln  1 1  e x  1.e x dx t.3t dt t dt     3   dt x 3   e t 1 t 1 t 1  0 0 Ta dùng phương pháp đồng hệ số: 1 A Bt  C      A.(t  t  1)  ( Bt  C )(t  1) t  (t  1)(t  t  1) t  t  t  A  B  1    ( A  B ) t  (  A  B  C )t  A  C    A  B  C   A  ; B   ; C  3 A  C 1  ( Có thể chọn t  t   ba pt ẩn A, B, C giải tìm A, B, C (máy tính giúp ) ) Vậy ta có: 1 t  1 t2        t  3(t  1) 3(t  t  1)  t  t  t     (2t  1)   1 1  1  d (t  t  1) dt t2    3  I2        dt   dt    dt      2     t 1 t  t 1 t 1 t  t 1  t 1  t  t 1 t  t 1 0 0 0   1     3t  ln(t  1)  ln(t  t  1)   J   ln  J  0  3(1  tan u ) dt  du  du  cos t  Đặt t   tan u   2 2  t       (1  tan u )         J     3(1  tan u ) du  2 3(1  tan u ) Thay (2*) vào (*) ta : I   ln   t :  cận u :   3 du  u  (2*)    6 3 Trang 10 dt dt  2 t  t     2  t      2   (*) với J      6 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968           Khi I1     t   tan   t   cot   t  dt     t   cot t  tan t  dt           6         cos t sin t     cot t  tan t  dt   t  tan t  cot t  dt    dt   dt   I1 2   sin t   cos t  6 6         d sin t d cos t   sin t      I1  ln  I1  ln  I1    sin t  cos t  cos t  6 6     Vậy I1  ln  I1  I1  ln  I1  ln (*) 2     x sin x  x cos x.(1  cos2 x) x sin x x(sin x  cos x  cos x) 2) I   dx   dx   x cos xdx  A  B (*) dx    cos x  cos x  cos x 0 0  x sin x dx  cos x Đặt x    t  dx  dt x :   t :   +) Tính A      t  sin   t  dt     t  sin t dt   sin t dt   t.sin t dt    sin t dt  A 0  cos2 t 0  cos t 0  cos2 t 0  cos2 t  cos   t  Khi A   Vậy A    sin t dt 0  cos t Đặt cos t  tan u   sin tdt   Suy A      du    (1  cot u )du  sin tdt  (1  cot u )du t :   u :   cos u 4 (1  cos2 u )du    cos2 u     2 (1) du  u     4 u  x  du  dx Đặt    dv  cos xdx v  sin x +) Tính B   x cos xdx    Khi B  x sin x   sin xdx   cos x  2 (2) Thay (1) , (2) vào (*) ta được: I  2 3) I  x sin x   cos x dx 2 2 Đặt x  2  t  dx  dt x :  2 t : 2  0 2 Khi I    2  t  sin  2  t dt  2  2  t  sin t dt  2 2 sin t dt  2 t.sin t dt 0  cos  2  t  0  cos t 0  cos t 0  cos t 2 d   cos t  2  2  I   2 ln  cos t  I   I   I x sin x dx   cos x 2   cos t Vậy I   I  I  Trang 101 3 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 a T Bài toán 4: Hàm số f ( x) liên tục  tuần hoàn với chu kì T, : f ( x) dx   f ( x) dx (*)  a nT Từ ta suy  T T f ( x) dx  n  f ( x) dx (2*) Chứng minh: (Trong thi muốn sử dụng tính chất em cần chứng minh sau) a T Ta có: a T T f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx   a a  f ( x) dx (1) T a T Xét tích phân:  Đặt x  t  T  dx  dt x : T  a  T t :  a f ( x) dx T a T Khi  T a 0 a T f ( x) dx   f (t  T ) dt    f (t )dt    f ( x )dx   f ( x )dx  a a T Thay (2) vào (1) ta được:  a a a f ( x )dx  (2)  T T f ( x) dx   f ( x) dx (*) Chú ý: f ( x ) có chu kì T f ( x  T )  f ( x) VÍ DỤ MINH HỌA 2014 2014 Tính tích phân sau: 1) I1  2) I   cos xdx   cos x dx  cos x  0 Giải: 2014 1) I1   Xét hàm f ( x)   cos x với x    cos xdx Ta có: f ( x   )   cos 2( x   )   cos 2x  f ( x ) aT Do áp dụng tính chất  a 2014 I1  T f ( x) dx   f ( x) dx (*) (trong em phải Chứng minh ) ta được:  2  cos xdx   cos xdx       3 2014  cos 2xdx    cos 2xdx   2   1 cos 2xdx 2013     cos xdx    cos xdx    cos xdx     cos 2xdx 0  0     2014   cos xdx  2014 sin x dx  2014  sin xdx   2014 cos x  4028 0 nT Chú ý: Cách trình bày vừa cách ta chứng minh  2014 2) I    cos x dx  cos x Hướng dẫn: 0 T f ( x) dx  n  f ( x) dx x 2sin  cos x  tan x f ( x)   x  cos x 2 cos 2 Trang 102 (2*) f ( x  2 )  f ( x) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 TÍCH PHÂN TRUY HỒI  Ở phần em tìm hiểu dạng tích phân truy hồi I n   f ( x, n) dx với câu hỏi hay gặp là:  Thiết lập công thức truy hồi I n  g ( I n  k ) với k  1; n Chứng minh công thức truy hồi cho trước Sau thiết lập công thức truy hồi yêu cầu tính I n ứng với vài giá trị n tính giới hạn hàm số dãy số có liên quan với I n CÁC VÍ DỤ MINH HỌA  Ví dụ Xét tích phân I n   sin n xdx với n   * Tìm mối liên hệ I n I n  Tính I n Tính I I Xét dãy số (un ) cho un  (n  1) I n I n1 Tìm lim un n  Giải: Tìm mối liên hệ I n I n       +) Ta có: I n    sin n  xdx   sin n x.(1  cos x )dx   sinn xdx   sin n x.cos2 xdx  I n   sin n x.cos xdx (1)  0 0  +) Tính  sin n x.cos xdx   sin n x.cos x.cos xdx 0 du   sin xdx u  cos x  Đặt   sin n 1 x n n n dv  sin x cos x  v   sin x.cos xdx   sin x.d sin x  n 1     I I cos x.sin n 1 x 2 n  Suy  sin n x.cos xdx  sin xdx   n   n  (2)  n 1 n 1 n 1 n 1 0 I n I n2  I n  I n  n   I n  I n n 1 n 1 n 1 n2 n 1 Ta có I n  I n  I n  I n Khi : n 1 n2 Thay (2) vào (1) ta được: I n   I n  Tính I5 I    4 8   I  I  I1  15  sin xdx   15 cos x  15  0      2 5 15 15  cos x 15 15   I6  I  I2  sin xdx  dx  x  sin x       6 24 24 48  96 0 Trang 103 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV: THANH TÙNG Tính I n 0947141139 – 0925509968     1  sin   cos I xdx x         2  cos 1 x     I  sin xdx    sin  dx x x      2 0 0 Ta có: +) Với n chẵn hay n  2k (k  * ) Áp dụng (*) ta được: Với I n  n2 I n  (*) n 1  I2  I4   I  I    2k I  I 2k k  2k   Nhân theo vế đẳng thức ta được: 4.6 2k  4.6 2k 3.5 (2k  1)  I2  I2k   I 2k  I 2k  3.5 (2k  1) 3.5 (2k  1) 4.6 k +) Với n lẻ hay n  2k  (k  * ) Áp dụng (*) ta được:   I1  I   I  I    2k  I  I  k 3 2k  2 k 1 Nhân theo vế đẳng thức ta được: 3.5 (2k  1) 3.5 (2k  1) 2.4 (2k  2) I1  I k 1   I k 1  I k 1  2.4 (2k  2) 2.4 (2k  2) 3.5 (2k  1) Xét dãy số (un ) cho un  ( n  1) I n I n 1 Tìm lim un n  n2 I n  I n 1  ( n  2).In 1 I n   un 1 n 1     Vậy un 1  un nên un  un 1   u1  I1 I  2.1   lim un  lim  n  n  2 Ta có: un  ( n  1) I n I n 1  ( n  1)   Chú ý: I n   sin n xdx   cosn xdx (xem lại Bài toán lớp tích phân đặc biệt) 0 n Ví dụ Xét tích phân I n   1  x  dx với n  * Tính I n Giải: n Tính I n   1  x  dx u  (1  x )n  du  n.(1  x2 )n 1 (2 x) dx Đặt    dv  dx v  x Trang 104 I n 1 n  I n Tìm lim Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 1 Suy I n  x (1  x )n  2n x 1  x2  n 1 dx  2n  1  (1  x )  1  x2  n 1 1 1  n 1 n dx  n   1  x2  dx   1  x2  dx  n  In1  In  0  1  n 1 n dx  n   1  x2  dx   1  x2  dx  n  In1  In  0  0 2n Vậy I n  2n  I n 1  I n   I n  I n 1 (*) 2n  2n 2n n  2n 2n  4.6.8 2n Từ (*) ta có: I n  I n 1  I n  I1 (1) I1  2n  2n  2n  2n  n  5.7.9.(2n  1)  2n  1  (1  x )  1  x2  n 1 1  x3  Mặt khác: I1   1  x  dx   x    (2) 0  Thay (2) vào (1) ta được: I n  Ta có: I n  2.4.6.8 2n 3.5.7.9.(2n  1) I 2n 2( n  1) 2n  I 2n  , suy lim n 1  lim I n 1  I n 1  I n  n 1  1 n n   In 2n  2( n  1)  2n  In 2n   Ví dụ Xét tích phân I n   tan n xdx với n   * Chứng minh rằng: I n    In n 1 Tính I5 I Giải: Chứng minh rằng: I n     In n 1   Ta có: I n    tan n  xdx    tan n x  tan n x   tan n x  dx    tan n x 1  tan x   tan n x dx 0     tan n x tan n 1 x n n  dx  tan xdx  tan xd tan x  I   In   In n   cos x n 1 n 1 0  I n (đpcm) n 1 Tính I I Vậy I n       4  d cos x sin x   I  tan xdx  dx     ln cos x ln      0 cos x cos x Ta có:     4   I  tan xdx    1 dx   tan x  x     0 0  cos2 x   Trang 105 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968  In n 1  1 1  1   I   I3     I1      ln   ln       Ta có:   I   I     I          13     5     15 Áp dụng công thức truy hồi I n   Ví dụ en 1  e nx dx * , với Chứng minh rằng: I   I n 1 n   n 1 ex n 1 Xét tích phân I n   Xét tích phân I n   (3  x)n e x dx , với n  * Chứng minh rằng: I n  3n  nI n 1 Giải: en 1  enx dx * , với n   Chứng minh rằng: I   I n1 n 1 ex n 1 Xét tích phân I n   1 e enx dx e( n 1) x dx Ta có I n  I n1     x x  1 e 1 e 0 hay I n  e ( n 1) x e x  1 dx  ex  e ( n 1) x e( n 1) x dx  n 1  en 1  n 1 n 1 1  I n1 (đpcm) n 1 Xét tích phân I n   (3  x)n e x dx , với n   * Chứng minh rằng: I n  3n  nI n 1 n 1 u  (3  x)n  du   n(3  x) dx Đặt    x x  v  e  dv  e dx 3 Khi I n  (3  x) n e x  n  (3  x )n 1 e x dx  3n  nIn 1 0 n Vậy I n  3  nI n 1 (đpcm) Ví dụ Cho I n    x x n dx với n  * Biết (un ) dãy số cho un   du  nx n 1dx u  x n  Giải: Đặt    dv   xdx v    xdx   (1  x)  x  In tính lim un I n 1 Khi : 1  2 2  n n 1 I n   (1  x )  x x  n. (1  x )  x x dx  n    x xn1 dx   x xn dx   n  I n 1  I n  3 0  2n n  I n 1  I n   (2n  3) I n  2nI n1  I n  I n 1 2n  2n  2n  I 2n  Suy I n 1   lim un  lim I n 1  lim 1 In  n  2n  2n  I n 1 n  Vậy I n  Trang 106 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 VII DÙNG TÍCH PHÂN ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC Cnk PHƯƠNG PHÁP GIẢI: n Bước : Khai triển (1  x )n   Cnk x k  Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn xn k 0   Bước : Lấy tích phân hai vế với cận thích hợp :  (1  x )n dx    Cn0  Cn1 x  Cn2 x2   Cnn xn  dx   b ( Nếu hệ số đẳng thức cần chứng minh có chứa bk  a k ta chọn cận tích phân  ) a DẤU HIỆU NHẬN BIẾT : Các hệ số đẳng thức cần chứng minh có dạng phân số, đồng thời mẫu số thường tăng giảm đơn vị CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Với n  Chứng minh rằng: 20  12 203  123 20n 1  12n 1 n 21n 1  13n 1 1) 8Cn0  Cn  Cn   Cn  n 1 n 1 n 1 n 1 4 1 2) 4Cn0  Cn1  Cn2   Cnn  n 1 n 1 1 2n1  3) Cn0  Cn1  Cn2   Cnn  n 1 n 1 62  1 63  6n1  n 7n 1  2n1 4) 5Cn0  Cn  Cn   Cn  n 1 n 1 Giải: 202  122 203  123 20n1  12n1 n 21n1  13n 1 Cn  Cn   Cn  n 1 n 1 n 2 n n +) Ta có: (1  x )  Cn  Cn x  Cn x   Cn x 1) 8Cn0  20 +) Suy ra: 20  (1  x) n dx  12 n  Cn1 x  Cn2 x2   Cnn xn  dx 12 n 1 20 (1  x)  n 1 n 1   C 21 12 n 1  13 n 1 Hay 8Cn0  20  x2 x3 x n 1    Cn0 x  Cn1  Cn2   Cnn  n   12   8Cn0  202  122 203  123 20n 1  12n 1 n Cn  Cn   Cn n 1 20  12 203  123 20n 1  12n 1 n 21n 1  13n 1 Cn  Cn   Cn  (đpcm) n 1 n 1 Trang 107 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 42 43 4n 1 n 5n1  Cn  Cn   Cn  n 1 n 1 +) Ta có: (1  x ) n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n 2) 4Cn0  +) Suy ra:  (1  x) n dx    Cn0  Cn1 x  Cn2 x2   Cnn xn  dx n 1 (1  x)  n 1  x2 x3 x n 1    Cn0 x  Cn1  Cn2   Cnn  n 1  n 1  1 42 43 4n 1 n  4Cn0  Cn1  Cn2   Cn n 1 n 1 Hay 4Cn0  42 43 4n1 n 5n1  (đpcm) Cn  Cn   Cn  n 1 n 1 1 2n 1  Cnn  3) Cn0  Cn1  Cn2   n 1 n 1 +) Ta có: (1  x )n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n +) Suy ra: n 2 n n  (1  x) dx   Cn  Cn x  Cn x   Cn x  dx 0 1  (1  x)n 1 x2 x3 x n 1     Cn0 x  Cn1  Cn2   Cnn  n 1  n 1   2n 1  1 1  Cn0  Cn1  Cn2   Cnn n 1 n 1 1 2n 1  Cnn  (đpcm) Hay Cn0  Cn1  Cn2   n 1 n 1  1 63  6n 1  n 7n 1  2n 1 Cn  Cn   Cn  n 1 n 1 n 2 n n +) Ta có: (1  x )  Cn  Cn x  Cn x   Cn x 4) 5Cn0  +) Suy ra: n 2 n n  (1  x) dx   Cn  Cn x  Cn x   Cn x  dx 1 n 1 (1  x)  n 1  n 1 2 n 1 Hay 5Cn0  n 1  x2 x3 xn 1    Cn0 x  Cn1  Cn2   Cnn  n 1   62  1 63  6n 1  n  5C  Cn  Cn   Cn n 1 n  1 63  6n 1  n 7n 1  2n 1 Cn  Cn   Cn  (đpcm) n 1 n 1 Trang 108 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 Ví dụ ( B – 2003) Cho n số nguyên dương Tính tổng: Cn0  22  1 23  2n1  n Cn  Cn   Cn n 1 Giải: +) Ta có: (1  x ) n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n 2 +) Suy ra:  (1  x)n dx    Cn0  Cn1 x  Cn2 x2   Cnn xn  dx 1 n 1 (1  x)  n 1   x2 x3 x n1    Cn0 x  Cn1  Cn2   Cnn  n 1  3n1  2n1 22  1 23  2n1  n Cn  Cn   Cn  Cn0  n 1 n 1 Vậy Cn0  2  1 23  2n 1  n 3n 1  2n 1 Cn  Cn   Cn  n 1 n 1 Ví dụ :Với n   Chứng minh rằng: 1 (1)n n 1) Cn0  Cn1  Cn2  Cn3   Cn  n 1 n 1 2n 1 1 1 2) C21n  C23n  C25n   C22nn1  (A – 2007) 2n 2n  1 1 4n 3) C20n  C22n  C24n   C22nn  2n  2n  Giải: 1 (1)n n 1) Cn0  Cn1  Cn2  Cn3   Cn  n 1 n 1 n 2 3 +) Ta có: (1  x )  Cn  Cn x  Cn x  Cn x   ( 1) n Cnn x n 1 +) Suy ra:  (1  x)n dx    Cn0  Cn1 x  Cn2 x2  Cn3 x3   ( 1)n Cnn xn  dx 0 n 1 (1  x)  n 1   x2 x3 x4 x n1    Cn0 x  Cn1  Cn2  Cn3   ( 1)n Cnn  n 1   1 1 (1)n n  Cn0  Cn1  Cn2  Cn3   Cn n 1 n 1 1 (1)n n Hay Cn0  Cn1  Cn2  Cn3   Cn  (đpcm) n 1 n 1 Trang 109 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 1 22 n  C2 n  C2n  C2n   C22nn1  (A – 2007) 2n 2n  (1  x )2 n  C20n  C21n x  C22n x  C23n x3   C22nn 1 x2 n 1  C22nn x n (1) +) Ta có:  2n 2 3 n 1 n 1  C22nn x n (2) (1  x)  C2 n  C2 n x  C2 n x  C2 n x   C2 n x 2) +) Lấy (1) – (2) ta được: (1  x)2 n  (1  x)2 n   C21n x  C23n x3  C25n x   C22nn 1 x2 n 1  (1  x)2 n  (1  x )2n  C21n x  C23n x3  C25n x5   C22nn1 x2 n1 1 (1  x ) n  (1  x )2 n +) Suy ra:  dx    C21n x  C23n x3  C25n x5   C22nn 1 x2 n 1 dx 0  1  (1  x )2 n 1  (1  x )2 n 1 x2 x4 x6 x 2n     C21n  C23n  C25n   C22nn 1  2n  2n    Hay 22 n  1 1  C2 n  C2 n  C2 n   C22nn 1 2n  2n 1 22 n  (đpcm) C2 n  C2n  C2n   C22nn1  2n 2n  1 1 4n C22nn  3) C20n  C22n  C24n   2n  2n  2n 2 +) Ta có: (1  x )  C2 n  C2 n x  C2 n x   C22nn x2 n +) Suy ra: 1 2n  (1  x) dx   C 1 2n  C21n x  C22n x2   C22nn x2 n  dx 1 n 1 (1  x)  2n    x2 x3 x2 n 1    C20n x  C21n  C22n   C22nn  2n   1  1 2 n 1 2  2C20n  C22n  C24n   C22nn 2n  2n  1 1 4n Hay C20n  C22n  C24n   (đpcm) C22nn  2n  2n  Trang 110 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 VIII KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN ĐẠI HỌC Qua phần tìm hiểu trên, em nhận thấy tích phân ta có tay hai công cụ để giải ĐỔI BIẾN TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN vài kĩ thuật để làm cho hai công cụ phát huy tác dụng như: Tách tích phân (dùng phương pháp đồng hệ số, thêm bớt…), kĩ thuật nhân, chia dấu tích phân, kĩ thuật vi phân, dùng công thức để biến đổi (công thức lượng giác, đẳng thức…), sử dụng tích phân liên kết ( quan sát để tìm tích phân liên kết, sử dụng cận để đổi biến, sử dụng đẳng thức tính chẵn lẻ hàm số…) Vì tổng kết lại sau : Khi đứng trước toán tích phân em có hướng : TH1: Nếu dấu tích phân có : +) Hướng tư 1: Đặt t ( cho tất đề thi Đại Học – Cao Đẳng từ 2002 – 2013) Nếu không ổn chuyển sang:  +) Hướng tư thứ 2: Với tích phân I   f ( ax  bx  c ) dx mà ax  bx  c ta biến đổi dạng:  m cos t *) m2  u đặt u  m sin t ( u  m cos t ) *) u  m2 đặt u  *) u  m2 đặt u  m tan t ( u  m cot t ) *) u  u đặt u  sin t (u  m ) sin t ( u  cos t )   m x  Với tích phân I   f  đặt x  m cos 2t  m  x  dx     CHÚ Ý: Với tích phân có dạng      dx x k    dx x2  k ( x  x  k ) dx 2 (x  x  k ) x  k ta không dùng tới phương pháp Cụ thể ta biến đổi:    d ( x  x2  k ) (x  x  k )  ln( x  x  k )    Nếu chưa ổn chuyển sang : +) Hướng tư thứ 3: Nhân với lượng liên hợp tương ứng quay hướng tư đầu TH2 : Nếu dấu tích phân có hàm lượng giác hàm mũ có dạng sin u eu mà u  ax  b ( nghĩa u không hàm bậc bậc không ) điều đặt t  u Sau quay TH1 TH3 TH3: Nếu dấu tích phân xuất hai bốn hàm: log, đa thức ( kể phân thức), lượng giác mũ liên hệ với phép nhân theo : +) Hướng tư 1:Sử dụng tích phân phần theo thứ tự ưu tiên “u→dv” : “log → đa thức → lượng giác → mũ” b b b (nghĩa anh đứng trước thứ tự thầy nêu đặt u anh đứng sau dv:  udv  uv a   vdu ) a a ( Các em có cách nhớ “hài hước” theo thứ tự “u→dv” là: “nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” ) Nếu vấn chưa ổn chuyển sang: +) Hướng tư 2: Sử dụng kĩ thuật vi phân ( du  u ' dx (**) ) đổi biến Nếu sử dụng (**) : +) theo chiều thuận (từ Trái  Phải): em phải tính đạo ĐẠO HÀM +) theo chiều nghịch (từ Phải  Trái): em phải tính NGUYÊN HÀM Các em nhớ theo cách sau : “đưa vào vi phân tính NGUYÊN HÀM, đưa tính ĐẠO HÀM” Trang 111 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968  TH4: Nếu dấu tích phân có dạng hữu tỉ: I  f ( x)  g ( x) dx  +) Hướng tư 1: Nếu bậc f ( x) lớn bậc g ( x ) Thì thực phép chia chuyển I dạng:     r ( x)  r ( x) I    h ( x)  dx  I1  I2 Với I1 tính đơn giản tính I chuyển sang:  dx   h( x) dx   g x g ( ) ( x)     +) Hướng tư 2: Nếu bậc f ( x) nhỏ bậc g ( x) theo thứ tự:  *) Hướng tư 2.1: Nếu f ( x) A dx A   I  A  ln ax  b g ( x) ax  b a  ax  b  ?      k ax  bx  c ' l Ax  B f ( x) Ax  B  I   *) Hướng tư 2.2: Nếu biến đổi  ax  bx  c  ax2  bx  c dx g ( x) ax  bx  c   k   d (ax  bx  c) dx  l  k ln ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c   tính I3       l I dx cách chuyển sang Hướng tư 2.3: ax  bx  c  *) Hướng tư 2.3: Nếu f ( x) A dx thì:   I  A g ( x) ax  bx  c  ax  bx  c    dx A  A x  x2    ln ? **) Khả 1: I  A   dx   a( x2  x1 )   x  x2 x  x1  a( x2  x1 ) x  x1   a ( x  x1 )( x  x2 )  **) Khả 2: I  A  dx A  a( x  x0 ) a( x  x0 )  ?  kdt    k (1  tan t ) dt A dx  dx  **) Khả 3: I   đặt x  x0  k tan t   cos t a  ( x  x0 )2  k ( x  x )2  k  k (1  tan t )   I  A k (1  tan t ) A A( 1  1 ) dt  dt  2   a 1 k (1  tan t ) ka 1 ka  ?  *) Hướng tư 2.4: Nếu g ( x ) có bậc lớn tìm cách đưa hướng tư 2.1, 2.2, 2.3 kĩ thuật: +) Đổi biến tách ghép, nhân, chia để giảm bậc +) Đồng hệ số theo thuật toán: f ( x) m ( ax  b ) (cx  dx  e) n  A1 (ax  b)  A2 ( ax  b )   Am m ( ax  b)  B1 x  C1 (cx  dx  e)  B2 x  C2 2 (cx  dx  e)   Bn x  Cn (cx2  dx  e)n Sau quy đồng bỏ mẫu số dùng tính chất “hai đa thức hệ số tương ứng nhau” từ ta tìm Ai , B j , C j (i  1, m; j  1, n) dùng cách chọn x để tìm Ai , B j , C j Trang 112 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968  TH5: Nếu dấu tích phân có dạng lượng giác: I   f (sin x, cos x) dx thì:   +) Hướng tư 1: Nếu I   sin m x.cos n xdx ( m, n  Z ) dựa vào tính chẵn, lẻ để đổi biến.Cụ thể:  *) Nếu m, n khác tính chẵn lẻ em đặt t theo anh mang mũ chẵn Cụ thể : **) m chẵn, n lẻ đặt t  sin x ** ) m lẻ, n chẵn đặt t  cos x *) Nếu m, n tính chẵn lẻ Cụ thể : **) m, n lẻ đặt t  sin x t  cos x (kinh nghiệm nên đặt theo anh mang mũ lớn hơn) **) m, n chẵn đặt t  tan x (hoặc t  cot x ) dùng công thức hạ bậc, biến đổi lượng giác  +) Hướng tư : Nếu I   f (sin x).cos xdx đặt t  sin x   I   f (cos x).sin xdx đặt t  cos x  h( x ) h( x), g ( x) chứa hàm lượng giác thì: g ( x) +) Hướng tư 3: Nếu f (sin x, cos x)  *) Hướng tư 3.1 : Ý nghĩ tính g '( x) phân tích h( x)  u.g ( x)  l ( g ( x)) g '( x )    I   udx   r ( g ( x )) g '( x) dx  I1  I tính I   r ( g ( x)).g '( x)dx đổi biến: t  g ( x)    ( Hướng tư áp dụng với h( x), g ( x) chứa hàm khác loga, đa thức, mũ…) Nếu việc phân tích h( x) gặp khó khăn ta chuyển tới việc làm “thủ công” qua Hướng tư 3.2 *) Hướng tư 3.2: Nếu h( x), g ( x) hàm bậc theo sin x cos x dùng phương pháp đồng hệ số Cụ thể : h ( x) a sin x  b cos x c sin x  d cos x c cos x  d sin x  A B **) Khi đó: g ( x) c sin x  d cos x c sin x  d cos x c sin x  d cos x      c cos x  d sin x d (c sin x  d cos x) I  A dx  B  dx A dx  B    A.x  B ln c sin x  d cos x   ?  c sin x  d cos x   c sin x  d cos x   **) h( x) a sin x  b cos x  e c sin x  d cos x  h c cos x  d sin x  A B C g ( x) c sin x  d cos x  h c sin x  d cos x  h c sin x  d cos x  h c sin x  d cos x  h  dx hai cách:  c sin x  d cos x  h  Khi đó: I   Ax  B ln c sin x  d cos x  h   C I3 ta tính I3    C1: Dùng công thức biến đổi lượng giác để chuyển công thức lượng giác bảng nguyên hàm Nếu không ổn chuyển sang : x 2dt 2t 1 t2 C2: Đặt t  tan  dx  Sau quay TH4 sinx  ; cos x  1 t2 1 t2 1 t2 Trang 113 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968   *) Hướng tư 3.3: Nếu I     Với trường hợp hay gặp : I    f (tan x) f (cot x ) dx (hoặc I   dx ) đặt t  tan x (hoặc t  cot x ) 2 cos x  sin x  f (tan x).dx f (cot x).dx (hoặc I   ) 2 2 a sin x  b sin x cos x  c cos x  a sin x  b sin x cos x  c cos x   dx f (tan x) f (t ) sau đặt tan biến đổi: I   t  x  dt   I  dt dx 2 2  cos x 1 at  bt  c  cos x ( a tan x  b tan x  c ) Sau quay TH4  *) Hướng tư 3.4: Nếu I     dt  (cos x  sin x) dx  f (sin x  cos x;sin x cos x)dx đặt t  sin x  cos x   t2 1 x x sin cos     Sau quay TH4 TH6: Khi gặp tích phân chứa hàm log chứa hàm mũ ta có hướng sau : b *) Hướng tư 1: Nếu có dạng I   a f (ln u ) dx đặt t  ln u u ( đặt t  g (ln u ) nghĩa đặt t hàm theo ln u ) Nếu dấu tích phân có mặt log a u em nên chuyển ln u công thức : log a u  ln u ln a b *) Hướng tư 2: Nếu có dạng I   f (e x ) dx đặt t  e x ( t hàm theo e x ) a  TH7: Nếu dấu tích phân có dấu trị tuyệt đối I   f ( x) dx tìm cách phá trị tuyệt đối cách  xét dấu f ( x ) đoạn  ;   Cụ thể: B1: Giải phương trình f ( x)   xi  ? chọn xi  [ ;  ] chuyển sang: B2: Lập bảng xét dấu: (Giả sử ta bảng xét dấu:  B3: Ta dựa vào công thức   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx (      ) để tách :   xi )     xi  I   f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x)dx   f ( x)dx Sau chuyển sáu TH đầu   xi  xi TH8: Khi toán yêu cầu tính diện tích hình phẳng thể tích vật thể tạo quay hình phẳng qua trục Ox, Oy em cần nhớ kiến thức sau: Hình phẳng giới hạn đường : b b    y  f ( x)  S   f ( x)  g ( x) dx (2*)  S   f ( x) dx    a a (nếu y  g ( x)  )    y  g ( x) b b  V   f ( x)  g ( x) dx (3*) V   f ( x) dx x  a ; x  b  a  a  0x  0x  a  Nếu không dựa vào hình vẽ cần phá trị tuyệt đối chuyển TH6 Trang 114 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 CẢM ƠN CÁC BẠN ĐÃ ĐỌC TÀI LIỆU ! Trang 115 [...]... Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 2 TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Trước khi đi vào 10 dạng tích phân hay gặp trong các kì thi Đại Học – Cao Đẳng các em cần nắm được cách tính các tích phân lượng giác cơ bản qua các ví dụ sau: Ví dụ 1 Tính các tích phân sau với k  1;5 (có 40 câu tích phân trong ví dụ này) :  2  2 A   sin k xdx B   cos k xdx 0 C   tan k xdx... cos x.cos   x  3  Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 IV 10 DẠNG TÍCH PHÂN HAY GẶP TRONG CÁC KÌ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG  DẠNG 1: I1     f g ( x), n g ( x) g '( x)dx (*)  CÁCH GIẢI CHUNG Các ví dụ minh họa Ví dụ 1 Tính các tích phân sau: 4 1 1) I1   x 2  x dx (B – 2013) 0 2 4) I 4  x  x 1  1 1 x3 1  x  1 dx 4 7) I 7  2 3 4  5)... Nhưng nếu đi tính tích phân xác định thì sẽ  cot xdx tương tự với 1  cot  tan k  4  4 1 dx thì C1  1 như cách chúng ta đã làm Còn H1 cot x 0 0 trong tình huống này với kiến thức toán sơ cấp sẽ không tính được vì hàm số dưới dấu tích phân không xác định với cận x  0 có sự khác biệt Ví như tính C1   tan xdx và H1   +) Để đưa ra công thức tổng quát cho các tích phân trên các em sẽ tìm hiểu... 0947141139 – 0925509968 Nhận xét: Trong các bài toán đổi biến các em sẽ nhận ra một điều (rất quan trọng trong phần đổi biến), khi chúng ta đổi biến thì bước tiếp theo là bước vi phân cả 2 vế Sau khi làm xong điều này các em sẽ biết ngay là bài toán chúng ta đi có đúng hướng hay không Cụ thể: Nếu sau khi vi phân ta có: f (t ) dt  g ( x) dx thì xảy ra 2 khả năng: +) Trong đề bài có chứa g ( x) dx (có thể... thức dưới dấu tích phân (nếu có) còn chứa biến x mà ta rút được theo t Khi đó xác suất ta đi theo hướng này đúng là cao +) Trong đề bài không có lượng g ( x) để ta chỉnh (vì dx đi một mình lúc này “không ổn” phải có mặt g ( x ) đi cùng hay phải có g ( x) dx thì ta mới chuyển được theo f (t ) dt ) Khi đó các em nên nghĩ tới việc tự nhân thêm vào (đề bài không cho thì ta tự cho) và chỉnh bằng cách nhân... 2 t 2 t2 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968  dx CHÚ Ý : +) Dạng tổng quát của (*) là I   n n và ta giải bằng cách đặt x  n (a  bx ) a  bx +) Dạng tích phân trên các em sẽ được tìm hiểu kĩ hơn ở Dạng 9  1 t Ví dụ 6 Tính tích phân : 4 3 x 2 dx 1) I1   2) I 2  1 x x 0 dx  1 x  1 1 x 1 1 3) I 3   4) I 4   dx x  x 1 0 1 2 0 dx...  d cos x  h c sin x  d cos x  h  dx bằng hai cách:  c sin x  d cos x  h  I   Ax  B ln c sin x  d cos x  h   C.I3 và ta tính I3    C1: Dùng công thức biến đổi lượng giác để chuyển về các công thức lượng giác trong bảng nguyên hàm C2: Đặt t  tan x 2dt 2t 1 t2  dx  và sinx  ; cos x  2 1 t 2 1 t2 1 t2 Bài luyện Tính các tích phân sau:  2 dx 1) I1   6  sin x 4  6 4) I 4...  ln 2   1  ln 2 4  2  2  4 1 ( các em có thể xem lại cách tính H 3  1  ln 2 đã tính ở trước đó với k = 3 ) 2 Trang 18    Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 CHÚ Ý: +) Sẽ có nhiều em thắc mắc là biểu thức dưới dấu tích phân  tan k xdx tương tự với k k x dx và 1 dx Nếu đi tính nguyên hàm (tích phân bất định ) chúng có sự giống nhau... không xác định với cận x  0 có sự khác biệt Ví như tính C1   tan xdx và H1   +) Để đưa ra công thức tổng quát cho các tích phân trên các em sẽ tìm hiểu rõ hơn ở mục VI trong phần tích phân truy hồi Ví dụ 2 Tính các tích phân sau:  2  2 dx 1) I1   1  cos x 0  2 dx 2) I 2   2  cos x 0  4 dx 1  sin x 0 3) I3    4 4) I 4   sin 2 x cos 3 x cos 5 xdx 0 5) I 5   (1  2sin 2 x )  sin...  x3 1 0 4 3 1 3 1 (t  1) d (t 3  1)  C )  3 3 3 t 1  dx n n (a  bx ) a  bx và ta giải bằng cách đặt x  n 1 t  6 cos x dx 0 cos 2 x cos 2 x 2) I 2   Phân tích: Tương tự như ý 1) nếu bài toán này ta đặt t  cos 2 x thì sẽ không ổn Nên trước tiên ta sẽ biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân Cụ thể ta có lời giải như sau:  6 Giải: +) Ta có: I 2   0  6 cos x cos 2 x cos 2 x dx   0 cos