Tài liệu SKKN Toán CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ NGUYÊN Z DÙNG CHO BỒI DƯỠNG học sinh giỏi THCS NGHĨA PHONG

PHÒNG GIÁO DỤC -ĐÀO TẠO TRƯỜNG THCS ************** SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2010-2011 CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ NGUYÊN Z DÙNG CHO BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9 - TRƯỜNG THCS *************** HỌ VÀ TÊN: NGÀY THÁNG NĂM SINH: GIỚI TÍNH: DÂN TỘC : CHỨC VỤ : **********  ********* , tháng năm 1 MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU 1.Lý do viết sáng kiến kinh nghiệm 4 2.Mục đích viết sáng kiến kinh nghiệm 5 3.Đối tượng áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 6 4.Cấu trúc của sáng kiến kinh nghiệm 5.Tài liệu tham khảo,nghiên cứu viết sáng kiến kinh nghiệm PHẦN NỘI DUNG Chương I:Một số cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 7 1.1 Những đặc trưng cơ bản của việc bồi dưỡng học sinh giỏi 1.2 Thực trạng của việc bồi dưỡng học sinh giỏi 1.3 Mục tiêu bồi dưỡng học sinh giỏi trong sáng kiến kinh nghiệm Chương II:Các dạng toán và phương pháp chứng minh chia hết 8 2.1 Đặt vấn đề 2.2 Tóm tắt lý thuyết 2.3 Các dạng toán và phương pháp chứng minh 2.3.1 Dạng 1-Cách chứng minh -Ví dụ minh họa 9 2.3.2 Dạng 2-Cách chứng minh -Ví dụ minh họa 10 2.3.3 Dạng 3-Cách chứng minh -Ví dụ minh họa 11 2.3.4 Dạng 4-Cách chứng minh-Ví dụ minh họa 12 2.3.5 Dạng 5-Cách chứng minh -Ví dụ minh họa 13 2.3.6 Dạng 6-Cách chứng minh -Ví dụ minh họa 15 2.3.7 Dạng 7-Cách chứng minh -Ví dụ minh họa 17 2.3.8 Dạng 8-Cách chứng minh -Ví dụ minh họa 18 Chương III: Sơ đồ minh họa các dạng toán và phương pháp chứng minh 20 PHẦN KẾT 21 1.Kết luận 2.Kiến nghị 2 PHẦN MỞ ĐẦU 1-LÝ DO VIẾT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: Sự nghiệp giáo dục -đào tạo có ý nghĩa quan trọng trong chiến lược xây dựng con người ,chiến lược phát triển kinh tế xã hội của đất nước.Đại hội Đại biểu khóa VIII của Đảng đã xác định :” Cùng với khoa học và công nghệ , giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu nhằm nâng cao dân trí ,đào tạo nhân lực ,bồi dưỡng nhân tài” Vì vậy ,giáo dục có tác dụng vô cùng to lớn trong việc truyền bá hệ tư tưởng chính trị xã hội chủ nghĩa ,xây dựng ý thức pháp quy ,ý thức đạo đức và góp phần cơ bản vào việc hình thành lối sống mới ,nhân cách mới cho toàn xã hội nói chung và cho thế hệ học sinh nói riêng. Bên canh đó, trong công tác giảng dạy của thầy cô giáo và học tập của các em học sinh có vai trò quyết định đến hiệu quả của giáo dục Đặc biệt sự phát triển nhanh chóng và thành công của chất lượng giảng dạy và học tập phải được thể hiện rõ nét nhất ở đội ngũ học sinh giỏi trong nhà trường . Là một giáo viên giảng dạy môn Toán ,là một cán bộ quản lý trong nhà trường ,tôi luôn trăn trở ,suy nghĩ tìm ra những giải pháp để làm sao bồi dưỡng cho học sinh chăm chỉ học môn Toán ,yêu môn Toán và thực sự giỏi Toán. Trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi Tóan THCS, các em được truyền đạt các kiến thức nâng cao hơn chương trình chính khóa về Số học ,Đại số và Hình học . Chương trình bồi dưỡng vì vậy rất đa dạng và phức tạp đòi hỏi giáo viên giảng dạy và học sinh học tập phải thật sự cố gắng đầu tư công sức nghiên cứu , tham khảo nhiều tài liệu để rút ra được những cách giải nhanh chóng ,chính xác và cực kỳ thông minh. Qua nhiều năm bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 9,tôi có rút ra một số kinh nghiệm của bản thân trong việc truyền đạt kiến thức cho các em khi giải 3 Toán của chương trình được học. Tôi nhận thấy khi thực hiện các bài Toán trong “Phép chia hết trong tập số nguyên Z” các em còn lúng túng ,xoay sở khó khăn trong việc tìm ra hướng giải .Điều đó đã làm các em mất nhiều thời gian và công sức mà nhiều lúc không tìm được hướng giải trong khi loại toán này các em vẫn thường xuyên gặp phải. Vì lý do đó tôi xin được trình bày ý kiến của mình trong khuôn khổ của bài :”Sáng kiến kinh nghiệm về CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ NGUYÊN Z,DÙNG CHO BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9 - TRƯỜNG THCS TRẦN PHÚ” Đồng thời qua diễn đàn này ,tôi thật sự mong muốn các đồng chí , đồng nghiệp ,các thầy cô và các cấp lãnh đạo góp ý kiến xây dựng để bài viết được hoàn thiện và mang tính khả thi. 2-MỤC ĐÍCH VIẾT SÁNG KIẾN : Trong quá trình giảng dạy ,hướng dẫn ,bồi dưỡng học sinh giỏi giải Toán về:”Phép chia hết trong tập số nguyên Z” tôi nhận thấy Phần lý thuyết được truyền đạt mang tính trừu tượng cao ,nhưng ngắn gọn mà bài tập cụ thể thì nhiều và rất đa dạng làm cho học sinh rất khó định hướng để tìm ra cách giải . Tìm tòi nhiều bài tập,tổng hợp nhiều cách giải,sưu tầm và học hỏi nhiều sách để tổng hợp ,phân loại các dạng toán về phép chia hết để làm sao trong một khả năng có giới hạn tôi trình bày các dạng toán mang tính tổng hợp và các cách chứng minh cụ thể cho từng dạng toán nhằm giúp cho các em học sinh tham gia bồi dưỡng môn Toán có khả năng thực hiện giải một số bài toán về: phép chia hết một cách nhanh chóng và có hệ thống. 3-ĐỐI TƯỢNG ÁP DỤNG : -Các Thầy,Cô tham khảo góp ý kiến nếu phù hợp với điều kiện của nhà trừơng thì mạnh dạn đưa vào Chương trình Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 4 9. -Các Thầy ,Cô tham khảo góp ý kiến nếu phù hợp với điều kiện của nhà trừơng thì mạnh dạn đưa vào Chương trình Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 9. -Các em học sinh được bồi dưỡng môn Toán 9 của trường tôi . 4-CẤU TRÚC CỦA SÁNG KIẾN: *Ngoài phần mở đầu ,phần nội dung ,phần kết luận ,sáng kiến còn có mục lục,tài liệu tham khảo *Phần nội dung có 3 chương : Chương I:Một số cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm Chương II:Các dạng toán và phương pháp chứng minh chia hết Chương III:Sơ đồ minh họa các dạng toán và phương pháp chứng minh 5-TÀI LIỆU THAM KHẢO VIẾT SÁNG KIẾN : -400 Bài toán mở rộng THCS của Dương Đức Kim -Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9 của Nguyễn Vũ Thanh -Hướng dẫn học tập môn Toán -Trần Khánh Hưng -Hướng dẫn dạy và học Toán -Phan Văn Hoàn -Bồi dưỡng số học Cấp II-Phan Văn Phùng ********************** 5 PHẦN NỘI DUNG: Chương I: MỘT SỐ CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN 1.1-Những đặc trưng cơ bản của việc bồi dưỡng Học sinh giỏi: -Bồi dưỡng học sinh giỏi là tạo ra những con đường giúp các em tự mình đi đến với kiến thức ,giúp các em chốt lại được các kiến thức và giúp các em “hé mở “ những vấn đề hứng thú cao hơn chương trình đang học - Bồi dưỡng học sinh giỏi là giúp các em biết được những vấn đề mà sách giáo khoa chưa nói đến nhưng với trình độ của mình các em vẫn có thể hiểu được , làm được ,chứng minh được.Và đặc biệt có thể tự mình tìm ra được những vấn đề mà mình chưa biết . -Khi bồi dưỡng học sinh giỏi là các thầy cô đã tạo động lực để các em tự mình suy nghĩ ,tự mình cố gắng tìm ra lời giải,cố gắng tìm ra được nhiều cách giải và lựa chọn được cách giải hay nhất -Khi được bồi dưỡng các em thường cố gắng suy nghĩ để tìm ra cách giải đều đó làm cho trí óc của các em làm quen với việc tìm hiểu vấn đề ,đặt vấn đề và giải quyết vấn đề.Từ đó các em được mở mang trí tuệ ,rèn tính sáng tạo ,thông minh 1.2-Thực trạng của việc bồi dưỡng học sinh giỏi: -Bồi dưỡng học sinh giỏi là tạo mũi nhọn ,động lực thúc đẩy các em chăm lo học tập ,say mê nghiên cứu ,trưởng thành trong suy nghĩ ,chính chắn trong cuộc sống Bởi vậy nó là một mảng quan trọng trong nhà trường sau những giờ học chính khóa .Nhưng bồi dưỡng học sinh giỏi cũng dễ bị lệch lạc nếu có những suy nghĩ, định hướng như “nuôigà chọi “. -Thực tế nếu bồi dưỡng để các em sáng tạo và thông minh ,mạnh dạn và quyết đoán ,suy nghĩ sâu xa và chính chắn thì đó là một điều tuyệt vời cho học tâp của các em .Nhưng nếu thiên về dạy “tủ “ thì cũng thật là tai hại vì nó sẽ phản lại tác dụng trong việc học tập của các em . 1.3-Mục tiêu bồi dưỡng học sinh giỏi trong sáng kiến : 6 -Từ những vấn đề được học trong chương trình chính khóa giáo viên truyền đạt kiến thức nâng cao cho các em một cách hệ thống ,khoa học, thật sự lôgic -Từ những kiến thức về :Phép chia hết đã học các em sẽ được tiếp tục học tập kiến thức nâng cao dựa trên nền tảng chương trình chính khóa -Các em nắm chắc các dạng toán về Phép chia hết trong tập Z.Vận dụng một cách thông minh ,sáng tạo các cách chứng minh trong việc giải các dạng toán về phép chia hết Chương II:CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHÉP CHỨNG MINH CHIA HẾT 2.1-Đặt vấn đề: -Phần lý thuyết chứng minh chia hết ngắn gọn ,trừu tượng nhưng phần toán đa dạng phức tạp nên để học sinh dễ tiếp thu và vận dụng cần đưa ra các mấu chốt của vấn đề cần giải theo hướng chung,dễ triển khai ,mở rộng,dễ nhớ Nên tôi mạnh dạn phân thành các Dạng toán từ phần lý thuyết sau để học sinh phân loại và chọn cách giải cho phù hợp,nhanh chóng và đạt độ chính xác cao trong khi thực hiện các bước giải toán Chứng minh chia hết 2.2-Tóm tắt lý thuyết Về phép chia hết : -Định lý:Với a,b,q ∈ Z ,b ≠ o ta có a M b ⇔ có q sao a=b.q -Tính chất : *Nếu a M b và b M c thì a M c *Nếu a M b , a M c và (b,c)=1 thì a M bc *Nếu ab M c và (b,c)=1 thì a M c -Đồng dư : *Định nghĩa : a,b,m ∈ Z, m f 0 ta có: a ≡ b (mod m) ⇔ a- b M m -Tính chất : *Nếu a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m) thì a+c ≡ b+d (mod m) và a - c ≡ b - d (mod m) *Nếu a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m) thì a.c ≡ b.d (mod m) -Hệ quả: *Nếu a ≡ b (mod m) thì a+c ≡ b +c (mod m) và 7 a - c ≡ b -c (mod m) *Nếu a ≡ b (mod m) thì ac ≡ bc (mod m) (c ≠ 0) *Nếu a ≡ b (mod m) thì a n ≡ b n (mod m) với n ∈ N 2.3-Các dạng toán và phương pháp chứng minh: 2.3.1-Dạng 1 -Cách chứng minh và ví dụ minh họa : • Sử dụng tính chất :” Trong n số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho n ,với n ≥ 1” • Cách chứng minh: Lấy n số nguyên liên tiếp chia cho n thì được n số dư khác nhau đôi một ,trong n số dư đôi một này có duy nhất một số dư bầng 0 ,tức là có duy nhất một số chia hết cho n • Ví dụ minh họa: a-Chứng minh rằng :Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8? Ta có hướng giải : Hai số chẵn liên tiếp có dạng 2n và 2n+2 ,với n ∈ Z. Do đó : Tích của chúng là :2n(2n+2)=4n(n+1). Mà : n và n+1 là 2 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2 do đó n(n+1) M 2 suy ra: 4n(n+1) M 8 Vậy Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 b-Chứng minh rằng: Tích năm số nguyên liên tiếp chia hết cho 120? Ta có hướng giải : Có : 120=3.5.8 Trong 5 số nguyên liên tiếp có 1 số chia hết cho 3 và 1 số chia hết cho 5 nên tích của chúng chia hết cho 3 và 5. Ta chứng minh trong 5 số nguyên liên tiếp có 2 số chẵn liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho 8 (câu a) Vì 5 số nguyên liên tiếp có dạng n,n+1,n+2,n+3,n+4 nên: n chẵn thì n,n+2 là 2 số chẵn liên tiếp hoặc n lẻ thì n+1,n+3 là 2 số chẵn liên tiếp 8 do đó: Tích năm số nguyên liên tiếp chia hết cho 3.5.8=120 • Các bài tập tham khảo điển hình có cách giải thuộc Dạng 1 : i-Chứng minh rằng :với m,n ∈ Z ta có: n 3 +11n M 6? mn(m 2 -n 2 ) M 3? n(n+1)(2n+1) M 6? ii-Cho m,n là 2 số chính phương lẻ liên tiếp .Chứng minh rằng : mn-m-n+1 M 192? iii-Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3,chứng minh rằng :p 2 -1 M 24? iiii-Chứng minh rằng trong 1900 số tự nhiên liên tiếp có một số có tổng các chữ số chia hết cho 27? iiiii- Chứng minh rằng n và n 5 có chữ số tận cùng giống nhau? v.v 2.3.2: Dạng 2 -Cách chứng minh và ví dụ minh họa : • Sử dụng Bất đẳng thức mở rộng • Cách chứng minh: Với n ∈ N ta có :a n -b n = (a-b)(a n-1 +a n-2 b+ +b n-1 ) Với n lẻ ta có :a n +b n = (a+b)(a n-1 -a n-2 b+ +b n-1 ) Suy ra : a,b ∈ Z và a ≠ b thì a n -b n M (a-b) a,b ∈ Z , n lẻ và a ≠ -b thì a n +b n M (a+b) a,b ∈ Z , n chẵnû và a ≠ -b thì a n -b n M (a+b) • Ví dụ minh họa : a-Chứng minh rằng :Với n chẵn(n ∈ Z) ta có :20 n +16 n -3 n -1 M 323 Ta có hướng giải sau: Ta có : 323=17.19 .Biến đổi 20 n +16 n -3 n -1=(20 n -1)+( 16 n -3 n ) Vì: 20 n -1 M (20-1)=19 và n chẵn nên 16 n -3 n M (16 n +3)=19 Do đó : 20 n +16 n -3 n -1 M 19 (1) Mặt khác : 20 n +16 n -3 n -1=(20 n -3 n )+(16 n -1 n ) 20 n -3 n M (20-3)=17 và n chẵn nên 16 n -1 n M (16+1)=17 Do đó : 20 n +16 n -3 n -1 M 17 (2) Từ (1) (2) và (17,19)=1 nên ta suy ra 20 n +16 n -3 n -1 M 323 9 b-Chứng minh rằng: với mọi số tự nhiên n ta có :11 n+2 12 2n+1 M 133 Ta có hướng giải sau: Tacó : 11 n+2 12 2n+1 =11 2 .11 n +12.12 2n =121 11 n +12.144 n =(133-12).11 n +12.144 n = =133.11 n +12.(144 n -11 n ) Vì : 133.11 n M 133 và 144 n -11 n M ( 144-11)=133 nên 133.11 n +12.(144 n -11 n ) M 133 hay 11 n+2 12 2n+1 M 133 • Các bài tập tham khảo điển hình có cách giải thuộc Dạng 2 : i-Chứng minh rằng :với mọi n thuộc tập số tự nhiên thì 5 n+2 26.5 n +8. 2n+1 M 59 ii- Chứng minh rằng :với mọi n thuộc tập số tự nhiên thì 7.5 2n + 12.6 n M 19 iii- Cho a,b là các số tự nhiên không chia hết cho 5.Chứng minh rằng : pa 4m +qb 4m chia hết cho 5 khi và chỉ khi p+q chia hết cho 5(với p,q ∈ N) iiii-Cho n là số nguyên dương và k là số tự nhiên lẻ.Chứng minh rằng: 1 k +2 k +… +n k M (1+2+3+….+n) iiiii- Cho n là số nguyên dương và k là số tự nhiên lẻ.Chứng minh rằng: 1 k +2 k +… +(2n) k M n(2n+1) v.v 2.3.3: Dạng 3 -Cách chứng minh và ví dụ minh họa : • Sử dụng Phép chia có dư • Cách chứng minh: Để chứng minh biểu thức A(n) M p ta xét tất cả các số dư trong các phép chia ncho p.Chia n cho p được các số dư : 0,1,2,3,4,… ,p-1.Đặc biệt nếu p lẻ thì ta có thể viết : n=k.p+r với r=0,1,2,….,±(p-1):2 • Ví dụ minh họa : a-Tìm dư trong phép chia một số chính phương cho 3,cho 5 Ta có hướng giải sau: Số chính phương có dạng n 2 (n ∈ N) 10 [...]... sinh giỏi của nhà trường sẽ ngày càng nâng cao cả về số lượng và chất lượng Qua giảng dạy ,bồi dưỡng học sinh lớp 9 tôi nhận thấy trong Phép chứng minh chia hết nếu phân dạng Toán và cách chứng minh như đã nêu trong sáng kiến học sinh sẽ nắm được cách giải các bài Toán một cách nhanh chóng và khoa học Từ đó ,khi giải các loại Toán khác học sinh cũng có thể tự mình tìm ra ,tự phân loại các dạng Toán. .. i -Chứng minh rằng :Nếu (a,240)=1 thì a4-1 ii- Tìm số nguyên tố p sao cho 2p+1 M 240 M p iii- Tìm số tự nhiên nhỏ nhất gồm toàn chữ số 9 và chia hết cho các số 3,7,11,13,17 iiii -Cho a,b là 2 số nguyên thoả mãn a2+b2 M 7 .Chứng minh: a M 7 và b M 7 iiiii- Chứng minh rằng nếu : a2+b2 M 21 thì a2+b2 M 441 v.v 18 Chương III: SƠ ĐỒ MINH HOẠ CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH PHÉP CHỨNG MINH CHIA HẾT TRÊN... nhau ta được 1 số có 6 chữ số và chia hết cho 7 ii- Chứng minh rằng trong 5 số nguyên bất kỳ có thể tìm được 3 số có tổng chia hết cho 3 iii -Chứng minh rằng trong 52 số tự nhiên bất kỳ luôn tìm được 1 cặp gồm 2 số sao cho tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 100 12 iiii-Có hay không một số nguyên dương k để 29k là một số có các chữ số tận cùng là 0001 iiiii- Chứng minh rằng trong 19 số tự nhiên liên... tìm được 1 số có các chữ số sao cho tổng các chữ số chia hết cho 1 v.v 2.3.5: Dạng 5 -Cách chứng minh và ví dụ minh họa : • Sử dụng Phương pháp chứng minh quy nạp • Cách chứng minh: Giả sử cần chứng minh : A(n) M p với n=1,2,3….(1) Ta cần chứng minh (1) đúng với n=1tức là chứng minh A(1) M p Giả sử (1) đúng với n=k tức là ta có :A(k) M p Ta chứng minh (1) đúng với n=k+1,tức là phải chứng minh :A(k+1)... c -Chứng minh rằng: Trong n+1 số nguyên bất kỳ có thể tìm được 2 số có hiệu của chúng chia hết cho n Ta có hướng giải như sau : Lấy n+1 số chia cho n thì được n+1 số dư nhận 1 trong các số 0,1,2,…9,….,n1 nên phải có 2 số dư bằng nhau ,hiệu số này chia hết cho n • Các bài tập tham khảo điển hình có cách giải thuộc Dạng 4 : i -Chứng minh rằng trong 8 số tự nhiên có 3 chữ số bao giờ cũng chọn được 2 số. .. thể là một số chính phương • Các bài tập tham khảo điển hình có cách giải thuộc Dạng 3 : i -Chứng minh rằng :tổng bình phương của 5 số nguyên liên tiếp không thể là một số chính phương ii- Chứng minh rằng :xyz M 60 biết x,y ,z thoã mãn x2+ y2 =z2 iii- Tìm tất cả các số tự nhiên để 32n+3n M 13 iiii- Chứng minh rằng 1n+2n+3n+4n M 5 khi và chỉ khi n không chia hết cho 4(n ∈ N) iiiii- Tìm tất cả các số tự nhiên... sau : Lấy 11 số nguyên bất kỳ chia cho 10 thì được 11 số dư nhận 1 trong 10 số : 0,1,2,… ,9.Vậy phải có 2 số có cùng số dư ,hiệu 2 số đó chia hết cho 10 Vậy 2 số đó có chữ số tận cùng giống nhau b -Chứng minh rằng: Trong 101 số nguyên bất kỳ có thể tìm được 2 số có 2 chữ số tận cùng giống nhau Ta có hướng giải như sau : Tương tự câu a:lấy 101 số nguyên bất kỳ chia cho 100-tức là ta đã lấy 2 số tận cùng... phương khi chia cho 5 số dư là 0 , 1 hoặc 4 b -Chứng minh rằng: tổng bình phương của 3 số nguyên liên tiếp không thể là một số chính phương? Ta có hướng giải sau: Tổng luỹ thừa 2k(k ∈ N* ) của 3 số nguyên liên tiếp có dạng : (n-1)2k+n2k+(n+1)2k Trong 3 số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho 3,hai số còn lại có dạng: 3k ±1 nên tổng luỹ thừa chẵn của 3 số nguyên liên tiếp chia cho 3 có số dư là 2 nên... để giải các bài Toán khó một cách tự tin hơn, nhanh chóng hơn .Và đó cũng là điều kiện để các em ham học Toán ,yêu môn Toán và sẽ giỏi trong môn Toán 2-KIẾN NGHỊ: Để việc bồi dưỡng học sinh giỏi đạt kết quả tốt ,tôi xin đề nghị : -Các cấp lãnh đạo đầu tư về Cơ sở vật chất còn thiếu như phòng, các loại sách tham khảo và kinh phí cho công tác bồi dưỡng học sinh -Nhà trường quan tâm phát triển các nhân... +1q2+q) n Vậy k2 -1 ∈ Z) M n+2 2 M 2 m +3 với mọi n ≥1 Các bài tập tham khảo điển hình có cách giải thuộc Dạng 5 : i -Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có : 32 4n+1 +2 M 11 ii- Chứng minh rằng từ 2n+1 -1 số nguyên bất kỳ luôn tìm được 2n số mà tổng của chúng chia hết cho 2n (với n ∈ N*) v.v 2.3.6: Dạng 6 -Cách chứng minh và ví dụ minh họa : • Sử dụng Đồng dư • Cách chứng minh: Nếu a≡b(mod m)⇔ . các dạng toán về Phép chia hết trong tập Z. Vận dụng một cách thông minh ,sáng tạo các cách chứng minh trong việc giải các dạng toán về phép chia hết Chương II:CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHÉP CHỨNG MINH. TRƯỜNG THCS ************** SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2010-2011 CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ NGUYÊN Z DÙNG CHO BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9 - TRƯỜNG THCS. về CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ NGUYÊN Z, DÙNG CHO BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9 - TRƯỜNG THCS TRẦN PHÚ” Đồng thời qua diễn đàn này ,tôi thật sự mong muốn các