phương pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên dưới dạng lũy thừa và một số dạng toán về lũy thừa trong chương trình toán 6

VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6A/.. VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6Là người giáo viên, chúng ta cần phải nghiên cứu, tham khảo thật nh

Trang 1

VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6

A/ Đặt Vấn Đề:

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.

Là Giáo Viên dạy học môn toán, chúng ta mới thật sự thấy được tầm quantrọng toán học, nó rất đa dạng và phong phú, thuộc nhiều lĩnh vực nghiên cứukhoa học cho các ngành nghề Bất cứ ngành nào nghề nào cũng đòi hỏi phải có

sự tính toán Muốn tính toán giỏi ta phải học tốt môn toán, từ những con số, rồithực hiện các phép tính đơn giản cho đến các phép tính khó.v.v Vì vậy ta phảixây dựng thế hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn diện Bêncạnh phải giáo dục cho học sinh có đầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ đểđáp ứng với yêu cầu thực tế hiện nay Muốn giải quyết nhiệm vụ quan trọng này,trước hết Thầy, Cô giáo chúng ta ai cũng phải xây dựng cho mình một phươngpháp dạy thật tốt và thường xuyên cải tiến phương pháp giảng dạy cho phù hợpvới từng nội dung, điều kiện giảng dạy vào các đối tượng tham gia học tập, nhằmtạo tiền đề vững chắc, lâu bền trong việc tiếp nhận tri thức, nề nếp và thái độ họctập của các em ở nhà trường

Để giúp học sinh học tốt môn toán, ngoài việc truyền thụ kiến thức cơ bảntheo phân phối chương trình của Bộ Giáo dục & đào tạo ban hành cho các trườnghọc phổ thông ( Kể cả ba cấp ), giáo viên cũng như học sinh cần phải nghiên cứuthật nhiều các tài liệu, sách báo, băng hình, có liên quan đến môn toán để bổsung các dạng kiến thức mới, phương pháp giải mới, Giúp học sinh học dễ hiểu,

dễ tiếp thu bài nhằm tạo được sân chơi thân thiện, từ đó các em mới tích cực thamgia các hoạt động học tập, rồi có ý tưởng tự nghiên cứu sáng tạo cho việc học vàgiải toán được thuận lợi hơn Theo nhà khoa học Lep-Nitx đã nói: “Một phươngpháp được coi là tốt, nếu như ngay từ đầu ta có thể thấy trước và sau đó có thểkhẳng định được rằng theo phương pháp đó ta sẽ đạt tới đích” Với mỗi bài toán

ta cũng có thể giải được, chỉ cần bắt chước theo những chuẩn mực đúng đắn vàthường xuyên thực hành

Trang 2

Là người giáo viên, chúng ta cần phải nghiên cứu, tham khảo thật nhiều cácloại sách, báo, đề tài nghiệp vụ sư phạm, phương pháp giải một số dạngtoán.v.v có liên quan đến lĩnh vực toán học để kịp thời nắm bắt và vận dụng vàotrong thực tế giảng dạy Tuy nhiên trong suốt qúa trình giảng dạy cho thấy việcvận dụng kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa, sách nâng cao đối với những bàitoán như “Tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên viết dưới dạng lũy thừa” cóbậc thấp thì học sinh dễ tìm ra, còn những lũy thừa ở dạng bậc cao thì học sinh vôcùng lúng túng, khó giải Chính vì vậy mà Tôi cố nghiên cứu và tìm ra đượcphương pháp giải đơn giản đối với số tự nhiên dạng an Ngoài ra Tôi mạnh dạngđưa ra “ Một số dạng toán về lũy thừa trong chương trình toán 6 ” và phươngpháp giải, chúng được đúc kết qua kinh nghiệm thực tế giảng dạy về môn số họccủa Tôi Các bài toán về lũy thừa thật là đa dạng, phong phú và hấp dẫn, thếnhưng không ít Học sinh khi làm loại toán này thường chưa phân được dạng nênchưa có phương pháp giải phù hợp, dẫn đến bế tắc hoặc có những cách giải cònphức tạp, chưa tối ưu Chính vì vậy mà vấn đề Tôi đưa ra là đề giúp cho các emgiải quyết được phần nào khó khăn mà các em vấp phải

Trang 3

D2-1 = 21; 25; 29; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 2

D2-2 = 22; 26; 210;… Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 4

Những số có nhiều chữ số như 12n; 22n; 32n; đều áp dụng như

trên

Cách tìm: Ta chia số mũ của lũy thừa cho 4

Nếu số dư là 1 thì thuộc D2-1 nên có chữ số tận cùng là 2

Nếu số dư là 2 thì thuộc D2-2 Nên có chữ số tận cùng là 4

Trang 4

lên luôn có chữ số tận cùng bằng 0 ) Do đó khi ta chia 44 cho 4 thì dư bằng 0, mà

số dư vừa tìm được lại thuộc D2-4.

Vậy Số 3244 có chữ số tận cùng là 6

2 Vì 1092 = 1090 + 2 cách tìm tương tự như bài toán trên

Muốn tìm chữ số tận cùng của số 109214 ta đi tìm chữ số tận cùng của 214

Do 14 chia cho 4 còn dư là 2, mà số dư này thuộc vào D2-2 nên có chữ số tận cùng4

Vậy số 109214 có chữ số tận cùng là 4

3 Vì số 352 có chữ số tận cùng bằng 2 Nên 3521001 và 21001 có chữ số tận cùng giống nhau

Cách tìm: ta tìm số dư của phép chia 1001 cho 4, ta được số dư là 1 Ứng với số dư này ta có chữ số tận cùng là 2

Vậy: 3521001 có chữ số tận cùng là 2

4 Ta thấy số 122 có chữ số tận cùng là 2 nên 1228051 và 28051 có chữ số tận cùng bằng nhau

Trang: 4

Trang 5

Dựa vào cách tìm ta có số dư của phép chia 8051 cho 4 là 3 Mà ứng với số

Những số có nhiều chữ số như 13n; 23n; 33n; đều áp dụng như trên

Nếu số dư là 2 thì thuộc D Nên có chữ số tận cùng là 9

Trang 6

Ví dụ: Tìm chữ số tận cùng của: 3999 ; 43126; 21535717

Giải:

* Ta chia số mũ 999 cho 4 ta được số dư là 3, do số dư này thuộc D3-3.

Nên chữ số tận cùng của số 3999 là: 7

* Vì 43 = 40 + 3, nên chữ số tận cùng của số 43126 lại bằng chữ số tận cùng của

số 3126 Dựa vào cách tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa với cơ số 3

( 126 : 4 = 31 dư 2 ), mà số dư thuộc D3-2.

Vậy: Số 43126 có chữ số tận cùng là 9

* Ta thấy: số 2153 có chữ số tận cùng là 3, nên số 21535717 và số 35717 có chữ số tận cùng bằng nhau Do đó ta có cách tìm chữ số tận cùng như sau:

Ta chia số mũ 5717 cho 4 ta được số dư là 1, ứng với số dư này ta có chữ

Trang 7

Vấn đề trình bày như đã nêu trên cho thấy giá trị của các lũy thừa của dãy

D4 = 41, 42, 43, 4n

có chữ số tận cùng được lập lại theo thứ tự mà số mũ ởmỗi dãy là một cấp số cộng có hiệu ( số lớn trừ số nhỏ ) là 2

Điều này cho thấy D4 chỉ tồn tại hai dãy lũy thừa, đó là dãy lũy thừa với số

mũ lẽ và dãy lũy thừa với số mũ chẳn

Ta có bảng tóm tắt của các dãy và phương pháp tìm chữ số tận cùng của dãy D4 = 41, 42, 43, 4n

như sau:

Ví dụ: Tìm chữ số tận cùng của 418 , 487 , 18942n

Giải: Do Lũy thừa với cơ số 4 cho ta các chữ số tận cùng hoặc 4 hoặc 6 Nếu số

mũ lẻ thì có chữ số tận cùng là 4; còn số mũ chẳn thì cóa chữ số tận cùng là 6 Vậy:

* Số 418 có chữ số tận cùng là 6 ( vì số mũ là chẳn )

* Số 487 có chữ số tận cùng là 4 ( vì số mũ là lẻ )

trên

Hoặc cũng có thể xác định chữ số tận cùng bằng nhận xét trên số

mũ; Nếu số mũ của lũy thừa mà chẳn thì chữ số tận cùng của số

đó là 6, còn nếu số mũ của lũy thừa là số lẻ thì chữ số tận cùng

của số đó là 4

Trang 8

Trang 9

D7-4 là tập hợp các lũy thừa có dạng 74; 78; 712; …và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãynày có chữ số tận cùng là 1

Vấn đề trình bày như đã nêu trên cho thấy giá trị của các lũy thừa của dãy

trên

Trang 10

3 Vì 87 = 80 + 7 Do đó việc tìm chữ số tận cùng của 8755 ta chỉ việc tìm chữ số tận cùng của số 755 Cách tìm ta chia số mũ 55 cho 4, phép chia này có

số dư là 3, số dư này thuộc D7-3 Nên 755 có chữ số tận cùng là 3 Vậy số 8755

trên

Trang 11

Mà khi ta chia số mũ 400 cho 4 ta được phép chia hết, nên số dư bằng 0 thuộc D8-4 Do đó số 8400 có chữ số tận cùng là 6, hay số 518400 có chữ số tận cùng

là 6

Ta có nhận xét trường hợp khi a = 9

Trang 12

Trong dãy các lũy thừa 91, 92, 93, 9n luôn tồn tại hai dãy lũy thừa Màmỗi lũy thừa ở cùng một dãy có chữ số tận cùng bằng nhau

Điều này cho thấy D9 chỉ tồn tại hai dãy lũy thừa, đó là dãy lũy thừa với số

mũ lẽ và dãy lũy thừa với số mũ chẳn

Ta có bảng tóm tắt của các dãy và phương pháp tìm chữ số tận cùng của dãy D9 = 91, 92, 93, 9n

như sau:

Những số có nhiều chữ số như 19n; 29n; 39n; đều áp dụng như trên

*Nếu số dư là 1 thì thuộc D9-1 nên có chữ số tận cùng là 9

*Nếu số dư là 2 thì thuộc D9-2 Nên có chữ số tận cùng là 1

Hoặc cũng có thể xác định chữ số tận cùng bằng nhận xét trên số mũ; Nếu

số mũ của lũy thừa mà chẳn thì chữ số tận cùng của số đó là 1, còn nếu số mũ củalũy thừa là số lẻ thì chữ số tận cùng của số đó là 9

Trang 13

2 Những số dạng: 1; 11; 21; 31; ……khi nâng lên lũy thừa với số mũ bất kỳ thì luôn luôn có chữ số tận cùng bằng 1

3 Các số có chữ số tận cùng là 0;1;5;6 khi nâng lên lũy thừa với số mũ khác 0cũng có chữ số tận cùng bằng 0;1;5;6

Phần 2: MỘT SỐ BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI KHÁC.

Trang 14

* Cách 1: Theo phương pháp (H), ta chia số mũ 1999 cho 4 được số dư là 3; Số

dư này thuộc D7-3

1 Định nghĩa: Cho số nguyên m > 0, hai số nguyên a và b chia cho m có cùng

số dư, ta nói a đồng dư với b theo mô đun m và viết a b (mod m)

2 Định lý:

Ba mệnh đề sau tương với nhau:

2.1/ a đồng dư với b theo mô đun m;

2.2/ a – b chia hết cho m;

2.3/ Có một số nguyên t sao cho a = b + m.t

Trang: 14

Trang 15

c d (mod m) a.c b.d (mod m)

Hệ quả: a + c b (mod m) a b – c (mod m)

a b (mod m) an bn (mod m)

3.4/ Nếu a b (mod m); k ƯC (a,b), (k,m) = 1 Thì (mod m)

3.5/ a b (mod m) với k z, k > 0 suy ra: ka kb (mod m)

3.6/ d ƯC (a,b,m) thì a b (mod m) suy ra: (mod ).

3.7/ a b (mod m1) và a b (mod m2) suy ra a b (mod m)

M = BCNN ( m1, m2 )

Hệ quả: ( m1, m2, …… , mn ) = 1 và nguyên tố từng đôi một

Suy ra: a b (mod m1), a b (mod m2), …… a b (mod mn)

Trang 16

Rõ ràng số y càng nhỏ thì việ tìm hai chữ số tận cùng của y càng đơn giảnhơn

Từ nhận xét trên ta có thể đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận cùng củahai số tự nhiên x = am như sau:

Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số tận cùng của Tiếp theo ta tìm chữ số tận cùng của aq

Trường hợp 2: Nếu a lẻ, gọi n là số tự nhiên sao cho an-1 100

Trang 17

Với khoảng hai trường hợp nêu trên là chìa khóa để giải bài toán này là chúng ta phải tìm được số tự nhiên n; Nếu n càng nhỏ thì q và v càng nhỏ nên sẽ

Các bài toán tìm hai chữ số tận cùng của một số tự nhiên.

Bài 1: Tìm hai chữ số tận cùng của 2999

Suy ra: 2999 có hai chữ số tận cùng là 88

Bài 2: Tìm hai chữ số tận cùng của số 78966

Trang 18

Ta có: 34 19 (mod 100) suy ra 38 192 6 (mod 100)

Suy ra: 310 61.9 49 (mod 100) suy ra 3100 492 1 (mod 100)

Suy ra: 31000 01 (mod 100)

Trang 19

Ta có: 74 = 2401; số có hai chữ số tận cùng là 01, khi ta nâng lên lũy thừa nào khác 0 cũng có hai chữ số tận cùng là 01

Dựa vào một số kiến thức sau:

1) Định nghĩa về lũy thừa

2) các phép tính về lũy thừa

3) Chữ số tận cùng của một lũy thừa

4) Khi nào thì hai lũy thừa bằng nhau

Trang 20

Trang 21

Bµi gi¶i:

a) Ta cã: 42k = (42)k =

42k + 1 = (42)k 4 = b) T¬ng tù ta cã: 92k =

82007 = (84)501 83 = ( 501 2 =

3 Tính giá trị của biểu thức:

a) TÝnh theo quy t¾c thùc hiÖn phÐp tÝnh:

Trang 22

Bµi 1: Tính giá trị của biểu thức sau:

B = 3 - 32 - 33 - - 3100

=> 3B = 32 - 33 + 34 - - 3101

Trang: 22

Trang 23

B + 3B = (3 - 33 + 33) - - 3100) + ( 32 - 23 +34 - - 3101)4B = 3 - 3101

Trang 24

= 1370050003

Trang: 24

Trang 25

x10 - x = 0

Trang 26

c) (2x -15)5 = ( 2x -15)3

Vì hai lũy thừa bằng nhau, có cơ số bằng nhau, số mũ khác nhau ( 0)

Suy ra: 2x - 15 = 0 hoÆc 2x - 15 = 1

+ Nếu: 2x - 15 = 0

x = 15 : 2 N ( lo¹i) + Nếu: 2x - 15 = 1

2x = 15 + 1

x = 8 d) Ta cã x2 < 5

Trang 27

x = 55- 1

x = 54 b) 1 + 3 + 5 + + 99 = ( x -2)2

+ NÕu y = 1

Ta cã x = 1 ! = 12 ( TM)

+ NÕu y = 2

Trang 28

Ta cã: x2 = 1 ! + 2! = 3 ( Lo¹i)

+ Với: y = 3

Ta cã: x2 = 1 ! + 2 ! + 3 ! = 9 = 32 ( TM)

x = 3 + NÕu y = 4

Trang 29

35x + 9  5 v× ( 35x  5 ; 9  5 )

Mµ 2 5y  5 ( v« lý v× 35x + 9 = 2.5y) VËy x = 0 vµ y = 1

Trang 30

Trang 31

Bµi 2: T×m xem 2100 cã bao nhiªu ch÷ sè trong c¸ch viÕt

Trang 32

Định dạng
Số trang	35
Dung lượng	475 KB