Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 202 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
202
Dung lượng
5,15 MB
Nội dung
TOÁN HỌC LỚP CHƯƠNG I: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC I NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC – NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC TÓM TẮT LÝ THUYẾT Quy tắc: Muốn nhân đơn thức với đa thức ta nhân đơn thức với hạng tử đa thức cộng tích với A(B + C) = AB + AC Quy tắc: Muốn nhân đa thức với đa thức, ta nhân hạng tử đa thức với hạng tử đa thức cộng tích với (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD VD1: 1) 8x.( 3x3 – 6x +4 ) = 8x.3x3 +8x.( –6x) +8x.4= 24 x4 – 48x2 + 32x 1 2) 2x2.(x2 + 5x – ) = 2x3.x2 + 2x3.5x – 2x3 = 2x5 + 10x4 – x3 2 3) ( 3x3y – x xy).6 xy = 18x4 y4 – 3x3y3 + x2y4 5 4) (4x3 – 5xy + 2x) (– xy) = –2x4 y + x2y2 – x2y 2 VD2: Tính 1) (x + 3)(x2 + 3x –5) = x3 +3x2 –5x +3x2 + 9x–15 = x3 + 6x2 +4x –15 2) (xy–1) ( xy+5) = x2y2 + 5xy – xy –5 = x2y2 + 4xy – 3) (2x –5)(3x + 7x –1) = 2x(3x2 + 7x – 1) – 5( 3x2 + 7x – 1) = 6x3 +14x2 – 2x – 15x2 – 35x+5 = 6x3 – x2 – 37x + 1 4) ( xy –1)(x3 –2x –6) = x4 y –x2y –3xy –x3 +2x + 2 2 Áp dụng: (x – y) (x + xy + y ) = x (x2 + xy + y2) – y (x2 + xy + y2) = x3 + x2y + xy2 – x2y – xy2 – y3 = x3 – y3 Bài Nhân đơn thức với đa thức: 1) 3x2(5x2 – 2x – 4) 2) xy2(x2y + x3y2 + 3x2y3) 3) xyz(x2y + 3yz2 + 4xy2z) 4) 2x2(4x2 − 5xy + 8y3) 5) 2xy2(5x2 + 3xy − 6y3) 6) – x2y(xy2 – xy + x2y2) 1 7) (3xy – x2 + y) x2y 8) (4x3 – 5xy + 2x)( – xy) 9) 2x2(x2 + 3x + ) 2 10 10) – x4y2(6x4 − x2y3 – y5) 11) x3(x + x2 – x5) 12) 2xy2(xy + 3x2y – xy3) 3 10 4 13) 3x(2x3 – x2 – 4x) 14) x3y5(7x4 + 5x2y − x y –y ) 21 Bài Nhân đa thức với đa thức: 1) (2x 5)(3x + 7) 2) (3x + 2)(4x 5) 3) (x 2)(x2 + 3x 1) 4).(x + 3)(2x2 + x 2) 5) (2x y)(4x2 2xy + y2) 6) (x +3)(x2 –3x + 9) – (54 + x) 7).(3x + 4x2 2)( x2 +1 + 2x) 8) (2x – y)(4x2 + 2xy + y2) 9) (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) 10).(x – 2)(3x – 2x + 1) 11).(x + 2)(x2 + 3x + 2) 12.) (2x2 + 1)(x2 – x +3) 13).(xy – 1)(x2y – 3xy2) 14) (x + 3)(x2 – x + 2) 15) (x2 – x + 2)(2x – 3) 2 2 16).(x – 2xy – y )(x – y) 17) (x – 3xy + y )(x + y) 18) (x – 5)(x2 – 6x + 1) Tổng hợp giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ Facebook, Zalo: 0972120800 nguồn tham khảo: internet Trang TOÁN HỌC LỚP 19) (2x2 – 1)(3x2 – x + 2) 22) (7x – 1)(2x2 – 5x + 3) 25) (− x2+y3)(8x3 − x y –y2) 20) (2 – 3x2)(x3 + 2x2 – 3) 23) (5x + 3)(3x2 + 6x + 7) 26) (2xy2−7x2y)( 21) (9x – 2)(x2 – 3x + 5) 24) (6x2 + 5y2)(2x2– y2) x + 5xy − 4y3) Bài Rút gọn tính giá trị biểu thức: 1) A = 5x(4x2 – 2x + 1) – 2x(10x2 – 5x – 2) 2) 2x (3x2 − 5x + 8) − 3x2(2x − ) – 16x 3) B = 5x(x2 – 3) + x2(7 – 5x) – 7x2 4) C = (x – 2)(x4 + 2x3 + 4x2 + 8x +16) 5) D = 4x2 – 28x + 49 6) E = x3 – 15x2 + 75x 7) F = (x + 1)(x – 1)( x2 + x + 1)( x2 – x + 1) 8) G = x(x – y) + (x + y) 9) H = 5x(x – 4y) – 4y(y – 5x) 10) I = x(x2 – y2) – x2(x + y) + y(x2 – x) 11) J = (x + y)(x3 – x2y + xy2 – y3) 12) K = 4x2(5x – 3y) – 5x2(4x + y) 13) L = (x2y + y3)(x2 + y2) – y(x4+ y4) 14) (2x2 + y) (x − 6xy ) − 2x (x – 3y2) (x + ) + 6x2y (y − 2x) với x= 15 với x = − 15 với x = – với x = với x = với x = 25 với x = với x = y =8 với x= – 1/5; y= –1/2 với x = 1/2 y = 100 với x = y = – 1/2 với x = –2; y = –3 với x = 0,5; y = – với x = − y = BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài Thực phép tính sau: b) (2x 1)(3x 2)(3 – x) c) ( x 3)( x2 3x – 5) d) ( x 1)( x2 – x 1) e) (2x3 3x 1).(5x 2) Bài Thực phép tính sau: f) ( x2 2x 3).( x 4) a) ( x2 –1)( x2 2x) a) 2x3y(2x2 – 3y 5yz) b) ( x – 2y)( x2y2 xy 2y) 2 e) ( x – y)( x2 xy y2 ) x y.(3xy – x2 y) Bài Chứng minh đẳng thức sau: d) xy( x2y – 5x 10y) 1 f) xy –1 ( x3 – 2x – 6) 2 c) a) ( x y)( x4 x3y x2y2 xy3 y4 ) x5 y5 b) ( x y)( x4 x3y x2y2 xy3 y4 ) x5 y5 c) (a b)(a3 a2b ab2 b3) a4 b4 d) (a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 Bài Thực phép tính, sau tính giá trị biểu thức: a) A ( x 2)( x4 2x3 4x2 8x 16) với x b) B ( x 1)( x7 x6 x5 x4 x3 x2 x 1) c) C ( x 1)( x6 x5 x4 x3 x2 x 1) với x với x d) D 2x(10x2 5x 2) 5x(4x2 2x 1) với x 5 Bài Thực phép tính, sau tính giá trị biểu thức: a) A ( x3 x2y xy2 y3)( x y) với x 2, y ĐS: A 211 ĐS: B 255 ĐS: C 129 ĐS: D 5 ĐS: A 255 16 ĐS: B 275 1 c) C ( x2 2xy 2y2 )( x2 y2 ) 2x3y 3x2y2 2xy3 với x , y ĐS: C 2 16 Bài Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: b) B (a b)(a4 a3b a2b2 ab3 b4 ) Tổng hợp giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ Facebook, Zalo: 0972120800 với a 3, b 2 nguồn tham khảo: internet Trang TOÁN HỌC LỚP a) A (3x 7)(2x 3) (3x 5)(2x 11) b) B ( x2 2)( x2 x 1) x( x3 x2 3x 2) c) C x( x3 x2 3x 2) ( x2 2)( x2 x 1) d) D x(2x 1) x2( x 2) x3 x e) E ( x 1)( x2 x 1) ( x 1)( x2 x 1) Bài * Tính giá trị đa thức: a) P( x) x7 80x6 80x5 80x4 80x 15 với x 79 b) Q( x) x14 10x13 10x12 10x11 10x2 10x 10 với x c) R( x) x4 17x3 17x2 17x 20 với x 16 d) S( x) x10 13x9 13x8 13x7 13x2 13x 10 ĐS: P(79) 94 ĐS: Q(9) ĐS: R(16) với x 12 ĐS: S(12) 2 II HẰNG ĐẲNG THỨC TÓM TẮT LÝ THUYẾT Cho A B biểu thức Ta có số đẳng thức đáng nhớ sau: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 A2 – B2 = (A + B)(A – B) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) Chú ý: Các cơng thức 4) 5) viết dạng: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) (A – B)3 = A3 – B3 – 3AB(A – B) Từ công thức 1) 2) ta suy công thức: (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2AC (A – B + C)2 = A2 + B2 + C2 – 2AB – 2BC + 2AC (A – B – C)2 = A2 + B2 + C2 – 2AB + 2BC – 2AC Ví dụ 1: Khai triển: a) (5x + 3yz)2 = 25x2 + 30xyz + 9y2z2 b) (y2x – 3ab)2 = y4x2 – 6abxy2 + 9a2b2 c) (x2 – 6z)(x2 + 6z) = x4 – 36z2 d) (2x – 3)3 = (2x)3 – 3.(2x)2.3 + 3.2x.32 – 33 = 8x3 – 36x2 + 54x – 27 e) (a + 2b)3 = a3 + 6a2b + 12ab2 + 8b3 g) (x2 + 3)(x4 + – 3x2) = (x2)3 + 33 = x6 + 27 h) (y – 5)(25 + 2y + y2 + 3y) = (y – 5)(y2 + 5y + 25) = y3 – 53 = y3 – 125 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: a) A = (x + y)2 – (x – y)2 = x2 + 2xy + y2 – x2 + 2xy – y2 = 4xy Hoặc: A = (x + y + x – y)(x + y – x + y) = 2x.2y = 4xy b) B = (x + y)2 – 2(x + y)(x – y) + (x – y)2 = x2 + 2xy + y2 – 2x2 + 2y2 + x2 – 2xy + y2 = 4y2 c) C = (x + y)3 - (x – y)3 – 2y3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 – x3 + 3x2y – 3xy2 + y3 – 2y3 = 6x2y Ví dụ 3: Chứng minh: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac Ta có: VT = (a + b + c)2 = [(a + b) + c]2 Tổng hợp giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ Facebook, Zalo: 0972120800 nguồn tham khảo: internet Trang TOÁN HỌC LỚP =(a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = VP Vậy đẳng thức chứng minh Ví dụ 4: Chứng minh: a) a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b) Ta có : VP = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – 3a2b – 3ab2 = a3 + b3 = VT Áp dụng: Tìm tổng lập phương hai số biết tích hai số tổng hai số – Gọi hai số a b ta có: a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = (- 5)3 – 3.6 (- 5) = - 125 + 90 = -35 b) a3 – b3 = (a - b)3 + 3ab(a – b) Ta có: VP = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 + 3a2b - 3ab2 = a3 – b3 Ví dụ 5: Tính nhanh: a) 1532 + 94 153 + 472 = 1532 + 2.47.153 + 472 = (153 + 47)2 = 2002 = 40000 b) 1262 – 152.126 + 5776 = 1262 – 2.126.76 + 762 = (126 – 76)2 = 502 = 2500 c) 38.58 – (154 – 1)(154 + 1) = 158 – (158 – 1) = d) (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1) … (220 + 1) + = = (2 – 1)(2 + 1) (22 + 1)(24 + 1) … (220 + 1) + = = (22 – 1) (22 + 1)(24 + 1) … (220 + 1) + = = (24 – 1)(24 + 1) … (220 + 1) + = =… = (220 – 1)(220 + 1) + = 240 – + = 240 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài tập 1: Viết biểu thức sau dạng bình phương tổng hay hiệu: 25 5 a) x2 + 5x + = x2 + x + ( )2 = (x + )2 2 2 b) 16x – 8x + = (4x) – 2.x.4 + = (4x – 1)2 c) 4x2 + 12xy + 9y2 = (2x)2 + 2.2x.3y + (3y)2 = (2x + 3y)2 d) (x + 3)(x + 4)(x + 5)(x + 6) + = (x + 3)(x + 6)(x + 4)(x + 5) + = (x2 + 6x + 3x + 18)(x2 + 4x + 5x + 20) + = (x2 + 9x + 18)(x2 + 9x + 18 + 2) + = (x2 + 9x + 18)2 + 2(x2 + 9x + 18).1 + 12 = (x2 + 9x + 18 + 1)2 = (x2 + 9x + 19)2 e) x2 + y2 + 2x + 2y + 2(x + 1)(y + 1) + = x2 + y2 + 2x + 2y + 2xy + 2x + 2y + + = x2 + y2 + 22 + 4x + 4y + 2xy = (x + y + 2)2 g) x2 – 2x(y + 2) + y2 + 4y + = x2 – 2xy – 4x + y2 + 4y + = x2 + y2 + 22 – 2xy – 4x + 4y = (x – y – )2 2 h) x + 2x(y + 1) + y + 2y + = x2 + 2x(y + 1) + (y + 1)2 = (x + y + 1)2 Bài tập 2: Viết biểu thức sau dạng lập phương tổng hay hiệu: a) x3 + 3x2 + 3x + = (x + 1)3 1 1 b) 27y3 – 9y2 + y = (3y)3 – 3.(3y)2 + 3.3y.( )2 – ( )3 = (3y - )3 27 3 3 2 3 2 2 c) 8x + 12x y + 6x y + y = (2x ) + 3.(2x ) y + 3.(2x ).y + y = (2x + y)3 d) (x + y)3(x – y)3 = [(x + y)(x – y)]3 = (x2 – y2)3 Bài tập 3: Rút gọn biểu thức: a) (2x + 3)2 – 2(2x + 3)(2x + 5) + (2x + 5)2 = (2x + – 2x – 5)2 = (-2)2 = b) (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)(x2 – 1) = (x2 + + x)(x2 + – x)(x2 – 1) = [(x2 + 1)2 – x2] (x2 – 1) = (x2 – 1)(x2 + 1)2 – x2(x2 – 1) = (x4 – 1)(x2 + 1) – x4 + x2 = x6 + x4 – x2 – – x4 + x2 = x6 – Tổng hợp giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ Facebook, Zalo: 0972120800 nguồn tham khảo: internet Trang TOÁN HỌC LỚP c) (a + b – c)2 + (a – b + c)2 – 2(b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab – 2bc – 2ac + a2 + b2 + c2 – 2ab – 2bc + 2ac – 2b2 + 4bc – 2c2 = 2a2 d) (a + b + c)2 + (a – b – c)2 + (b – c – a)2 + (c – a – b)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac + a2 + b2 + c2 – 2ab + 2bc – 2ac + b2 + c2 + a2 – 2bc + 2ac – 2ab + c2 + a2 + b2 – 2ac + 2ab – 2bc = 4a2 + 4b2 + 4c2 = 4(a2 + b2 + c2) Bài tập 4: Điền đơn thức thích hợp vào dấu * a) 8x3 + * + * + 27y3 = (* + *)3 = (2x)3 + 3.(2x)2.3y + 3.2x.(3y)2 + (3y)3 = (2x + 3y)3 = 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 = (2x + 3y)3 b) 8x3 + 12x2y + * + * = (* + *)3 = (2x)3 + 3.(2x)2.y + 3.2x.y2 + y3 = (2x + y)3 = 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x + y)3 c) x3 - * + * - * = (* - 2y)3 = x3 – 6x2y + 12xy2 – 8y3 = (x – 2y)3 Bài tập 5: CMR với giá trị biến x ta ln có: a) – x2 + 4x – < Ta có: – x2 + 4x – = - (x2 – 4x + 5) = - (x2 – 4x + + 1) = - [(x – 2)2 + 1] Mà (x – 2)2 ≥ nên (x – 2)2 + > Do – [(x – 2)2 + 1] < với giá trị biến x b) x4 + 3x2 + > Ta có: x4 ≥ ; 3x2 ≥ nên x4 + 3x2 + > , với x c) (x2 + 2x + 3)(x2 + 2x + 4) + > Ta có: (x2 + 2x + 3)(x2 + 2x + 4) + = (x2 + 2x + 3)(x2 + 2x + + 1) + = (x2 + 2x + 3)2 + (x2 + 2x + 3) + + = (x2 + 2x + 3)2 + (x2 + 2x + 1) + = (x2 + 2x + 3)2 + (x + 1)2 + Ta có: (x2 + 2x + 3)2 ≥ 0; (x + 1)2 ≥ nên (x2 + 2x + 3)2 + (x + 1)2 + > , với x Bài tập 6: So sánh: a) 2003.2005 20042 Ta có: 2003.2005 = (2004 – 1)(2004 + 1) = 20042 – < 20042 b) 716 – 8(78 + 1)(74 + 1)(72 + 1) Ta có: 716 – = (78)2 – = (78 + 1)(78 – 1) = (78 + 1)(74 + 1)(74 – 1) = (78 + 1)(74 + 1)(72 + 1)(72 – 1) = (78 + 1)(74 + 1)(72 + 1)(7 + 1)(7 – 1) = =(78 + 1)(74 + 1)(72 + 1)8.6 > (78 + 1)(74 + 1)(72 + 1).8 Bài tập 7: Cho a – b = m ; a.b = n Tính theo m, n giá trị biểu thức sau: a) (a + b)2 = (a + 2ab + b2 – 4ab + 4ab = (a – b)2 + 4ab Thay a – b = m, a.b = n vào biểu thức ta : (a + b)2 = m2 + 4n b) a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = m2 – 2n c) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b) = m3 + 3m.n = m(m2 + 3n) Bài tập 8: Cho a + b = p ; a – b = q Tìm theo p,q giá trị biểu thức sau: a) a.b = ? Ta có: (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab p2 q2 ( a b) ( a b) ab = = 4 p2 q2 b) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = p3 – 3p = 4 p p( p q ) p p pq p pq p( p 3q ) 4 4 BÀI TẬP TỔNG HỢP Tổng hợp giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ Facebook, Zalo: 0972120800 nguồn tham khảo: internet Trang TOÁN HỌC LỚP Bài Điền vào chỗ trống cho thích hợp: a) x2 4x b) x2 8x 16 c) ( x 5)( x 5) d) x 12x 48x 64 e) x 6x 12x f) ( x 2)( x2 2x 4) 3 g) ( x 3)( x2 3x 9) h) x2 2x i) x2 –1 k) x2 6x l) 4x2 – m) 16x2 – 8x o) 36x2 36x p) x3 27 a) (2x 3y)2 b) (5x – y)2 c) (2x y2 )3 d) x y x y 1 e) x 4 g) (3x2 – 2y)3 h) ( x 3y)( x2 3xy 9y2 ) n) 9x2 6x Bài Thực phép tính: 2 f) x 3 y i) ( x 3).( x 3x 9) k) ( x 2y z)( x 2y – z) l) (2x –1)(4x2 2x 1) m) (5 3x)3 Bài Tính giá trị biểu thức cách vận dụng đẳng thức: a) A x3 3x2 3x với x 19 b) B x3 3x2 3x -1 với x 11 ĐS: a) A 8005 b) B 1001 Bài Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: a) (2x 3)(4x2 6x 9) 2(4x3 1) b) (4x 1)3 (4x 3)(16x2 3) c) 2( x3 y3) 3( x2 y2 ) với x y d) ( x 1)3 ( x 1)3 6( x 1)( x 1) e) ( x 5)2 ( x 5)2 x2 25 ĐS: a) 29 b) Bài Giải phương trình sau: f) c) –1 (2x 5)2 (5x 2)2 x2 d) a) ( x 1)3 (2 x)(4 2x x2 ) 3x( x 2) 17 e) f) 29 b) ( x 2)( x2 2x 4) x( x2 2) 15 c) ( x 3)3 ( x 3)( x2 3x 9) 9( x 1)2 15 d) x( x 5)( x 5) ( x 2)( x2 2x 4) 10 11 ĐS: a) x b) x c) x d) x 25 15 Bài So sánh hai số cách vận dụng đẳng thức: a) A 1999.2001 B 20002 b) A 216 B (2 1)(22 1)(24 1)(28 1) c) A 2011.2013 B 20122 d) A 4(32 1)(34 1) (364 1) B 3128 BÀI TẬP NÂNG CAO Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) M = x2 – 4x + = x2 – 4x + + = (x – 2)2 + Ta thấy: (x – 2)2 ≥ nên M ≥ Hay GTNN M Giá trị đạt (x – 2)2 = x – = x = b) N = (x2 – 4x – 5)(x2 – 4x – 19) + 49 N = (x2 – 4x – )(x2 – 4x – – 14) + 49 N = (x2 – 4x – 5)2 – 14(x2 – 4x – 5) + 49 N = (x2 – 4x – 5)2 - 2.7(x2 – 4x – ) + 72 N = (x2 – 4x – – )2 = (x2 – 4x – 12 )2 Ta thấy : (x2 – 4x – 12)2 ≥ nên N ≥ Hay GTNN N Giá trị đạt x2 – 4x – 12 = (x – 6)(x + 2) = Tổng hợp giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ Facebook, Zalo: 0972120800 nguồn tham khảo: internet Trang TOÁN HỌC LỚP x = ; x = -2 c) P = x2 – 6x + y2 – 2y + 12 P = x2 – 6x + + y2 – 2y + + = (x – 3)2 + (y – 1)2 + Ta thấy: (x – 3)2 ≥ 0; (y – 1)2 ≥ nên P ≥ Hay GTNN P Giá trị đạt x – = y – = x = y = Chú ý GTNN GTLN biểu thức: Cho biểu thức A, ta nói số k GTNN A ta c/m điều kiện: a) A ≥ k với giá trị biến biểu thức A b) Đồng thời, ta tìm giá trị biến cụ thể A để thay vào, A nhận giá trị k Tương tự, cho biểu thức B, ta nói số h GTLN B ta c/m điều kiện: a) B ≤ h với giá trị biến biểu thức B b) Đồng thời, ta tìm giá trị biến cụ thể B để thay vào, B nhận giá trị h Có hai loại sai lầm thường gặp HS: 1) Khi chứng minh a), vội kết luận mà quên kiểm tra điều kiện b) 2) Đã hoàn tất a) b), nhiên, tốn đòi hỏi xét tập số thôi, tức thêm yếu tố ràng buộc, mà HS khơng để ý giá trị biến tìm bước b) lại nằm ngồi tập cho trước Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức A = (x2 + 1)2 + Giả sử lời giải : Vì (x2 + 1)2 ≥ nên A ≥ Vậy GTNN biểu thức Kết luận GTNN mắc phải sai lầm loại 1), tức quên kiểm tra điều kiện b) Thực A 4, ta phải có (x2 + 1)2 = , điều xảy với giá trị biến x Ví dụ 2: Cho x y số hữu tỉ x ≠ y Tìm GTNN biểu thức B = (x – y)2 + 2 Giả sử lời giải sau: Vì (x – y)2 ≥ nên B ≥ 2 Mặt khác thay x = y = 1, B nhận giá trị Vậy GTNN biểu thức B đây, kết luận GTNN mắc phải sai lầm loại 2), tức quên kiểm tra điều kiện ràng buộc x ≠ y Bài tập 2: Tìm GTNN biểu thức sau: a) A = x2 – 4x + Ta có : A = x2 – 4x + + = (x – 2)2 + Ta thấy (x – 2)2 ≥ 0, nên (x – 2)2 + ≥ Hay GTNN A , giá trị đạt (x – 2)2 = x–2=0 x=2 b) B = x2 – x + 1 3 Ta có: B = x2 – x + = (x - )2 + 2 4 Vậy GTNN B , giá trị đạt x = 9 c) C = 2x2 – 6x = 2(x2 – 3x) = 2[(x2 – x + ) ] = 2(x - )2 4 2 Vậy GTNN C - , giá trị đạt x = 2 Bài tập 3: Tìm GTLN đa thức: a) M = 4x – x2 + = - x2 + 4x – + = – (x2 – 4x + 4) = – (x – 2)2 Tổng hợp giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ Facebook, Zalo: 0972120800 nguồn tham khảo: internet Trang TOÁN HỌC LỚP Ta thấy: (x – 2)2 ≥ ; nên - (x – 2)2 ≤ Do đó: M = – (x – 2)2 ≤ Vậy GTLN biểu thức M 7, giá trị đạt x = 1 1 b) N = x – x2 = - x2 + x - = ( x ) 4 2 1 Vậy GTLN N , giá trị đạt x = 19 1 c) P = 2x – 2x2 – = 2( - x2 + x – 5) = 2[( - x2 + x – ) – ] 4 19 19 = - (x - )2 ≤ 2 19 Vậy GTLN biểu thức P , giá trị đạt x = 2 Chú ý: Dạng toán tương tự dạng : Chứng minh biểu thức dương, âm, lớn hơn, nhỏ số Bài tập : Tìm x , biết rằng: a) 9x2 – 6x – = 9x2 – 2.3x.1 + – = (3x – 1)2 – = (3x – + 2)(3x – – 2) = (3x + 1)(3x – 3) =0 x 3 x 3 x 1 3 x 3 x x b) x + 9x + 27x + 19 = x3 + 3.x2.3 + 3.x.32 + 33 – =0 (x + 3)3 – = (x + 3)3 – 23 = (x + – 2)[(x + 3)2 + 2(x + 3) + 4] = (x + 1)(x2 + 6x + + 2x + + 4) =0 (x + 1)(x2 + 8x + 19) = (x + 1)[x2 + 2.4x + 16 + 3] = (x + 1)[(x + 4)2 + 3] = x + = Vì (x + 4)2 + > , với giá trị biến x x = -1 c) x(x + 5)(x – 5) – (x + 2)(x2 – 2x + 4) = x(x2 – 25) – (x3 + 8) – = x3 – 25x – x3 – – = - 25x = 11 11 x=25 Bài tập : Tìm x, y, z biết rằng: x2 + 2x + y2 – 6y + 4z2 – 4z + 11 = (x2 + 2x + 1) + (y2 – 6y + 9) + (4z2 – 4z + 1) = (x + 1)2 + (y – 3)2 + (2z – 1)2 = x 1 x y y 2 z z Bài tập : Cho a + b = Tính a3 + 3ab + b3 Tổng hợp giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ Facebook, Zalo: 0972120800 nguồn tham khảo: internet Trang TỐN HỌC LỚP Ta có: a3 + 3ab + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) + 3ab = (a + b)3 – 3ab + 3ab = (a + b)3 = ( Vì a + b = 1) Bài tập : Chứng minh biểu thức sau nhận giá trị dương với giá trị biến: a) A = x2 – x + 1 3 A = x2 – x + = (x - ) 4 Vì (x - ) ≥ nên (x - ) > , với giá trị biến 2 Hay A > , với giá trị biến b) B = (x – 2)(x – 4) + = x2 – 4x – 2x + + = x2 – 6x + + = (x – 3)2 + Vì (x – 3)2 ≥ nên (x – 3)2 + > 0, với giá trị biến Hay B > 0, với giá trị biến c) C = 2x2 – 4xy + 4y2 + 2x + C = x2 – 4xy + 4y2 + x2 + 2x + + = (x – 2y)2 + (x + 1)2 + Vì (x – 2y)2 ≥ , (x + 1)2 ≥ nên (x – 2y)2 + (x + 1)2 + > 0, với x Hay C > 0, với x Bài tập : Chứng minh đẳng thức sau: a) (a2 + b2)2 – 4a2b2 = (a + b)2(a – b)2 Ta biến đổi vế trái: VT = (a2 + b2)2 – 4a2b2 = (a2 + b2)2 – (2ab)2 = (a2 + b2 + 2ab)(a2 + b2 – 2ab) = (a + b)2(a – b)2 = VP Vậy đẳng thức chứng minh b) (a + b2)(x2 + y2) = (ax – by)2 + (bx + ay)2 Ta có: VT = (a2 + b2)(x2 + y2) = a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 = a2x2 – 2ax.by + b2y2 + a2y2 + 2ay.bx + b2x2 = (ax – by)2 + (bx + ay)2 = VP Vậy đẳng thức chứng minh c) a3 – b3 + ab(a – b) = (a – b)(a + b)2 Ta có : VT = a3 – b3 + ab(a – b) = (a – b)(a2 + ab + b2) + ab(a – b) = (a – b)(a2 + ab + b2 + ab) = (a – b)(a + b)2 d)(a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = 3(a – b)(b – c)(c – a) VT = (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 + b3 – 3b2c + 3bc2 – c3 + c3 – 3c2a + 3ca2 – a3 = - 3a2b + 3ab2 – 3b2c + 3bc2 – 3c2a + 3ca2 VP = 3(a – b)(b – c)(c – a) = 3(ab – ac – b2 + bc)(c – a) = 3(abc – a2b – ac2 + a2c – b2c + ab2 + bc2 – abc) = - 3a2b – 3ac2 + 3a2c – 3b2c + 3ab2 + 3bc2 Vậy VT = VP Do đẳng thức chứng minh Bài tập : Giải phương trình sau: a) x2 – 4x + = 25 (x – 2)2 – 25 = (x – + 5)(x – – 5) = (x + 3)(x – 7) = x + = x – = x = -3 x = b) (5 – 2x)2 – 16 = (5 – 2x + 4)(5 – 2x – 4) = (9 – 2x)(1 – 2x) = – 2x = – 2x = = 2x 2x = Tổng hợp giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ Facebook, Zalo: 0972120800 nguồn tham khảo: internet Trang TOÁN HỌC LỚP x = 2 c) (x – 3) – (x – 3)(x + 3x + 9) + 9(x + 1)2 = 15 x3 – 9x2 + 27x – 27 – x3 + 27 + 9x2 + 18x + – 15 = 27x + 18x + – 15 = 45x = x= 15 Bài tập 10 : Tính giá trị biểu thức: a) A = 49x2 – 56x + 16 , với x = Ta có: A = (7x – 4)2 Với x = thì: A = (7.2 – 4)2 = 102 = 100 b) B = 27x3 + 54x2 + 36x + , với x = - Ta có: B = (3x)3 + 3.(3x)2.2 + 3.(3x).4 + 23 = (3x + 2)3 Với x = -2 thì: B = [3.(-2) + 2]3 = (-4)3 = - 64 x= c) C = (x – 1)3 – 4x(x + 1)(x – 1) + 3(x – 1)(x2 + x + 1) + 3(x – 1)2 , với x = - Ta có: C = (x – 1)3 – 4x(x2 – 1) + 3(x3 – 1) + 3(x2 – 2x + 1) C = x3 – 3x2 + 3x – – 4x3 + 4x + 3x3 – + 3x2 – 6x + C=x–1 2 Với x = thì: C = - - = 5 Bài tập 11 : CMR tích số tự nhiên liên tiếp cộng với số phương Giải: Gọi số tự nhiên liên tiếp n , n + , n + , n + Khi ta có: Tích số tự nhiên liên tiếp là: A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)+ A= (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + = (n2 + 3n + 1)2 Vì n số tự nhiên nên (n2 + 3n + 1)2 số phương Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) số phương BÀI TẬP Bài Tìm giá trị lớn biểu thức: a) A 5x – x2 b) B x – x2 d) D – x2 6x 11 e) E 8x x2 Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức: c) C 4x – x2 f) F 4x x2 a) A x2 – 6x 11 b) B x2 – 20x 101 d) D ( x 1)( x 2)( x 3)( x 6) e) E x2 2x y2 4y f) x2 4x y2 8y c) C x2 6x 11 g) G x2 – 4xy 5y2 10x – 22y 28 HD: g) G ( x 2y 5)2 ( y 1)2 Bài Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức (nếu có): A = x2 – 4x + B = 4x2 + 4x + 11 C = x + 4x + D = – 8x + x2 E = x(x – 6) F = (x – 3)2 + (x – 11)2 G = (x –1)(x + 3)(x + 2)(x + 6) H = (x + 1)(x – 2)(x – 3)(x – 6) I = – 8x – x J = 4x – x2 +1 2 K = x (2– x ) Bài Cho a b S ab P Hãy biểu diễn theo S P, biểu thức sau đây: Tổng hợp giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ Facebook, Zalo: 0972120800 nguồn tham khảo: internet Trang 10 TOÁN HỌC LỚP Bài Cho tam giác cân ABC, AB = AC = b, BC = a Vẽ đường cao BH, CK a) Chứng minh BK = CH b) Chứng minh KH // BC c) Tính độ dài HC HK a3 a2 , KH a 2b 2b2 Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I trung điểm BC Trên cạnh AB, AC lấy lần HD: c) HC lượt điểm K, H cho BK CH BI Chứng minh: a) KBI ICH b) KIH KBI c) KI phân giác góc BKH d) IH KB HC.IK HK BI HD: d) Chứng minh IH KB HC.IK BI ( KI IH ) HK BI Bài Cho tam giác ABC (AB < AC) Vẽ đường cao AH, đường phân giác AD, đường trung tuyến AM a) Chứng minh HD DM HM b) Vẽ đường cao BF, CE So sánh hai đoạn thẳng BF CE c) Chứng minh AFE ABC d) Gọi O trực tâm ABC Chứng minh BO.BF CO.CE BC2 A D nằm H M đpcm d) BO.BF = BC.BH, CO.CE = BC.CH HD: a) AB < AC DC > MC, CAH b) BF < CE Bài cho tam giác ABC Trên cạnh AB, AC lấy điểm D, E cho AD AE AB AC Đường trung tuyến AI (I BC) cắt đoạn thẳng DE H Chứng minh DH = HE DH HE HD: đpcm BI IC Bài Cho tam giác ABC vuông A, C 300 đường phân giác BD (D AC) DA a) Tính tỉ số b) Cho AB = 12,5cm Tính chu vi diện tích tam giác ABC CD DA HD: a) b) BC = 25cm, AC = 21,65cm DC Bài Cho tam giác ABC cạnh a, M trung điểm BC Trên cạnh AB lấy điểm D, cạnh AC lấy điểm E cho DME 600 a2 b) Chứng minh MBD EMD ECM EMD c) Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng DE a) Chứng minh BD.CE HD: c) Vẽ MH DE, MK EC MH = MK; MK MC2 CK a Bài Cho tam giác ABC cân A, A 200 , AB = AC = b, BC = a Trên cạnh AC lấy điểm D cho DBC 200 a) Chứng minh BDC ABC b) Vẽ AE vng góc với BD E Tính độ dài đoạn thẳng AD, DE, AE c) Chứng minh a3 b3 3ab2 b a2 b , DE a , AD b c) AD2 DE2 AE2 đpcm b Bài Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, K điểm AM cho AM = 3AK, BK cắt AC N, P trung điểm NC a) Tính tỉ số diện tích tam giác ANK AMP b) Cho biết diện tích ABC S tính diện tích tam giác ANK HD: b) AE Tổng hợp giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ Facebook, Zalo: 0972120800 nguồn tham khảo: internet Trang 188 TOÁN HỌC LỚP AB AC AI AJ S 30 c) Một đường thẳng qua K cắt cạnh AB, AC I J Chứng minh HD: a) SANK SAMP b) SAMP SAMC ; SAMC SABC SANK c) Vẽ BE // IJ, CH // IJ (E, H AM) EBM = HCM EM = MH; AB AE AC AH đpcm , AI AK AJ AK Bài 10 Cho tam giác ABC Gọi M, N theo thứ tự trung điểm BC, AC O giao điểm đường trung trực, H trực tâm, G trọng tâm tam giác ABC a) Chứng minh OMN HAB b) So sánh độ dài AH OM c) Chứng minh HAG OMG d) Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng GH = 2GO HD: b) AH = 2OM d) HGO HGM MGO HGM AGH MGA 1800 đpcm Bài 11 Cho tam giác ABC, đường cao AK BD cắt G Vẽ đường trung trực HE, HF AC BC Chứng minh: a) BG = 2HE b) AG = 2HF HD: ABG FEH đpcm Bài 12 Cho hình thang vng ABCD (AB // DC, A D 900 ) Đường chéo BD vng góc với cạnh bên BC Chứng minh BD AB.DC HD: Chứng minh ABD BCD Bài 13 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), O trung điểm cạnh đáy BC Một điểm D di động cạnh AB Trên cạnh AC lấy điểm E cho CE OB2 Chứng minh: BD a) Hai tam giác DBO, OCE đồng dạng b) Tam giác DOE đồng dạng với hai tam giác c) DO phân giác góc BDE , EO phân giác góc CED d) Khoảng cách từ điểm O đến đoạn ED không đổi D di động AB HD: d) Vẽ OI DE, OH AC OI = OH Bài 14 Cho tam giác ABC, B,C góc nhọn Các đường cao AA, BB, CC cắt H a) Chứng minh: AA.AH = AB.AC b) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Giả sử đường thẳng GH song song với cạnh đáy BC Chứng minh: AA2 3AB.AC AA HD: a) Chứng minh BAH BBC, CAA CBB b) GH // BC AH Bài 15 Cho hình thang KLMN (KN // LM) gọi E giao điểm hai đường chéo Qua E, vẽ 1 đường thẳng song song với LM, cắt MN F Chứng minh: EF KN LM EF EF HD: Tính tỉ số , LM KN Bài 16 Qua điểm O tuỳ ý tam giác ABC, vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AC BC D E; đường thẳng song song với AC, cắt AB BC F K; đường thẳng song song với BC, cắt AB AC M N Chứng minh: AF BE CN AB BC CA AF KC CN KE HD: Chứng minh đpcm , AB BC CA BC Tổng hợp giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ Facebook, Zalo: 0972120800 nguồn tham khảo: internet Trang 189 TOÁN HỌC LỚP Bài 17 Qua điểm O tuỳ ý tam giác ABC, vẽ đường thẳng AO, BO, CO cắt BC, OA OB OC CA, AB A, B, C Chứng minh: AA BB CC S OA OA OI SBOC OI HD: Vẽ AH BC, OI BC ; BOC SABC AA AA AH SABC AH Tương tự: SCOA OB SAOB OC , đpcm SABC BB SABC CC Bài 18 Trên cạnh BC, CA, AB tam giác ABC, lấy điểm P, Q, R Chứng minh PB QC RA (định lí Ceva) đường thẳng AP, BQ, CR đồng qui O PC QA RB HD: Qua C A vẽ đường thẳng song song với BQ, cắt đường thẳng AP E cắt PB OB RA AD QC EC , , đường thẳng CR D Chứng minh đpcm PC EC RB OB QA AD MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỀ I I TRẮC NGHIỆM: ( điểm ) Khoanh tròn đáp án câu sau : Cho AB = 6cm , AC =18cm, tỉ số hai đoạn thẳng AB AC là: 1 A B C ABC thì: MNP MP MP NP MN MN MN A = B = C = AC BC AC AB AB AB D.3 D MN NP = BC AC Các cặp tam giác có độ dài ba cạnh đồng dạng: B 2; 3; vµ 2; 5; D 3; 4; vµ 6; 8; 10 A 4; 5; vµ 4; 5; C 6; 5; vµ 6; 5; ABC theo tỉ số đồng dạng k = 2,5 Thì tỉ số hai đường cao tương ứng : Cho DEF A 2.5cm B 3.5cm C 4cm D 5cm S ABC theo tỉ số đồng dạng k = Thì DEF : Cho DEF SABC 1 A B C D 4 Cho ABC có MN //BC : Ta có : AM MB AN AM AM AN MB NA A B C D NC AN MB NC MB NC MA NC II TỰ LUẬN : (7 điểm) Bài 1: (2 Điểm) Cho hình vẽ có MN//BC Tính độ dài x y: A A M x N Tổng hợp giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ 10 Facebook, Zalo: 0972120800 B y x E D nguồn tham khảo: internet Trang 190 C 6,5 TOÁN HỌC LỚP Bài 2: (2 Điểm) Cho ABC coù DE//BC (hình vẽ) Hãy tính x? Bài 3: (3 Điểm)Cho tam giác ABC vng A có AB = 12cm; AC = 16cm Kẻ đường cao AH (H BC) CAB a) Chứng minh : AHB b) Vẽ đường phân giác AD, (D BC) Tính BD, CD ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM I Trắc nghiệm: (3 điểm) Mỗi câu 0.5 điểm Câu Đáp án B A D A B C II Tự luận: ( điểm) Câu Nội dung trình bày AM AN MN//BC nên ( đònh lí Talet) ( 2đ ) MB NC Điểm 0,5 Hay AN AN = (2.10):5 = 4(cm) 0,5 10 AC = AN + NC = + 10 = 14 (cm) Vậy : x = cm; y = 14 cm ( 2đ ) ( 3đ ) 0,5 0,5 AB = AD + DB = + = (cm) AD DE DE//BC neân (hệ định lý Ta-let) AB BC 2.6,5 DE Hay DE = = 2,6(cm) 5 6,5 Vậy x =2,6(cm) 0,5 * Vẽ hình a) Xét AHB ABC có: BHA BAC 900 ( gt ) 0,5 B chung Do đó: AHB 0,5 0,5 0,5 B H D 12 0,5 0,5 CAB(g-g) C A b) Xét ABC vng A có : BC2 AB2 AC (Định lý Pi-ta-go) = 122 + 162 = 400 Suy : BC = 20 (cm) Ta có AD phân giác góc BAC (gt): Tổng hợp giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ Facebook, Zalo: 0972120800 nguồn tham khảo: internet 16 0,5 Trang 191 TOÁN HỌC LỚP 0,5 BD AB 12 = DC AC 16 BD DC => DC BC 4.BC 4.20 11, 4(cm) => => DC DC 7 BD = BC – DC = 20 -11,4 8,6 (cm) => 0,25 0,25 ĐỀ II I Trắc nghiệm (4 điểm): Khoanh tròn chữ đứng trước đáp án Cho đoạn thẳng có độ dài a = 2; b = 3; c = 4; d = 6; m = Kết luận sau đúng? A Hai đoạn thẳng a b tỉ lệ với hai đoạn thẳng c m B Hai đoạn thẳng a c tỉ lệ với hai đoạn thẳng c d C Hai đoạn thẳng a b tỉ lệ với hai đoạn thẳng d m D Hai đoạn thẳng a b tỉ lệ với hai đoạn thẳng c d Cho biết MM’//NN’ độ dài OM’ hình vẽ bên là: A cm B cm C cm D cm Độ dài x hình vẽ là: A 1,5 B 2,9 C 3,0 D 3,2 Hãy điền vào chỗ trống kí hiệu thích hợp Tam giác ABC có ba đường phân giác AD; BE; CF AB … a) AC CE … b) EA A AF … c) BF BD EC FA … d) DC EA FB II Tự luận (6 điểm) E F B D C Câu (2,5 điểm): Trên cạnh góc đỉnh A, lấy đoạn thẳng AE = 3cm, AC = 8cm Trên cạnh thứ hai góc đó, đặt đoạn thẳng AD = 4cm AF = 6cm a) Hỏi tam giác ACD tam giác AEF đồng dạng khơng? sao? b) Gọi I giao điểm CD EF Tính tỷ số diện tích hai tam giác IDF tam giác IEC Câu (2,5 điểm): Cho tứ giác ABCD có AB = 4cm; BC = 20cm; CD = 25cm; DA = 8cm, đường chéo BD = 10cm a) Các tam giác ABD BDC có đồng dạng với khơng ? Vì ? b) Chứng minh tứ giác ABCD hình thang Tổng hợp giảng dạy:ThS Ngơ Văn Thọ Facebook, Zalo: 0972120800 nguồn tham khảo: internet Trang 192 TOÁN HỌC LỚP Câu (1 điểm): Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC Từ C hạ đường vng góc CE CF xuống tia AB, AD Chứng minh AB.AE + AD.AF = AC2 ĐÁP ÁN I Trắc nghiệm (4 điểm): Chọn ý điểm Câu Đáp án D D A CA BC DB a ; b ; c ; d.1 CB DC BA II Tự luận (6 điểm) C Câu (2,5 điểm) Vẽ hình (0,5đ) a) ACD AFE đồng dạng AC AD ; A chung (1 điểm) AF AE b) Chứng minh IDF IEC đồng dạng (g.g) k = 2/5 S IDF S IEC 25 E I A D (1 điểm) F Câu (2,5 điểm) Vẽ hình, ghi gt,kl (0,5 điểm) a) Xét ABD BDC có: AB BD 10 BD 10 DC 25 AD BC 20 Vậy theo trường hợp đồng dạng thứ suy ABD BDC (1,5 đ) b) Từ ABD BDC suy ABD = BDC (hai góc vị trí so le trong) suy AB // CD tứ giác ABCD hình thang (1 điểm) Câu (1 điểm) Kẻ DH vng góc AC, BK vng góc AC C/m AHD đồng dạng AFC AD AH AD.AF = AC.AH (1) AC AF C/m AKB đồng dạng AEC AB AK AB.AE = AC.AK (2) AC AE Tổng hợp giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ Facebook, Zalo: 0972120800 A B E H K D nguồn tham khảo: internet C Trang 193 TOÁN HỌC LỚP S S C/m AHD = CKB (ch-gn) AH = CK (3) Từ 1, 2, AB.AE + AD.AF = AC.AK + AC.AH = AC.(AK + AH) = AC.(AK + CK) = AC.AC = AC2 ĐỀ III I TRẮC NGHIỆM: ( điểm) Khoanh tròn chữ đứng trước câu trả lời Câu 1: Cho đoạn thẳng AB = 20cm, CD = 30cm Tỉ số hai đoạn thẳng AB CD là: 20 30 A B C D A 3 Câu 2: Cho AD tia phân giác BAC ( hình vẽ) thì: AB DC AB DB AB DC AB DC A B C D AC DB AC DC DB AC DB BC B D Câu 3: Cho ABC DEF theo tỉ số đồng dạng DEF ABC theo tỉ số đồng dạng là: 4 A B C D A Câu 4: Độ dài x hình vẽ là: (DE // BC) x E A B D C.7 D.8 B C S D CBA S S S Câu 5: Nếu hai tam giác ABC DEF có A D C E : A ABC DEF B ABC DFE C CAB DEF Câu 6: Điền dấu “X” vào trống thích hợp Câu Hai tam giác đồng dạng Hai tam giác vuông cân đồng dạng Tỉ số chu vi hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng Hai tam giác đồng dạng Hai tam giác cân có góc đồng dạng Nếu hai tam giác đồng dạng tỉ số hai đường cao tương ứng tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng Hai tam đồng dạng với DFE Đ S S II TỰ LUẬN (7 điểm) Cho tam giác ABC vng A có AB = 12 cm, AC = 16 cm Vẽ đường cao AH a) Chứng minh HBA ABC b) Tính BC, AH, BH c) Vẽ đường phân giác AD tam giác ABC (D BC) Tính BD, CD d) Trên AH lấy điểm K cho AK = 3,6cm Từ K kẽ đường thẳng song song BC cắt AB AC M N Tính diện tích tứ giác BMNC ĐÁP ÁN I TRẮC NGHIỆM: ( điểm) Câu Tổng hợp giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ Facebook, Zalo: 0972120800 nguồn tham khảo: internet 6 Trang 194 C TOÁN HỌC Đáp án Điểm LỚP A B B B B S Đ Đ Đ Đ Đ Đ 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 II TỰ LUẬN (7 điểm) Đáp án Câu Biểu điểm A M N K 0,5 C B H D a) Chứng minh HBA ABC Xét HBA ABC có: = = 900 chung ABC (g.g) => HBA b) Tính BC, AH, BH Ta có 0,25 0,25 0,25 0,25 ABC vuông A (gt) BC2 = AB2 + AC2 BC = AB2 AC Hay: BC = 122 162 144 256 400 20 cm 1 Vì ABC vng A nên: S ABC AH BC AB AC 2 12.16 AB AC 9, (cm) = AH AH BC AB AC hay AH 20 BC ABC HBA HB BA BA2 12 hay : HB = = 7,2 (cm) AB BC BC 20 c) Tính BD, CD BD AB BD BD AB AB Ta có : (cmt) hay CD AC CD BD AB AC BC AB AC BD 12 20.3 => BD = 8, cm 20 12 16 7 Mà: CD = BC – BD = 20 – 8,6 = 11,4 cm d) Tính diện tích tứ giác BMNC ABC AK,AH hai đường ao tương ứng Vì MN // BC nên AMN 2 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 0,5 0,25 0,25 0,25 S AMN AK 3, 0,5 S ABC AH 9, 64 1 0,25 Mà: SABC = AB.AC = 12.16 = 96 0,25 2 => SAMN = 13,5 (cm2) 0,25 Vậy: SBMNC = SABC - SAMN = 96 – 13,5 = 82,5 (cm2) Lưu ý: Mọi cách giải khác có lập luận chạc chẽ cho điểm tói đa câu Do đó: Tổng hợp giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ Facebook, Zalo: 0972120800 nguồn tham khảo: internet Trang 195 TOÁN HỌC LỚP ĐỀ IV I-TRẮC NGHIỆM (3đ) Điền vào chỗ trống (……) câu thích hợp để câu trả lời Câu Đường phân giác góc tam giác chia …(1)…thành hai đoạn thẳng (2) …hai đoạn thẳng DEF với tỷ số đồng dạng k DEF ABC với tỷ số đồng dạng Câu ABC …(3)… A ' (4) ; (5) B, C ' (6) Câu A ' B ' C ' ABC (7) B ' C ' (9) AB (8) AC Câu Tam giác vuông có cạnh huyền …(10) … tỷ lệ với (11)…và cạnh góc vng tam giác vng …… (12)……… Câu Tam giác có hai góc ……….(13)…… tam giác …….(14) ………… Câu Cho hình vẽ bên Hãy tính độ dài cạnh AB ? A 6cm ? B 2cm D C 3cm Chọn đáp án đáp án sau : Độ dài cạnh AB là: A 4cm B 5cm C 6cm D 7cm II TỰ LUẬN (7 điểm) : Câu Cho tam giác ABC vuông A, AB = 12cm, AC = 16cm Vẽ đường cao AH(H BC) tia phân giác góc A cắt BC D a/ Chứng minh tam giác HBA đồng dạng tam giác ABC b/ Tính độ dài cạnh BC c/ Tính tỷ số diện tích hai tam giác ABD ACD d/ Tính độ dài đoạn thẳng BD CD e/ Tính độ dài chiều cao AH ĐÁP ÁN I TRẮC NGHIỆM (0,5đ) Câu Đáp án (1) cạnh đối diện Câu Đáp án (10) mỘt cẠnh góc vng (2) tỷ lệ với hai cạnh kề 4(0,5đ) (11) cẠnh huyỀn 2(0,5đ) (3) k (4) (5) 3(0,5đ) (6) (7) ' C (12) hai tam giác vng đỒng dẠng A’B’ (8) (9) BC A’C’ 5(0,5đ) (13) (14) lẦn lưỢt hai tam giác bẰng hai đỒng góc dẠng 6(0,5đ) A II TỰ LUẬN: Câu Tổng hợp giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ Facebook, Zalo: 0972120800 Đáp án nguồn tham khảo: internet Điểm Trang 196 TOÁN HỌC LỚP 0,5 A 16cm 12cm B a) b) H D C ABC vuông A, GT AD phân giác BAC AH BC; AB = 12cm, AC = 16cm a) HBA ABC ; b) Tính BC =? S ABD ? ; d) BD = ?; CD KL c) S ACD =? e) AH = ? HBA ABC : Xét HBA & ABC hai tam giác vuông có B chung (g.g) 1,0 HBA ABC Tính BC: Ta có ABC vng A (gt) BC2 = AB2 + AC2 BC = AB2 AC Hay: BC = 122 162 144 256 400 20 cm c) 0,75 S ABD ? S ACD Vì AD phân giác BAC nên ta có : BD AB CD AC BD AB 12 CD AC 16 S ABD BD 1 Mà S ABD AH BD S ACD AH CD => 2 S ACD CD d) 0,75 BD = ?, CD = ? BD BD AB BD AB AB Ta có : (cmt) => hay CD BD AB AC BC AB AC CD AC BD 20.3 12 8, cm => BD = 20 12 16 7 Mà CD = BC – BD = 20 – 8,6 = 11,4 cm hay 0,75 0,75 0,5 0,5 0,5 e) 1 AH BC AB AC 2 AB AC 12.16 9, (cm) => AH BC AB AC hay AH = AH BC 20 e) AH = ? Vì ABC vng A nên S ABC 0,5 0,5 ĐỀ V I TRẮC NGHIỆM ( điểm) Câu 1: Cho AB = 4cm, DC = 6cm Tỉ số hai đoạn thẳng AB CD là: A B C D Câu 2: Cho ∆A’B’C’ ∆ABC theo tỉ số đồng dạng k Tỉ số chu vi hai tam giác đó: Tổng hợp giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ Facebook, Zalo: 0972120800 nguồn tham khảo: internet Trang 197 TOÁN HỌC LỚP B C Câu 3: Chỉ tam giác đồng dạng hình sau: A D A ∆DEF ∆ABC B ∆PQR ∆EDF C ∆ABC Câu Trong hình biết MQ tia phân giác NMP 5 x Tỷ số là: A B y ∆PQR D Cả A, B, C D 5 Câu Độ dài x hình bên là: A 2,5 B C 2,9 D 3,2 C Câu Trong hình vẽ cho biết MM’ // NN’ Số đo đoạn thẳng OM là: A cm B 2,5 cm C cm D cm Câu 7: Điền từ thích hợp vào chỗ ( ) để hoàn thiện khẳng định sau: Nếu đường thẳng cắt tam giác với cạnh lại tam giác tương ứng tỉ lệ II TỰ LUẬN (7 điểm ) Câu 8: Cho ABC vuông tai A, có AB = 9cm, AC = 12cm Tia phân giác góc A cắt BC D, từ D kẻ DE AC ( E AC) BD a)Tính tỉ số: , độ dài BD CD b) Chứng minh: ABC EDC DC c)Tính DE d) Tính tỉ số S ABD S ADC ĐÁP ÁN I TRẮC NGHIỆM : (3điểm) Câu Đáp án C B A D B D Thứ tự điền là: hai cạnh, song song, tạo thành, có ba cạnh, với ba cạnh, tam giác cho II TỰ LUẬN ( Điểm ) Câu Đáp án Điểm 0,5 Tổng hợp giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ Facebook, Zalo: 0972120800 nguồn tham khảo: internet Trang 198 TOÁN HỌC LỚP BD AB DC AC 12 BD AB BD AB Từ DC AC DC BD AC AB BD AB BD BC AC AB 15 21 9.15 6, 4cm => BD 21 Từ đó: DC = BC – BD = 15 – 6,4 = 8,6 cm b) Xét ABC EDC có: A E 900 , C chung => ABC EDC (g.g) DE DC c) ABC EDC => AB BC AB.DC 9.8, DE 5, 2cm BC 15 d) S ABD AH BD S ABD AH DC AH BD S ABD BD => S ADC AH DC DC a) Vì AD phân giác A => 0,5 1 0,25 0,25 1,5 0,75 0,75 0,25 0,25 CHƯƠNG IV: HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG- HÌNH CHĨP ĐỀU HÌNH HỘP CHỮ NHẬT ▪ Hình hộp chữ nhật có mặt hình chữ nhật, đỉnh 12 cạnh chia thành nhóm, nhóm có cạnh ▪ Hai mặt hình hộp chữ nhật khơng có cạnh chung gọi hai mặt đối diện ▪ Hình lập phương hình hộp chữ nhật có mặt hình vng Trong khơng gian hai đường thẳng phân biệt chúng nằm mặt phẳng khơng có điểm chung gọi hai đường thẳng song song Trong không gian hai đường thẳng a, b chúng : 1) Cắt nhau; 2) Song song; 3) Trùng nhau; 4) Không nằm chung mặt phẳng nào, gọi hai đường thẳng chéo Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng chúng khơng có điểm chung Nếu đường thẳng a không nằm mặt phẳng song song đường thẳng b nằm mặt phẳng đường thẳng a song song với mặt phẳng Nếu hai mặt phẳng song song chúng khơng có điểm chung Nếu đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt mặt phẳng đường thẳng vng góc với mặt phẳng Thể tích hình lập phương tích ba kích thước : V a.b.c Thể tích hình hộp chữ nhật lập phương cạnh : V a Tổng hợp giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ Facebook, Zalo: 0972120800 nguồn tham khảo: internet Trang 199 TOÁN HỌC LỚP Ví dụ : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ hình vẽ a) Hãy kể tên đỉnh, cạnh, cặp mặt đối diện b) Hãy đường thẳng cắt đường thẳng AB, song song với đường thẳng CD, chéo với đường thẳng AA’ c) Mặt phẳng song song với đường thẳng AB d) Đường thẳng song song với mặt phẳng (ABCD) e) Mặt phẳng song song với mặt phẳng (AA’D’D) f) Mặt phẳng vng góc với đường thẳng CD g) Đường thẳng vng góc với mặt phẳng (BB’C’C) h) Chứng minh AC '2 AB AD AA '2 , ( hình hộp chữ nhật bình phương đường chéo tổng bình phương ba kích thước ) Bài giải a) Các đỉnh hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ A, B, C, D; A’, B’, C’, D’ Các cạnh AB, CD, A’B’, C’D’ AD, BC, B’C’, A’D’ AA’, BB’, CC’, DD’ Các cặp mặt đối diện : (ABCD) (A’B’C’D’); (ADD’A’) (BCC’B’); (ABB’A’) (DCC’D’) b) Những đường thẳng cắt đường thẳng AB đường thẳng AA’, đường thẳng AD Những đường thẳng song song với đường thẳng CD đường thẳng AB, A’B’, C’D’ Những đường thẳng chéo với đường thẳng AA’ đường thẳng BC, CD, B’C’, C’D’ c) Song song với đường thẳng AB mặt phẳng (CDD’C’); (A’B’C’D’) d) Song song với mặt phẳng (ABCD) đường thẳng A’B’, C’D’, A’D’, B’C’ e) Song song với mặt phẳng (AA’D’D) mặt phẳng (BB’C’C) f) Vng góc với đường thẳng CD mặt phẳng (ADD’A’); (BCC’B’) g) Vng góc với mặt phẳng (BB’C’C) đường thẳng AB, CD, A’B’, C’D’ h) Do ABCD.A’B’C’D’ hình chữ nhật nên ABCD hình chữ nhật, theo định lý Pitago ta có : AC AD DC AD AB , (1) Do CC ' ABCD nên ACC’ vuông C Áp dụng định lý Pitago lần ta có : AC '2 AC CC '2 , CC ' AA ' nên AC '2 AB AD AA '2 A' D' B' C' D A B HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG Các mặt bên hình chữ nhật Các cạnh bên song song Hai đáy hai đa giác có cạnh tương ứng song song với nhau, hai đáy hai đa giác Diện tích xung quanh lăng trụ đứng chu vi đáy nhân với chiều cao : ▪ ▪ ▪ S xq p.h C p nửa chu vi, h chiều cao lăng trụ Thể tích lăng trụ đứng diện tích đáy nhân với chiều cao : V S.h , S diện tích đáy, h chiều cao lăng trụ đứng HÌNH CHĨP ĐỀU ▪ ▪ Những mặt bên tam giác cân có chung đỉnh Mặt đáy đa giác Tổng hợp giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ Facebook, Zalo: 0972120800 nguồn tham khảo: internet Trang 200 TOÁN HỌC LỚP ▪ Đường thẳng qua đỉnh vng góc với đáy gọi đường cao Chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy ▪ Đường cao mặt bên gọi trung đoạn, trung đoạn Diện tích xung quanh chóp tích nửa chu vi đáy nhân S xq p.d , với trung đoạn : p nửa chu vi, d trung đoạn chóp Thể tích chóp 1 diện tích đáy nhân với chiều cao : V S h , 3 S diện tích đáy, h chiều cao chóp Ví dụ : Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích hình chóp tứ giác có cạnh bên b, cạnh đáy a Áp dụng cho a 20, cm b 24, cm Bài giải Giả sử S.ABCD hình chóp tứ giác SA SB SC SD b ABCD hình vng a cạnh a Diện tích : S a Gọi M trung điểm AB ta có : MA 2 Xét SAM có M 900 , SA b , MA a2 a a nên d SA2 MA2 b b 2 a2 Diện tích xung quanh hình chóp : S xq 4.S SAB AB.SM 2.a b Diện tích tồn phần hình chóp : Stp S xq Sd 2.a b a2 a2 Gọi H chân đường cao chóp H tâm hình vng ABCD cạnh a HM Xét SHM có H 900 , SM d b a2 h SH SM HM b 2 a a a2 , HM nên : a 2 a2 b2 2 1 a2 Thể tích chóp : V S ABCD h a b 3 Áp dụng cho a 20, cm b 24, cm Diện tích đáy : S a 202 400, cm Trung đoạn : d b a2 202 242 242 52 19.29 4 a2 202 2.20 242 40 19.29 4 Diện tích tồn phần hình chóp : Stp S xq Sd 40 19.29 400 Diện tích xung quanh hình chóp : S xq 2.a b h b2 a2 202 242 242 200 376 2 2 a2 202 400 V a b 20 24 376 Thể tích chóp : 3 Tổng hợp giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ Facebook, Zalo: 0972120800 nguồn tham khảo: internet Trang 201 TOÁN HỌC Tổng hợp giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ Facebook, Zalo: 0972120800 LỚP nguồn tham khảo: internet Trang 202 ... (x – 1)(3x – – 2x – 2) = (x – 1)(x – 5) Cách 6: x2 – 6x + = 5x2 – 10x + – 4x2 + 4x = 5(x – 1)2 – 4x(x – 1) = (x – 1)(5x – – 4x) = (x – 1)(x – 5) Cách 7: x2 – 6x + = 6x2 – 6x – 5x2 + = 6x(x – 1)... z)(y + z) d) 8xy3 – 5xyz – 24y2 + 15z = (8xy3 – 24y2) – (5xyz – 15z) = 8y2(xy – 3) – 5z(xy – 3) = (xy – 3)(8y2 – 5z) e) x4 – x3 – x + = x3(x – 1) – (x – 1) = (x – 1)(x3 – 1) = (x – 1)(x – 1)(x2 +... c2) – b(b2 – c2) – b(a2 – b2) + c(a2 – b2) = (b2 – c2)(a – b) – (a2 – b2)(b – c) = (b – c)(b + c)(a – b) – (a – b)(a + b)(b – c) = (a – b)(b – c)(b + c – a – b) = (a – b)(b – c)(c – a) c) a(b3 –