Trắc nghiệm nguyên hàm, tích phân và ứng dụng trong các đề thi thử Toán

Câu 1: (THPT Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Trong hàm số sau, hàm số có nguyên hàm hàm số F  x   ln x ? B f  x   x A f  x   x C f  x   x3 D f  x   x Lời giải Chọn B Áp dụng công thức SGK Câu 2: (THPT Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Cho f  x  , g  x  hàm số xác định liên tục  Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?  f  x  g  x  dx   f  x  dx. g  x  dx C   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx A  f  x  d x   f  x  dx D   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx B Lời giải Chọn A Nguyên hàm khơng có tính chất ngun hàm tích tích nguyên hàm Hoặc B, C, D tính chất nguyên hàm nên A sai Câu 3: (THPT Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Nếu  f  x  dx  x  ln x  C f  x  B f  x    x  A f  x   x  ln x  C C f  x     ln x  C x2 D f  x    ln x  C x x 1 x2 Lời giải Chọn D x 1 1 x 1 1  Ta có   ln x  C      , suy f  x   hàm số cần tìm x x x x x  Câu 4: (THPT Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Hàm số F  x   e x nguyên hàm hàm số: 3 A f  x   e x B f  x   x e x C f  x   ex 3x D f  x   x e x 1 Lời giải Chọn B     x  e Ta có F   x   e x 3 x3  x e x , x   Câu 5: (THPT Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Nếu  f  x  dx  x3  e x  C f  x  bằng: A f  x   x  e x Chọn A B f  x   x4 C f  x   x  e x  ex Lời giải D f  x   x4  ex 12 Ta có  f  x  dx   x3  x3  ex  C  f  x     ex  C   x2  ex   Câu 6: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Tìm m để phương trình sau có nghiệm  4 x  4 x   16  x  2m   A m   C  1  16 41 D m   Lời giải B m  41 1  16 m 2 Chọn C ĐK x   4; 4 Đặt t   x   x , ta có t  2 2; 4 Ta có t  16  x   16  x  t  Phương trình cho trở thành t   t    2m    2m  t  3t  25 Xét hàm số f  t   t  3t  25  f   t   3t  6t Ta có f   t   3t  6t  0, t   2; 4 nên phương trình có nghiệm 41 1  16 f    2m  f 2  41  2m  1  16    m  2   Câu 7: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-đề 2-năm 2017-2018) Tìm m để phương trình sau có nghiệm  4 x  4 x   16  x  2m   A m   C  1  16 41 D m   Lời giải B m  41 1  16 m 2 Chọn C ĐK x   4; 4 Đặt t   x   x , ta có t  2 2; 4 Ta có t  16  x   16  x  t  Phương trình cho trở thành t   t    2m    2m  t  3t  25 Xét hàm số f  t   t  3t  25  f   t   3t  6t Ta có f   t   3t  6t  0, t   2; 4 nên phương trình có nghiệm 41 1  16 f    2m  f 2  41  2m  1  16    m  2   Câu 8: (THPT Hai Bà Trưng-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Tìm tập xác định hàm số y   x  1 A D   \ 1 B D  1;    C D   Lời giải Chọn B D D   \ 0 Do   nên điều kiện xác định x    x  Vậy TXĐ D  1;    Câu 9: (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 11-năm 2017-2018) Nguyên hàm hàm số y  x  3x  A x 3x   ln x  C B x3 3x   C x C x3 3x   ln x  C D x 3x   ln x  C x Lời giải Chọn D 1 x3 3x  Áp dụng công thức nguyên hàm ta có   x  x   dx    ln x  C x  Câu 10: (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 11-năm 2017-2018) Cho hình  H  giới hạn đường y   x  x , trục hồnh Quay hình phẳng  H  quanh trục Ox ta khối tròn xoay tích là: 496 A 15 B 32 15 C 4 D 16 15 Lời giải Chọn D x  Phương trình hồnh độ giao điểm  H  trục hoành  x  x    x  Thể tích khối tròn xoay cần tìm 2  x5  16 V      x  x  dx    x  x  x  dx     x  x    15  0 2 2 Câu 11: (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 11-năm 2017-2018) Cho I   f  x  dx  Khi J    f  x   3 dx bằng: A B C Lời giải D Chọn B 2 2 Ta có J    f  x   3 dx  4 f  x  dx  3 dx  4.3  3x  0 Câu 12: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa-ần 1-năm 2017-2018) Tìm họ nguyên hàm hàm số f  x  A x  x2  x  x 1 C x 1 B   x  1 C Lời giải: Chọn C C x2  ln x   C D x  ln x   C Ta có f  x   x2  x  1  x x 1 x 1   f  x  dx  x2  ln x   C Câu 13: (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Cho hàm số y  f  x  liên tục đoạn  a ; b  Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành hai đường thẳng x  a , xb  a  b  Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tính theo công thức b b A V    f  x  dx b b B V  2  f  x  dx C V    f  x  dx D V    f  x  dx a a a a Lời giải Chọn A Theo cơng thức tính thể tích vật tròn xoay quay hình  H  quanh trục hồnh ta có b V    f  x  dx a Câu 14: (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Họ nguyên hàm hàm số f  x   3x  x3 B  xC 3 A x  C C 6x  C D x3  x  C Lời giải Chọn D Ta có   3x  1 dx  x3  x  C  x3  x  C Câu 15: (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Tích phân dx  x 3 A 16 225 B log C ln Lời giải Chọn C Ta có: dx  x   ln x   ln   ln   ln D 15  Câu 1: (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-lần năm 2017-2018) Tích phân I    dx bằng? sin x A cot   cot  B cot   cot  C  cot   cot  D  cot   cot  Lời giải Chọn C   3 dx Ta có I     cot x  sin x   cot    cot  Câu 2: (THPT Đồn Thượng-Hải Dương-lần năm 2017-2018) Tìm ngun hàm F  x     dx A F  x    x  C B F  x   2 x  C C F  x   3 C D F  x    x2 C Lời giải Chọn A Ta có F  x     2dx   x  C (vì  số) Câu 3: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần năm 2017-2018) Rút gọn biểu thức P  x x với x  B P  x A P  x D P  x C P  x Lời giải Chọn C 1 P  x x  x  x Câu 4: (THPT Lương Thế Vinh-Hà Nội năm 2017-2018) Khẳng định sau khẳng định sai? A  kf  x  dx  k  f  x  dx với k   B   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx với f  x  ; g  x  liên tục  C x D   f  x  dx   f  x   dx   1 x với   1  1 Lời giải Chọn A Ta có  kf  x  dx  k  f  x  dx với k   sai tính chất k   \ 0 Câu 5: (THPT Chuyên Thái Bình-lần năm học 2017-2018) Nếu x   0;   hàm số f  x  A f  x    C f  x   1  x2 x  ln  x  x2 2x 1 D f  x     x 2x B f  x   x   f  x  dx  x  ln x  C với Lời giải Chọn A Ta có  f  x  dx  F  x   C  F   x   f  x   x  1 1    Do f  x     ln x       ln x        với x   0;   x 2x x x x   x Câu 6: (THPT Chuyên Thái Bình-lần năm học 2017-2018) Mệnh đề đúng? 32 x C ln 32 x C  32 x dx  C ln 9x C ln 32 x 1 D  32 x dx  C 2x 1 A  32 x dx  B  32 x dx  Lời giải Chọn C Vì  32 x dx   x dx  9x 32 x C  C ln ln Câu 7: (THPT Chuyên ĐH KHTN-Hà f  x   x  sin x A x  cos x  C Nội năm 2017-2018) Họ nguyên hàm hàm số B x  cos x  C C x  cos x  C Lời giải D x  cos x  C Chọn A Ta có  f  x dx    x  sin x dx  x  cos x  C Câu 8: (THPT Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-lần năm 2017-2018) Tìm họ nguyên hàm hàm số f  x   e 2018 x A  f  x  dx  2018 e C  f  x  dx  2018e 2018 x 2018 x C C 2018 x C 2018 x ln 2018  C B  f  x  dx  e D  f  x  dx  e Hướng dẫn giải Chọn A Theo công thức nguyên hàm mở rộng Câu 9: (THPT Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-lần năm 2017-2018) Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz , cho hai điểm A  2; 3;  , B  6; 2;  Tìm tọa độ véctơ AB     A AB   4;3;  B AB   4; 1; 2  C AB   2;3;  D AB   4; 1;  Hướng dẫn giải Chọn B  Ta có: AB   4; 1; 2  Câu 10: (THPT Chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An- lần năm 2017-2018) Hàm số F  x   cos 3x nguyên hàm hàm số: sin x A f  x   B f  x   3sin 3x C f  x   3sin 3x D f  x    sin 3x Lời giải Chọn B Ta có F  x   cos 3x  F   x   3sin 3x Vậy hàm số F  x   cos 3x nguyên hàm hàm số f  x   3sin x Câu 11: (THPT Chuyên Quốc Học-Huế năm 2017-2018) Tìm họ nguyên hàm hàm số f  x   52 x A  52 x dx  52 x C ln C  52 x dx  2.52 x ln  C B  52 x dx  25x C ln D  52 x dx  25x 1 C x 1 Lời giải Chọn B Ta có  52 x dx   25 x dx  25x 25x C  C ln 25 ln Câu 12: (THPT Chuyên Thái Bình-lần năm 2017-2018) Tìm nguyên hàm I   x cos xdx A I  x s in x C B I  x sin x  cosx  C x D I  x 2cos  C Hướng dẫn giải C I  x sin x  cosx  C Chọn B Đặt u  x  du  dx dv  cos xdx  v  s inx I   x cos xdx  x sin x   sin xdx  x sin x  cosx  C b Câu 13: (THPT Chuyên Thái Bình-lần năm 2017-2018) Biết   x  1 dx  Khẳng định sau a đúng? A b  a  B a  b  a  b  C b  a  b  a  D a  b  Hướng dẫn giải Chọn C b Ta có: b 2   x  1 dx   x  x  a  b  b   a  a  a b Mà   x  1 dx   b  b  a  a   b2  a2  b  a  a Câu 14: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần năm 2017-2018) Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng  H  giới hạn đường y  f  x  , trục Ox hai đường thẳng x  a , x  b xung quanh trục Ox b A   f  x  dx a b B  b f  x  dx C   f  x  dx a a Lời giải Chọn A b D 2  f  x  dx a b Công thức tính thể tích khối tròn xoay V    f  x  dx a Câu 15: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần MĐ 234 năm học 2017-2018) Nguyên hàm hàm số f  x   sin 3x là: A cos 3x  C B cos 3x  C C  cos 3x  C Hướng dẫn giải D  cos 3x  C Chọn C  f  x  dx   sin 3x dx   cos 3x  C Ta có Câu 16: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần MĐ 234 năm học 2017-2018) Viết cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  , trục Ox đường thẳng x  a, x  b  a  b  b A  b f  x  dx B a  b f  x  dx C a  b f  x  dx D   f  x  dx a a Hướng dẫn giải Chọn A Câu 17: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần MĐ 234 năm học 2017-2018) Tìm nguyên hàm hàm số ln x f  x  x A  f  x  dx  ln x  C B  f  x  dx  ln x  C C  f  x  dx  ln x  C D  f  x  dx  e x C Hướng dẫn giải Chọn B Ta có  f  x  dx   ln xd  ln x   ln xC Câu 18: (THPT Hồng Quang-Hải Dương năm 2017-2018) Tính I   3x dx A I  3x C ln B I  3x ln  C C I  3x  C D I  3x  ln  C Lời giải Chọn A Ta có  a x dx  ax 3x  C nên I  C ln a ln Câu 19: (THPT Kinh Môn 2-Hải Dương năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  liên tục đoạn  0;10 10 10  f  x  dx   f  x  dx  Tính P   f  x  dx   f  x  dx A P  Chọn C B P  4 C P  Lời giải D P  10 10 Ta có  10 f  x  dx    f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  0 2 10   f  x  dx   f  x  dx    Vậy P  Câu 20: (THPT Kinh Môn 2-Hải Dương năm 2017-2018) Nguyên hàm hàm số f  x   x3  là: A x  9x  C B x  x  C C x C D x  x  C Lời giải Chọn A   x  dx  x4 x4  9x  C   9x  C Câu 21: (THPT Qng Xương 1-Thanh Hóa năm 2017-2018) Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau A  x dx  x4  C  x dx  ln x  C D  2e dx   e  C  B x C  sin xdx  C  cos x x Lời giải Chọn B Ta có  x dx  ln x  C Câu 22: (THPT Trần Quốc Tuấn năm 2017-2018) Tìm nguyên hàm hàm số f ( x )  x  8sin x  f  x  dx  x  8cos x  C C  f  x  dx  x  8cos x  C A  f  x  dx  x  8cos x  C D  f  x  dx  x  8cos x  C B Hướng dẫn giải Chọn C Ta có:  f  x  dx    3x  8sin x  dx  x  8cos x  C Câu 23: (THPT Trần Quốc Tuấn năm 2017-2018) Hàm số 25cm nguyên hàm hàm số sau đây? 1 A f  x     C B f  x    x x C f  x    D f  x   x  ln | x | C x Hướng dẫn giải Chọn B Hàm số F  x   x  1 nguyên hàm hàm số f  x    , x x  1  F  x   4x     x x  Câu 24: (THPT Trần Hưng Đạo-TP HCM năm 2017-2018) Tìm nguyên hàm hàm số f ( x)  3x A  3xdx  3x C ln x B  3xdx  3x ln  C C  3xdx  3x1  C D  dx  3x1 C x 1 Lời giải Chọn A 3x  dx  ln  C x Câu 25: (THPT Tứ Kỳ-Hải Dương năm 2017-2018) Nguyên hàm F  x  hàm số f  x   , biết 2x 1  e 1  F   là:   A F  x   ln x   C F  x   ln x   B F  x   ln x   D F  x   ln x   Hướng dẫn giải Chọn C Áp dụng công thức nguyên hàm mở rộng 1 F  x   dx  ln x   C 2x 1  e 1  Mà F     ln    e 1  2    C   C    Câu 26: (THPT Tứ Kỳ-Hải Dương năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  xác định K F  x  nguyên hàm f  x  K Khẳng định đúng? A f   x   F  x  , x  K B F   x   f  x  , x  K C F  x   f  x  , x  K D F   x   f   x  , x  K Hướng dẫn giải Chọn B  Ta có F  x    f  x  dx , x  K   F  x    f  x  , x  K Câu 27: (THPT Tứ Kỳ-Hải Dương năm 2017-2018) Viết cơng thức tính thể tích V khối tròn xoay tạo quay hình thang cong, giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  trục Ox hai đường thẳng x  a , x  b ,  a  b  xung quanh trục Ox b A V    f ( x)dx b b B V   f ( x )dx a C V    f ( x)dx a b D V   f ( x) dx a Hướng dẫn giải Chọn A Theo lý thuyết Câu 28: (THPT Đô Lương 4-Nghệ An năm 2017-2018) Phát biểu sau đúng? A  cos2 xdx  2 sin x  C C  cos2 xdx   sin2 x  C B  cos2 xdx  2sin2 x  C D  cos2 xdx  sin2 x  C Lời giảiS a π  Theo giả thiết, f    f  x   f   x   sin x.cos x nên   π π     f  0  f     f      2 Ta có: π π π π I   x f   x  dx   xd  f  x     xf  x     f  x  dx 0 π Suy ra: I    f  x  dx Mặt khác, ta có: π  f  x   f   x   sin x.cos x  2   Suy ra:  2     f  x  dx   f   x  dx  02 sin x.cos x dx   1   f   x  dx    f  x  dx  2   f  x  dx    π Vậy I    f  x  dx   Câu 19: Cho hàm số y  f  x  liên tục đoạn  0; 1 , thỏa mãn    f  x  dx  Giá trị tích phân   f  x  f  x  dx   xf  x  dx  dx A B C 10 D 80 Câu 20: Cho hàm số y  f  x  liên tục đoạn  0; 1 , thỏa mãn  f  x  dx   xf  x  dx    f  x  dx  Giá trị tích phân   f  x  dx A B C 10 Lời giải D 80 Chọn C 1 2 1 Xét   f  x    ax  b   dx    f  x   dx  2  f  x   ax  b   dx    ax  b  dx 0 Cần xác định a, b để 1   2a  xf  x  dx  2b  f  x  dx  0 a2   a  b   ab  b ax  b     3a a2    b  a  b  2b   Ta có:   b  4b    b  2   b   a  6 b  2b     3 Khi đó:   f  x    6 x   dx   f  x   x  1 1 Suy   f  x   dx    x   dx   x    10 24 0 3 Câu 21: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi  H1  hình phẳng giới hạn đường y  x2 x2 , y , 4 x  4 , x  hình  H  hình gồm điểm  x; y  thỏa: x  y  16 , x   y    , x2   y  2  Cho  H1   H  quay quanh trục Oy ta vật thể tích V1 , V2 Đẳng thức sau đúng? A V1  V2 B V1  V2 C V1  2V2 D V1  V2 Câu 22: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi  H1  hình phẳng giới hạn đường y  x2 x2 , y , 4 x  4 , x  hình  H  hình gồm điểm  x; y  thỏa: x  y  16 , x   y    , x2   y  2  Cho  H1   H  quay quanh trục Oy ta vật thể tích V1 , V2 Đẳng thức sau đúng? A V1  V2 B V1  V2 C V1  2V2 D V1  V2 Hướng dẫn giải Chọn A • Thể tích khối trụ bán kính r  , chiều cao h  là: V   r h   42.8  128 • Thể tích giới hạn Parabol y  x2 , trục tung, đường thẳng y  quay quanh Oy là: 4  V P   π  x dy  π  ydy  32π 0 Suy thể tích  H1  là: V1  V  2.V P   128π  2.32π  64π 256 πR  π 3 32 • Thể tích khối cầu bán kính r  : VN  π23  π 3 256π 2.32π Suy thể tích  H  là: V2  VL  2.VN    64π 3 Vậy r  : V1  V2 • Thể tích khối cầu bán kính R  : VL  Câu 23: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  liên tục  đồ thị hàm số y  f   x  đoạn  2;6 hình vẽ Tìm khẳng định y O 2 x 1 A max y  f  2  B max y  f    2;6 B A A C B B C max y  f   2;6 A B 2;6 D max y  f  1  2;6 BẢNG ĐÁP ÁN 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 B B C B D A A A A C B D C B D A A 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 B A B C A A C B B A D C D D C A C D B C D A D A C HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 24: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  liên tục  đồ thị hàm số y  f   x  đoạn  2;6 hình vẽ Tìm khẳng định y O 2 x 1 A max y  f  2  2;6 B max y  f   2;6 C max y  f   2;6  Lời giải D max y  f  1 2;6 Chọn C Ta có bảng biến thiên: x 2 f  x 1    f  1 f 6 f  x f  2  f  2 Từ bảng biến thiên suy max y  max  f  1 ; f    2;6 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f   x  , trục hoành hai đường thẳng x  1 x  2 S1    f   x  dx   f  x  1  f  1  f   1 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f   x  , trục hoành hai đường thẳng x  x  6 S   f   x  dx  f  x   f    f   Từ hình vẽ suy S2  S1  f    f    f  1  f    f    f  1 12 c  x a  Câu 25: Vậy max y  max  f  1 ; f    f   Cho tích phân I   1  x   e x dx  e d ,  2;6 x b  12 a c a , b , c , d số nguyên dương phân số , phân số tối giản Tính b d bc  ad A 24 B C 12 D 12  x a c  Câu 26: Cho tích phân I     x   e x dx  e d , a , b , c , d số nguyên dương x b  12 a c phân số , phân số tối giản Tính bc  ad b d A 24 B C 12 D Lời giải Chọn A 12 12 12 x  x 1  x   - Ta có: I   1  x   e x dx   e x dx    x   e x dx  J  K x x  1  12 12 - Tính J   e 12 x x dx 12   x  1x  x  x du  1   e dx Đặt u  e   x  v  x dv  dx  12  x   J   x.e x    12 12 12 145 145 143 145  x  e 12  K    x   e x dx  12.e 12  e 12  K  x 12 12  12 145 12 143 e 12 a c a c - Theo giả thiết: I  e d với a , b , c , d số nguyên dương , phân số tối b d b a 143 c 145 giản nên    a  143 , b  12 , c  145 , d  12 b 12 d 12 Vậy bc  ad  24  f   x   Câu 27: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x   , x  1; 2  Biết f 1  , dx  x 375 I J K  f  2  A P  22 , tính I   f  x  dx 15 71 60 B P  C P  73 60 37 30  f   x  thỏa mãn f   x   , x  1; 2    dx  Biết f 1  , x 375 Câu 28: Cho hàm số f  x  D P  22 , tính I   f  x  dx f  2  15 A P  71 60 B P  C P  73 60 D P  Lời giải Chọn A +) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 3  f   x    f   x   x x f  x x2 x2      4 x 125 125 x 125 125 25 2  f   x   f  x x2 Lấy tích phân hai vế BĐT ta có:  d x  d x  1 125 1 25 dx x4 3  f   x   f   x  7     dx    f    f 1      dx  x 375 25 x 375 1 Kết hợp với giả thiết ta có dấu “  ” BĐT xảy  f   x   x2 x6 x2 x3     f x   f x   f x  C           125 x4 125 15 Mà f 1    +) Ta có I   1 14 x  14  C  C   f 1  15 15 15 x3  14 71 dx  15 60 37 30 15 x 2 Câu 29: Cho hàm số y  f  x  liên tục  \ 0 thỏa mãn f  x   f     ,  x 1  f  x  dx  k Tính I   f  x  dx theo k A I   45  k B I  45  k C I  45  k Câu 30: Cho hàm số f  x  xác định  \ 0 thỏa mãn f   x   D I  45  2k , f 1  a , f  2   b x  x4 Giá trị biểu thức f  1  f   A b  a B a  b C a  b D a  b  Câu 31: Cho a   cos x  3sin x  ln  cos x  2sin x  dx  c ln  b , a , b , c  * , tối giản Tính T  a  b  c A T  B T  11 C T  a phân số b D T  15 x 2 Câu 32: Cho hàm số y  f  x  liên tục  \ 0 thỏa mãn f  x   f     ,  x 1  f  x  dx  k Tính I   f  x  dx theo k A I   45  k B I  45  k 45  k C I  9 Lời giải D I  45  2k Chọn A Đặt t  x  dx  dt Đổi cận  t 1 x t 3 x  2 f   dx t 15 x 5x 2 2 Mà f  x   f      f      f  3x  2  x  x 3 3  5x 1  Nên I      f  x   dx    x dx   f  x  dx  5   f  3x  dx (*) 21 41 31 31  x 1  u  Đặt u  3x  dx  dx Đổi cận x  3 t  Khi I  1 k 45  k Khi I  5   f  t  dt  5    93 9 Câu 33: Cho hàm số f  x  xác định  \ 0 thỏa mãn f   x   biểu thức f  1  f   , f 1  a , f  2   b Giá trị x  x4 A b  a B a  b C a  b D a  b Lời giải Chọn A Ta có f    x   Do  x   x  1  f   x  dx   f   x  dx 2  f   x  nên f   x  hàm chẵn x  x4 Suy f  1  f    f  1  f  2   f  2   f 1  f 1  f    1  f   x  dx  b  a   f   x  dx  b  a 2  Câu 34: Cho a   cos x  3sin x  ln  cos x  2sin x  dx  c ln  b , a , b , c   giản Tính T  a  b  c A T  B T  11 C T  * , a phân số tối b D T  Lời giải Chọn A  I    cos x  3sin x  ln  cos x  2sin x  dx     cos x  2sin x  cos x  sin x  ln  cos x  2sin x  dx Đặt t  cos x  2sin x  dt    sin x  cos x  dx Với x  t  Với x   t  2     t ln t  Suy I   2t ln tdt   ln td t 2 2 t2   tdt  4ln   ln  21 a   Vậy b   T  a  b  c  c   Câu 35: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 đồng thời thỏa mãn f     f   x    f   x   x   Tính T  f 1  f   A T   ln B T  C T   ln HẾT D T   ln ĐÁP ÁN THAM KHẢO A B A A B A A B 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 D C A C D C B D C C A A C A A A D 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 C C B D D C D D B C A D A C A B B B C C B B A A C HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 36: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 đồng thời thỏa mãn f     f   x    f   x   x   Tính T  f 1  f   A T   ln B T  C T   ln D T   ln Hướng dẫn giải Chọn C 2 Ta có f   x    f   x   x     f   x   1    f   x   x    f   x   1   f   x   x  f   x   1 x dx   dx   C  f  x  x 9  f '  x   x  9 Do f     nên C  suy f   x   x   f  x  x x 1 x 1 Lấy nguyên hàm hai vế   1  x2    Vậy T  f 1  f       x  dx   ln x     ln  2 0 x 1   0 HẾT -Câu 37: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục đoạn  0;2 Biết f    f  x  f   x   e2 x 4 x , với x   0;2 Tính tích phân I   x  3x  f   x  f  x A I   16 B I   16 C I   14 D I   dx 32 Câu 38: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục đoạn  0;2 Biết f    f  x f   x  e x2 4 x , với x   0;2 Tính tích phân I   x  3x  f   x  A I   16 B I   16 C I   14 f  x D I   dx 32 Lời giải Chọn B Cách 1: Theo giả thiết, ta có f  x  f   x   e x ln  f  x  f   x    ln e2 x 4 x 4 x f  x  nhận giá trị dương nên  ln f  x   ln f   x   x  x Mặt khác, với x  , ta có f   f    f    nên f    Xét I   x  3x  f   x  f  x dx , ta có I    x  x  f  x dx f  x u  x3  x du   3x  x  dx   Đặt  f  x v  ln f  x  dv  f x dx    2 Suy I   x  x  ln f  x      x  x  ln f  x  dx     x  x  ln f  x  dx 1 0 Đến đây, đổi biến x   t  dx  dt Khi x   t  x   t  Ta có I     3t  6t  ln f   t  dt      3t  6t  ln f   t  dt 2 Vì tích phân không phụ thuộc vào biến nên I     x  x  ln f   x  dx  2 Từ 1   ta cộng vế theo vế, ta I     x  x   ln f  x   ln f   x   dx Hay I   16 x  x   x  x  dx     20 Cách (Trắc nghiệm) Chọn hàm số f  x   e x I  x  x  e x e 2 x 2 x , đó:  x  2 x2  x dx    x  x   x   dx  16 Câu 39: Cho hàm số y  f  x  Hàm số y  f   x  có đồ thị hình Biết phương trình f   x   có bốn nghiệm phân biệt a , , b , c với a   b  c Mệnh đề đúng? A f b  f a  f c  B f c  f b  f a  C f b  f c   f a  D f c  f a  f b Câu 40: Cho hàm số Tính f  x xác định f  1  f    \ 0 , thỏa mãn f   x   A f  1  f    a  b B f  1  f    a  b C f  1  f    a  b D f  1  f    b  a f a f 2  b ,     x x Câu 41: Cho hàm số y  f  x  Hàm số y  f   x  có đồ thị hình Biết phương trình f   x   có bốn nghiệm phân biệt a , , b , c với a   b  c Mệnh đề đúng? A f b  f a   f c  B f c  f b  f a  C f b  f c   f a  D f c  f a   f b Lời giải Chọn C + Từ hình vẽ ta thấy: f   x  x  b; c  ; f   x  x  c nên có f b  f c   + Ta lại có: b c c b a  f   x  dx  f   x  dx   f   x dx   f   x dx  f   x dx         a   f  x  f  x   f 0  f  a  f c  f 0  f a   f c c a + Vậy f b  f c   f a  Câu 42: Cho hàm số f  x  xác định  \ 0 , thỏa mãn f   x   , f 1  a f  2   b x  x5 Tính f  1  f   A f  1  f    a  b B f  1  f    a  b C f  1  f    a  b D f  1  f    b  a Lời giải Chọn C Ta có f    x    x   x Do  2 1 f   x  dx    2    f   x  nên f   x  hàm lẻ x  x5 f   x  dx    f   x  dx Suy f  1  f  2    f    f 1  f  1  f    f  2   f 1  a  b Câu 43: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục  0;   thỏa mãn f    15 f   x    x   f  x   Tính f 1  f    f  3 A 15 B 11 15 C 11 30 D 30 Câu 44: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục  0;   thỏa mãn f    15 f   x    x   f  x   Tính f 1  f    f  3 A 15 B 11 15 C 11 30 D 30 Lời giải Chọn D Vì f   x    x   f  x   f  x   , với x   0;   nên ta có  Suy f  x  2x  f  x 1 nên C  hay f  x    x  x  C Mặt khác f    15 x  4x  f  x 1 Do f 1  f    f  3     15 24 30 Câu 45: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  thỏa  f    f     1;   f  x  y   f  x   f  y   xy  x  y   1, x,y   Tính  f  x  1dx A B  C D  f  x   0,  x  ,  Câu 46: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp liên tục  thoả  f    f     1,  2  xy  y  yy ,  x   Mệnh đề sau đúng? 1 3 A  ln f 1  B  ln f 1  C  ln f 1  D  ln f 1  2 2 Câu 47: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  thỏa  f    f     1;   f  x  y   f  x   f  y   xy  x  y   1, x,y   Tính  f  x  1dx A B  C Lời giải D Chọn C Lấy đạo hàm theo hàm số y f   x  y   f   y   x  xy , x   Cho y   f   x   f     x  f   x    x Vậy f  x    f   x dx  x  x  C mà f     C  suy f  x   x  x   f  x  1dx   1 0  x4 x  1 f  x dx    x  x  1dx     x       4   1 1  f  x   0,  x  ,  Câu 48: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp liên tục  thoả  f    f     1,  2  xy  y  yy ,  x   Mệnh đề sau đúng? 1 3 A  ln f 1  B  ln f 1  C  ln f 1  D  ln f 1  2 2 Lời giải Chọn D f   x  x2  y  yy  y2 y x Ta có xy  y 2  yy  hay   x  x    C  C   f  x y2 y  y Lại có f    f      C  1 f  x f   x  x2  x2  7 dx     1 dx  ln  f  x     ln f 1   1   f  x 6 f  x  0   ln  f 1   Câu 49: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục  0; 2 Biết f    Ta có f  x  f   x   e x2  x với x   0; 2 Tính tích phân I   x f  x A I   D B 14 B I   A C A A D B 32 C I    3x  f   x  16 D I   dx 16 ĐÁP ÁN THAM KHẢO 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 D B A A C C B A D A C B C C B B C 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 B A B D C A C A C B A A B D D B A D D D B A C C D HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 50: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục  0; 2 Biết f    f  x  f   x   e x 4 x với x   0; 2 Tính tích phân I   A I   14 B I   32 C I   Lời giải Chọn D 16 x  3x  f   x  f  x D I   dx 16 f  x  f   x   e2 x 4 x suy f   f    e0  f    u  x3  x 2   f   x   du   3x  x  dx Đặt  dv  dx v  ln f  x   f x    2 Khi I   x  3x  ln f  x     3x  x  ln f  x  dx     3x  x  ln f  x  dx   J 0 Tính J : 2 Đặt x   t  J    3t  6t  ln f   t  dt    3x  x  ln f   x  dx 0 2 Vậy I  J    3x  x  ln f  x  dx    3x  x  ln f   x  dx 0 2     x  x  ln  f  x  f   x   dx    x  x  ln e2 x 4 x  dx Câu 51:    x  x  x  x  dx  32 32 16 mà I   J  2 I   I   Cho hàm số y  f  x  liên 5 tục đoạn  0;1 thoả mãn x f  x  dx  max f  x   Giá trị lớn tích phân [0;1] x f  x  dx A 1.B 11.D 21.C 31.A 41.C  2 B 2.A 12.B 22 32.A 42.D 3.D 13.A 23.A 33.C 43.B 4.C 14.D 24.A 34.A 44.B  C BẢNG ĐÁP ÁN 5.D 6.A 15.C 16.D 25.B 26.B 35.A 36.D 45.B 46.A 2 16 7.A 17.A 27.A 37.C 47.D D 8.C 18.B 28.D 38.B 48.D 24 9.C 19.A 29.D 39.C 49.A 10.B 20.D 30.B 40.B 50.B HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 52: Cho hàm số y  f  x  liên tục đoạn  0;1 thoả mãn x f  x  dx  max f  x   Giá trị lớn tích phân x f  x  dx [0;1]  2 A B  C 2 16 D 24 Lời giải Chọn B Ta có f  x   6, x   0;1 1 1 Xét I   x3dx   x 3dx   x f  x  dx   x3   f  x   dx   x   f  x   dx Suy I   3  x   f  x   dx  1  x   f  x   dx 32 312 1 1 3  x dx   x dx   x f  x  dx   x f x d x     3 2 32 2 2   2 3     x f  x  dx    x f  x  dx  2 ... dx a a a Lời giải Chọn A Theo định nghĩa ứng dụng tích phân tích diện tích hình phẳng Câu 38: (THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần năm 2017-2018) Tìm họ nguyên hàm hàm số f  x   sin 2018 x ... Xét mệnh đề sau:  I  F  x   G  x  nguyên hàm f  x   g  x   II  k.F  x  nguyên hàm k f  x  với k   III  F  x  G  x  nguyên hàm f  x  g  x  Các mệnh đề A  II...  dx   g  x  dx a a a Lời giải Chọn B Dựa vào tính chất tích phân, A, C, D nên B sai Câu 17: (THPT Hồng Lĩnh-Hà Tĩnh-lần năm 2017-2018) Họ nguyên hàm hàm số f  x   x  x  x 2 xC