Để giúp học sinh học tốt môn toán, ngoài việc truyền thụ kiến thức cơ bản theo phân phối chương trình của Bộ Giáo dục đào tạo ban hành cho các trường học phổ thông ( Kể cả ba cấp ), giáo viên cũng như học sinh cần phải nghiên cứu thật nhiều các tài liệu, sách báo, băng hình,.... có liên quan đến môn toán để bổ sung các dạng kiến thức mới, phương pháp giải mới, Giúp học sinh học dễ hiểu, dễ tiếp thu bài nhằm tạo được sân chơi thân thiện, từ đó các em mới tích cực tham gia các hoạt động học tập, rồi có ý tưởng tự nghiên cứu sáng tạo cho việc học và giải toán được thuận lợi hơn. Theo nhà khoa học LepNitx đã nói: “Một phương pháp được coi là tốt, nếu như ngay từ đầu ta có thể thấy trước và sau đó có thể khẳng định được rằng theo phương pháp đó ta sẽ đạt tới đích”. Với mỗi bài toán ta cũng có thể giải được, chỉ cần bắt chước theo những chuẩn mực đúng đắn và thường xuyên thực hành.
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6 A/. Đặt Vấn Đề: I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. Là Giáo Viên dạy học môn toán, chúng ta mới thật sự thấy được tầm quan trọng toán học, nó rất đa dạng và phong phú, thuộc nhiều lĩnh vực nghiên cứu khoa học cho các ngành nghề. Bất cứ ngành nào nghề nào cũng đòi hỏi phải có sự tính toán. Muốn tính toán giỏi ta phải học tốt môn toán, từ những con số, rồi thực hiện các phép tính đơn giản cho đến các phép tính khó.v.v. Vì vậy ta phải xây dựng thế hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn diện. Bên cạnh phải giáo dục cho học sinh có đầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế hiện nay. Muốn giải quyết nhiệm vụ quan trọng này, trước hết Thầy, Cô giáo chúng ta ai cũng phải xây dựng cho mình một phương pháp dạy thật tốt và thường xuyên cải tiến phương pháp giảng dạy cho phù hợp với từng nội dung, điều kiện giảng dạy vào các đối tượng tham gia học tập, nhằm tạo tiền đề vững chắc, lâu bền trong việc tiếp nhận tri thức, nề nếp và thái độ học tập của các em ở nhà trường. Để giúp học sinh học tốt môn toán, ngoài việc truyền thụ kiến thức cơ bản theo phân phối chương trình của Bộ Giáo dục & đào tạo ban hành cho các trường học phổ thông ( Kể cả ba cấp ), giáo viên cũng như học sinh cần phải nghiên cứu thật nhiều các tài liệu, sách báo, băng hình, có liên quan đến môn toán để bổ sung các dạng kiến thức mới, phương pháp giải mới, Giúp học sinh học dễ hiểu, dễ tiếp thu bài nhằm tạo được sân chơi thân thiện, từ đó các em mới tích cực tham gia các hoạt động học tập, rồi có ý tưởng tự nghiên cứu sáng tạo cho việc học và giải toán được thuận lợi hơn. Theo nhà khoa học Lep-Nitx đã nói: “Một phương pháp được coi là tốt, nếu như ngay từ đầu ta có thể thấy trước và sau đó có thể khẳng định được rằng theo phương pháp đó ta sẽ đạt tới đích”. Với mỗi bài toán ta cũng có thể giải được, chỉ cần bắt chước theo những chuẩn mực đúng đắn và thường xuyên thực hành. Trang: 1 . PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6 Là người giáo viên, chúng ta cần phải nghiên cứu, tham khảo thật nhiều các loại sách, báo, đề tài nghiệp vụ sư phạm, phương pháp giải một số dạng toán.v.v có liên quan đến lĩnh vực toán học để kịp thời nắm bắt và vận dụng vào trong thực tế giảng dạy. Tuy nhiên trong suốt qúa trình giảng dạy cho thấy việc vận dụng kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa, sách nâng cao đối với những bài toán như “Tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên viết dưới dạng lũy thừa” có bậc thấp thì học sinh dễ tìm ra, còn những lũy thừa ở dạng bậc cao thì học sinh vô cùng lúng túng, khó giải. Chính vì vậy mà Tôi cố nghiên cứu và tìm ra được phương pháp giải đơn giản đối với số tự nhiên dạng a n . Ngoài ra Tôi mạnh dạng đưa ra “ Một số dạng toán về lũy thừa trong chương trình toán 6 ” và phương pháp giải, chúng được đúc kết qua kinh nghiệm thực tế giảng dạy về môn số học của Tôi. Các bài toán về lũy thừa thật là đa dạng, phong phú và hấp dẫn, thế nhưng không ít Học sinh khi làm loại toán này thường chưa phân được dạng nên chưa có phương pháp giải phù hợp, dẫn đến bế tắc hoặc có những cách giải còn phức tạp, chưa tối ưu. Chính vì vậy mà vấn đề Tôi đưa ra là đề giúp cho các em giải quyết được phần nào khó khăn mà các em vấp phải. B. NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ VÍ DỤ Phần 1: Phương pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên dạng : a n với: a ≠ 0 và a 1, n ∈ N. ( Gọi tắt là phương pháp H ) 1. Theo định nghĩa về lũy thừa ở số học lớp 6 ta được: a n = a . a . . a n thừa số Trang: 2 . PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6 Ta có nhận xét trường hợp khi a = 2 Trong dãy các lũy thừa 2 1 , 2 2 , 2 3 , . . . 2 n luôn tồn tại bốn dãy lũy thừa. Mà mỗi lũy thừa ở cùng một dãy có chữ số tận cùng bằng nhau. Ta ký hiệu: D 2-1 là tập hợp các lũy thừa có dạng 2 1 ; 2 5 ; 2 9 ; … và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy này có chữ số tận cùng là 2. D 2-2 là tập hợp các lũy thừa có dạng 2 2 ; 2 6 ; 2 10 ;… và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy này có chữ số tận cùng là 4. D 2-3 là tập hợp các lũy thừa có dạng 2 3 ; 2 7 ; 2 11 ; … và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy này có chữ số tận cùng là 8. D 2-4 là tập hợp các lũy thừa có dạng 2 4 ; 2 8 ; 2 12 ; …và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy này có chữ số tận cùng là 6. Vấn đề trình bày như đã nêu trên cho thấy giá trị của các lũy thừa của dãy D 2 = 2 1 , 2 2 , 2 3 , . . . 2 n có chữ số tận cùng được lập lại theo thứ tự mà số mũ ở mỗi dãy là một cấp số cộng có hiệu ( số lớn trừ số nhỏ ) là 4. Ta có bảng tóm tắt của các dãy và phương pháp tìm chữ số tận cùng của dãy D 2 = 2 1 , 2 2 , 2 3 , . . . 2 n như sau: Trang: 3 . D 2-1 = 2 1 ; 2 5 ; 2 9 ; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 2 D 2-2 = 2 2 ; 2 6 ; 2 10 ;… Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 4 D 2-3 = 2 3 ; 2 7 ; 2 11 ; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 8 D 2-4 = 2 4 ; 2 8 ; 2 12 ; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 6 Những số có nhiều chữ số như 12 n ; 22 n ; 32 n ; đều áp dụng như trên. Cách tìm: Ta chia số mũ của lũy thừa cho 4 Nếu số dư là 1 thì thuộc D 2-1 . nên có chữ số tận cùng là 2 Nếu số dư là 2 thì thuộc D 2-2 . Nên có chữ số tận cùng là 4 Nếu số dư là 3 thì thuộc D 2-3 . Nên có chữ số tận cùng là 8 Nếu số dư là 0 thì thuộc D 2-4 . Nên có chữ số tận cùng là 6 PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6 Ví dụ1: Tìm chữ số tận cùng của A = 2 65 ; B = 2 2003 Giải: 1. Vì 2 65 ∈ 2 n nên khi ta chia số mũ 65 cho 4 ta được số dư là 1 ∈ D 2-1 Vậy số 2 65 có chữ số tận cùng là 2 Hay A có chữ số tận cùng là 2 2. Vì 2 2003 ∈ 2 n Nên khi ta chia số mũ 2003 cho 4 ta được số dư là 3 ∈ D 2-3 Vậy B có chữ số tận cùng là 8. Ví dụ 2: Tìm chữ số tận cùng của số: 32 44 ; 1092 14 ; 352 1001 ; 122 8051 . Giải: 1. Vì 32 = 30 + 2 nên muốn tìm chữ số tận cùng của 32 44 ta chỉ việc tìm chữ số tận cùng của 2 44 là thỏa mãn ( do những số chẳn chục khi lũy thừa n lên luôn có chữ số tận cùng bằng 0 ). Do đó khi ta chia 44 cho 4 thì dư bằng 0, mà số dư vừa tìm được lại thuộc D 2-4. Vậy Số 32 44 có chữ số tận cùng là 6. 2. Vì 1092 = 1090 + 2. cách tìm tương tự như bài toán trên. Muốn tìm chữ số tận cùng của số 1092 14 ta đi tìm chữ số tận cùng của 2 14 Do 14 chia cho 4 còn dư là 2, mà số dư này thuộc vào D 2-2 nên có chữ số tận cùng 4. Vậy số 1092 14 có chữ số tận cùng là 4. 3. Vì số 352 có chữ số tận cùng bằng 2. Nên 352 1001 và 2 1001 có chữ số tận cùng giống nhau. Cách tìm: ta tìm số dư của phép chia 1001 cho 4, ta được số dư là 1. Ứng với số dư này ta có chữ số tận cùng là 2. Vậy: 352 1001 có chữ số tận cùng là 2. 4. Ta thấy số 122 có chữ số tận cùng là 2. nên 122 8051 và 2 8051 có chữ số tận cùng bằng nhau. Trang: 4 . D 2-1 = 2 1 ; 2 5 ; 2 9 ; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 2 D 2-2 = 2 2 ; 2 6 ; 2 10 ;… Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 4 D 2-3 = 2 3 ; 2 7 ; 2 11 ; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 8 D 2-4 = 2 4 ; 2 8 ; 2 12 ; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 6 Những số có nhiều chữ số như 12 n ; 22 n ; 32 n ; đều áp dụng như trên. Cách tìm: Ta chia số mũ của lũy thừa cho 4 Nếu số dư là 1 thì thuộc D 2-1 . nên có chữ số tận cùng là 2 Nếu số dư là 2 thì thuộc D 2-2 . Nên có chữ số tận cùng là 4 Nếu số dư là 3 thì thuộc D 2-3 . Nên có chữ số tận cùng là 8 Nếu số dư là 0 thì thuộc D 2-4 . Nên có chữ số tận cùng là 6 PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6 Dựa vào cách tìm ta có số dư của phép chia 8051 cho 4 là 3. Mà ứng với số dư 3 ta có chữ số tận cùng là 8. Vậy: 122 8051 có chữ số tận cùng là 8. Ta có nhận xét trường hợp khi a = 3 Trong dãy các lũy thừa 3 1 , 3 2 , 3 3 , . . . 3 n luôn tồn tại bốn dãy lũy thừa. Mà mỗi lũy thừa ở cùng một dãy có chữ số tận cùng bằng nhau. Ta ký hiệu: D 3-1 là tập hợp các lũy thừa có dạng 3 1 ; 3 5 ; 3 9 ; … và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy này có chữ số tận cùng là 3. D 3-2 là tập hợp các lũy thừa có dạng 3 2 ; 3 6 ; 3 10 ;… và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy này có chữ số tận cùng là 9. D 3-3 là tập hợp các lũy thừa có dạng 3 3 ; 3 7 ; 3 11 ; … và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy này có chữ số tận cùng là 7. D 3-4 là tập hợp các lũy thừa có dạng 3 4 ; 3 8 ; 3 12 ; …và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy này có chữ số tận cùng là 1. Vấn đề trình bày như đã nêu trên cho thấy giá trị của các lũy thừa của dãy D 3 = 3 1 , 3 2 , 3 3 , . . . 3 n có chữ số tận cùng được lập lại theo thứ tự mà số mũ ở mỗi dãy là một cấp số cộng có hiệu ( số lớn trừ số nhỏ ) là 4. Ta có bảng tóm tắt của các dãy và phương pháp tìm chữ số tận cùng của dãy D 3 = 3 1 , 3 2 , 3 3 , . . . 3 n như sau: Trang: 5 . D 3-1 = 3 1 ; 3 5 ; 3 9 ; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 3 D 3-2 = 3 2 ; 3 6 ; 3 10 ;… Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 9 D 3-3 = 3 3 ; 3 7 ; 3 11 ; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 7 D 3-4 = 3 4 ; 3 8 ; 3 12 ; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 1 Những số có nhiều chữ số như 13 n ; 23 n ; 33 n ; đều áp dụng như trên. Cách tìm: Ta chia số mũ của lũy thừa cho 4 Nếu số dư là 1 thì thuộc D 3-1 . nên có chữ số tận cùng là 3 Nếu số dư là 2 thì thuộc D 3-2 . Nên có chữ số tận cùng là 9 Nếu số dư là 3 thì thuộc D 3-3 . Nên có chữ số tận cùng là 7 Nếu số dư là 0 thì thuộc D 3-4 . Nên có chữ số tận cùng là 1 PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6 Ví dụ: Tìm chữ số tận cùng của: 3 999 ; 43 126 ; 2153 5717 . Giải: * Ta chia số mũ 999 cho 4 ta được số dư là 3, do số dư này thuộc D 3-3. Nên chữ số tận cùng của số 3 999 là: 7. * Vì 43 = 40 + 3, nên chữ số tận cùng của số 43 126 lại bằng chữ số tận cùng của số 3 126 . Dựa vào cách tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa với cơ số 3 ( 126 : 4 = 31 dư 2 ), mà số dư thuộc D 3-2. Vậy: Số 43 126 có chữ số tận cùng là 9. * Ta thấy: số 2153 có chữ số tận cùng là 3, nên số 2153 5717 và số 3 5717 có chữ số tận cùng bằng nhau. Do đó ta có cách tìm chữ số tận cùng như sau: Ta chia số mũ 5717 cho 4 ta được số dư là 1, ứng với số dư này ta có chữ số tận cùng là 3. Vậy: 2153 5717 có chữ số tận cùng là 3 Ta có nhận xét trường hợp khi a = 4 Trong dãy các lũy thừa 4 1 , 4 2 , 4 3 , . . . 4 n luôn tồn tại hai dãy lũy thừa. Mà mỗi lũy thừa ở cùng một dãy có chữ số tận cùng bằng nhau. Ta ký hiệu: D 4-1 là tập hợp các lũy thừa có dạng 4 1 ; 4 3 ; 4 5 ; … và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy này có chữ số tận cùng là 4. D 4-2 là tập hợp các lũy thừa có dạng 4 2 ; 4 4 ; 4 6 ;… và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy này có chữ số tận cùng là 6. Trang: 6 . D 3-1 = 3 1 ; 3 5 ; 3 9 ; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 3 D 3-2 = 3 2 ; 3 6 ; 3 10 ;… Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 9 D 3-3 = 3 3 ; 3 7 ; 3 11 ; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 7 D 3-4 = 3 4 ; 3 8 ; 3 12 ; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 1 Những số có nhiều chữ số như 13 n ; 23 n ; 33 n ; đều áp dụng như trên. Cách tìm: Ta chia số mũ của lũy thừa cho 4 Nếu số dư là 1 thì thuộc D 3-1 . nên có chữ số tận cùng là 3 Nếu số dư là 2 thì thuộc D 3-2 . Nên có chữ số tận cùng là 9 Nếu số dư là 3 thì thuộc D 3-3 . Nên có chữ số tận cùng là 7 Nếu số dư là 0 thì thuộc D 3-4 . Nên có chữ số tận cùng là 1 PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6 Vấn đề trình bày như đã nêu trên cho thấy giá trị của các lũy thừa của dãy D 4 = 4 1 , 4 2 , 4 3 , . . . 4 n có chữ số tận cùng được lập lại theo thứ tự mà số mũ ở mỗi dãy là một cấp số cộng có hiệu ( số lớn trừ số nhỏ ) là 2. Điều này cho thấy D 4 chỉ tồn tại hai dãy lũy thừa, đó là dãy lũy thừa với số mũ lẽ và dãy lũy thừa với số mũ chẳn Ta có bảng tóm tắt của các dãy và phương pháp tìm chữ số tận cùng của dãy D 4 = 4 1 , 4 2 , 4 3 , . . . 4 n như sau: Ví dụ: Tìm chữ số tận cùng của 4 18 , 4 87 , 1894 2n Giải: Do Lũy thừa với cơ số 4 cho ta các chữ số tận cùng hoặc 4 hoặc 6. Nếu số mũ lẻ thì có chữ số tận cùng là 4; còn số mũ chẳn thì cóa chữ số tận cùng là 6. Vậy: * Số 4 18 có chữ số tận cùng là 6 ( vì số mũ là chẳn ) * Số 4 87 có chữ số tận cùng là 4 ( vì số mũ là lẻ ) Trang: 7 . D 4-1 = 4 1 ; 4 3 ; 4 3 ; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 4 D 4-2 = 4 2 ; 4 4 ; 4 6 ;… Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 6 Những số có nhiều chữ số như 14 n ; 24 n ; 34 n ; đều áp dụng như trên. Cách tìm: Ta chia số mũ của lũy thừa cho 2 Nếu số dư là 1 thì thuộc D 4-1 . nên có chữ số tận cùng là 4 Nếu số dư là 2 thì thuộc D 4-2 . Nên có chữ số tận cùng là 6 Hoặc cũng có thể xác định chữ số tận cùng bằng nhận xét trên số mũ; Nếu số mũ của lũy thừa mà chẳn thì chữ số tận cùng của số đó là 6, còn nếu số mũ của lũy thừa là số lẻ thì chữ số tận cùng của số đó là 4. PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6 * Số 1894 2n = ( 1890 + 4 ) 2n 4 2n có chữ số tận cùng là 6 ( do 2n là số mũ chẳn ). Vậy: số 1894 2n có chữ số tận cùng là 6. Ta có nhận xét trường hợp khi a = 5 Khi a = 5 thì 5 n ( Với n ∈ N * ) luôn luôn có chữ số tận cùng bằng 5. Ví dụ: 1. 5 3 có chữ số tận cùng bằng 5 2. 5 100 có chữ số rận cùng bằng 5 Ta có nhận xét trường hợp khi a = 6 Khi a = 6 Thì 6 n ( Với n ∈ N * ) luôn luôn có chữ số tận cùng bằng 6. Ví dụ: 1. 6 1 = 6; 2. 6 2 = 36; 3. 6 3 = 216; 4. 6 4 = 1296 5. 6 n = 6 Ta có nhận xét trường hợp khi a = 7 Trong dãy các lũy thừa 7 1 , 7 2 , 7 3 , . . . 7 n luôn tồn tại bốn dãy lũy thừa. Mà mỗi lũy thừa ở cùng một dãy có chữ số tận cùng bằng nhau. Ta ký hiệu: D 7-1 là tập hợp các lũy thừa có dạng 7 1 ; 7 5 ; 7 9 ; … và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy này có chữ số tận cùng là 7. D 7-2 là tập hợp các lũy thừa có dạng 7 2 ; 7 6 ; 7 10 ;… và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy này có chữ số tận cùng là 9. D 7-3 là tập hợp các lũy thừa có dạng 7 3 ; 7 7 ; 7 11 ; … và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy này có chữ số tận cùng là 3. Trang: 8 . PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6 D 7-4 là tập hợp các lũy thừa có dạng 7 4 ; 7 8 ; 7 12 ; …và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy này có chữ số tận cùng là 1. Vấn đề trình bày như đã nêu trên cho thấy giá trị của các lũy thừa của dãy D 7 = 7 1 , 7 2 , 7 3 , . . . 7 n có chữ số tận cùng được lập lại theo thứ tự mà số mũ ở mỗi dãy là một cấp số cộng có hiệu ( số lớn trừ số nhỏ ) là 4. Ta có bảng tóm tắt của các dãy và phương pháp tìm chữ số tận cùng của dãy D 7 = 7 1 , 7 2 , 7 3 , . . . 7 n như sau: Ví dụ: Tìm chữ số tận cùng của 7 1234 ; 7 2009 ; 87 55 ? Giải: 1. Ta chia số mũ 1234 cho 4 ta được số dư bằng 2. số dư này thuộc dãy D 7- 2. Nên số 7 1234 có chữ số tận cùng là 9. 2. Tương tự: khi ta chia số mũ 2009 cho 4 ta được số dư bằng 1, số dư này thuộc dãy D 7-1 . Nên số 7 2009 có chữ số tận cùng là 7. Trang: 9 . D 7-1 = 7 1 ; 7 5 ; 7 9 ; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 7 D 7-2 = 7 2 ; 7 6 ; 7 10 ;… Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 9 D 7-3 = 7 3 ; 7 7 ; 7 11 ; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 3 D 7-4 = 7 4 ; 7 8 ; 7 12 ; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 1 Những số có nhiều chữ số như 17 n ; 27 n ; 37 n ; đều áp dụng như trên. Cách tìm: Ta chia số mũ của lũy thừa cho 4 Nếu số dư là 1 thì thuộc D 7-1 . nên có chữ số tận cùng là 7 Nếu số dư là 2 thì thuộc D 7-2 . Nên có chữ số tận cùng là 9 Nếu số dư là 3 thì thuộc D 7-3 . Nên có chữ số tận cùng là 3 Nếu số dư là 0 thì thuộc D 7-4 . Nên có chữ số tận cùng là 1 PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6 3. Vì 87 = 80 + 7. Do đó việc tìm chữ số tận cùng của 87 55 ta chỉ việc tìm chữ số tận cùng của số 7 55 . Cách tìm ta chia số mũ 55 cho 4, phép chia này có số dư là 3, số dư này thuộc D 7-3 . Nên 7 55 có chữ số tận cùng là 3. Vậy số 87 55 có số tận cùng là 3. Ta có nhận xét trường hợp khi a = 8 Trong dãy các lũy thừa 8 1 , 8 2 , 8 3 , . . . 8 n luôn tồn tại bốn dãy lũy thừa. Mà mỗi lũy thừa ở cùng một dãy có chữ số tận cùng bằng nhau. Ta ký hiệu: D 8-1 là tập hợp các lũy thừa có dạng 8 1 ; 8 5 ; 8 9 ; … và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy này có chữ số tận cùng là 8. D 8-2 là tập hợp các lũy thừa có dạng 8 2 ; 8 6 ; 8 10 ;… và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy này có chữ số tận cùng là 4. D 8-3 là tập hợp các lũy thừa có dạng 8 3 ; 8 7 ; 8 11 ; … và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy này có chữ số tận cùng là 2. D 8-4 là tập hợp các lũy thừa có dạng 8 4 ; 8 8 ; 8 12 ; …và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy này có chữ số tận cùng là 6. Vấn đề trình bày như đã nêu trên cho thấy giá trị của các lũy thừa của dãy D 8 = 8 1 , 8 2 , 8 3 , . . . 8 n có chữ số tận cùng được lập lại theo thứ tự mà số mũ ở mỗi dãy là một cấp số cộng có hiệu ( số lớn trừ số nhỏ ) là 4. Ta có bảng tóm tắt của các dãy và phương pháp tìm chữ số tận cùng của dãy D 8 = 8 1 , 8 2 , 8 3 , . . . 8 n như sau: Trang: 10 . D 8-1 = 8 1 ; 8 5 ; 8 9 ; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 8 D 8-2 = 8 2 ; 8 6 ; 8 10 ;… Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 4 D 8-3 = 8 3 ; 8 7 ; 8 11 ; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 2 D 8-4 = 8 4 ; 8 8 ; 8 12 ; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 6 Những số có nhiều chữ số như 18 n ; 28 n ; 38 n ; đều áp dụng như trên. Cách tìm: Ta chia số mũ của lũy thừa cho 4 Nếu số dư là 1 thì thuộc D 8-1 . nên có chữ số tận cùng là 8 Nếu số dư là 2 thì thuộc D 8-2 . Nên có chữ số tận cùng là 4 Nếu số dư là 3 thì thuộc D 8-3 . Nên có chữ số tận cùng là 2 Nếu số dư là 0 thì thuộc D 8-4 . Nên có chữ số tận cùng là 6 [...]...Nếu số dư là 0 thì thuộc D8-4 Nên có chữ số tận cùng là 6 PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6 Ví dụ: Tìm chữ số tận cùng của các số sau 87 ; 850 ; 81101 ; 518400 Giải: * Tìm chữ số tận cùng của số 87 Ta có: 7 chia 4 dư 3; Số dư này thuộc dãy D8-3 Nên số 87 có chữ số tận cùng là 2 * Tìm chữ số tận cùng của số. .. cùng là 2 Cách 2: 34 B=2 = 281 = (25) 16. 2 = (30+2) 16. 2 = ( m6 ).2 = 10t+2 Trang: 13 PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6 34 Vậy: B = 2 có chữ số tận cùng là 2 Bài 3: Tìm chữ số tận cùng của số 62 002; 71999; 18177 Giải: * Theo phương pháp (H) Ta có: 6n luôn có chữ số tận cùng bằng 6 Nên: số 62 002 có chữ số tận. .. chữ số tận cùng là 76 Bài 7: Tìm hai chữ số tận cùng của 262 088 Giải: Ta có: 264 có hai chữ số tận cùng là 76 Suy ra: 262 088 = (244)522 = ( 76 )522 = . 76 ( vì số có hai chữ số tận cùng là 76 khi ta lũy thừa bất kỳ với số mũ khác 0 nào thì luôn có hai chữ số tận cùng là 76 ) Vậy: 262 088 có hai chữ số tận cùng là 76 Bài 8: Tìm hai chữ số tận cùng của 71991 Trang: 18 PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA... 0 thuộc D8-4 Do đó số 8400 có chữ số tận cùng là 6, hay số 518400 có chữ số tận cùng là 6 Ta có nhận xét trường hợp khi a = 9 Trang: 11 PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6 Trong dãy các lũy thừa 91, 92, 93, 9n luôn tồn tại hai dãy lũy thừa Mà mỗi lũy thừa ở cùng một dãy có chữ số tận cùng bằng nhau Ta ký... nâng lên lũy thừa với số mũ lớn hơn 0 thì luôn luôn có chữ số tận cùng bằng 0 Trang: 12 PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6 2 Những số dạng: 1; 11; 21; 31; ……khi nâng lên lũy thừa với số mũ bất kỳ thì luôn luôn có chữ số tận cùng bằng 1 3 Các số có chữ số tận cùng là 0;1;5 ;6 khi nâng lên lũy thừa với số mũ khác... số tận cùng là 76 và 68 2 = 462 4 số có hai chữ số tận cùng là 24 Ta lại có: 68 194 = ( 68 4)48 68 2 = (n 76) 48 462 4 = k 76 462 4 = t24 Vậy: 68 194 có hai chữ số tận cùng là 24 Phần 3: Một số dạng toán về lũy thừa trong chương trình toán 6 B- NỘI DUNG: I- Lý thuyết: Dựa vào một số kiến thức sau: 1) Định nghĩa về lũy thừa 2) các phép tính về lũy thừa 3) Chữ số tận cùng của một lũy thừa 4) Khi nào thì hai lũy thừa. .. 199719 96 ≡ 1 (mod 10) Vậy: 199719 96 có chữ số tận cùng là 1 PHƯƠNG PHÁP TÌM HAI CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN Phương pháp 1: Nếu x ∈ N và x = 100 + y; trong đó k,y ∈ N thì hai chữ số tận cùng của x cũng chính là hai chữ số tận cùng của y Hiển nhiên là y ≤ x Như vậy để đơn giản hơn việc tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x thì thay vào đó ta đi tìm hai chữ số tận cùng của hai số tự nhiên y... hai chữ số tận cùng là 76, vì 21000 4 Suy ra: 2999 có hai chữ số tận cùng là 88 Bài 2: Tìm hai chữ số tận cùng của số 78 966 Giải: Ta có: 74 có hai chữ số tận cùng là 01 Suy ra: 78 966 = (74)2241.72 = (a01)2241 49 = c01 49 = n49 ( Với a,c,n ∈ N) Vậy: 78 966 có hai chữ số tận cùng là 49 Bài 3: Tìm hai chữ số tận cùng của 247 561 Trang: 17 PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY... 10) suy ra 19911997 ≡ 1 (mod 10) Vậy: 19911997 có chữ số tận cùng là 1 *) Ta có: 62 = 36 ≡ 6 (mod 10) suy ra 6n ≡ 6 (mod 10) Với N là số tự nhiên khác 0 Suy ra: 61 95 ≡ 6 (mod 10) Trang: 15 PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6 Vậy chữ số tận cùng của số 61 95 là 6 *) Ta có: 1997 ≡ 7 (mod 10) ⇒ 19972 ≡ 49 ≡ 9 (mod... chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số tận cùng của Tiếp theo ta tìm chữ số tận cùng của aq Trường hợp 2: Nếu a lẻ, gọi n là số tự nhiên sao cho an-1 100 Viết m = un + v ( u,v ∈ N, 0 ≤ v < n ) Ta có: X = am = av ( aun-1 ) + av Trang: 16 PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6 Vì: an-1 100 Vậy hai chữ . xét trường hợp khi a = 6 Khi a = 6 Thì 6 n ( Với n ∈ N * ) luôn luôn có chữ số tận cùng bằng 6. Ví dụ: 1. 6 1 = 6; 2. 6 2 = 36; 3. 6 3 = 2 16; 4. 6 4 = 12 96 5. 6 n = 6 Ta có nhận xét trường. của 68 194 . Giải: Ta có: 68 4 = 213813 76. số có hai chữ số tận cùng là 76 và 68 2 = 462 4 số có hai chữ số tận cùng là 24. Ta lại có: 68 194 = ( 68 4 ) 48 . 68 2 = (n 76) 48 . 462 4 = k 76. 462 4. = 76. Suy ra: 2 1000 = ( 76) 50 = 76. Vậy : 2 1000 có hai chữ số tận cùng là 76. Bài 7: Tìm hai chữ số tận cùng của 26 2088 . Giải: Ta có: 26 4 có hai chữ số tận cùng là 76. Suy ra: 26 2088