SKKN một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình toán THCS

Toán học là một môn khoa học rất cần sự logic và phân tích giỏi, nó có ứng dụng rất rộng rãi trong đời sống xã hội. Toán học giúp cho người học tính toán nhanh, tư duy tốt, tính chính xác cao – lôgic hợp lí, tính khoa học. Dạy toán học nhằm trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức khoa học phổ thông cơ bản tạo điều kiện cho các em được hình thành và phát triển các phẩm chất, năng lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho các em hệ thống tri thức đảm bảo đủ để nghiên cứu và khám phá thế giới xung quanh, góp phần cải tạo thế giới, cải tạo thiên nhiên mang lại cuộc sống ấm no hạnh phúc cho mọi người.

Toán học là một môn khoa học rất cần sự logic và phân tích giỏi, nó cóứng dụng rất rộng rãi trong đời sống xã hội Toán học giúp cho người học tínhtoán nhanh, tư duy tốt, tính chính xác cao – lôgic hợp lí, tính khoa học Dạytoán học nhằm trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức khoa học phổ thông

cơ bản tạo điều kiện cho các em được hình thành và phát triển các phẩm chất,năng lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho các em hệ thống tri thức đảm bảo đủ

để nghiên cứu và khám phá thế giới xung quanh, góp phần cải tạo thế giới, cảitạo thiên nhiên mang lại cuộc sống ấm no hạnh phúc cho mọi người

Trong chương trình toán bậc trung học cơ sở, hai chủ đề lớn của mônđại số là "Số" và "Hàm số" Khái niệm "Hàm số" xuyên suốt chương trìnhmôn đại số ở phổ thông, bắt đầu từ lớp 7 và nó là kiến thức trọng tâm củamôn đại số Với các khái niệm hàm bậc nhất, bậc hai và các dạng đồ thị tươngứng, phần hàm số được phân lượng thời gian không nhiều Tuy vậy bài tập vềhàm số thì thật là nhiều dạng và không thể thiếu trong các kỳ kiểm tra, kỳ thi.Khái niệm hàm số là khái niệm trừu tượng mà thời gian luyện tập lại khôngnhiều, nên kết quả của học sinh không cao

Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở bậc THCS và tìm hiểu tâm lý củađối tượng học sinh tôi thấy các bài tập về đồ thị và hàm số học sinh còn rất

lúng túng chính vì vậy tôi đã quyết định tiến hành nghiên cứu: " Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số".

2 Mục đích nghiên cứu:

Trong đề tài này tôi cố gắng làm sáng tỏ khái niệm hàm số, đồ thị và đưa

ra một số dạng bài tập về hàm số và các bài tập có liên quan

Bằng cách sắp xếp các dạng toán, phương pháp truyền thụ phù hợp vớiđối tượng học sinh, phát huy tính tích cực của học sinh, chú ý sửa sai cho các em, tôi đã giúp học sinh hiểu đây là phần bài tập có thuật giải rõ ràng, chính xác,

có nhiều nội dung ứng dụng phong phú Hàm số còn được coi là công cụ giảiquyết một số bài toán khác như tìm cực trị, giải phương trình, giải bất phươngtrình

3 Nhiệm vụ nghiên cứu:

Thông qua quá trình giảng dạy thực tiễn, hỏi han ý kiến của các đồngnghiệm đi trước có nhiều kinh nghiệm, tiếp xúc và trò chuyện với học sinh,trực tiếp đánh giá sự tiếp thu kiến thức của học sinh; tôi nhận thấy rằng đa sốcác em còn sử dụng kiến thức về hàm số trong việc giải các bài tập có liênquan còn máy móc, chưa linh hoạt; nhiều em chưa hiểu kĩ được kiến thức cơbản của mảng kiến thức về hàm số Chính vì vậy, việc áp dụng cũng như khaithác sâu kiến thức về hàm số và đồ thị hàm số để giải các bài toán tìm cực trị,giải phương trình, bất phương trình của học sinh còn gặp nhiều khó khăn – vàđây cũng là một vấn đề – môt nhiệm vụ mà tôi mạnh dạn tìm hiểu, đi sâu đểcuối cùng đưa ra một chuyên đề thực sự hữu ích cho các đồng nghiệp và các

em học sinh tham khảo Trong quá trình nghiên cứu và viết đề tài, tôi còn gặpnhiều thiếu sót mong các thầy cô góp ý để đề tài này ngày càng hoàn thiện vàđầy đủ hơn

4 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu:

- Đối tượng nghiên cứu: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trongchương trình toán THCS (lớp 7 và 9)

toán THCS

- Phạm vi nghiên cứu: Đi sâu việc vận dụng kiến thức về hàm số để giải một

số dạng toán: tìm tập xác định, tìm giá trị của hàm số; xác định công thức củahàm số;

5 Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp quan sát sư phạm: quan sát học sinh khi cho các em làm bàitập, khi xét khả năng thực lực của các em đến đâu, các em trao đổi như thếnào? trao đổi những gì?

- Phương pháp dạy thực nghiệm: giảng dạy trực tiếp trên lớp để thấy đượcnhững vướng mắc của học sinh khi giải một số dạng toán về hàm số

- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Trực tiếp gặp gỡ và trò chuyện với cácgiáo viên dạy trực tiếp hoặc các giáo viên có nhiều kinh nghiệm

- Phương pháp nghiên cứu sản phẩm hoạt động của học sinh: Vở bài tập vàbài kiểm tra của học sinh

- Phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm giáo dục

PHẦN II

NỘI DUNG ĐỀ TÀI

CHƯƠNG I: LÝ THUYẾT CƠ BẢN

Để làm tốt các bài tập về hàm số và đồ thị trước hết chúng ta và học sinh cần nắm vững khái niệm hàm số

b Các loại ánh xạ:

* Đơn ánh

Ánh xạ: f: X Y

x  y = f(x)Ánh xạ f là đơn ánh  x1, x2X: x1 x2 thì f(x1) f(x2)

Hoặc f là toàn ánh  phương trình f(x) = y luôn có nghiệm với mỗi y Y cho trước

2 Hàm số:

Một hàm số f đi từ tập hợp số X đến tập hợp số Y là một quy tắc cho tương ứng mỗi giá trị x  X một và chỉ một giá trị y Y mà kí hiệu là y = f(x)

Người ta viết: f: X Y

x  y = f(x)

X là tập xác định, x X là biến số, y = f(x) là giá trị của hàm số f tại x.Trong chương trình sách giáo khoa mới (2001) định nghĩa khái niệm hàm số ở toán 7 đã nêu rõ những thuộc tính này: " Giả sử x và y là hai đại lượng biến thiên và nhận các giá trị số Nếu thay đổi phụ thuộc vào x sao cho:Với mỗi giá trị của x ta xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x gọi là biến số"

* Chú ý: Như vậy hàm số dù được định nghĩa bằng cách nào cũng đều

có thuộc tính bản chất:

+ X và Y là hai tập hợp số

+ Sự tương ứng: ứng với mỗi số x  X đều xác định duy nhất một số y Y

+ Biến thiên: x và y là các đại lượng nhận giá trị biến đổi

+ Phụ thuộc: x là đại lượng biến thiên độc lập còn y là đại lượng biến thiên phụ thuộc

b Đồ thị hàm số: (Dựa trên khái niệm tập hợp)

+ Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm của mặt phẳng toạ độ

có toạ độ (x; f(x)) với x  X

+ Chú ý:

- Mỗi hàm số có một đồ thị xác định duy nhất và ngược lại

- Điểm M(xM; yM)  đồ thị hàm số y = f(x)  yM= f(xM)

c Cách cho một hàm số:

Với định nghĩa hàm số, đồ thị hàm số ta thấy một hàm số có thể cho bởi các cách:

+ Cách 1: Cho quy tắc tương ứng thể hiện bởi công thức y = f(x)

+ Cách 2: Cho quan hệ tương ứng thể hiện bởi bảng giá trị

- Nếu f(x) có dạng căn thức thì hàm số có tập xác định: {x  R/ biểu thức trong căn 0}

toán THCS

* Ví dụ 2: Tìm miền giá trị của hàm số y = x 6  7  x

Giải

x x

x

x 6  7    6  7  =1 hay y 1Vậy miền giá trị của hàm số y = x 6  7  x với x R là y  R, y 

1

* Ví dụ 3: Tìm miền giá trị của hàm số y = x2- 2x + 3 với x [2; 3]

Giải:

Hàm số y = x2+ 2x + 3 có a = 1 > 0 nên đồng biến với x 1

Vậy với x [2; 3] ta có y(2)  y(3)  3  y  6

Vậy miền giá trị của hàm số y = x2 + 2x + 3 với x [2; 3] là [3; 6]

*Ví dụ 4: Tìm miền giá trị của hàm số y = x2- 4 x + 3

x 2 2

Giả sử y là một giá trị của hàm số  phương trình

2 x x

x 2 2

Vậy giá trị của hàm số là 1< y 

7 23

x 2 2

4 2





Khi đó học sinh hay chọn cách giải: nên y Z  x2 + x + 2 nhận giá trị

là ước nguyên của 4

Sai lầm trong lời giải ở chỗ x  R nên x2 + x + 2 có thể nhận giá trị không nguyên Vì vậy lời giải trên làm mất nghiệm của bài toán

+ Cách giải từ việc có miền giá trị 1< y 

7

23

ta chỉ ra y  Z  y = 2 hoặc y = 3

Giải phương trình

2 x x

x 2 2

x 2 2

m x

f

) ( ) (

với x  D thì f(x) = g(x)  





m x

g

m x

f

) ( ) (

(2)Nếu x0  D thoả mãn (2) thì x0 là nghiệm của phương trình (1)

Ví dụ 1: Giải phương trình 6x – x2 – 2= x 1  x 2  2x 3  4x 13 (1)+Tập xác định: R

x x x

Vậy phương trình (3)  





 28 28 VT

4 9

Kết luận nghiệm của phương trình là x =

4 9

a a

b b

a

8

2

2 2 2

Bài 3: Gọi x, y là nghiệm của hệ phương trình 

2 2 2

a y x

1 1

ax

y b ax

y b

giải hệ phương trình ta có a, bKết luận công thức hàm số

* Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị là đường thẳng d đi qua điểm A(1;1) và điểm B(-1;2)

Giải:

b a b

Vì d song song với d' nên a = 2 do đó: b =

+ y1 +

1

a 1

x1

Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị đi qua điểm A(1;1) và vuông

góc với đường thẳng d có phương trình y =  x23

2 1

Vì d tiếp xúc với Parabol (P): y = a'x2 + b'x + c' nên phương trình hoành độ

giao điểm: ax + b = a'x2 + b'x + c' có nghiệm kép

 a'x2 + (b' – a)x + c' – b = 0 có nghiệm kép

 =(b' - a)2- 4a'(c' – b) = 0 (2)Giải hai hệ phương trình (1) và (2) để tìm a và b Kết luận công thức hàm số

Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị là đường thẳng d đi qua điểm

A(-1;2) và tiếp xúc với Parabol

Lời giải: vì (d) đi qua điểm A(-1;2) d nên: –a + b = 2 (1)

Vì (d) tiếp xúc với Parabol (P): y = x2 + 1 nên phương trình hoành độ giao điểm: ax + b = x2 + 1 có nghiệm kép

2 a a a b

2

2

a a b

 





 2 0

a b

Vậy hàm số cần tìm là y = -2x

Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c có đồ thị là Parabol (P) đi

qua 3 điểm phân biệt A(-1; 0), B(0; 3), C(1; 0)

0

c b a c

c b a

c b

Kết luận công thức hàm số

Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c có đồ thị là Parabol (P)

đi qua điểm A(-1; 2) và có đỉnh là D(1; 2)

Giải:

Vì A(-1;2) (P) nên a + b + c = 2 (1)

Vì (P) có toạ độ đỉnh D(1;-2) nên  1

2a

b -

(2)

2 4

2 4

a b c b a

b ac a

4 0 2

2

2 ac a b

b a

c b a

Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y =ax 2 + bx + c có đồ thị là Parabol

(P) nhận D(1; 1) là đỉnh và tiếp xúc với đường thẳng d: y = 2x – 2.

Giải:

Vì (P) có toạ độ đỉnh D(1;1) nên  1

2a

b -

4a -

(2)

b

Vậy hàm số cần tìm có công thức y = x2 - 2x + 2

3 Bài tập:

Bài 1: Cho đường thẳng d có phương trình y = -2x – 1

a Viết phương trình đường thẳng song song với d và đi qua gốc toạ độ

b Viết phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng d và đi qua điểm N(-1;5)

Bài 2: Xác định a,b,c để Parabol (P): y = ax2 + bx + c đi qua O(0; 0) và có đỉnh là D(1;-1)

Bài 3: Cho Parabol (P): Y = ax2 + bx + 1 (a 

2

1

)

a Xác định a, b để đỉnh Parabol(P) nằm trên đường thẳng d: y = 2x + 1

b Với a, b vừa tìm được vẽ Parabol(P) và đường thẳng d trên cùng một mặtphẳng toạ độ

4 Xác định công thức hàm số khi biết phương trình hàm

Ví dụ 1: Tìm f(x) của hàm số biết f(1+1

x) = x2 – 1 và f(0) = 0

Thay vào công thức ban đầu ta có f(t) = (

1 - t

1

)2 – 1  f(t) = 2

1) - (t

t) - t(2

Vì tương ứng hàm số không phụ thuộc vào kí hiệu nên coi f(x) = 2

1) - (x

x) - x(2

+Với x = 0 thay vào công thức vừa tìm được ta có f(0) = 0

Vậy hàm số cần tìm là f(x) = 2

1) - (x

x) - x(2

Ví dụ 2: Tìm biểu thức f(x) của hàm số biết: f(x) + 2f(1

1 f x 1 x 1

1 2f x

1 f

1 ) (

x

f

x x f

2 1

2 4

1 2 ) (

x x

f x f

x x f x f

4 3

2 ) (

x

x x

8x - 4

2 = 4 ( 2 4)



 x x

2

5x - 4 - 10x

và f(2) = -1Bài 2: Xác định biểu thức f(x) và g(x) biết

-1 0 1 2 3 4 x -1 (Hình e1)

y 2

x g x x f

x x

g x

f

1 2

2 1 2 2 ) 1 2 (

g x x

f

x x

g x

f

2

2 2 3 2 1

3 1 6 ) 1 3 (

DẠNG 4: ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1 Nhắc lại về đồ thị hàm số:

a Định nghĩa: Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng

toạ độ có toạ độ (x; f(x) ) với x  TXĐ

- Vẽ đường thẳng đi qua A và B

b

4

; 2

+ Trục đối xứng: x =

2a

b



+ Bề lõm quay lên trên khi a > 0; Bề lõm quay xuống dưới khi a < 0

Chẳng hạn: y = x =





 0 x víi x -

0 x víi x

Đồ thị hàm số thuộc hai tia phân giác

2

v íi 2

2 x

1

v íi 1

1 x

0

ví i 0

0 x

1 -

ví i 1

1 0 1 2 3 4 x -1

3 2 1

f Nhận xét:

* Đồ thị hàm số y = f(x) và y = f(-x) đối xứng nhau qua trục tung

*Hàm số y = f( x ) có f(x) = f(-x) với mọi x nên có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng Vì vậy khi vẽ chỉ cần:

+ Vẽ đồ thị y = f(x) với x 0

+ Lấy đối xứng phần vừa vẽ qua trục tung

* y =x không phải là hàm số nên ta không yêu cầu học sinh vẽ đồ thị hàm số

mà chỉ cần vẽ đường biểu diễn mối quan hệ

Nhận xét: Đồ thị hàm số là Parabol(P) có đỉnh D(2; -1) đối xứng qua

đường thẳng x = 2, bề lõm quay lên trên

0 x víi x

y+ Bảng giá trị:

-1 0 1 x -1

Nhận xét: Điểm thấp nhất (cao nhất) trên đồ thị là điểm có tung độ nhỏ

nhất (lớn nhất), tại đó hàm số nhận giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) Vì vậy khi tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số ta có thể vẽ đồ thị hàm số rồi tìm điểm cao nhất (thấp nhất) của đồ thị

( 3 2x

-2) x

(1 1

2) ( x

3 2x

Đồ thị hàm số gồm các phần đường thẳng y = 2x – 3 (x > 2)

y = 2x + 3 (x < 1) và đoạn y = 1 (1 x 2)Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là Min y = 1 khi x = 1 hoặc x = 2

b Xác định a để đồ thị hàm số đi qua điểm B(1;6) Vẽ đồ thị của hàm

số với a vừa tìm được

Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ x0y vẽ tập hợp các điểm M(x;y) mà toạ độ

f(x) y

 Vậy vị trí tương đối giữa đồ thị hàm số y = f(x) và y=g(x) phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình 





 g(x) y

f(x) y

y

(1) f(x)

y

+ Phương trình hoành độ: f(x) = g(x) (3)

+ Số nghiệm của phương trình (3) quy định vị trí tương đối giữa đồ thị hàm

số y = f(x) và y=g(x), (f(x) và g(x) có bậc 2)

Hai đồ thị cắt nhau  phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt

Hai đồ thị tiếp xúc  phương trình (3) có nghiệm kép

Hai đồ thị không cắt nhau  phương trình (3) vô nghiệm

3 - 2m m

 



 1 m

3 m

 m = 3+ d cắt d1  m 2m – 3  m  3

+ Không có giá trị nào của m để d trùng với d1

b Tìm các giá trị của m để hai đường thẳng vuông góc Xác định toạ độ điểm chung cho từng trường hợp

Giải:

+ d vuông góc với d1  m(2m – 3) = -1

 2m2 – 3m + 1 = 0  m = 1 hoặc m =

2 1

+ Với m = 1 ta có d: y = x + 2 và d1: y = -x + 2 vuông góc với nhau

Toạ độ điểm chung của d và d1 là nghiệm của hệ 

2 x y

x + 1 và d1: y = -2x + 2 vuông góc với nhau

; 5 2

Ví dụ 2:

Biện luận theo m vị trí tương đối của đồ thị các hàm số y = x2 - 4x + m (P)

và y = 2x + 1 (d) Trong trường hợp tiếp xúc, tìm toạ độ điểm tiếp xúc

2x

y

(1) m 4x - x

y 2

Phương trình hoành độ: x2 - 4x + m = 2x + 1  x2 - 6x + m – 1 = 0 (3)+ (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt  phương trình (3) có hai nghiệm phânbiệt  = 9 – m + 1 > 0  m < 10

+ (P) tiếp xúc với (d)  phương trình (3) có nghiệm kép

 = 9 – m + 1 = 0  m = 10

Với m = 10 phương trình (3) trở thành x2 - 6x + 9 = 0  x = 3 thay vào (2)

ta có y = 7

Vậy với m = 10 thì (P) và (d) tiếp xúc với nhau tại điểm A(3;7)

+ (P) không giao nhau với (d)  phương trình (3) vô nghiệm

y

(1) 8

4x - x

y

2 2

+ Phương trình hoành độ: x2 – 4x – 8 = mx2 + (m + 2)x + 8

 (m – 1)x2 + (m + 6)x + 16 = 0 (3)+ (P) và (P') có không quá một điểm chung  phương trình (3) có không quá một nghiệm

- Xét m = 1, phương trình (3) có dạng: 7x + 16 = 0  x = -

7

16

là nghiệm duy nhất

Vậy với m = 1: (P) và (P' ) cắt nhau tai một điểm

- Xét m  1: (P) và (P' ) có không quá một điểm chung    0

 (m+6)2 – 64(m – 1)  0

 m2 – 52m + 100  0

 26 – 576 m  26 + 576 m 1Vậy (P) và (P' ) có không quá một điểm chung  26 - 576 m  26 +

+ Nên đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) có điểm chung (x0;y0)

Do đó nếu các đồ thị y = f(x) và y = g(x) trên cùng một mặt phẳng toạ độ thì số điểm chung của chúng đúng bằng số nghiệm của phương trình (1)

* Cách giải bài toán:

+ Biện luận số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (1) bằng phương pháp

đồ thị

+ Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (C) và y = g(x) (C' )

0 1 2 3 x

+ Theo đồ thị ta có:

m<1 phương trình (1) vô nghiệm

m=1 phương trình (1) có vô số nghiệm: 1 x 2

m>1 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 2: Với giá trị nào của a, phương trình sau có nghiệm duy nhất a

4 2

b a

x 2  x- k =  

2

1 -

x

-(1) 2k 1

4x x

-2 2

-2 -1 0 1 2 3 4 -1

toán THCS

y 5

Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một toạ độ

y = -x2+4x-1 là Parabol(P1) có giao với trục tung là (0;-1) nhận S(2; 3)

y=2k là đường thẳng song song với trục 0x

Khi đó phương trình (x-1)2=2 x  k có 4 nghiệm phân biệt  (d) cắt (P1) và

(P2) tại 4 điểm phân biệt  





 2 2

3 2

1

k k

3 2

1

k k

4 Bài tập:

Bài 1: Chứng minh rằng đồ thị các hàm số sau tiếp xúc với nhau Tìm

toạ độ tiếp điểm

a.(P): y=x2 và (D): y=4x-4