Tập hợp và ánh xạ

TOÁN RỜI RẠC - HK1 - NĂM 2016 -2017 Chương TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ lvluyen@hcmus.edu.vn http://www.math.hcmus.edu.vn/∼luyen/trr2016 FB: fb.com/trr2016 Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh − − −− Tháng 10 năm 2016 − − −− lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tập hợp ánh xạ Tháng 10 - 2016 1/35 Nội dung Chương TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ Tập hợp Ánh xạ lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tập hợp ánh xạ Tháng 10 - 2016 2/35 2.1 Tập hợp Khái niệm Các phép toán tập hợp Tập tập tập hợp Tích Descartes lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tập hợp ánh xạ Tháng 10 - 2016 3/35 2.1.1 Khái niệm Tập hợp khái niệm Toán học, dùng để nhóm đối tượng mà quan tâm Khi phần tử x thuộc tập hợp A ta ký hiệu x ∈ A, ngược lại ta ký hiệu x ∈ / A Ví dụ - Tập hợp sinh viên trường đại học - Tập hợp số nguyên - Tập hợp trái táo Để minh họa tập hợp dùng sơ đồ Ven lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tập hợp ánh xạ Tháng 10 - 2016 4/35 Lực lượng tập hợp Số phần tử tập hợp A gọi lực lượng tập hợp, kí hiệu |A| Nếu A có hữu hạn phần tử, ta nói A hữu hạn Ngược lại, ta nói A vô hạn Ví dụ • |∅| = • N, Z, Q, R, tập vô hạn • X = {1, 3, 4, 5} tập hữu hạn với |X| = Cách xác định tập hợp Có cách phổ biến: Liệt kê tất phần tử tập hợp A = {1, 2, 3, 4, a, b} Đưa tính chất đặc trưng B = {n ∈ N | n chia hết cho 3} lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tập hợp ánh xạ Tháng 10 - 2016 5/35 Quan hệ tập hợp a Bao hàm Nếu phần tử tập hợp A phần tử tập hợp B tập hợp A gọi tập hợp tập hợp B, ký hiệu A ⊂ B, nghĩa A ⊂ B ⇔ ∀x, x ∈ A → x ∈ B b Bằng Hai tập hợp A B gọi A ⊂ B B ⊂ A, ký hiệu A = B Ví dụ Cho A = {1, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} C = {x ∈ Z | < x < 9} Khi A ⊂ B B = C lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tập hợp ánh xạ Tháng 10 - 2016 6/35 2.1.2 Các phép toán tập hợp a) Hợp Hợp A B tập hợp gồm tất phần tử thuộc hai tập hợp A B, ký hiệu A ∪ B, nghĩa A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B} Ví dụ Cho A = {a, b, c, d} B = {c, d, e, f } Khi A ∪ B = {a, b, c, d, e, f } lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tập hợp ánh xạ Tháng 10 - 2016 7/35 Nhận xét x ∈ A ∪ B ⇔ x∈A x∈B x∈ / A∪B ⇔ x∈ /A x∈ /B Tính chất Tính lũy đẳng A ∪ A = A Tính giao hoán A ∪ B = B ∪ A Tính kết hợp (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) Hợp với tập rỗng A ∪ ∅ = A b) Giao Giao A B tập hợp gồm tất phần tử vừa thuộc A thuộc B, ký hiệu A ∩ B, nghĩa A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tập hợp ánh xạ Tháng 10 - 2016 8/35 Ví dụ Cho A = {a, b, c, d} B = {c, d, e, f } Khi A ∩ B = {c, d} Nhận xét x ∈ A ∩ B ⇔ x∈A x∈B x∈ / A∩B ⇔ x∈ /A x∈ /B Tính chất Tính lũy đẳng A ∩ A = A Tính giao hoán A ∩ B = B ∩ A Tính kết hợp (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) Giao với tập rỗng A ∩ ∅ = ∅ Tính chất Tính phân phối phép hợp giao A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tập hợp ánh xạ Tháng 10 - 2016 9/35 c) Hiệu Hiệu hai tập hợp A B tập hợp tạo tất phần tử thuộc tập A mà không thuộc tập B ký hiệu A\B, nghĩa A\B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ / B} Nhận xét x ∈ A\B ⇔ x∈A x∈ /B x∈ / A\B ⇔ x∈ /A x∈B Tính chất Cho A, B, C tập hợp Khi A\(B ∩ C) = (A\B) ∪ (A\C); A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C) lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tập hợp ánh xạ Tháng 10 - 2016 10/35 f (x) = x + 2, g(x) = 3x − Giải i) Với x ∈ R ta có g◦ f (x) = g(f (x)) = g(x + 2) = 3(x + 2) − = 3x + Vậy ánh xạ g◦ f : R → R xác định g◦ f (x) = 3x + ii) Với x ∈ R ta có f◦ g(x) = f (g(x)) = f (3x − 1) = (3x − 1) + = 3x + Vậy ánh xạ f◦ g : R → R xác định f◦ g(x) = 3x + Ví dụ.(tự làm) Cho f, g : R → R xác định f (x) = x2 − g(x) = − 3x Xác định g◦ f f◦ g Ví dụ.(tự làm) Cho hai hàm số f, g : R → R với f (x) = 2x + f◦ g(x) = 4x + Tìm g(x)? lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tập hợp ánh xạ Tháng 10 - 2016 21/35 2.2.3 Ảnh ảnh ngược Định nghĩa Cho f : X −→ Y , a) Cho A ⊂ X, ảnh A f tập f (A) = {f (x) | x ∈ A} ⊂ Y ; b) Cho B ⊂ Y , ảnh ngược B f tập f −1 (B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B} ⊂ X c) Ta ký hiệu Im(f ) = f (X), gọi ảnh f lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tập hợp ánh xạ Tháng 10 - 2016 22/35 Ví dụ Cho f : R → R xác định f (x) = x2 + Hãy tìm a) f ([1, 3]); f ([−2, −1]); f ([−1, 3]); f ((1, 5)); b) f −1 (1); f −1 (2); f −1 (−5); f −1 ([2, 5])? Đáp án a) f ([1, 3]) = [2, 10]; f ([−2, −1]) = [2, 5]; f ([−1, 3]) = [1, 10]; f ((1, 5)) = (2, 26) b) f −1 (1) = {0}; f −1 (−5) = ∅; f −1 (2) = {−1, 1}; f −1 ([2, 5]) = [−2, −1] ∪ [1, 2] Ví dụ.(tự làm) Cho f : R → R xác định f (x) = x2 − 2x + Hãy tìm a) f ([1, 5]); f ([−5, −2]); f ([−3, 3]); f ((0, 5)); b) f −1 (1); f −1 (3); f −1 (−5); f −1 ([3, 11])? lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tập hợp ánh xạ Tháng 10 - 2016 23/35 2.2.4 Các loại ánh xạ Định nghĩa Cho ánh xạ f : X → Y Ta nói f đơn ánh “∀x1 , x2 ∈ X, x1 = x2 → f (x1 ) = f (x2 )”, nghĩa hai phần tử khác X có ảnh khác Y Mệnh đề Cho ánh xạ f : X → Y Khi đó: i) f đơn ánh ⇔ “∀x1 , x2 ∈ X, f (x1 ) = f (x2 ) → x1 = x2 ” ii) f không đơn ánh ⇔ “∃x1 , x2 ∈ X, x1 = x2 ∧ f (x1 ) = f (x2 )” Chứng minh i) Sử dụng luật logic p → q ⇔ ¬q → ¬p ii) Sử dụng luật logic ¬(p → q) ⇔ p ∧ ¬q lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tập hợp ánh xạ Tháng 10 - 2016 24/35 Ví dụ Cho ánh xạ f : R → R xác định f (x) = x + Xét tính đơn ánh f Giải Với x1 , x2 ∈ R, x1 = x2 x1 + = x2 + nên f (x1 ) = f (x2 ) Do f đơn ánh Ví dụ Cho ánh xạ f : R → R xác định f (x) = x3 + x Xét tính đơn ánh f Giải Với x1 , x2 ∈ R, f (x1 ) = f (x2 ) ⇔ x31 + x1 = x32 + x2 ⇔ x31 − x32 + x1 − x2 = ⇔ (x1 − x2 )(x21 + x1 x2 + x22 + 1) = ⇔ x1 − x2 = (vì x21 + x1 x2 + x22 + ≥ 1) ⇔ x1 = x2 Do f đơn ánh lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tập hợp ánh xạ Tháng 10 - 2016 25/35 Ví dụ Cho ánh xạ f : R → R xác định f (x) = x2 + x Xét tính đơn ánh f Giải Ta có f (−1) = f (0) = mà −1 = Do f không đơn ánh Định nghĩa Cho ánh xạ f : X → Y Ta nói f toàn ánh “∀y ∈ Y, ∃x ∈ X cho y = f (x)”, nghĩa phần tử thuộc Y ảnh phần tử thuộc X lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tập hợp ánh xạ Tháng 10 - 2016 26/35 Ví dụ a) Cho f : R → R xác định f (x) = x3 + toàn ánh b) Cho g : R → R xác định g(x) = x2 + không toàn ánh Mệnh đề Cho ánh xạ f : X → Y Khi đó, i) f toàn ánh ⇔ với y ∈ Y, phương trình y = f (x) có nghiệm ii) f không toàn ánh ⇔ tồn y0 ∈ Y cho phương trình y0 = f (x) vô nghiệm Ví dụ Cho f : R → R xác định f (x) = x2 − 3x + Hỏi f có toàn ánh không? Giải Với y = ta có phương trình y = f (x) vô nghiệm Suy f không toàn ánh lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tập hợp ánh xạ Tháng 10 - 2016 27/35 Định nghĩa Ta nói f : X → Y song ánh f vừa đơn ánh vừa toàn ánh nghĩa ∀y ∈ Y, ∃! x ∈ X : f (x) = y Ví dụ a) f : R → R xác định f (x) = x3 + song ánh b) g : R → R xác định g(x) = x2 + không song ánh Ví dụ Cho f : R → R xác định f (x) = x + Hỏi f có song ánh không? lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tập hợp ánh xạ Tháng 10 - 2016 28/35 Giải Với y ∈ R, ta có y = f (x) ⇔ y = x + ⇔ x = y − Như vậy, với y ∈ R, tồn x = y − ∈ R để y = f (x) Do f toàn ánh Hơn f đơn ánh Vậy, f song ánh Ví dụ.(tự làm) Cho f : N → N xác định f (x) = 2x + Hỏi f có song ánh không? Ví dụ.(tự làm) Cho f : Z → Z xác định f (x) = x + Hỏi f có song ánh không? Tính chất Cho ánh xạ f : X → Y g : Y → Z Khi (i) f, g đơn ánh ⇒ g◦ f đơn ánh ⇒ f đơn ánh; (ii) f, g toàn ánh ⇒ g◦ f toàn ánh ⇒ g toàn ánh; (iii) f, g song ánh ⇒ g◦ f song ánh ⇒ f đơn ánh, g toàn ánh lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tập hợp ánh xạ Tháng 10 - 2016 29/35 2.2.5 Ánh xạ ngược Định nghĩa Cho f : X → Y song ánh Khi đó, với y ∈ Y , tồn phần tử x ∈ X thỏa f (x) = y Do tương ứng y → x ánh xạ từ Y vào X Ta gọi ánh xạ ngược f ký hiệu f −1 Như vậy: f −1 : Y y −→ X −→ x với f (x) = y Ví dụ Cho f ánh xạ từ R vào R xác định f (x) = x + Chứng tỏ f song ánh tìm f −1 ? Đáp án f −1 (y) = y − lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tập hợp ánh xạ Tháng 10 - 2016 30/35 Ví dụ Cho f : [0; 2] −→ [0; 4] x −→ x2 f −1 : [0; 4] −→ [0; 2] √ y −→ y Định lý Cho ánh xạ f : X → Y Khi đó, ∀y ∈ Y , phương trình f (x) = y (theo ẩn x) có nghiệm f song ánh Hơn nữa, nghiệm x0 f −1 (y) = x0 Ví dụ Cho f : R → R xác định f (x) = 5x − Hỏi f có song ánh không? Giải Với y ∈ R, ta xét phương trình ẩn x sau y = f (x) ⇔ y = 5x − ⇔ x = y+3 Như vậy, phương trình có nghiệm nhất, suy f song ánh lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tập hợp ánh xạ Tháng 10 - 2016 31/35 Hơn f −1 (y) = y+3 x+3 hay f −1 (x) = 5 Ví dụ.(tự làm) Cho f : R → R xác định f (x) = x3 + Hỏi f có song ánh không? Nếu có, tìm ảnh ngược f Ví dụ.(tự làm) Cho ánh xạ f : X = (2, +∞) → Y = R định f (x) = 4ln(5x − 10) + 3, ∀x ∈ X Chứng minh f song ánh viết ánh xạ ngược f −1 Ví dụ.(tự làm) Cho f : X = (3, 6] → Y = [−27, −6) xác định f (x) = −x2 + 2x − , ∀x ∈ X Chứng minh f song ánh viết ánh xạ ngược f −1 (x) lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tập hợp ánh xạ Tháng 10 - 2016 32/35 Mệnh đề Cho f : X → Y g : Y → Z hai song ánh Khi đó: (i) f −1 song ánh (f −1 )−1 = f ; (ii) (g◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 Mệnh đề Cho hai ánh xạ f : X → Y g : Y → X Nếu g◦ f = IdX , f◦ g = IdY f song ánh g ánh xạ ngược f Ví dụ Cho f : X = R \ {1} → Y = R \ {2} g : Y → X xác định f (x) = x+1 2x + g(x) = x−1 x−2 Ta dễ dàng kiểm tra g◦ f (x) = x f◦ g(x) = x Do f song ánh g ánh xạ ngược f lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tập hợp ánh xạ Tháng 10 - 2016 33/35 Định lý Cho f, g song ánh Khi i) f◦ θ = h ⇔ θ = f◦−1 h ii) θ◦ f = h ⇔ θ = h◦ f −1 iii) f◦ θ◦ g = h ⇔ θ = f◦−1 h◦ g −1 Ví dụ Cho f : X = R \ {1} → Y = R \ {2} h : X → X xác định f (x) = 2x + h(x) = 5x + x−1 Hãy tìm ánh xạ g cho g◦ f = h? Giải Ta có g◦ f = h ⇔ g◦ f◦ f −1 = h◦ f −1 Mà f◦ f −1 = IdX , suy x+1 Vậy g = h◦ f −1 Theo ví dụ trước ta có f −1 (x) = x−2 g(x) = h lvluyen@hcmus.edu.vn x+1 x+1 8x − =5 +3= x−2 x−2 x−2 Chương Tập hợp ánh xạ Tháng 10 - 2016 34/35 Nhận xét Cho X Y tập hữu hạn ánh xạ f : X → Y Khi (i) Nếu f đơn ánh |X| ≤ |Y |; (ii) Nếu f toàn ánh |X| ≥ |Y |; (iii) Nếu f song ánh |X| = |Y | lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tập hợp ánh xạ Tháng 10 - 2016 35/35