các dạng bài và phương pháp giải Phép chia hết

A) Tớnh cht chia ht trờn hp s t nhiờn: I/ Tớnh cht chung: 1/ Bt c s no khỏc cng chia ht cho chớnh nú 2/ a b vaứb c a c 3/ S chia ht cho mi s b khỏc 4/ Bt c s no cng chia ht cho II/ Tớnh cht chia ht ca tng v hiu 5/ Nu a m v b m thỡ a b m vaứa b m (a b) 6/ Nu mt hai s a v b chia ht cho m, s khụng chia ht cho m thỡ a +b khụng chia ht cho m v a - b khụng chia ht cho m III/ Tớnh cht chia ht ca tớch 7/ Nu mt tha s ca tớch chia ht cho m thỡ tớch chia ht cho m 8/ a m, b n ab mn IV/ H qu: 1/ a b a n b n (n>0) 2/ a m, a n , (m, n) a mn 3/ Nu tng hoc hiu ca hai s chia ht cho m v mt hai s y chia ht cho m thỡ s cũn li cng chia ht cho m 4/ Nu ac b v (a, b) =1 thỡ c b 5/ Nu a b, c b v (m, n N) thỡ a.m + c.n b (b 0) 6/ a b v c d ac bd 7/ am k.am (k N) 8/ a m; bm k1a+k2bm B) Mt s du hiu chia ht Gi N = a n a n1 a1a Du hiu chia ht cho 2: Mt s chia ht cho ch s tn cựng ca nú l ch s chn N a0 a0{0; 2; 4; 6; 8} Du hiu chia ht cho 5: Mt s chia ht cho ch s tn cựng ca nú l hoc N a0 a0{0; 5} Du hiu chia ht cho v 25: Mt s chia ht cho (hoc 25) s to bi ch s tn cựng ca nú chia ht cho hoc 25 N (hoc 25) a1a (hoc 25) Du hiu chia ht cho v 125: Mt s chia ht cho (hoc 125) s to bi ch s tn cựng ca nú chia ht cho hoc 125 N (hoc 125) a a 1a (hoc 125) Du hiu chia ht cho v 9: Mt s chia ht cho (hoc 9) tng cỏc ch s ca nú chia ht cho (hoc 9) Phm Ngc Tõm Trng THCS Tin Thnh N (hoc 9) a0+a1++an (hoc 9) CC DNG BI TP V PHNG PHP GII Dng : Xột tớnh chia ht ca mt tng hoc hiu Phng phỏp: Ta s dng cỏc tớnh cht Nu a m v b m thỡ a b m vaứa b m (a b) Nu mt hai s a v b chia ht cho m, s khụng chia ht cho m thỡ a +b khụng chia ht cho m v a - b khụng chia ht cho m Bi 1: p dng tớnh cht chia ht xột xem mi tng (hiu) sau cú chia ht cho khụng? a) 48 + 56 + 112 b) 160 47 Gii: a) p dng tớnh cht chia ht ca mt tng (hiu) ta cú: 488 568 (48 56 112) 1128 b) 160 m 47 nờn 160 - 47 Bi 2: Khụng thc hin phộp tớnh, chng t rng: a) 34.1991 chia ht cho 17 b) 2004 2007 chia ht cho c) 1245 2002 chia ht cho15 d) 1540 2005 chia ht cho 14 Hng dn: Ta dựng tớnh cht sau: a c; a , b, c N ( c 0) a.b c Ch cn cú mt tha s tớch chia ht cho mt s thỡ c tớch chia ht cho s ú Gii: a) 34.1991 = 17.2.1991 Vỡ 17 chia ht cho 17 nờn 17.2.1991 hay 34.1991 b) 2004 2007 chia ht cho 2007 cú tng cỏc ch s bng 9, m chia ht cho nờn 2007 Do ú 2004 2007 c) 1245 2002 chia ht cho15 1245 cú tn cựng l ch s nờn 1245 Do ú 1245 2002 chia ht cho 1245 cú tng cỏc ch s l 1+2+4+5 = 12; 12 nờn 1245 Do (5,3) = Vy 1245 2002 chia ht cho15 d) 1540 2005 chia ht cho 14 Phm Ngc Tõm Trng THCS Tin Thnh 1540 = 14 110 Ta cú 14 14 nờn 14.110 14 hay 1540 2005 14 Vy 1540 2005 chia ht cho 14 Bi 3: Tng (hiu) sau cú chia ht cho khụng? a) 1.2.3.4.5.6 + 40 b) 1.2.3.4.5.6 - 32 Hng dn: * Nhn xột rng tớch 1.2.3.4.5.6 cú cha tha s ú tớch ny chia ht cho T ú xột tha s cng li xem cú chia ht cho khụng? Dn n cỏch gii tng t nh bi Gii: a) 1.2.3.4.5.6 v 40 1.2.3.4.5.6 + 40 b) 1.2.3.4.5.6 v 32 1.2.3.4.5.6 - 32 Bi 4: Cho A = 2.4.6.8.10.12+ 40 Hi A cú chia ht cho 5, cho 6, cho khụng? Hng dn: Ta s dng tớnh cht Nu a m v b m thỡ a b m vaứa b m (a b) Nu mt hai s a v b chia ht cho m, s khụng chia ht cho m thỡ a +b khụng chia ht cho m v a - b khụng chia ht cho m Gii: * 2.4.6.8.10.12 v 40 2.4.6.8.10.12+ 40 A * 2.4.6.8.10.12 v 40 2.4.6.8.10.12+ 40 A * 2.4.6.8.10.12 v 40 2.4.6.8.10.12+ 40 A T ú ta kt lun: A 5, A 6, A Bi 5: Chng t rng: (49.a + 72) vi a N Gii: Ta cú: 49.a vi a N v 72 (49.a + 72) vi a N Bi : Cho tng A = (12 + 14 + 16 + x) vi x N Tỡm x : a) A chia ht cho b) A khụng chia ht cho Phng phỏp: Tỡm iu kin ca mt s hng tng ( hoc ) chia ht cho mt s Nhn xột: Ba s hng u tiờn tng A u chia ht cho Mun tng A chia ht cho thỡ x phi l mt s chia ht cho Mun tng A khụng chia ht cho thỡ x phi l mt s khụng chia ht cho Gii: a) Ta cú: 122, 142, 162 A = (12 + 14 + 16 + x) thỡ x2 Vy x= 2.k (k N) b) Ta cú: 122, 142, 162 A = (12 + 14 + 16 + x) thỡ x Vy x= 2.k+1(k N) Dng 2: Nhn bit cỏc s chia ht cho 2, 3, 5, Phm Ngc Tõm Trng THCS Tin Thnh Bi 1: Cho s : 21780; 325; 1980; 176 Hóy cho bit cỏc s trờn chia ht cho nhng s no cỏc s sau ( 2; 3; 5; )? Hng dn: a) S 21780 chia ht cho v vỡ cú ch s tn cựng l Chia ht cho v vỡ tng cỏc ch s chia ht cho b) 325 chia ht cho vỡ cú ch s tn cựng l c) 176 chia ht cho vỡ cú ch s tn cựng l (ch s chn) d) 1980 chia ht cho 2, cho 5, cho 3, cho (vỡ cú ch s tn cựng l v cú tng cỏc ch s chia ht cho 9) Bi 2: Dựng ba bn ch s: 8; 3; 1; Hóy ghộp thnh cỏc s t nhiờn cú ba ch s cho s ú: a) Chia ht cho b) Chia ht cho m khụng chia ht cho Hng dn: a) Trong ch s 8; 3; 1; cú ch s cú tng chia ht cho l 8; 1; Vy cỏc s lp c l: 810; 180; 108; 801 b) Trong ch s 8; 3; 1; cú ch s cú tng chia ht cho m khụng chia ht cho l 8; 3; Vy cỏc s lp c l: 813; 831; 381; 318; 183; 138 Dng 3: Vit cỏc s chia ht cho 2, 3, 5, 9, 4, 8, 25, 125 t cỏc s hoc ch s cho trc Phng phỏp: S dng cỏc du hiu chia ht cho 2, cho 3, cho 5, cho 9, cho 4, 8, 25, 125 Bi 1: in ch s vo du * c s 54 * chia ht cho Hng dn hc sinh: S 54 * = 540 + * 54 * chia ht cho thỡ * 0;4;6;8 Vy cỏc s tỡm c l: 540; 542; 546; 548 Bi 2: in ch s vo du * c s * 85 tho món: a) Chia ht cho b) Chia ht cho Hng dn hc sinh: a) S * 85 cú ch s tn cựng l m khụng chia ht cho s * 85 khụng chia ht cho Vy ta khụng tỡm c * * 85 chia ht cho Phm Ngc Tõm Trng THCS Tin Thnh b) S * 85 cú ch s tn cựng l Vy ta cú th thay * bng bt c s no t n thỡ s * 85 u chia ht cho Nờn cỏc s tỡm c l: 185; 285; 385; 485; 585; 685; 785; 885; 985 Bi 3: in ch s vo du * * chia ht cho Hng dn hc sinh Ta cú * chia ht cho thỡ ( + * + ) phi chia ht cho Hay ( + * ) Vy * = Ta cú s cn tỡm l 342 Bi 4: in ch s vo du * * 81 * chia ht cho c 2; 3; v ( mt s cú nhiu du * cỏc du * khụng nht thit phi thay bi cỏc s ging nhau) Hng dn hc sinh Vỡ * 81 * chia ht cho v nờn * 81 * cú * tn cựng l 0, ta cú s * 810 Mt khỏc ta cú * 810 chia ht cho v m nờn (*+8+1+0) ngha l (* + ) Võy * = ( Vỡ l * u tiờn ca mt s nờn khụng th bng ) Ta cú s cn tỡm l 9810 Bi 5: Tỡm ch s x :( 3x4 - 12) Hng dn: Hiu trờn phi chia ht cho m 12 ó chia ht cho T ú da vo du hiu chia ht cho tỡm ch s x Gii: Ta cú: ( 3x4 - 12) M 12 Nờn 3x4 Hay 3+x+4 Do ú 7+x 3, v x Vy x { 2; 5; 8} Bi tng t : Thay cỏc ch x, y bng ch s thớch hp cho: a) S 275x chia ht cho 5, cho 25, cho 125 b) S 9xy4 chia ht cho 2, cho 4, cho ỏp s: a) 275x x {0; 5} 275x 25 x {0} 275x 125 x {0} b) 9xy4 x, y { 0,1,2,,9} Phm Ngc Tõm Trng THCS Tin Thnh 9xy4 x { 0,1,2,,9}; y { 0,2,4,6,8} 9xy4 x { 0,2,6,8} v y { 2,6} hoc x { 1,3,5,7,9}v y { 0,4,8} Bi 6: Tỡm cỏc ch s a, b cho a56b 45 Hng dn: s dng du hiu chia ht cho 5, cho v h qu am, an, (m,n) =1 am.n Gii: Ta thy 45 = 5.9 m (5 ; 9) = ; 0 b Gii: a) Ta cú ab ba = (10a +b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b) 11 Vy ab ba 11 b) Ta cú : ab ba = (10a + b) (10b + a) vi a > b = 9a 9b = (a b) Vỡ nờn (a b) Vy ab ba Phm Ngc Tõm Trng THCS Tin Thnh Bi 2: Cho abc - deg Chng minh rng: abc deg Gii: Tacoự: abc deg 1000abc deg 1001abc (abc deg ) 7.143abc (abc deg ) M 7.143 abc v abc - deg nờn 7.143 abc - ( abc - deg ) Do ú: abc deg Bi tng t: Cho abc + deg 37 Chng minh rng: abc deg 37 Gii: Tacoự: abc deg 1000abc deg 999abc (abc deg) 27.37abc (abc deg) Do 27.37abc 37; (abc deg) 37; Vaọ y : abc deg 37 Bi 3: Chng minh rng nu vit thờm vo ng sau mt s t nhiờn cú hai ch s gm chớnh hai ch s y vit theo th t ngc li thỡ c mt s chia ht cho 11 Gii: Gi s t nhiờn cú hai ch s l: ab ( < a 9, b 9, a,b N) Khi vit thờm s cú hai ch s y vit theo th t ngc li ta c s: abba abba 1000a 100b 10b a 1001a 110b 7.11.13a 11.10b 11 Vaọ y : abba 11 Bi 4: Cho s abc 37 Chng minh rng s bca 37 v cab 37 Gii: Theo : abc 37 nờn 100a+10b+c 37 100a+10b+c = 37.k (k N) Ta cú: abc bca cab = 100a+10b+c +100b+10c+a+100c+10a+b = 111a+111b+111c = 111(a+b+c) = 37.3.(a+b+c) abc bca cab 37 M bca =100b+10c+a = 10.10b+ 10.c+ 10.100a - 999a =10.(100a+10b+c)- 999a =10.37k - 37.27ê bca 37 Ta thy: abc bca cab 37 m abc 37 v bca 37 cab 37 Bi 5: Chng minh rng: nu ab cd eg 11 thỡ abc deg 11 Gii: Phm Ngc Tõm Trng THCS Tin Thnh Ta coự: abc deg 10000ab 100cd eg 9999ab 99cd (ab cd eg) Do 999911; 9911;(ab cd eg)11 Vy : abc deg 11 Bi 6: Chng minh rng : ab 2cd abcd 67 Gii: Ta cú abcd 100ab cd M: ab 2cd Suy ra: abcd 200cd cd 201cd 3.67cd 67 Vy: abcd 67 Bi 7: Cho s N = dcba Chng minh rng: a N (a + 2b) b N 16 (a + 2b + 4c + 8d) 16 vi b chn Hng dn : a) S dng du hiu chia ht cho v tớnh cht chia ht ca mt tng Gii: a N4 b a 10b + a 8b + (2b + a) a + 2b4 b N16 1000d + 100c + 10b + a 16 (992d + 96c + 8b) + (8d + 4c + 2b + a) 16 a + 2b + 4c + 8d 16 (vi b chn) Bi 8: Cho bit (a + 4b) chia ht cho 13, ( a; b thuc N) Chng minh rng (10a + b) chia ht cho 13 Gii: t : a + 4b = x 10a + b = y Theo cho x chia ht cho 13, ta cn chng minh y chia ht cho 13 Cỏch 1: Xột biu thc 10x y = 10 ( a + 4b ) ( 10a + b ) =10a + 40b 10a b = 39b Suy : 10x - y 13 Do x 13 nờn 10x 13 Ta ó cú 10x - y 13 Do ú y 13 Vy 10a + b 13 Nhn xột: h s ca a x l 1, h s ca a y l 10 nờn xột biu thc (10x y) nhm kh a tc l lm cho h s ca a bng Cỏch 2: Xột biu thc 4y x = ( 10a + b ) ( a + 4b ) = 40a + 4b a 4b = 39.a Phm Ngc Tõm Trng THCS Tin Thnh Suy ra: 4y - x 13 Do x 13 nờn 4y 13 M (4,13) = nờn y 13 hay 10a + b 13 Nhn xột: h s ca b x l 4, h s ca b y l Nờn xột biu thc (4y x) nhm kh b Cỏch 3: Xột biu thc 3x + y = ( a + 4b ) + ( 10a + b ) =3a + 12b +10a + b = 13a + 13b = 13.(a+b) Suy ra: 3x + y 13 Do x 13 nờn 3x 13 M ta ó cú : 3x + y 13 Suy ra: y 13 hay 10a + b 13 Cỏch 4:Xột biu thc x + 9y = a + 4b + 9.( 10a + b ) = a + 4b + 90a + 9b = 91a + 13b = 13.( 7a + b) Suy ra: x 9y 13 Do x13 nờn 9y13 Ta cú: (9;13)=1 Nờn y13 hay 10a + b13 Nhn xột: Trong cỏc cỏch gii trờn ta ó a cỏc biu thc m sau rỳt gn cú mt s hng chia ht cho 13 Khi ú s hng th hai (nu cú) cng l bi ca 13 4.2 Chng minh A(n) chia ht cho k, cú th xột mi trng hp s d chia A(n) cho k Bi : Chng minh rng: a) Tớch ca hai s t nhiờn liờn tip chia ht cho b) Tớch ca ba s t nhiờn liờn tip chia ht cho Gii: a) Vit tớch ca hai s t nhiờn liờn tip di dng A(n) = n(n + 1) Cú hai trng hp xy : + n n(n + 1) + n khụng chia ht cho (n l) (n + 1) n(n +1) b) Vit tớch ca ba s t nhiờn liờn tip di dng A(n) = n(n + 1)(n+2) Xột mi trng hp: n chia ht cho 3; n chia d (n =3q+1); n chia d (n = 3q+2) (q N) + Nu n chia ht cho thỡ hin nhiờn A(n) chia ht cho + Nu n = 3q+1 thỡ n+2 = 3q+3= 3.(q+1) Ta cú: 3.(q+1) chia ht cho , ú n+2 Suy A(n) + Nu n = 3q+2 thỡ n+1 = 3q+2+1 = 3q+3 = 3.(q+1) chia ht cho Ta cú: 3.(q+1) chia ht cho , ú n+1 Suy A(n) Vy A(n) chia ht cho (pcm) Bi 2: Cho n l s t nhiờn Chng minh rng: Phm Ngc Tõm Trng THCS Tin Thnh a/ (n + 10 ) (n + 15 ) chia ht cho b/ n(n + 1) (n + 2) chia ht cho Gii: a/ (n + 10 ) (n + 15 ) Khi n chn n = 2k (k N) Ta cú: (n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 10)( 2k + 15) = 2(k + 5)(2k + 15) chia ht cho Khi n l n = 2k + (k N) Ta cú: :(n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + + 10)(2k +1 + 15) = (2k + 11)(2k + 16) = 2(2k + 11 )(k + 8) chia ht cho Võy (n + 10 ) (n + 15 ) chia ht cho b/ t A = n (n + 1)(n + 2) * Trong hai s t nhiờn liờn tip cú mt s chn v mt s l, s chn chia ht cho nờn A chia ht cho *- Trng hp: n = 3k (k N) thỡ n chia ht cho nờn A chia ht cho (1) - Trng hp: n khụng chia ht cho thỡ n = 3k + hoc n = 3k + Khi n = 3k + A = (3k + 1)( 3k + 2)(3k + 3) = 3(3k + 1)( 3k + 2)(k + 1) chia ht cho nờn A chia ht cho (2) Khi n = 3k + A = (3k + 2)( 3k + 3)(3k + 4) = 3(3k + 2)( k + 1)(3k + 4) chia ht cho nờn A chia ht cho (3) T (1), (2) v (3) suy ra: A chia ht cho Do (2, 3) = Vy A chia ht cho Bi 3: Chng minh rng: Vi n N, thỡ A(n) = n(2n + 7) (7n + 7) chia ht cho Gii: Ta thy mt hai tha s n v 7n+ 7=7(n + 1) l s chn vi n N A(n) (1) Ta chng minh A(n) Ly n chia cho ta c n = 3k + r (k N) Vi r {0; 1; 2} Vi r = n = 3k n A(n) Vi r = n = 3k + 2n + = 6k + A(n) Vi r = n = 3k + 7n + = 21k + 15 A(n) Suy A(n) vi n N, m (2, 3) = (2) T (1) v (2) suy A(n) vi n N Bi 4) Chng minh rng tng ca ba s t nhiờn liờn tip thỡ chia ht cho 3, cũn tng ca bn s t nhiờn liờn tip thỡ khụng chia ht cho Gii: +Gi ba s t nhiờn liờn tip ú l: n, n + 1, n + Ta phi chng minh: n + (n + 1) + (n + 2) Tht vy ta cú: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + = (n+ 1) (n+ 1) n + (n + 1) + (n + 2) +Gi bn s t nhiờn liờn tip ú l: n, n + 1, n + 2, n + Phm Ngc Tõm 10 Trng THCS Tin Thnh Ta cú: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + khụng chia ht cho vỡ 4n chia ht cho cũn khụng chia ht cho Vy tng ca ba s t nhiờn liờn tip thỡ chia ht cho 3, cũn tng ca bn s t nhiờn liờn tip thỡ khụng chia ht cho Bi 5) Chng minh rng tng ca s chn liờn tip thỡ chia ht cho 10, cũn tng ca s l liờn tip thỡ khụng chia ht cho 10 Gii: +Gi s chn liờn tip l: 2n; 2n + 2; 2n + 4; 2n + 6; 2n + vi n l s t nhiờn Ta cú: 2n + 2n + + 2n + + 2n + + 2n + = 10n + 20 = 10(n + 2) 10 +Gi s l liờn tip l: 2n + 1; 2n + 3; 2n + 5; 2n + 7; 2n + vi n l s t nhiờn Ta cú: 2n + + 2n + + 2n + + 2n + + 2n + = 10n + 25 = 10(n + 2) + 10 Chỳ ý n tớnh chn l, tớnh liờn tip ca cỏc s m bi toỏn ó cp n, khai thỏc nhng tớnh cht ny cựng vi phng phỏp gii ta cú th a nhiu bi toỏn phự hp v b ớch nh: Tng hoc hiu ca nhiu s chn l mt s chn Tng ca ba s liờn tip thỡ chia ht cho 3 Tng ca ba s l liờn tip thỡ chia ht cho Tng ca ba s chn liờn tip thỡ chia ht cho Tng ca bn s l liờn tip thỡ chia ht cho 4.3 chng minh A(n) chia ht cho k, cú th phõn tớch k tha s: k = pq + Nu (p, q) = 1, ta chng minh A(n) p v A(n) q + Nu (p, q) 1, ta phõn tớch A(n) = B(n) C(n) ri chng minh: B(n) p v C(n) q Bi tp: a) Chng minh: A(n) = n(n +1)(n + 2) b) Chng minh: tớch ca hai s chn liờn tip chia ht cho Gii: a) Ta cú: = 2.3; (2,3) = Theo chng minh trờn ó cú A(n) chia ht cho v Do ú A(n) chia ht cho b) Ta vit A(n) = 2n(2n + 2) = 2n 2(n +1) = 4n(n + 1) = Vỡ v n(n +1) nờn A(n) Chỳ ý n tớnh chn l, tớnh liờn tip ca cỏc s m bi toỏn ó cp n, khai thỏc nhng tớnh cht ny cựng vi phng phỏp gii ta cú th a nhiu bi toỏn phự hp v b ớch nh: Tớch ca nhiu s l l mt s l Tớch ca ba s chn liờn tip thỡ chia ht cho 48 Tớch ca ba s l liờn tip thỡ chia ht cho 4.4 chng minh A(n) chia ht cho k, cú th bin i A(n) thnh tng (hiu) ca nhiu hng t, ú mi hng t u chia ht cho k Bi tp: Gii thớch ti tng sau õy chia ht cho 5? M = 4+ 42 + 43 + + 415 + 416 Phõn tớch, tỡm hiu bi: Tng M gm cỏc s hng l ly tha liờn tip ca t 41 n 416 v phi gii thớch ti M li chia ht cho Hóy ghộp cỏc s hng tng thnh tng cp l ly tha liờn tip bt u t cp + 42 lm xut hin tha s chung 1+4 = Phm Ngc Tõm 11 Trng THCS Tin Thnh Cỏch gii: M = (4+ 42 )+ (43 + 44)+ + (415 + 416) = 4(1+4)+43(1+4)+ +415(1+4) =(1+4)(4+ 43+ + 415) = 5.(4+ 43+ + 415) Suy M chia ht cho Khai thỏc bi toỏn: Lu ý, nu cho tng cỏc ly tha ca thỡ s chng minh c tng ny chia ht cho 4+1 = 5, nu l ly tha ca n thỡ chng minh c tng chia ht cho n+1 Chng hn chng minh c tng N = 2013+ 20132 + 20133 + + 20132011 + 20132012chia ht cho 2014 Bi tng t: 1) Chng minh : A= + 22 + 23 + + 260 chia ht cho 3, 7, 15 2) Chng minh : B= + 33 + 35 + + 31991 chia ht cho 13, 41 Hng dn: 1) Chng minh : A= + 22 + 23 + + 260 chia ht cho 3, 7, 15 Trng hp 1: Chng minh : A= + 22 + 23 + + 260 chia ht cho Ta cú: bi toỏn ny tng t bi toỏn trờn A= (2 + 22 )+(23 + 24)+ +(259 + 260 ) = (1 + 2)+23 (1+ 2) + + 259 (1+ 2) = ( 1+2).(2+23+ +259) = 3.(2+23+ +259) Suy A chia ht cho Trng hp 2: Chng minh : A = + 22 + 23 + + 260 chia ht cho Hóy ghộp cỏc s hng tng thnh tng nhúm l ba ly tha liờn tip bt u t + 22+ 23 lm xut hin tha s chung + 22+ 23 = 2.(1+ + 22)= 2.7 A= (2 + 22 + 23)+(24 + 25 + 26)+ +(258 +259 + 260 ) = 2.(1 + 2+ 22)+24 (1+ 2+ 22) + + 258 (1+ 2+ 22) = ( 1+2+ 22).(2+24+ +258) = 7.(2+24+ +258) Suy A chia ht cho Trng hp 3: Chng minh : A= + 22 + 23 + + 260 chia ht cho 15 Hóy ghộp cỏc s hng tng thnh tng nhúm l bn ly tha liờn tip bt u t + 22+ 23+ 24 lm xut hin tha s chung + 22+ 23 +24 = 2.(1+ + 22+23)= 2.15 A= (2 + 22 + 23+24)+( 25 + 26 + 27 +28 )+ +(257 +258 +259 + 260 ) = 2.(1 + 2+ 22+ 23)+25.(1+ 2+ 22+ 23) + + 257 (1+ 2+ 22+ 23) = 2.(1 + + + 8) + 25(1 + + + 8) + + 257(1 + + + 8) = 15.(2 + 25 + + 257) 15 Suy A chia ht cho 15 Hng dn: 2) Chng minh : B= + 33 + 35 + + 31991 chia ht cho 13, 41 *Trng hp 1: Chng minh: B= + 33 + 35 + + 31991 chia ht cho 13 Hóy ghộp cỏc s hng tng thnh tng nhúm l ba ly tha liờn tip bt u t + 33+ 35 lm xut hin tha s chung 3+ 33+ 35 = 3.(1+ 32 + 34)= 3.91=3.7.13 B = + 33 + 35 + + 31991 =(3 + 33 + 35)+(37 + 39 + 311)+ +(31987 +31989 + 31991 ) =3.(1 + 32 + 34)+37 (1 + 32 + 34)+ +31987 (1 +32 + 34 ) Phm Ngc Tõm 12 Trng THCS Tin Thnh = 7.13.(3+ 37++31987) Suy B chia ht cho 13 *Trng hp 2: Chng minh tng t: B = + 33 + 35 + + 31991 chia ht cho 41 Bng cỏch ghộp cỏc s hng tng thnh tng nhúm l bn ly tha liờn tip bt u t 3 + + + 37 lm xut hin tha s chung m tha s y chia ht cho 41 Bng phng phỏp lm nh trờn ta cú th gii c bi toỏn tng t Bi Cho S = 1+ 3+ 32+ 33 + +311 Chng minh rng: a) S 13 b) S 40 Dng 5: p dng tớnh cht chia ht tỡm s t nhiờn Phng phỏp: Cn c vo tớnh cht chia ht ca tng, hiu v tớch, ta cú th rỳt phng phỏp chung gii loi toỏn ny da vo nhn xột sau õy: Nu A B thỡ (m.A+n.B) B (m, n N*) Bi 1: Tỡm s t nhiờn n cho: (18n + 3) Gii Cỏch 1: Ta cú: 18n + 14n + 4n + m 14n 4n + m 7 4n + - 4n - 4.(n - 1) Vỡ (4,7) =1 nờn (n - 1) Vy n = 7k +1 (k N) Cỏch 2: Ta cú: 18n + M 21 Do ú: 18n + - 21 Suy 18n - 18 18.(n - 1) Vỡ (18,7) =1 nờn (n - 1) Vy n = 7k +1 (k N) Nhn xột: Vic thờm bt cỏc bi ca hai cỏch gii trờn nhm i n mt biu thc chia ht cho m ú cỏc h s ca n l Bi 2: Tỡm n N : a) n + n b) n + n + c) 3n + n d) 27 5n n e) 2n + n f) 3n + 11 2n Gii: m n n a) Ta cú: n + n n n (4) = 1; 2; b) Ta cú n + n + n + + n + Phm Ngc Tõm 13 Trng THCS Tin Thnh m n +2 n + n + n + (4)= 1; 2; n 0; ( vỡ n N ) c) Ta cú: 3n + n m 3n n n n (7) = 1; d) Ta cú: 27 5n n m 5n n 27 n n (27) = 1;3;9; 27 nhng 5n 27 nờn n 1;3 e) Ta cú: 2n + n 2(n 2) + (n -2) (n - 2) n 1;7 n 3; f) Ta cú: 3n + 11 2n (n < 6) [2(3n + 1) + 3(11 2n)] 11 2n 35 11 2n 11 2n 1;5;7;35 nhng vỡ n N nờn n 5;3; Bi tng t: 1) Tỡm s t nhiờn x cho : (x+ 15) (8- x) Hng dn: (x+ 15) (8- x) v(8 - x) (8- x) nờn [(x+ 15) +(8- x) ] (8- x) Do ú: 33 (8 - x) Suy ra: x 5; 2) Tỡm s t nhiờn x cho : (2x 7) (x+2) Gii: Ta cú: (x+2)(x+2) 2.(x+2)(x+2) (2x+4)(x+2) m (2x+7)(x+2) (1) (2) T (1) v (2) suy : (2x+7)-(2x+4) (x+2) Do ú (x+2) (x 2) {1;3} m x N x {1} Bi 3: Tỡm s t nhiờn x cho: (5x + 7)(3x + 1) Hng dn: Mun bin i cỏc h s ca x s b chia v s chia ging ta cn tỡm bi chung nh nht ca hai h s S dng tớnh cht a b v c b a c b Gii: Ta cú: (3x+1)(3x+1) 5.(3x+1)(3x+1) (15x+5)(3x+1) (1) (5x+7)(3x+1) 3.(5x+7)(3x+1) (15x+21)(3x+1) (2) T (1) v (2) suy : (15x+21) - (15x+5) (3x+1) Do ú 16 (3x+1) (3x 1) {1; 2; 4;8;16} m x N x {0;5} Phm Ngc Tõm 14 Trng THCS Tin Thnh C KT LUN KT QU V HIU QU Nhng kt qu quan trng nht ca ton b ti : Trong mi tit lờn lp, ng trc mi bi toỏn ngi thy cn tuõn th quỏ trỡnh ba bc: - Tỡm tũi li gii bi toỏn; - Trỡnh by li gii; - Nghiờn cu sõu li gii (khai thỏc bi toỏn) giỳp hc sinh nm chc kin thc c bn, cú k nng trỡnh by v cú phng phỏp t ỳng n thỡ ngi thy cn phi mu mc hai bc u phỏt huy tớnh sỏng to, phỏt trin t ca hc sinh nht l nhng hc sinh khỏ gii thỡ ngi thy c bit coi trng bc th ba Vỡ theo nh Pụlya: "Mt ngi thy giỏo gii phi hiu v lm cho hc sinh hiu rng khụng cú mt bi toỏn no l hon ton kt thỳc Bao gi cng cũn mt ci gỡ ú suy ngh Cú y kiờn nhn v chu khú suy ngh sõu sc, ta cú th hon thin cỏch gii v mi trng hp bao gi cng hiu c cỏch gii sõu sc hn" Hn na t toỏn hc th hin nhiu quỏ trỡnh tỡm cỏch gii v nghiờn cu sõu li gii thụng qua cỏc hot ng trớ tu ch yu: khỏi quỏt hoỏ, c bit hoỏ, tng t, Cng theo nh Pụlya khng nh: "c bit hoỏ, khỏi quỏt hoỏ, tng t l ngun gc v i ca phỏt minh." Quỏ trỡnh ỏp dng ca bn thõn v kt qu t c: Tựy tng i tng hc sinh Gii, Khỏ, Trung bỡnh m chn ni dung bi cho phự hp vi ni dung ca chuyờn Khi ỏp dng chuyờn ny vo ging dy, cht lng hc sinh c ci thin theo chiu hng rt kh quan T l hc sinh yu, kộm gim ỏng k, t l hc sinh khỏ, gii tng lờn rừ rt Khụng nhng th, ó nm vng kin thc dng ny thỡ cỏc em hc rt tt chng trỡnh toỏn lp 8, cỏc dng toỏn tỡm giỏ tr nguyờn ca phõn thc v chng trỡnh hc toỏn cp Nhỡn chung hc sinh tin b hc tp, cỏc em phn hng say v sụi ni hn cỏc gi hc toỏn Kt qu t c nh sau: Phm Ngc Tõm 15 Trng THCS Tin Thnh - Sau hc xong phn Du hiu chia ht v cỏc tớnh cht chia ht hc sinh nm c cỏc du hiu chia ht cho 2, cho 3, cho 5, cho v hiu c c s lý lun ca cỏc du hiu ú da trờn tớnh cht chia ht ca mt tng, hoc hiu - Hc sinh bit dng cỏc du hiu ú nhn mt s, mt tng, mt hiu cú chia ht hay khụng chia ht cho 2, cho 3, cho 5, cho c bit l m rng du hiu chia ht cho 4, 8, 25, 125, 11 bi dng cho cỏc hc sinh cú nng khiu vic o to ngun thi hc sinh gii cỏc cp - Sau lm bi kim tra ỏnh giỏ kt qu s tip thu kin thc ca hc sinh c nm hc 2012-2013 thỡ kt qu t c nh sau: S BI IM DI TB 87 IM IM IM - 10 TS % TS % TS % TS % 4.6 41 47.1 28 32.2 14 16.1 Vn cũn hn ch : õy l mng kin thc khỏ rng v ph bin, a dng v th loi v phc v ni dung, nờn vi khong thi gian hn hp v i tng ch l hc sinh lp Tụi ch a mt s dng toỏn Nu cú iu kin tt hn v thi gian Tụi s c gng nghiờn cu sõu, k hn Phn kt : Trong quỏ trỡnh ging dy, Tụi thy nu giỏo viờn cú s u t nghiờn cu bi cng k thỡ hiu qu t c cng cao Tõm huyt vi ngh l mt nhng yu t to nờn s thnh cụng ca bi dy Mc dự ó c gng phõn chia kin thc v trỡnh by chuyờn ny nhng quỏ trỡnh thc hin khụng trỏnh sai sút, nhm ln hay cha khoa hc Tụi rt mong nhn c nhng li ng viờn, ý kin úng gúp quớ bỏu t cỏc Thy Cụ giỏo chuyờn ny c hon thin hn na v ni dung v c hỡnh thc Tụi xin chõn thnh cm n ! Phan Thit, ngy thỏng nm 2013 Ngi vit Phm Ngc Tõm TI LIU THAM KHO Sỏch giỏo khoa lp - Nh xut bn giỏo dc nm 2010 Phng phỏp ging dy mụn toỏn - NXB GD nm 1998 Toỏn bi dng hc sinh lp 6- Nh xut bn giỏo dc Vit Nam (V Hu Bỡnh- Tụn Thõn- Quang Thiu) Phm Ngc Tõm 16 Trng THCS Tin Thnh Sỏch bi tp, sỏch giỏo viờn, sỏch nõng cao toỏn 6- Nh xut bn giỏo dc nm 2010 Thc hnh gii toỏn NXB GD ( V Dng Thy ) Hng dn t hc tớch cc mt s mụn hc cho hc sinh THCS- Nh xut bn H Ni2012 ( TS Trn ỡnh Chõu - TS Phựng Khc Bỡnh) 500 bi toỏn nõng cao lp - Nh xut bn i hc quc gia TP H Chớ Minh Bi nõng cao v mt s chuyờn toỏn 6-Nh xut bn giỏo dc ( Bựi Vn Tuyờn) Cỏch tỡm li gii cỏc bi toỏn trung hc c s- Tp I - Nh xut bn i hc quc gia H Ni.( Lờ Hi Chõu- Nguyn Xuõn Qu) XẫT DUYT CA HI NG KHOA HC TRNG THCS TIN THNH : Phm Ngc Tõm 17 Trng THCS Tin Thnh XẫT DUYT CA HI NG KHOA HC PHềNG GD&T PHAN THIT: Phm Ngc Tõm 18 Trng THCS Tin Thnh [...]... tiếp thì chia hết cho 3 4.4 Để chứng minh A(n) chia hết cho k, có thể biến đổi A(n) thành tổng (hiệu) của nhiều hạng tử, trong đó mỗi hạng tử đều chia hết cho k Bài tập: Giải thích tại sao tổng sau đây chia hết cho 5? M = 4+ 42 + 43 + + 415 + 416 Phân tích, tìm hiểu đề bài: Tổng M gồm các số hạng là lũy thừa liên tiếp của 4 từ 41 đến 416 và phải giải thích tại sao M lại chia hết cho 5 Hãy ghép các số... (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 7 không chia hết cho 4 vì 4n chia hết cho 4 còn 7 không chia hết cho 4 Vậy tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4 Bài tập 5) Chứng minh rằng tổng của 5 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 10, còn tổng của 5 số lẻ liên tiếp thì không chia hết cho 10 Giải: +Gọi 5 số chẵn liên tiếp là: 2n; 2n... 32+ 33 +… +311 Chứng minh rằng: a) S  13 b) S  40 Dạng 5: Áp dụng tính chất chia hết để tìm số tự nhiên Phương pháp: Căn cứ vào tính chất chia hết của tổng, hiệu và tích, ta có thể rút ra phương pháp chung để giải loại toán này dựa vào nhận xét sau đây: Nếu A  B thì (m.A+n.B)  B (m, n  N*) Bài tập 1: Tìm số tự nhiên n sao cho: (18n + 3)  7 Giải Cách 1: Ta có: 18n + 3  7  14n + 4n + 3  7 mà 14n... trong các dạng toán tìm giá trị nguyên của phân thức và trong chương trình học toán ở cấp 3 Nhìn chung học sinh tiến bộ trong học tập, các em phần hăng say và sôi nổi hơn trong các giờ học toán Kết quả đạt được như sau: Phạm Ngọc Tâm 15 Trường THCS Tiến Thành - Sau khi học xong phần “Dấu hiệu chia hết và ’ các tính chất chia hết ‘’ học sinh nắm được các dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9 và. .. liên tiếp của các số mà bài toán đã đề cặp đến, khai thác những tính chất này cùng với phương pháp giải ta có thể đưa ra nhiều bài toán phù hợp và bổ ích như: 1 Tổng hoặc hiệu của nhiều số chẵn là một số chẵn 2 Tổng của ba số liên tiếp thì chia hết cho 3 3 Tổng của ba số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 3 4 Tổng của ba số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 6 5 Tổng của bốn số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 8... giỏi phải hiểu và làm cho học sinh hiểu rằng không có một bài toán nào là hoàn toàn kết thúc Bao giờ cũng còn một cài gì đó để suy nghĩ Có đầy đủ kiên nhẫn và chịu khó suy nghĩ sâu sắc, ta có thể hoàn thiện cách giải và trong mọi trường hợp bao giờ cũng hiểu được cách giải sâu sắc hơn" Hơn nữa tư duy toán học thể hiện nhiều ở quá trình tìm cách giải và nghiên cứu sâu lời giải thông qua các hoạt động... Thành = 7.13.(3+ 37+…+31987) Suy ra B chia hết cho 13 *Trường hợp 2: Chứng minh tương tự: B = 3 + 33 + 35 + + 31991 chia hết cho 41 Bằng cách ghép các số hạng trong tổng thành từng nhóm là bốn lũy thừa liên tiếp bắt đầu từ 3 3 5 + 3 + 3 + 37 để làm xuất hiện thừa số chung mà thừa số ấy chia hết cho 41 Bằng phương pháp làm như trên ta có thể giải được bài toán tương tự Bài tập Cho S = 1+ 3+ 32+ 33 +… +311... sở lý luận của các dấu hiệu đó dựa trên tính chất chia hết của một tổng, hoặc hiệu - Học sinh biết vận dụng các dấu hiệu đó để nhận ra một số, một tổng, một hiệu có chia hết hay không chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9 Đặc biệt là mở rộng ra dấu hiệu chia hết cho 4, 8, 25, 125, 11 bồi dưỡng cho các học sinh có năng khiếu trong việc đào tạo nguồn thi học sinh giỏi các cấp - Sau khi làm bài kiểm tra đánh... 20132 + 20133 + + 20132011 + 2013201 2chia hết cho 2014 Bài tập tương tự: 1) Chứng minh : A= 2 + 22 + 23 + + 260 chia hết cho 3, 7, 15 2) Chứng minh : B= 3 + 33 + 35 + + 31991 chia hết cho 13, 41 Hướng dẫn: 1) Chứng minh : A= 2 + 22 + 23 + + 260 chia hết cho 3, 7, 15 Trường hợp 1: Chứng minh : A= 2 + 22 + 23 + + 260 chia hết cho 3 Ta có: bài toán này tương tự bài toán ở trên A= (2 + 22 )+(23 + 24)+... Do đó A(n) chia hết cho 6 b) Ta viết A(n) = 2n(2n + 2) = 2n 2(n +1) = 4n(n + 1) 8 = 4 2 Vì 4  4 và n(n +1)  2 nên A(n)  8 Chú ý đến tính chẵn lẻ, tính liên tiếp của các số mà bài toán đã đề cặp đến, khai thác những tính chất này cùng với phương pháp giải ta có thể đưa ra nhiều bài toán phù hợp và bổ ích như: 1 Tích của nhiều số lẻ là một số lẻ 2 Tích của ba số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 48