Phương pháp tìm chữ số tận cùng theo môđun và lũy thừa

MỤC LỤC PHẦN I: MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Điểm sáng kiến kinh nghiệm 1.3 Phạm vi, đối tượng áp dụng PHẦN II: NỘI DUNG 2.1 Thực trạng việc tìm chữ số tận .4 2.2 Cơ sở lý thuyết việc tìm chữ số tận 2.2.1 Đồng dư thức 2.2.2 Tính chất chữ số tận lũy thừa 2.3 Một số phương pháp tìm chữ số tận máy tính Casio 2.3.1 Tìm chữ số tận .7 2.3.2 Tìm hai chữ số tận 2.3.3 Tìm ba chữ số tận .11 2.3.4 Tìm bốn chữ số tận trở lên 12 2.3.5 Một số dạng toán khác liên quan đến chữ số tận 13 PHẦN III: KẾT LUẬN 15 3.1 Ý nghĩa đề tài 15 3.2 Kiến nghị 15 Trang PHẦN I: MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Mơn Tốn mơn học chiếm vị trí quan trọng then chốt nội dung chương trình mơn học phổ thơng Các kiến thức kĩ mơn Tốn THCS có nhiều ứng dụng sống Bất ngành nghề đòi hỏi phải có tính tốn Muốn tính tốn giỏi ta phải học tốt mơn tốn, từ số, thực phép tính đơn giản phép tính khó.v.v Vì ngồi việc làm cho đối tượng học sinh nắm rõ kiến thức chương trình THCS việc bồi dưỡng học sinh giỏi nhiệm vụ hàng đầu người giáo viên nhà trường Bên cạnh phải giáo dục cho học sinh có đầy đủ phẩm chất đạo đức, lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế Muốn giải nhiệm vụ quan trọng này, trước hết thầy, cô giáo phải xây dựng cho phương pháp dạy thật tốt thường xuyên cải tiến phương pháp giảng dạy cho phù hợp với nội dung, điều kiện giảng dạy vào đối tượng tham gia học tập, nhằm tạo tiền đề vững chắc, lâu bền việc tiếp nhận tri thức, nề nếp thái độ học tập em nhà trường Để giúp học sinh học tốt mơn tốn, ngồi việc truyền thụ kiến thức theo phân phối chương trình Bộ Giáo dục & Đào tạo ban hành cho trường học phổ thông, giáo viên học sinh cần phải nghiên cứu thật nhiều tài liệu, sách báo, băng hình, có liên quan đến mơn tốn để bổ sung dạng kiến thức mới, phương pháp giải mới, giúp học sinh học dễ hiểu, dễ tiếp thu nhằm tạo sân chơi thân thiện, từ em tích cực tham gia hoạt động học tập, có ý tưởng tự nghiên cứu sáng tạo cho việc học giải toán thuận lợi Theo nhà khoa học Lep-Nitx nói: “Một phương pháp coi tốt, từ đầu ta thấy trước sau khẳng định theo Trang phương pháp ta đạt tới đích” Với tốn ta giải được, cần bắt chước theo chuẩn mực đắn thường xuyên thực hành Tuy nhiên suốt qúa trình giảng dạy cho thấy việc vận dụng kiến thức sách giáo khoa, sách nâng cao tốn “Tìm chữ số tận số tự nhiên viết dạng lũy thừa” có bậc thấp học sinh dễ tìm ra, lũy thừa dạng bậc cao học sinh vơ lúng túng, khó giải Các tốn lũy thừa thật đa dạng, phong phú hấp dẫn, khơng học sinh làm loại toán thường chưa phân dạng nên chưa có phương pháp giải phù hợp, dẫn đến bế tắc có cách giải phức tạp, chưa tối ưu Tận dụng sức mạnh với nhiều chức máy tính Casio 750VnPlus tơi giúp học sinh giỏi mơn máy tính cầm tay Casio giải tốn tìm chữ số tận lũy thừa cách dễ dàng Chính vậy, tơi mạnh dạn đưa “Một số phương pháp tìm chữ số tận máy tính cầm tay Casio” 1.2 Điểm sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng máy tính cầm tay Casio với kiến thức đồng dư thức để tìm nhiều chữ số tận 1.3 Phạm vi, đối tượng áp dụng Phương pháp tìm chữ số tận máy tính cầm tay Casio áp dụng cho học sinh lớp học sinh bồi dưỡng học sinh giỏi mơn máy tính cầm tay Casio Trang PHẦN II: NỘI DUNG 2.1 Thực trạng việc tìm chữ số tận Lớp lớp đầu cấp THCS, học sinh vừa làm quen với môi trường, phương pháp học tập nên q trình học tập em bỡ ngỡ thụ động Mỗi thầy cô dạy môn, xong tiết (45 phút) thầy cô sang lớp khác dạy, không hiểu bài, không chép kịp chẳng biết Nhiều thầy cô THCS quen dạy lớp 8, lớp đến dạy lớp giữ nguyên phong cách đứng lớp, phương pháp giảng dạy làm em thêm lúng túng, tự tin Khơng tốn việc áp dụng cơng thức phép tốn cộng, trừ, nhân, chia mà thay vào dạng tốn logic Đòi hỏi em phải lập luận, áp dụng cơng thức, chứng minh tính tốn để đưa kết cuối Trong mơn tốn chia thành mảng riêng Đại số Hình học Mỗi phần lại xoay quanh vấn đề, tốn riêng đòi hỏi em phải nắm kiến thức, nội dung Về mặt tâm sinh lý em trở nên nhút nhát từ HS lớn trường tiểu học lại trở thành nhỏ trường THCS Nhìn anh chị lớp to lớn, lanh lợi, em thấy nhỏ bé, ngờ nghệch, bị anh chị lớp hù dọa lại sợ Chưa hết, nội quy, quy định nhà trường thực thật nghiêm túc trễ, khơng có phù hiệu áo, không đeo khăn quàng, quên mang dép có quai hậu… bị nhắc nhở, ghi tên từ cổng trường sau bị giáo viên chủ nhiệm nhắc nhở tiết sinh hoạt lớp, bị trừ điểm hạnh kiểm Từ dẫn đến tình trạng em rụt rè, tự tin ảnh hưởng không nhỏ đến kết học tập em Kiến thức lũy thừa thật mẻ với em Trong nội dung chương trình sách giáo khoa cho em làm quen với việc lũy thừa nhân, chia hai lũy thừa số Các em chưa có điều kiện nghiên cứu sâu lũy thừa Do Trang gặp tập lũy thừa học sinh gặp khó khăn mà đặc biệt dạng tốn tìm chữ số tận em khơng ý xem nội dung mà đọc qua loa đề bỏ trống Kết khảo sát học sinh trước thực đề tài Tổng số Giỏi 5,7% 35 Khá 14,3% Kết TB Yếu 11 25,7% 31,4% Kém 22,9% Thái độ Hứng thú Không hứng thú 28 20% 80% Như vấn đề đặt đứng trước tập tìm chữ số tận học sinh định hướng cách tìm nào? 2.2 Cơ sở lý thuyết việc tìm chữ số tận 2.2.1 Đồng dư thức a Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a b có số dư phép chia cho số tự nhiên m � ta nói a đồng dư với b theo mơđun m, có đồng dư thức: a �b (mod m), a �b (mod m) � a – b Mm Ví dụ: �10 (mod 3), 12 �22 (mod 10) b Một số định lý đồng dư: Định lý Fermat: Nếu p số nguyên tố n p – n chia hết cho p với số nguyên n n p �n (mod p), p số nguyên tố Đặc biệt n, p nguyên tố n p 1 �1 (mod p) Định lý Euler: Nếu n số nguyên dương a số nguyên tố với n, φ(n) ký hiệu phi hàm Euler tính sau: n  p1e p2e pke với p2 , …, pk � �� � � 1 � � 1 � � � � p1 � � p2 � � pk � � 1 số nguyên tố,  (n)  n � c Tính chất đồng dư thức: Trang k p1 , Tính chất phản xạ: a �a (mod m) Tính chất đối xứng: a �b (mod m) � b �a (mod m) Tính chất bắc cầu: a �b (mod m), b �c (mod m) a �c (mod m) a � b (mod m) � �� a c c � d (mod m) � Cộng , trừ vế: � b d (mod m) Mở rộng ta có: a �b (mod m) � a + c �b + c (mod m) a + b �c (mod m) � a �c - b (mod m) a �b (mod m) � a + km �b (mod m) a � b (mod m) � ac c � d (mod m) � Nhân vế : � bd (mod m) Mở rộng ta có: a �b (mod m) � ac �bc (mod m) (c � Z) a �b (mod m) � an �bn (mod m) Có thể nhân (chia) hai vế môđun đồng dư thức với số nguyên dương, a �b (mod m) � ac �bc (mod mc) ac � bc (mod m) � a Mở rộng ta có: � (c, m) = � b (mod m) 2.2.2 Tính chất chữ số tận lũy thừa Tính chất 1: Các số có chữ số tận 0; 1; 5; nâng lên luỹ thừa bậc chữ số tận khơng thay đổi Các số có chữ số tận 4; nâng lên luỹ thừa bậc lẻ chữ số tận khơng thay đổi Các số có chữ số tận 3; 7; nâng lên luỹ thừa bậc 4n (n �N) chữ số tận Các số có chữ số tận 2; 4; nâng lên luỹ thừa bậc 4n (n �N) chữ số tận Tính chất 2: Một số tự nhiên nâng lên luỹ thừa bậc 4n + (n �N) chữ số tận khơng thay đổi Trang Tính chất 3: Các số có chữ số tận nâng lên luỹ thừa bậc 4n + (n �N) chữ số tận 7; Các số có chữ số tận nâng lên luỹ thừa bậc 4n + (n �N) chữ số tận Các số có chữ số tận nâng lên luỹ thừa bậc 4n + (n �N) chữ số tận 8; Các số có chữ số tận nâng lên luỹ thừa bậc 4n + (n �N) chữ số tận Các số có chữ số tận 0; 1; 4; 5; 6; nâng lên luỹ thừa bậc 4n + (n �N) chữ số tận khơng đổi 2.3 Một số phương pháp tìm chữ số tận máy tính Casio 2.3.1 Tìm chữ số tận Cách 1: Sử dụng tính chất chữ số tận lũy thừa Cách 2: Sử dụng đồng dư thức - Nếu a tận 0, 1, an tận 0, 1, - Nếu a tận 2, 7, ta có nhận xét sau với k �N * : 24 k  16k �6(mod10) 34 k  81k �1(mod10) k  492 k �1(mod10) Do để tìm số tận an với a có tận 2, ta lấy n chia cho Giả sử n = 4k + r với r � 0,1, 2,3 Ví dụ 1: Tìm chữ số tận 799 Cách 1: Biến đổi trực tính chất lũy thừa 799  73.796  73.(74 )24  ( 3).( 1) 24  Vậy chữ số tận 799 Cách 2: Sử dụng đồng dư thức Trên máy tính Casio 570vnPlus ta tìm số dư số mũ cho 99Qa4= Kết 24, R = Trang 799  k 73 �1.343(mod10) �3(mod10) Vậy chữ số tận 799 Ví dụ 2: Tìm chữ số tận 789324 Cách 1: Biến đổi trực tính chất lũy thừa 187324= (1874)81 =(….1)81 =(…1) Vậy chữ số tận 187324 Cách 2: Dùng đồng dư thức 324Qa4= Kết 81, R = 789324  7894 k �1(mod10) Ví dụ 3: Tìm chữ số tận của: 377 2015  1112015  12342015 Phương pháp: Ta tìm chữ số tận lũy thừa cộng, trừ lại với 2015Qa4= Kết 508, R = 377 2015  377 k 73 �1.343(mod10) �3(mod10) , chữ số tận 1112015 chữ số tận 12342015  12344 k 12343 �1.4(mod10) �4(mod10) Do chữ số tận 377 2015  1112015  12342015 – + = Vậy chữ số tận 377 2015  1112015  12342015 Ví dụ 4: Tìm chữ số tận tổng S  21  35  49   20148049 Ta thấy số mũ chia cho dư Nên số mũ có dạng 4k + Sử dụng tính chất: Một số tự nhiên nâng lên luỹ thừa bậc 4n + (n �N) chữ số tận khơng thay đổi Nên S      2014 Bấm máy tính IQ[R1E2014= Kết quả: 2029105 Vậy chữ số tận biểu thức 2.3.2 Tìm hai chữ số tận Cách 1: Sử dụng tính chất chữ số tận lũy thừa Trang Cách 2: Sử dụng đồng dư thức a 20 k �00(mod100) a �0(mod10) , a 20 k �01(mod100) a �1;3;7;9(mod10) a 20 k �25(mod100) a �5(mod10) a 20 k �76(mod100) a �2; 4;6;8(mod100) Vậy để tìm hai chữ số tận an ta lấy số mũ chia cho 20 Ví dụ 1: Tìm hai chữ số tận 71991 Cách 1: Ta thấy: 74 = 2401, số có tận 01 nâng lên lũy thừa tận 01 Do đó: 71991 = 71988 73 =(74)497 343 = ( 01)497.343 = ( 01) 343 = 43 Vậy 71991 có hai chữ số tận 43 Cách 2: 1991Qa20= Kết 99, R = 11 71991  20 k 711 Tiếp tục dùng máy tính bỏ túi tính tiếp giá trị 711 7^11= Kết 19773266743 Do 71991  20 k 711 �1.43(mod100) �43(mod100) Vậy hai chữ số tận 71991 43 Ví dụ 2: Tìm hai chữ số tận 2100 Cách 1: Chú ý :210=1024 ,bình phương số có tận 24 tận 76,số có tận 76 nâng lên luỹ thừa (khác 0) tận 76.Do ( 2)100=(210)10 =(1024)10 =(10242)5 =(….76)5 =….76 Vậy hai chữ số tận 2100 76 Cách 2: Trang 100Qa20= Kết 5, R = 2100  220 k �76(mod100) Vậy hai chữ số tận 2100 76 Ví dụ 3: Tìm hai chữ số tận 9999 99 99 Ta có: 9999 = 992k + = (992)k 99 = (… 01)k 99 = 99 � Vậy 999999 có hai chữ số tận 99 Ví dụ 4: Tìm hai chữ số tận 3999 999Qa20= Kết quả: 49, R= 19 Nên 3999  320 k 319 3u19= Kết quả: 1162261467 3999  320 k 319 �01.67(mod100) �67(mod100) Vậy hai chữ số tận 3999 67 14 Ví dụ 5: Tìm hai chữ số tận 1414 14 14 14 Cách : Ta có 1414  714 214 14 1414  214.714 M4 nên 714  k �1(mod100) 2u20Qa100= Kết quả: 10485, R = 76 Ta tìm dư phép chia 1414 cho 20 = Ta có 1414  (15  1)14 �1(mod 5) � r0  5t  , t = 0, 1, 2, 14u14Qa20= Kết tràn hình ta tính Ta có 14u2= Kết 196 Nên 1414  (142 )7 �(4) (mod 20) �16384(mod 20) �16(mod 20) Nên 1414 = 20k + 16 14 Suy 214  220 k 6 �216.76(mod100) 2u16= Kết : 65536 14 Suy 214 �36.76(mod100) �36(mod100) Trang 14 Vậy 1414 có hai chữ số tận 36 14 Cách Ta có 1414 �414 �6(mod10) 14 � 1414  1410 k 6  146.1410 k �146.76(mod100) 146  76.26 �7 2.64 �36(mod100) 14 Vậy hai chữ số tận 1414 36 2.3.3 Tìm ba chữ số tận a100 k �000(mod103 ) nÕu a �0(mod10) a100 k �001(mod103 ) nÕu a �1,3, 7,9(mod10) a100 k �625(mod103 ) nÕu a �5(mod10) a100 k �376(mod103 ) nÕu a �2, 4, 6,8(mod10) Vậy để tìm ba chữ số tận an ta tìm hai chữ số tận số mũ n 2003 Ví dụ 1: Tìm ba chữ số tận 2003 Trước hết ta tìm hai chữ số tận Ta có: 92003  93.92000  93.(320 ) 200 9u3= Kết quả: 729 nên 93.(320 )200 �29.(01) 200 (mod100) �29(mod100) Suy ra: 29 2003  2100 k 29  229.(2100 ) k 2u29= Kết quả: 536870912 nên 229.(2100 ) k �912.376(mod1000) �912(mod1000) Vậy ba chữ số tận 2003 912 1991 Ví dụ 2: Tìm ba chữ số tận số Giải 1991 Trước hết ta tìm hai chữ số tận Ta có 91991  9.91990  9.(320 )199 mà 320 �01(mod100) nên 9.(320 )199 �9.(01)199 (mod100) �9 mod(100) Trang 10 1991 � 29 100k  2100 k 9  2100 k 29 mà �376(mod1000) 2u9= Kết quả: 512 nên 2100 k 29 �376.512(mod1000) 376O512= Kết quả: 192512 Nên 376.512(mod1000) �512(mod1000) 1991 Vậy ba chữ số tận 512 2.3.4 Tìm bốn chữ số tận trở lên Để tìm ba chữ số tận trở lên luỹ thừa, cần ý rằng: Các số có tận 001, 376, 625 nâng lên luỹ thừa (khác 0) tận 001, 376, 625 Các số có tận 0625 nâng lên luỹ thừa (khác 0) tận 0625 Nếu đề u cầu tính nhiều chữ số tận tính xác số suy chữ số tận Ví dụ 1: Tìm bốn chữ số tận 51992 Trên máy tính bỏ túi ta tính thử: 5^2=Kết quả: 25 5^3=Kết quả:1 25 5^4=Kết quả: 625 Dễ thấy 625 lũy thừa có tận 0625 nên 51992 =(54)498 =625498 =0625498 =( 0625) Vậy bốn chữ số tận 51992 0625 Ví dụ 2: Tìm bảy chữ số tận 20720183 2072018^3= Kết quả: 8,895709082.1018 Như ta chữ số là: 889570908 Bấm tiếp Mp8,89570908[10u18= Kết quả:1949980000 Trang 11 Như tìm được: 889570908194998 thiếu chữ số Để tìm chữ số tận cùng: Ta tính 20183 2018u3= Kết quả: 8217949832 Sẽ lấy chữ số 9832 Như kết 20720183 = 8895709081949989832 Vậy bảy chữ số tận 20720183 9989832 2.3.5 Một số dạng toán khác liên quan đến chữ số tận Ngoài dạng tập tìm chữ số tận tập liên quan là: Chứng minh chia hết cho 10, 100,… Ví dụ 1: Chứng minh 8102 - 2102 chia hết cho 10 Ta tìm chữ số tận lũy thừa Ta thấy số có tận nâng lên luỹ thừa số có tân Một số có tận nâng lên luỹ thừa (khác 0) tận Do ta biến đổi sau: 8102 =(84)25.82 = (….6)25.64=(….6).64 = …4 2102 =( 24)25.22 =1625.4 =(…6).4 = …4 Vậy 8102 - 2102 tận nên chia hết cho 10 Ví dụ 2: Chứng minh 261570 chia hết cho Ta thấy :265= 11881376 ,số có tận 376 nâng lên luỹ thừa nào(khác 0) có tận 376 Do đó: 261570=(265)314=(…376)314=(…376) Mà 376 chia hết cho Một số có ba chữ số tận chia hết cho chia hết cho Vậy 261570 chia hết cho Tóm lại, để tìm chữ số tận ta phải tận dụng sức mạng máy tính Casio 570vnPlus kiến thức đồng dư tốn trở nên dễ dàng Qua giúp cho học sinh say mê học tập, hiểu sâu hơn, góp phần vào việc nâng cao chất lượng học tập môn cuối năm học Khảo sát sau thực đề tài Trang 12 Tổng số 35 Giỏi 20% Kết Khá TB Yếu 15 42,9% 25,7% 11,4% Trang 13 Kém 0 Thái độ Hứng thú Không hứng thú 27 77,1% 22,9% PHẦN III: KẾT LUẬN 3.1 Ý nghĩa đề tài Qua thực tế thực đề tài tơi thấy giúp học sinh vận dụng lí thuyết luỹ thừa để tìm chữ số tận tích, luỹ thừa học sinh từ chỗ nắm bắt lí thuyết biết vận dụng từ có hứng thú trình làm tập, đặc biệt dạng tập chứng minh chia hết, tìm dư phép chia tổng, hiệu, biểu thức Qua rèn cho học sinh tư tốn học, tính cẩn thận, tỉ mỉ, xác, giúp giáo viên nhìn nhận đánh giá thân, học sinh cách khách quan Từ kết thực tế sáng kiến kinh nghiệm “Tìm chữ số tận luỹ thừa” cho thấy việc tìm tòi, nghiên cứu vân dụng chuyên đề nâng cao vào cho đối tượng học sinh giỏi cần thiết nên đầu tư sâu, đặc biệt với đội tuyển học sinh giỏi, giúp học sinh có nhìn tổng quát, nhạy bén phương pháp chứng minh chia hết, có ý thức tìm tòi, tham khảo tài liệu, tìm tốn hay, cách giải dặc biệt, học sinh chủ động tìm hướng giải toán, đồng thời giúp giáo viên tự học, tự bồi dưỡng, góp phần nâng cao chun mơn nghiệp vụ 3.2 Kiến nghị Việc dạy chuyên đề nâng cao mảng kiến thức nằm ngồi chương trình với giáo viên nhiều gặp khó khăn phương pháp, kiến thức nhà trường cần tạo điều kiện tài liệu, thời gian để giáo viên trực tiếp giảng dạy trao đổi kinh nghiệm học tập lẫn Trên sáng kiến kinh nghiệm thân đúc rút q trình giảng dạy, cơng tác Kính mong nhận góp ý thầy, giáo để sáng kiến hoàn thiện hơn./ Trang 14 ... luỹ thừa bậc 4n + (n �N) chữ số tận 7; Các số có chữ số tận nâng lên luỹ thừa bậc 4n + (n �N) chữ số tận Các số có chữ số tận nâng lên luỹ thừa bậc 4n + (n �N) chữ số tận 8; Các số có chữ số tận. .. thừa bậc chữ số tận khơng thay đổi Các số có chữ số tận 4; nâng lên luỹ thừa bậc lẻ chữ số tận khơng thay đổi Các số có chữ số tận 3; 7; nâng lên luỹ thừa bậc 4n (n �N) chữ số tận Các số có chữ. .. thừa bậc 4n + (n �N) chữ số tận Các số có chữ số tận 0; 1; 4; 5; 6; nâng lên luỹ thừa bậc 4n + (n �N) chữ số tận khơng đổi 2.3 Một số phương pháp tìm chữ số tận máy tính Casio 2.3.1 Tìm chữ số