Mot so phuong phap tim chu so tan cung cua mot so

- Thông qua đề tài học sinh có thể nắm một số phương pháp và có thể vận dụng vào giải bài toán từ đơn giản đến phức tạp, rèn kĩ năng tìm chữ số tận cùng và các tính chất chia hết của mộ[r]

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Ai biết toán học khó học tốn học sở nghành khoa học, mơn tốn đóng vai trị quan trọng nhà trường Thơng qua mơn toán, học sinh nắm vững kiến thức toán học, từ dễ dàng học tập mơn học khác để ứng dụng kiến thức học vào ngành khoa học kỹ thuật, ứng dụng lào động, quản lý kinh tế, việc tự học, tự nghiên cứu khoa học… Để giúp học sinh học tốt mơn tốn địi hỏi người thầy giáo phải có lào động sáng tạo nghiêm túc

Học sinh học toán, khoa học sáng tạo hấp dẫn địi hỏi học sinh phải tích cực chủ động tiếp cận kiến thức hướng dẫn giáo viên Chính q trình dạy tơi cố gắng dạy cho học sinh cách định hướng phương pháp giải tập trước dạng Là giáo viên dạy toán trung học sở, năm qua tơi đặt cho nhiệm vụ phải nghiên cứu tìm phương pháp thích hợp cho giảng dạy, vấn đề cụ thể phù hợp với đối tượng thực tế Một chuyên đề mà tâm đắc

Qua đề tài này, tơi xin trình bày với bạn thêm số tính chất phương pháp giải tốn “tìm chữ số tận cùng”, sử dụng kiến thức trung học sở

Trong thực tế nhiều ta không cần biết giá trị số mà biết hay nhiều chữ số tận Chẳng hạn, so xổ số muốn biết có trúng thưởng giải cuối hay không ta cần so hai chữ số cuối Trong tốn học, xét số có chia hết cho 2; 4; chia hết cho 5; 25; 125 hay không ta cần xét 1; 2; chữ số tận số

Tìm chữ số tận lũy thừa bậc thấp, đơn giản học sinh dễ dàng biết Vấn đề đặc đứng trước lũy thừa bậc cao dựa vào đâu học sinh định hướng cách giải?

Trong số năm giảng dạy đúc kết số kinh nghiệm tìm chữ số tận lũy thừa để cố cho học sinh nhằm nâng cao kết học tập học sinh học sinh giỏi sau mong đồng nghiệp tham khảo góp ý kiến cho tơi

II NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI

- Đề tài đưa hệ thống phương pháp tìm chữ số tận cùng, hai chữ số tận ba chữ số tận số tự nhiên hay biểu thức số tự nhiên

- Trang bị cho học sinh lớp đặc biệt học sinh lớp chuyên chọn có kiến thức sâu rộng

- Tạo tiền đề cho em có kiến thức học tập cao

- Thông qua đề tài học sinh nắm số phương pháp vận dụng vào giải tốn từ đơn giản đến phức tạp, rèn kĩ tìm chữ số tận tính chất chia hết số, đồng thời giúp học sinh thấy hay, đẹp, sức hấp dẫn toán học đem lại, kích thích tị mị, khám phá tìm hiểu toán

học, nâng cao lực giải tốn có nghị lực vượt qua khó để giải tốn

- Qua thực tế giảng dạy học sinh giỏi, nhận thấy học sinh cịn lúng túng tìm chữ số tận Từ tơi tìm hiểu tài liệu để phân dạng cho học sinh cách làm dễ Mỗi dạng đưa sở lý thiết số tâp cụ thể để em nắm dạng toán cách làm với dạng tốn

- Khi nghiên cứu dạng tốn tìm chữ số tận để tơi nâng cao nâng lực chuyên môn làm tư liệu dạy cho học sinh giỏi

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Đề tài ‘Một số phương pháp tìm chữ số tận số tự nhiên” áp dụng chủ yếu cho học sinh lớp cho học sinh lớp 7, 8, Mục đích bồi dưỡng học sinh giỏi, phục vụ cho kì thi cuối kỳ, cuối năm, thi học sinh giỏi, thi giải toán qua mạng Internet (Violympic Toán)…

IV PHẠM VI VÀ THỜI GIAN THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

Thực học sinh lớp 6A1 trường THCS Phương Phú – Phụng Hiệp – Hậu Giang.

Thực từ đầu học kì I đến cuối năm học 2008-2009

V QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

1 Khảo sát thực tế:

1.1 tình trạng thực tế chưa sử dụng đề tài:

Khi chưa thực đề tài, em gặp toán tìm chữ số tận tốn liên quan, đa số em hay mắc sai lầm lời giải, lời giải không chặt chẽ, kết luận không sâu sắc

Bài 2: Tìm chữ số tận số: B= 234

Bài 3: Tìm chữ số tận số: C=2999

Bài 4: Tìm chữ số tận : C=62002, D=22001.

Kết sau:

0  2,5  4,5  6,5  8,5  10 % trung bình

8 12 17 50%

B NỘI DUNG

PHẦN I KIẾN THỨC CƠ BẢN

PHẦN I.I PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG HOẶC MỘT SỐ CUỐI CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN

Phương pháp 1: Dùng cấu tạo số: I Cơ sở lí thuyết:

Để tìm chữ số tận số người ta thường tìm số dư phép chia số cho 10

Nhận xét 1: Nếu số nguyên a có tận chữ số: 0; 1; 5; an có tận 0; 1; 5; 6

Nhận xét 2: ta có:

24k = 16k ≡ ( mod 10)

34k = 81k ≡ ( mod 10)

74k = 492k ≡ (mod 10)

Nhận xét 3: Các số tự nhiên bất kì, nâng lên luỹ thừa 4n + chữ số tận khơng thay đổi

Các nhận xét hiển nhiên Nhận xét dễ dàng chứng minh Xem số tự nhiên : A=nk với n, k N .

1.Muốn tìm chữ số tận A cần biểu diễn A dạng: A = 10a + b = ab ⇒ b chữ số cuối A

Ta viết:

A = nk = (10q + r)k = 10t + rk với r N; r

Chữ số cuối A chữ số cuối số rk

- Nếu A = 100a + bc = abc bc hai chữ số cuối A

- Nếu A=10m.a

m + am −1 a0 = am a1a0 am −1 a0 m

chữ số cuối A 2.Vận dụng nhị thức Newtơn:

(a+b)n= c n

0 a+cn

1

.an −1b+ cn n −1

.a.bn −1+cn n

.bn

II Bài tập áp dụng:

Bài 1: Tìm chữ số cuối số: A= 999

Giải:

Xem số M = 9k ; k N

- Nếu k chẵn ⇔k=2m ta có:

M =92m = 81m = (80+1)m

=(10q +1)m = 10 t + ( với m, q, t N)

Vậy: M có chữ số cuối k chẵn - Nếu k lẽ ⇔ k=2m+1 ta có:

M =92m+1 = 92m.9 = (10t + 1).9 =10q + ( với m, t, q N)

Vậy: M có chữ số cuối k lẻ, ta có 99 là số lẻ.

Do đó: A = 999

có chữ số cuối Bài 2: tìm chữ số cuối số: B = 234

Giải: B = 234

= 281 = (25)16 .2 = 3216.2

= (30+2)16.2 = 10q +217

= 10q + (25)3.22 = 10q + (10q + 2)3 22

= 10t + 25 = 10t + 2

Vậy B có chữ số cuối

Phương pháp 2: Nhận xét lũy thừa. I Cơ sở lý thuyết: nhận xét lũy thừa - an lũy thừa.

Các trường hợp đặt biệt: 1.các số có dạng:

+ ( a1 )n; ( a5 )n; ( a6 )n tận lần lược 1; 5; 6

+ ( a3 )4; ( b7 )n; ( b9 )n tận lần lược 1

+ ( a2 )4; ( a4 )4; ( a8 )4 tận lần lược 6

2 Các số 320, 815, 74, 512, 992 tận 01

264, 65, 184, 242, 684, 742 có hai chữ số tận 76.

125n, 25n, 52 tận 25.

3 Các số có dạng:

( a01 )n; ( a25 )n; ( a76 )n có hai chữ số tận là: 01,

25, 76

Bài 1: tìm chữ số cuối số A = 999

Giải:

Ta có: 92m tận 1

92m+1 tận 9

Suy ra: 99 tận 9, (9 số lẻ.)

Vậy A= 999 tận

Bài 2: Tìm chữ số tận của: C = 62002, D = 22001.

Giải:

Ta có: 61 tận 6

62 tận 6

63 tận 6

Vậy 6n tận suy 62002 tận 6

Ta có: 24 = 16 tận 6

Suy 22002 = (24)500.22 = (a6) 4=k4 với a, k N ⇒ 22002 tận 4

Bài 3: Tìm chữ số cuối số: M = 71999, G = 18177

Giải:

*Ta có 74 = 2401 tận 1

= c3⇒ tận Vậy M = 71999 tận 3

*Ta có 184 = n6 tận 6

Suy ra: G = 18177 = (184 )44 .181 = t6 .18 = k8

Vậy G = 18177 tận 8.

Bài 4: Tìm chữ số tận số sau: a/ 799

b/ 141414

c/ 356

7

Giải:

a/ có: 99 = (8+1)9 = 4k + nên

799 = 74k+1 = 7.74k = 492k có chữ số

tận 7.1 =

b/ ta có 1414 = 1967 = (49.4)7 = 4k

nên: 141414 = 24k.74k = 16k.2401k nên tận

c/ có 567 = (4+1) ❑6

7

= 4k+1 nên 356

7

= 34k+1 = 3.34k = 3.81k có tận

cùng 3.1 =

Bài 5: Tìm chữ số tận tổng sau: T = 21 + 35 + 49 + + 20048009

Giải:

Chú ý tất số mũ có dạng 4(n-2) +1 với n nên tất số hạng tổng có tận tận số khơng lấy luỹ thừa

Mặt khác ta có: T = 21 + 35 + 49 + + 20048009 = 21 + 35 + 49 + 513

+617 + 721 + 825 + 929 + ⏟1033+1137+ +20007992

1990sè + +

20048009

vậy nên T có chữ số tận chữ số tổng sau

T’ = ( 2+3+ +9) +199(0+1+2+ +9) + (1+2+3+4) = 9009 Vậy chữ số tận T

Bài 6: Tìm chữ số tận tổng: T = 23 + 37 + 411 + +

Giải:

Nhận xét số mũ số hạng tổng có dạng 4(n-2) +3 với n

Vậy nên ta tìm quy luật chữ số tận số a4k+3 với a =

{0, 9}

Ta có : số có tận : 0; 1; 5; ak có tận 0; 1;

5;

xét 24k+3 = 8.24k = 8.16k có tận 8

34k+3 = 27.81k có tận 7

44k+3 = 64.28k =64.162k có tận 4

74k+3 = 343.2401k có tận 3

84k+3 = 512.162k có tận 2.

Vậy chữ số tận T chữ số tận T’ =

(8+7+4+5+6+3+2+9)+199(1+8+7+4+5+6+3+2+9) +1+8+7+4 = 9019 Vậy chữ số tận T

Bài 7: Tồn hay không số tự nhiên n cho số n2 + n + chia

hết cho 20052005

Giải:

Số 20052005 có tận nên chia hết cho 5

ta có n2 + n + = n(n+1) +1 có chữ số tận 1, 3, 7.

nên khơng chia hết cho Vậy không tồn n

Bài 8: chứng minh tổng sau khơng thể số phương a/ M = 19k + 5k + 1995k +1996k ( với k tự nhiên chẵn)

b/ N = 20042004k - 2003

Giải:

a/ k chẵn nên k = 2n

19k = 192n =361n có tận 1

5k + 1995k có tận 0

vậy tổng M có tận nên khơng số phương số phương có tận 0; 1;4;9;6;5

b/ ta có: 20042004k = (2000 + 4)2004k = 10n + 42004k = 10n + 161002k có tận

cùng

Nên N có tận nên N khơng thể số phương

Bài 9: cho P số nguyên tố lớn chứng minh ( P8n +

3p4n - )⋮5.

Giải:

Vì P số nguyên tố lớn nên tận p chữ số: 1; 3; 7;

Nếu P có tận P8n + 3p4n – có tận nên chia

hết cho

Nếu P có tận p4n = 10k+ 34n = 10k + 81n có tận

p8n có tận nên: P8n + 3p4n – có tận nên chia

hết cho

Nếu p có tận tương tự tận p4n p8n có tận

cùng nên tổng chia hết cho

Nếu p có tận thì:p4n = 10k + 94n = 10k + 812n có tận 1

và p8n = p4n¿2

¿ có tận

Nên tổng chia hết cho

Tóm lại với p ngun tố lớn tổng chia hết cho Nhận xét chung phương pháp:

1 Tách an dạng (10k + a

1)n với a1 = {0, 1, 9}

2 Viết n dạng n = 4q + r ( r = 0, 1, 2, 3)

3 Sử dụng nhận xét 1, 2, chứng minh Phương pháp 3: Dùng đồng dư

I.Cơ sở lý thuyết:

1 Định nghĩa: Cho số nguyên M>0, hai số nguyên a chia cho m có số dư ta nói a đồng dư với theo mô đun m viết a  b(mod

2 Định lý: Ba mệnh đề sau tương đương với nhau: a.a đồng dư với b theo mô đun m

b.a-b chia hết cho m

c.có số nguyên t cho a = b + m.t 3.Tính chất:

1 a a(mod m)

2 a b(mod m); b c (mod m) Suy ra: a c (mod m)

¿ a ≡ b(modm) c ≡ d(modm)

¿{ ¿

suy ra: a ± b ± dac≡bd (modm)

(modm)

Hệ quả: a+c b (mod m) ⇒ a b - c (mod m) a b (mod m) ⇒ am bn (mod m)

4 Nếu a b (mod m); k ƯC(a,b), (k,m) = ak=b

k(modm)

5

¿ a ≡b(modm)

k∈Ζ , k>0 ¿{

¿

suy ka kb (mod m)

6 d ƯC(a,b,m) : a b (mod m) suy ad=b d(mod

m d )

7 Nếu a b (mod m1) a b (mod m2) suy a b (mod m)

M = BCNN(m1,m2)

Hệ quả: (m1, m2, …, mn ) = nguyên tố đôi

Suy ra: a b (mod m1), a b (mod m2),……a b (mod mn)

a b (mod m1, m2, ….Mn)

II Bài tập

Bài 1: Tìm chữ số tận 6195 và 21000

Giải:

* Ta có: 62 = 36 mod 10 suy 6n = mod 10

* Với N số tự nhiên khác

* Suy ra: 6195 (mod 10) vây cữ số tận 6195 6.

*Tacó: 21000 = 24 250 = (2n)250

Vì 2n 16 (mod 10)

Suy ra: (2n)250 16250 (mod 10)

Do đó: 21000

 6250 6(mod 10)

Nghĩa hữ số tận 21000 6.

Vậy ta tận dụng đồng dư vào tìm chữ số tận có nghĩa tìm chữ số tận số N với:

Một chữ số tận N a (mod 10) suy ra: tận a: a<10 Hai chữ số tận N b (mod 100) suy tận b: b<100

Ba chữ số tận N c (mod 1000) suy tận c: c<1000

………

m chữ số tận N K (mod 10…0) suy tận k: K<10…0

Phương pháp 3: Dùng tính chất I.Cơ sở lý thuyết:

1.Tính chất 1

-Các số có tận 0; 1; 5; nâng lên lũy thừa (khác 0) tận 0; 1; 5;

-Các số có tận 2; 4; nâng lên lũy thừa số có tận

-Các số có tận 3; 7; nâng lên lũy thưa số có tận

Việc chứng minh tính chất khơng khó, xin dành cho bạn Như muốn tìm chữ số tận số tự nhiên x=am trước hết

ta xác định chữ số tận a

- Nếu chữ số tận a 0, 1, 5, x có chữ số tận 0, 1, 5,

- Nếu chữ số tận a 3, 7, am=a4n+r=a4nar với r=0, 1, 2,

3 nên từ tính chất 1c suy chữ số tận x chữ số tận ar.

-Nếu chữ số tận a 2, 4, trường hợp từ tính chất suy chữ số tận x chữ số tận 6.ar

Bài 1: Chữ số tận 187324

Giải:

Ta thấy số có tận nâng lên lũy thừa bậc có tận Các số có tận nâng lên lũy thừa (khác 0) tận

187324 =(1874)81=(…1)81=(…1)

Vậy chữ số tận 187324 1

Bài 2: Chứng minh 8102-2102 chia hết cho 10

Giải :

Ta thấy số có tận nâng lũy thừa đựơc số có tận Một số có tận nâng lên lũy thừa (khác 0) tận Do ta biến đổi sau: 8102=(84)25.82=(…6)25.64=(.6).64=…4

2102=(24)25.22 =1625.4=( 6).4=…4

Vậy 8102-2102 tận nên chia hết cho 10

2.Tính chất 2

Chữ số tận tổng lũy thừa xác định cách tính tổng chữ số tận lũy thừa tổng

Bài tốn

Tìm chữ số tận tổng s=21+35+49 +…+2004800

Lời giải

Nhận xét: Mọi lũy thừa S có số mủ chia cho dư (các lũy thừa có dạng n4(n-2)+1, n }2,3 ,2004}.

Theo tính chất 2, lũy thừa S số tương ứng có chữ số tận tổng :

(2+3+ +9)+199.(1+2+…+9)+1+2+3+4=200.(1+2+…+9)+9=9009 Vậy chữ số tận tổng S

Từ tính chất tiếp tục suy tính chất 3.Tính chất 3:

a) Số chữ số tận nâng lũy thừa 4n+3 có chữ số tận 7; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n+3 có chữ số tận

b) Số chữ số tận nâng lũy thừa 4n+3 có chữ số tận 8; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n+3 có chữ số tận

c) Các chữ số có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, 9, nâng lên lũy thừa bậc 4n+3 không thay đổi chữ số tận

Bài tốn 1: Tìm chữ số tận tổng T=23+37+411+ +20048011

Lời giải:

Nhận xét:mọi lũy thừa T có số mũ chia cho dư (các lũy thừa có dạng n4(n-2)+3 n }2, 3,…,2004})

Theo tính chất 23 có chữ số tận 8; 37 có chữ số tận

cùng 7; 411 có chữ số tận 4…

=(8+7+4+5+6+3+2+9)+199

(1+8+7+4+5+6+3+2+9)+1+8+7+4=9019 Vây chữ số tận tổng T

Trong toán khác, việc tìm chữ số tận dẫn đến lời giải độc đáo

Bài toán 2: Tồn hay không số tự nhiên cho n2+n+1 chia hết

cho 19952000.

Lời giải:

19952000 tận chữ số chia hết cho ta đặt vấn đề là

liệu n2+n+1 chia hết cho hay khơng?

Ta có: n2+n=n(n+1) tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chữ số tận

cùng n2+n 0; 2; ⇒ n2+n+1 tận là

1; 3; ⇒ n2+n+1 không chia hết cho 5.

Vậy không tồn số tự nhiên cho n2 + n+1 chia hết cho 19952000

Sử dụng tính chất “Một số phương tận chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 9; ta giải toán sau:

Bài toán 3: Chứng minh tổng sau số chính phương:

a) M=19k+5k+1995k+1996k (với k chẳn)

b) N=20042004k+2003

Sử dụng tính chất số nguyên tố lớn tận chữ số 1; 3; 7; 9; ta tiếp tục giải toán:

Bài toán 4: Cho p số nguyên tố lớn 5, Chứng minh rằng: p8n3.p4n-4 ⋮ 5

Phương pháp 1: Nếu xN x=100+y; k; y  N hai chữ

số tận x hai chữ số tận y

Hiển nhiên y ≤ x, để đơn giản việc tìm hai chữ số tận hai số tự nhiên x thay vào ta tìm hai chữ số tận hai số tự nhiên y (nhỏ hơn)

Rõ ràng số y nhỏ việc tìm chữ số tận y đơn giản

Từ nhận xét ta đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận hai số tự nhiên x=am sau:

Trường hợp 1: Nếu a chẳn x=am ⋮ 2m

Gọi n số tự nhiên cho an-1 ⋮ 25

Viết m=pn (p; qN) q số nhỏ để aq ⋮ ta có:

X=am=aq (apn -1) +av

Vì an-1 ⋮ 25

Mặt khác (4,25)=1 nên aq (apn-1) ⋮ 100

Vậy hai chữ số tận Am cũmg hai chữ số tận của

aq

Tiếp theo ta tìm chữ số tận aq

Trường hợp 2: Nếu a lẻ, gọi n số tự nhiên cho an-1 ⋮ 100

Viết m=un+v (u,v  N, ≤ v < n ) ta có

X=am=av (aun-1)+av

Vì an-1 ⋮ 100 Vậy hai chữ số tận am hai chữ

số tận av Tiếp theo ta tìm hai chữ số tận av.

Khoảng hai trường hợp chìa khóa để giải tốn phải tìm đựoc số tự nhiên n Nếu n nhỏ q v nhỏ nên dể dàng tìm hai chữ số tận aq av .

Phương pháp 2:

Để tìm hai chữ số tận lũy thừa, cần ý đến số dặc biệt:

-Các số 320 (hoặc 815), 74, 512, 992 có tận 01

-Các số 2020, 65, 184, 242, 684, 742 có tận 76

-Số 36n (n>1) có tận 76

Bài 1: Tìm hai chữ số tận 71991

Giải:

Ta thấy: 74=2401, số có tận 01 nâng lên lũy thừa cũng

tận 01 Do đó:

71991=71988.73=(74)497.343=(…01)497.343

=(…01).343=….43

Vậy 71991 có hai chữ số tận 43

Bài 2: Tìm hai chữ số tận 2100

Giải:

Chú ý rằng: 210=1024, bình phương số có tận 24 tận

cùng 76, số có tận 76 nâng lên lũy thừa (khác 0) tận 76 Do đó:

(2)100=(210)10=(1024)10=(10242)5=(….76)5=….76

Vậy hai chữ số tận 2100 là 76.

Bài 3: Tìm hai chữ số tận số: C=2999, D=3999

Giải:

*Ta có: 220 có chữ số tận 76.

Suy ra: C=2999=(220)49.219=( y76 ). n88 (với y, n, q  N)

Vậy C=2999 có chữ số tận 88

*Ta có: 3D = 31000 =(320)50 =( k01 )50 = z01

Nên 3D tận 01, mà 3.3999 ⋮

 chữ số hàng trăm 31000

2

⇒ 31000 tận 201

Vậy 3999 có hai chữ số tận 67

a) M=78966

b) N=247561

c) =816251

Giải:

a)Ta có 74 có hai chữ số tận 01

Suy M=78966=(74)2241.72=( a01 )2241.49= c01 .49= n49 (với a,c,n

N)

Suy M=78966 có hai chữ số tận 49

b)Ta có 242 tận 76

Suy N=247561=(242)3765.24=( m76 )3765.24= k76 .24= n24 (với m,

k, n  N)

Vậy N=247561 có hai chữ số tận 24

c) Ta có 815 có hai chữ số tận 01

Nên Q=816251=(815)1250.81=( k01 )1250.81= m81 (Với k, t, m  N)

Vậy Q=816251 có hai chữ số tận 81.

Bài 5: Tìm hai chữ số tận số.

a) Z=26854 b) c=68194

Giải:

a)Ta có 264 có hai chữ số tận 76

⇒ Z=26854 =(264)213.262=( n76 )213 676= k76 .676= c76 (Với n,

k, t  N)

Vậy Z= 26854 có hai chữ số tận 76

b) Ta có 684 có hai chữ số tận 76

Suy C= 68194 = (684)48.682= ( n76 )48.4624 = k76 .4624 = t24

(với n, k, t  N)

Vậy C=68194 có hai chữ số tận 24.

Bài 6: Tìm hai chữ số tận của a.D=2999

b.G=3999

A.Ta có: 2999=21000 : 2

Ta có: 220 = 1048576 1 (mod 25)

Suy ra: (220)50 150 (mod 25)

21000 1 (mod 25)

21000 chia cho 25 dư 1

21000 Có hai chữ số tận 1; 26; 51; 76; 21000 ⋮ suy ra

hai chữ số tận 88

b Ta có: 34 19 (mod 100) suy 38 192 (mod 100)

310 61.9 49 (mod 100) suy 3100 492 1 (mod 100)

Suy ra: 31000 01 (mod 100)

Nghĩa hai chữ số tận 31000 01

Số 31000 ⋮ 3 nên chữ số hàng trăm chia cho phải dư 2

(chia tiếp số 201: số dư 0,1 001; 101 không chia hết cho 3)

Vậy 3999=31000 ⋮ 3 có hai chữ số tận 76

Bài 7: Tìm hai chữ số tận số: D= 999

Giải:

Ta có: 92=81 1 (mod 10) suy 98 (92)n 1 (mod 10)

Suy 99 1.9 9 (mod 10) suy 99 10k+9 (k  N)

94=6561 61 (mod 100)

98 612 21 (mod 100)

9100 2k81 01 (mod 100)

910k 1 (mod 100)

Suy ra: 999

= 910k+9 = (910)k.99 1.99 (mod 100)

Ta lại có: 93 = 729 29 (mod 100)

99 = 293 89 (mod 100)

Vậy 999 có hai chữ số cuối 89

Bài 8: Tìm chữ số tận số 19911997; 19971996

Giải:

Ta có: 1991 (mod 10) suy 19911997 (mod 10)

Ta có: 1997 (mod 10) suy 19972 49 (mod 10)

Suy 19974 (mod 10) suy (19974)409 (mod 10)

Suy 19971996 (mod 10)

Vậy 19971996 có chữ số tận 1

Bài 9: Tìm hai chữ số cuối số: C = 2999

Giải:

Ta có: 210 + =1024 + = 1025 : 25 suy 210 – ⋮ 25

Ta lại có 21000 – = (220)50 – ⋮ 220 – suy 21000 – ⋮ 25

Do 21000 chữ số tận 26 ; 51 ; 76 21000 ⋮ 4

Suy 21000 tận 76 ⇒ 2999 tận 38 88 2999 ⋮

4

⇒ 2999 tận 88

Vậy C=2999 có hai chữ số tận 88.

Bài 10: Tìm hai chữ số tận số: D=3999

Giải:

Ta có: 92m tận ; 92m+1 tận 9

Ta tìm số dư phép chia 95 +1 cho 100

Ta có: 95 + =10(94 – 93 + 92 – + 1)

Số: 94 + 92 +1 tận 3

93 + tận 8

Suy (94 – 93 + 92 – + 1) tận 5 ⇒ 94 – 93 – 92 – + = 10q + 5

⇒ 95 + = 100q + 50

⇒ 910 – = (95 + 1)(95 – 1) = 100t

Ta lại có: 31000 - = 9500 – = (910)50 – suy 31000 – ⋮ 100 ⇒ 31000 tận 01 Mặt khác 31000 ⋮ 3

Suy chữ số hàng trăm 31000 phải (để 201 chia hết cho 3) ⇒ 31000 chữ số tận 201

Do 3999 tận 67.

Giải : A = 999

= (10 -1)9

❑9 có dạng: (10 – 1)n với n=99 ta lại có A = C ❑n

0 10n - C

❑n

1 10n-1 + ……+ C

❑n

n−1 10 - C

❑n n

Suy A có hai chữ số cuối Với a = C ❑n

n−1 .10 - C

❑n

n = 10n -1 Số n = 99tận 9

Suy 10n tận 90 ⇒ a =10n -1 tận 89 Vậy số A = 999 có hai chữ số cuối 89

Bài 12: Tìm hai chữ số tận số: B 999

9

Giải: B= 999

9

= (10-1) với m =99

❑9 = c ❑m

0 .10m - c

❑m

1 .10m-1+…+ c

❑m

m−1 .10-c

❑m m

⇒ B có hai chữ số cuối với số: B= c ❑m

m −1 .10-c

❑m

n = 10m-1

Số m=99

❑9 tận Suy ra: số b tận 89 Vậy: Số B= 999

9

có hai chữ số tận 89.

PHẦN I.III: PHƯƠNG PHÁP TÌM BA CHỮ SỐ TẬN CÙNG HOẶC BA CHỮ SỐ CUỐI CÙNG CỦA MỘT SỐ

Phương pháp Để tìm ba chữ số tận trở lên lũy thừa, cần ý rằng:

-Các số tận 001, 376, 625 nâng lên lũy thừa (khác 0) tận 001, 376, 625

-Các số có tận 0625 nâng lân lũy thừa (khác 0) tận 0625

Bài 1: Tìm bốn chữ số tận 51992 Giải

51992 =(54)498 =625498 =0625498 =(…0625)

Vậy bốn chữ số tận 51992 0625

Bài 2: Tìm ba chữ số tận số T = 5946 Giải

Ta có 53 có ba chữ số tận 125

Suy T = 5946 = (53)315.5=( n125 )315.5= m125 .5= t625

(Với n, m, t N)

Vậy T = 5946 có ba chữ số tận 125.

Bài 3: Tìm chữ số tận số: P=51994 Giải

Ta có: 54=0625 tận 0625

55 tận 3125

56 tận 5625

57 tận 8125

58 tận 0625

59 tận 3125

510 tận 5625

511 tận 8125

Chu kỳ lặp

Suy ra: 54m tận 0625

54m+1 tận 3125

54m+2 tận 5625

54m+3 tận 8125

Mà 1994 có dạng 4m+2 Do M=51994 có chữ số tận 5625.

Bài 4: Tìm ba chữ số tận 213 Giải

Ta có 210 = 1024; 210 = 24 (mod 1000)

Có 23 8 (mod 1000); 213 192 (mod 100)

Vậy ba chữ số cuối 213 192.

PHẦN II: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG

Bài 1: Chứng minh tồn m N để số 3m tận 001 Giải

Ta chứng minh tồn n N để 3n – ⋮ 103

Xét dãy gồm 1000 số hạng 3; 32; 33;…; 3103

(*)

Chia số hạng dãy (*) cho 103 số dư phép chia có thể

là

1; 2; 3;…; 999 (Vì 3n khơng chia hết cho 103 với n thuộc N) mà có

1000 phép chia nên có số có số dư chia cho 103

(Nguyên lý Dirichle)

Gọi số 3i 3j với i, j N, 1 i < j 103

Suy ra: 3j – 3i ⋮ 103

3i(3j-i – 1) ⋮ 103 mà (3i,10) = 1

(3i,103) = ⇒ 3j-I -1 ⋮ 103

Vậy tồn n N cho 3n tận 001.

Bằng phương pháp tương tự ta giải tốn khó sau:

Bài 2: Chứng minh tồn n N, Sao cho số 3n tận là 000001

Giải

Ta chứng minh tồn n N để 3n -1 ⋮ 106

Xét dãy gồm 1000000 số hạng 3; 32; 33;…; 3106

(*)

Chia số hạng dãy (*) cho 106 số dư phép chia có thể

là

1; 2; 3;…; 99999 (Vì 3n khơng chia hết cho 106 với n thựơc N) mà

có 1000000 phép chia nên có số có số dư chia cho 106

(Nguyênlý Dirichle)

Gọi số 3i 3j với i, j N, 1 i < j 106 suy

suy ra: 3i(3j-i – 1) ⋮ 106 mà (3i,10) =1

(3i,106) = ⇒ 3j-i – ⋮ 106

Vậy tồn n N cho 3n tận 000001.

Bài Chứng minh 261570 chia hết cho 8 Giải:

Ta thấy :265= 11881376, số có tận 376 nâng lên lũy thừa

Nào (khác 0) có tận 376 Do đó: 261570=(265)314=(…376)314=(…376)

Mà 376 chia hết cho

Một số có ba chữ số tận chia hết cho chia hết cho Vậy 261570 chia hết cho 8

Bài 4: Chứng minh n5 n có chữ số tận cung giống nhau

Giải

Để chứng minh n5 và n có chữ số tận chứng minh n5 – n

⋮ 10

Ta có: A =n5 – n = n(n4-1).(n2+1)

=(n-1).n(n+1).(n2+1)

Ta có 10 =2.5 (2.5)=1

(n-1), n, n+1 số tự nhiên liên tiếp Suy A ⋮

Chứng minh A ⋮ n ⋮ Ạ ⋮ Nếu n ⋮ dư suy n-1 ⋮ ⇒ A ⋮

n: dư suy n2+1 = (5k+2)2+1 = (5k)2+20k+4+1 ⋮ 5 ⇒ A

⋮

n: dư suy n2 +1 =(5k+3)2+1 = (5k)2+30k+9+1 ⋮ 5 ⇒ A

⋮

n: dư suy n+1 ⋮ ⇒ A ⋮ Vậy A ⋮ A ⋮ ⇔ A ⋮ 10 Vậy n5 n có chữ số tận cùng.

Bài 5: Chứng minh 19911997-19971996 ⋮ 10 Giải

Là chứng minh số có chữ số tận cùng: Theo phương pháp

Ta có 19911997 19971996 có chữ số tận 1

Suy 19911997-19971996 ⋮ 10

Bài 6: Tích 1125! tận chữ số 0 Giải

Ta thấy 2.5 = 10 tận chữ số Suy có thừa số tận số Với 51 suy ⇒ 1125 có 1125−5

5 +1 = 225 (chữ số 5)

Với 52 suy 1125−25

25 +1 =45 (số)

Với 53 suy 1125−125

125 +1 =9 (số)

Với 54 có 625 có (số)

Vậy có 225+45+9+1 =280 số Vậy tận có 280 chữ số

PHẦN III BÀI TẬP THAM KHẢO

Bài 1:

Chứng tỏ 175+244-1321 chia hết cho 10

Tìm chữ số tận số sau: 7430; 4931; 8732; 5833; 2335

Bài 3:

Tìm hai chữ số tận 5n (n>1)

Bài 4:

Tìm chữ số tận số sau: a/(2345)42

b/(5796)35

Bài 5:

Cho A =51n+47102 (n

 N)

Chứng tỏ A chia hết cho 10 Bài 6:

Tìm chữ số tận tổng, hiệu sau: a/ 132001-82001

b/7552-218

c/12591+12692

d/116+126+136+146+156+166

Bài 7:

Chứng tỏ với n N* (n>1) (22)n +1 có chữ số tận

cùng Bài 8:

Chứng tỏ với số tự nhiên n: a/74n-1 chia hết cho 5

b/34n+1+2 chia hết cho 5

c/24n+1+3 chia hết cho 5

d/24n+2+1 chia hết cho 5

e/92n+1+1 chia hết cho 10

Bài 9:

Tìm hai chữ số tận a/5151

b(9999)99

d/14101 16101

PHẦN IV KẾT QUẢ THỰC HIỆN CÓ SO SÁNH VÀ ĐỐI CHỨNG

Sau thời gian kiên trì thực phương pháp em thích loại tốn có khả giải tốt tốn tìm chữ số tận tốn liên quan

Số học 6 Tiết 21

Họ tên GV: Châu Ngơ Khởi Tổ Tốn Lý

Ngày dạy: 05/10/2009

DẤU HIỆU CHIA HẾT CHO VÀ 5

I Mục tiêu học

- Học sinh nắm vững dấu hiệu chia hết cho và hoểu sở dấu hiệu

- Biết vận dụng dấu hiệu chia hết cho để nhanh chóng xác định số, tổng, hiệu có chai hết cho 2, cho hay không

- Rèn kĩ tính tốn, biến đổi, xác phát biểu vận dụng dấu hiệu chia hết cho cho Xây dựng ý thức học tập tự giác, tích cực tinh thần hợp tác học tập

II Phương tiện dạy học - GV : Bảng phụ, thước - HS : Bảng nhóm, thước

III.Tiến trình

Hoạt động thầy Hoạt động trò Ghi bảng Hoạt động 1: Bài cũ

1 Khi tổng a + b

⋮ m ?

Hoạt động thầy Hoạt động trò Ghi bảng

2 Viết số 43¿∗

¿

dạng tổng hàng chục hàng đơn vị * Vậy số 20, 30, 610, 1240

ta viết thành tích hàng chục với 10 nào?

Ta thấy số với ? Vậy số chia hết cho ?

.Hoạt động : Số chia hết cho Vậy từ VD hay rút nhận xát tổng quát số chia hết cho chia hết cho ?

Hoạt động 3:Số chia hết cho

Từ ví dụ số 43¿∗

¿

= ?

Vậy ta thay * số để (430 + *) ⋮ ? Hay 43¿∗

¿ ⋮ Vì

sao?

¿

43∗

¿ = 430 + *

20 = 10 = 2 30 = 10 = 610 = 61 10 = 61

1240 = 124 10 = 124

Đều chia hết cho

Những số có chữ số tận

Học sinh nhắc lại vài lần

¿

43∗

¿ = 430 + *

Thay * số 0, 2, 4, 6,

Vì số hạng tổng chia hết cho Các số chẵn

Thay số 1, 3, 5, 7,

Có chữ số tận 1, 3,

1 Nhận xét mở đầu VD:

* 20 = 10 = 2 Chia hết cho 2, cho * 30 = 10 = Chia hết cho 2, cho * 610 = 61 10 = 61 Chia hết cho 2, cho * 1240 = 124 10 = 124

Chia hết cho 2, cho Nhận xét :

“Các số có số tận cùng là chia hết cho và chia hết cho 5”

2 Dấu hiệu chia hết cho 2

Tổng quát: SGK

Hoạt động thầy Hoạt động trò Ghi bảng

Đây số ?

Vậy thay * số

(430 + *) ⋮ Hay

¿

43∗

¿ ⋮

Vậy số khơng chia hết cho ? Vì ?

Vậy số chia hết cho ?

Vậy số có chữ số tận số lẻ ?1 Cho học sinh trả lời chỗ

Vậy số chia hết cho ?

Hoạt động 4:Số chia hết cho

Tương tự ta thay * số để 430 + * chia hết cho ? Vì ?

Vậy số chia hết cho ?2 Ta thay * số số 37¿∗

¿

để chia hết cho 5?

Hoạt động 5 : Củng cố

5, 7, Vì số khong chia hết cho

Các số có chữ số tận số chẵn Không chia hết cho Số 328 1234 chia hết cho

Số 1437, 895 không chia hết cho

Thay * số

Vì thay số 1, , 3, 4, 6, 7, 8, tổng 430 +* khơng chia hết cho Những số có chữ số tận

0

Học sinh thảo luận, trình bày

Các số 1437 895 không chia hết cho Dấu hiệu chia hết cho

Tổng quát :SGK

2 Ta có 370 375 chia hết cho 4.Bài tập

Bài 93 Sgk/38

a.Chia hết cho 2, không chia hết cho

b.Chia hết cho 5, không chia hết cho

Hoạt động thầy Hoạt động trò Ghi bảng

Bài 93 Sgk/38

Cho học sinh thảo luận nhóm

Trị chơi: “ Các số biết nói” Tìm kết điền vào ô tương ứng

Câu

K.Quả

1 Không thực tìm số dư phép chia sau: (1) 17:5 ; (2) 34 : ; (3) 16 : ;

(4) 45 : ; (5) 11 : ; (7) 18 : ; (8) 124 : ;

2 (6) Số tự nhiên nhỏ chia cho dư chia cho dư ? Cho học sinh thảo luận điền ô số tương ứng:

Gợi ý cho học sinh tìm hiểu ý nghĩa số GV giới thiệu cho học sinh ngày TLHLHPN VN

Hoạt động 6: Hướng dẫn học sinh học nhà :

- Về học kĩ lí thuyết, tính chất chia hết tổng, dấu hiệu chia hết cho

và chuẩn bị tiết sau luyện tập - BTVN : Bài 91, 92, 93, 94, 95

Số học 6 Tiết 22

Họ tên GV: Châu Ngô Khởi Tổ Toán Lý

Ngày dạy: 10/10/2009

LUYỆN TẬP

I Mục tiêu học

- Củng cố khắc sâu kiến thức dấu hiệu chia hết cho

- Rèn luyện kĩ áp dụng linh hoạt, xác, có kĩ phân tích tốn

- Xây dựng ý thức học tập nghiêm túc, tự giác, tích cực II Phương tiện dạy học

- GV : SGK, SGV, Bảng phụ - HS : SGK, tập, viết

III.Tiến trình

Hoạt động : Bài cũ Phát biểu dấu hiệu chia hết cho chia hết cho ?

Hoạt động 2: Luyện tập Bài 96 Cho học sinh trả lời chỗ

Các số có chữ số tận cùng=?

=> Đó số ?

Cho học sinh trả lời cho Vì ?

Bài 97 Sgk/39

Bài 97: Cho học sinh thực

GV sử dụng bảng phụ cho học sinh thực chỗ

Số chia hết có chữ số cuối số ?

Vì chia cho dư số ? Chữ số cuối số ?

Năm số ?

=>Năm đời Ơ tơ đầu tiên?

Các số có chữ số tận cùng=?

=> Đó số ?

Cho học sinh trả lời cho

Vì ?

Cho học sinh tự tìm đưa kết luận sau giáo viên đến kết

Hoạt động 3:

Củng cố Kết hợp luyện tập

a 450; 405; 540 Bài 98 Sgk/39

a Đ; b S ; c Đ ; d s Bài 99 Sgk/39

Số : 88

Bài 100 Sgk/39

Vì n ⋮ a, b, c {1; 5; 8}

=> n = 5; a = 1; b = Vậy năm đời xe Ơ tơ năm : 1885

Bài 130 Sbt/18 Tìm số tự nhiên n chia hết cho cho với 136 < n < 182 Ta có: n = 140, 150, 160, 170, 180

Bài123sbt/18: Cho số: 213, 435, 680,156

a.Số 156 ⋮ không chia hết cho b.Số 435 ⋮ không chia hết cho c.Số 680 ⋮ 680

Cho học sinh tự tìm đưa kết luận sau giáo viên đến kết

Hoạt động 3: Củng cố Kết hợp luyện tập

d.Số 213 ⋮ 213

⋮

Bài 128 Sbt/18.Tìm số tự nhiên có hai chữ số giống chia hết cho chia cho dư

Ta có : Vì số chia hết có số tận số chẵn chia cho dư

=> Đó số 44

Hoạt động 4: Hướng dẫn học sinh học nhà

- Về xem lại kĩ lý thuyết tập

- Chuẩn bị trước 12 tiết sau học

? Khi số gọi chia hết cho 3, chia hết cho BTVN :124, 125, 126, 127, 129

Cuối năm học kiểm tra lại 40 em học sinh lớp 6A toán sau: Bài 1:

Tìm chữ số tận số sau: 8732; 5833

Bài 2:

Tìm chữ số tận số sau: (2345)42

Bài 3:

Tìm chữ số tận tổng, hiệu sau: a/7552-218

Bài

Chứng tỏ với số tự nhiên n: a/74n-1 chia hết cho

b/24n+1+3 chia hết cho 5

Kết thu sau: ⇒

2,5

3 ⇒

4,5

5 ⇒

6,5

7 ⇒

8,9

9 ⇒

10

% Trên trung bình

C KẾT LUẬN

Qua tìm hiểu tốn tìm chữ số tận có vai trị quan trọng việc nâng cao lực chuyên môn Làm tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi giúp cho học sinh biết tổng hợp kiến thức phát huy tư sáng tạo giải toán

Với việc giảng phương pháp tìm chữ số tận Qua tìm hiểu kiểm tra tơi thấy học sinh có phương pháp làm tập nhanh Do vậy, trình giảng dạy giáo viên biết phân dạng Tốn cho học sinh em nắm kiến thức cách dễ dàng Khi đưa dạng toán giáo viên cần đưa sở lý thuyết tập vận dụng với mức độ từ thấp đến cao để gây hứng thú học tập cho học sinh không gây cảm giác chán nản gặp dạng tốn

Trong q trình thực đề tài tơi khơng tránh khỏi sai sót Rất mong thầy giáo xem sửa chữa cho đễ đề tài tơi hồn thiện

Tơi xin chân thành cảm ơn !

Phương Phú, Ngày 15 tháng năm 2009 Người viết

Châu Ngô Khởi

Xác nhận Trường THCS Phương Phú

……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………

Hiệu Trưởng Trường THCS Phương Phú

Người thực

MỤC LỤC

ĐỀ MỤC TRANG

A ĐẶT VẤN ĐỀ I Lí chọn đề tài II Nhiệm vụ đề tài

III Đối tượng nghiên cứu

IV Phạm vi thời gian thực đề tài V Quá trình thực đề tài

B NỘI DUNG

Phần I Kiến thức

Phần II Các toán ứng dụng Phần III Bài toán tham khảo