Đối đạo hàm và ánh xạ tập nghiệm của hệ ràng buộc tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BẠCH THU TRANG ĐỐI ĐẠO HÀM VÀ ÁNH XẠ TẬP NGHIỆM CỦA HỆ RÀNG BUỘC TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, NĂM 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BẠCH THU TRANG ĐỐI ĐẠO HÀM VÀ ÁNH XẠ TẬP NGHIỆM CỦA HỆ RÀNG BUỘC TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 62.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Anh Dũng HÀ NỘI, NĂM 2017 Mục lục Lời nói đầu 1 Đối đạo hàm ánh xạ Lipschitz đa trị 1.1 Nón pháp tuyến 1.2 Đối đạo hàm 11 1.3 Ánh xạ đa trị Lipschitz 19 Ánh xạ tập nghiệm hệ ràng buộc tuyến tính 28 2.1 Tính qui mêtric 28 2.2 Hệ ràng buộc tuyến tính 33 2.3 Công thức đối đạo hàm ánh xạ G ánh xạ M 33 2.4 Tính tựa Lipschitz tính qui mêtric ánh xạ tập nghiệm 35 Bài toán bù tuyến tính 41 3.1 Bài toán bù tuyến tính 41 3.2 Một số toán tối ưu liên quan đến toán bù tuyến tính 42 3.2.1 Bài toán qui hoạch tuyến tính 42 3.2.2 Bài toán tối ưu bậc hai 43 3.2.3 Trò chơi song ma trận (Bimatrix Games) 43 i 3.3 Mối liên hệ toán bù tuyến tính với hệ ràng buộc tuyến tính 45 3.4 Tính tựa Lipschitz tập nghiệm toán bù tuyến tính 46 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 ii Lời nói đầu Ánh xạ Lipschitz khái niệm quen thuộc giải tích Khi nghiên cứu ánh xạ đa trị, cách tự nhiên ánh xạ đa trị Lipschitz định nghĩa thông qua khoảng cách hai tập ảnh khoảng cách Hausdorff hai tập hợp Tuy nhiên, để đảm bảo khoảng cách Hausdorff mêtric đòi hỏi ảnh tập đóng, bị chặn Để mở rộng cách tự nhiên người ta đề cập đến khái niệm tựa Lipschitz Để có "tính Lipschitz" ánh xạ nghịch ảnh người ta đề cập tính qui mêtric Đồng thời người ta điều kiện đủ để tính qui mêtric ánh xạ đa trị F tương đương với tính tựa Lipschitz ánh xạ ngược F −1 Đối với ánh xạ tuyến tính liên tục, nghiên cứu ánh xạ liên hợp đóng vai trò quan trọng giải tích hàm Đối với ánh xạ đa trị, tính "liên hợp" thay đối đạo hàm thông qua nón pháp tuyến Điều đặc biệt ta có mối liên hệ đối đạo hàm tính tựa Lipschitz Mục tiêu luận văn thông qua công cụ đối đạo hàm ta nghiên cứu tính biến đổi liên tục tập nghiệm: tính tựa Lipschitz ánh xạ tập nghiệm, tính qui mêtric theo nghĩa Robinson Luận văn sử dụng tài liệu tham khảo [1] → [6] đặc biệt tài liệu [1], [2] Luận văn tiêu đề "Đối đạo hàm ánh xạ tập nghiệm hệ ràng buộc tuyến tính" gồm chương nội dung Chương đề cập đến khái niệm tính chất nón pháp tuyến, đối đạo hàm ánh xạ đa trị Lipschitz Chương đề cập đến tính qui mêtric, hệ ràng buộc tuyến tính, tính tựa Lipschitz tính qui mêtric ánh xạ tập nghiệm Chương đề cập đến toán bù tuyến tính mối liên hệ với số toán tối ưu, hệ ràng buộc tuyến tính Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn bảo tận tình T.S Lê Anh Dũng Tác giả xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán-Tin ĐHSP Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Tuy có nhiều cố gắng thời gian, trình độ điều kiện nghiên cứu hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót định Kính mong quý thầy cô bạn đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện phát triển Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Bạch Thu Trang Chương Đối đạo hàm ánh xạ Lipschitz đa trị Trước đề cập đến đối đạo hàm, đề cập đến khái niệm tính chất nón pháp tuyến 1.1 Nón pháp tuyến Định nghĩa 1.1.1 Cho Ω tập khác rỗng không gian Banach X (i) Với x ∈ Ω ε ≥ 0, tập ε-pháp tuyến Ω x xác định bởi: Nε (x; Ω) := x∗ ∈ X ∗ | lim sup Ω u→x x∗ , u − x ≤ε u−x (1.1) Khi ε = 0, phần tử x∗ (1.1) gọi pháp tuyến Fréchet tập N0 (x; Ω) gọi nón pháp tuyến Fréchet Ω x, ta kí hiệu gọn N (x; Ω) Nếu x ∈ / Ω, ta qui ước Nε (x; Ω) := ∅ với ε ≥ (ii) Cho x ¯ ∈ Ω, x∗ ∈ X ∗ pháp tuyến giới hạn Ω x¯ Ω w∗ tồn dãy εk ↓ 0, xk → x ¯, x∗k → x∗ cho x∗k ∈ Nεk (xk ; Ω) với k ∈ N Tập pháp tuyến giới hạn N (¯ x; Ω) := lim sup Nε (x; Ω), (1.2) x→ x ¯ ε↓0 gọi nón pháp tuyến (hay nón pháp tuyến giới hạn) Ω x ¯ Ta qui ước N (¯ x; Ω) := ∅, với x¯ ∈ / Ω Mệnh đề 1.1 Cho Ω1 , Ω2 tập khác rỗng không gian Banach X1 X2 Lấy tùy ý điểm x ¯ = (¯ x1 , x¯2 ) ∈ Ω1 × Ω2 ⊂ X1 × X2 Khi đó: N (¯ x; Ω1 × Ω2 ) = N (¯ x1 ; Ω1 ) × N (¯ x2 ; Ω2 ) (1.3) N (¯ x; Ω1 × Ω2 ) = N (¯ x1 ; Ω1 ) × N (¯ x2 ; Ω2 ) (1.4) Chứng minh Do N (¯ x; Ω) N (¯ x; Ω) không phụ thuộc vào việc chọn chuẩn X1 X2 , nên ta cố định chuẩn chuẩn tương đương không gian Trong không gian tích X1 × X2 ta chọn chuẩn tổng sau: (x1 , x2 ) := x1 + x2 Lấy tùy ý ε ≥ x ¯ = (¯ x1 , x¯2 ) ∈ Ω := Ω1 × Ω2 , ta khẳng định Nε (¯ x1 ; Ω1 ) × Nε (¯ x2 ; Ω2 ) ⊂ N2ε (¯ x; Ω) ⊂ N2ε (¯ x1 ; Ω1 ) × N2ε (¯ x2 ; Ω2 ) (1.5) ¯ε (¯ Thật vậy, lấy tuỳ ý x∗ = (x∗1 , x∗2 ) ∈ Nε (¯ x1 ; Ω1 ) × N x2 ; Ω2 ), ta cần chứng minh x∗ ∈ N2ε (¯ x, Ω) Do x∗1 ∈ Nε (¯ x1 ; Ω1 ) suy với γ > 0, tồn lân cận U1 x¯1 cho x∗1 , x1 − x¯1 ≤ ε + γ, x1 − x¯1 ∀x1 ∈ U1 ∩ Ω1 Do x∗1 , x1 − x¯1 ≤ (ε + γ) x1 − x¯1 + x2 − x¯2 , ∀x2 ∈ Ω2 Suy x∗1 , x1 − x¯1 ≤ ε + γ, x1 − x¯1 + x2 − x¯2 ∀x1 ∈ U1 ∩ Ω1 , x2 ∈ Ω2 Tương tự, x∗2 ∈ Nε (¯ x2 ; Ω2 ) nên với γ > chọn tồn lân cận U2 x ¯2 cho x∗2 , x2 − x¯2 ≤ ε + γ, x1 − x¯1 + x2 − x¯2 ∀x2 ∈ U2 ∩ Ω2 , x1 ∈ Ω1 Suy với γ > x∗1 , x1 − x¯1 + x∗2 , x2 − x¯2 ≤ 2ε + 2γ, x1 − x¯1 + x2 − x¯2 ∀(x1 , x2 ) ∈ (U1 , U2 ) × (Ω1 , Ω2 ) Do với x∗ ∈ N2ε (¯ x, Ω) bao hàm thức thứ (1.5) chứng minh Ta chứng minh bao hàm thức lại x; Ω), ta có: Lấy tuỳ ý x∗ = (x∗1 , x∗2 ) ∈ N2ε (¯ x∗ , x − x¯ lim sup x − x¯ Ω → x = lim sup (x1 ,x2 ) (Ω1 ×Ω2 ) → (¯ x1 ,¯ x2 ) x ¯ x∗1 , x1 − x¯1 + x∗2 , x2 − x¯2 ≤ 2ε x1 − x¯1 + x2 − x¯2 x1 ; Ω1 ) Bởi chọn x1 = x ¯1 x2 = x¯2 ta dễ dàng suy x∗1 ∈ N2ε (¯ x∗2 ∈ N2ε (¯ x2 ; Ω2 ) Do bao hàm thức thứ hai (1.5) chứng minh Dễ dàng thấy (1.3) (1.4) suy trực tiếp từ (1.5) Mệnh đề 1.2 (Tập ε-pháp tuyến tập lồi) Cho Ω tập lồi không gian Banach X Khi Nε (¯ x; Ω) = {x∗ ∈ X ∗ | x∗ , x − x¯ ≤ ε x − x¯ , ∀x ∈ Ω} với ε ≥ x ¯ ∈ Ω Trường hợp đặc biệt với ε = 0, ta có N (¯ x; Ω) = {x∗ ∈ X ∗ | x∗ , x − x¯ ≤ 0, ∀x ∈ Ω} nón pháp tuyến định nghĩa giải tích lồi Chứng minh Chú ý bao hàm thức “ ⊃ ” rõ ràng với tập Ω tùy ý Ta bao hàm thức “ ⊂ ” Ω tập lồi Lấy tùy ý x∗ ∈ Nε (¯ x; Ω) cố định x ∈ Ω Do Ω tập lồi nên ta có xα := x¯ + α(x − x¯) ∈ Ω, ∀α ∈ [0; 1] Rõ ràng xα → x ¯ α ↓ Lấy tùy ý γ > 0, từ (1.1) ta có: x∗ , xα − x¯ ≤ (ε + γ) xα − x¯ , với α > đủ bé Suy α x∗ , x − x¯ ≤ (ε + γ)α x − x¯ Tương đương với x∗ , x − x¯ ≤ (ε + γ) x − x¯ Do bất đẳng thức với γ > nên ta có x∗ , x − x¯ ≤ ε x − x¯ Mệnh đề chứng minh Định nghĩa 1.1.2 (Tập quy theo nghĩa pháp tuyến)Cho X không gian Banach Một tập Ω ⊂ X gọi quy (pháp tuyến) x ¯∈Ω N (¯ x; Ω) = N (¯ x; Ω) Mệnh đề 1.3 (Tính quy tập lồi địa phương) Cho U lân cận x ¯ ∈ Ω ⊂ X cho tập Ω ∩ U lồi Khi Ω quy x¯ N (¯ x; Ω) = {x∗ ∈ X ∗ | x∗ , x − x¯ ≤ 0; ∀x ∈ Ω ∩ U } Chứng minh Trong định nghĩa N (¯ x; Ω), ta lấy dãy {xk } dãy hằng, xk = x¯, với k ∈ N∗ ta suy N (¯ x; Ω) ⊂ N (¯ x; Ω) Ta chứng minh Đặt = max{r, rα}, ta d(x1 ; S(w2 )) ≤ w2 − w1 ; ∀x1 ∈ S(w1 ) ∩ V Từ S(w2 ) tập đóng, khác rỗng nên tồn x2 ∈ S(w2 ) cho d(x1 ; S(w2 )) = d(x1 , x2 ) Do d(x1 , x2 ) ≤ w2 − w1 Vì x1 tùy ý thuộc S(w1 ) ∩ V nên x1 ∈ S(w2 ) + w2 − w1 ¯ × BRn Điều kéo theo S(w1 ) ∩ V ⊂ S(w2 ) + w2 − w1 ¯ × BRn Vậy S tựa qui mêtric địa phương xung quanh (w, ¯ x¯) Bổ đề chứng minh Bổ đề 2.4.2 Nếu điều kiện (2.9) thỏa mãn S mêtric qui theo nghĩa Robinson w0 = (w, ¯ x¯, 0) Chứng minh Sử dụng định lí 3.1, [4], ta cần điều kiện sau thỏa mãn, thứ kerD∗ F (w0 ) = {0}, (2.14) F (x, w) = G(x, w) + M (x, w) Thứ hai {w ∈ W ∗ | ∃v ∈ Rm , (0, w ) ∈ D∗ F (w0 )(v )} = {0} Sử dụng định lí 1.62, [2], cho v bất kì, ta có D∗ F (w0 )(v ) = ∇G(¯ x, w) ¯ ∗ v + D∗ M (w)(v ¯ ) Do đó, điều kiện (2.14) trở thành (0 ∈ ∇G(¯ x, w) ¯ ∗ v + D∗ M (w)(v ¯ )) ⇒ v = 38 (2.15) Từ định lí 2.3.2 2.3.3 , điều kiện (2.14) trở thành [v ∈ −N (¯ v ; K) {−A¯T v } × {−(vi x¯j )} × {−v } = 0] ⇒ v = Do (2.10), điều kiện (2.15) nghĩa (2.12) thỏa mãn Trong chứng minh định lí 2.4.1 đẳng thức tương đương với điều kiện (2.9) Vậy bổ đề chứng minh Định lí 2.4.2 Tính tựa Lipschitz địa phương xung quanh (w, ¯ x¯) tính qui metric theo nghĩa Robinson w0 = (w, ¯ x¯, 0) S tương đương Chứng minh Sử dụng định lí 2.4.1, bổ đề 2.4.1 2.4.2 Định lí 2.4.3 Nếu K nón lồi đóng tính chất sau tương đương: (a) S tựa Lipschitz địa phương quanh (w, ¯ x¯); (b) S qui mêtric theo nghĩa Robinson w0 = (w, ¯ x¯, 0); (c) (kerA¯T ) ∩ N (¯ v ; K) = {0}; (d) (kerA¯T ) ∩ K ∗ ∩ (¯ v )⊥ = {0}, K ∗ = {v ∈ Rm | v , v¯ ≤ 0, ∀v ∈ K}, ¯x + ¯b, (¯ v¯ = A¯ v )⊥ := {v ∈ Rm | v , v¯ ≤ 0}; ¯ Rn ) ảnh A¯ intΩ (e) ∈ int(rgeA¯ = K − v¯), rgeA¯ := A( phần Ω; (f) rgeA¯ + cone(K − v¯) = Rm , coneC nón tạo C Do đó, điều kiện sau đủ để (a) (b) thỏa mãn: (kerA¯T ) ∩ K ∗ = {0}; (kerA¯T ) ∩ (¯ v )⊥ = {0}; K ∗ ∩ (¯ v )⊥ = {0} 39 (a) ⇔ (b) ⇔ (c) suy từ định lý 2.4.2 Để chứng minh (c) ⇔ (d), ta cần chứng minh N (¯ v ; K) = K ∗ ∩ (¯ v )⊥ Do v ∈ K ∗ v ∈ (¯ v )⊥ nên dễ dàng suy v ∈ N (¯ v ; K) Nếu v ∈ N (¯ v ; K), v , v − v¯ ≤ 0, ∀v ∈ K v = ⇒ v , v¯ ≥ v = 2¯ v ⇒ v , v¯ ≤ Do v , v¯ = hay v ∈ (¯ v )⊥ Với v ∈ K , thay v v + v¯ vào bất đẳng thức trên, ta có v , v ≤ 0, v ∈ K ∗ Để chứng minh (c) ⇒ (e), giả sử trái lại (c) đúng, ∈ Rm điểm biên tập lồi C := rgeA¯ + K − v¯ Theo định lý phân tách, ta tìm véctơ khác không x∗ ∈ Rm cho x∗ , y ≤ 0, ∀y ∈ C ¯ vào bất đẳng thức cuối ta Thay y = Ax ¯ ≤ 0, A¯T x∗ , x = x∗ , Ax ∀x ∈ Rn x∗ ∈ ker A¯T Bây giờ, cho y = v − v¯, v ∈ K , ta x∗ , v − v¯ ≤ 0, ∀v ∈ K Điều nghĩa x∗ ∈ N (¯ v ; K) Do đó, tính chất x∗ = trái với (c) Do cone(rgeA¯ + (K − v¯)) = rgeA¯ + cone(K − v¯), (e) ⇒ (f ) Để kết thúc chứng minh, ta cần chứng minh (f ) ⇒ (c) Nếu x∗ ∈ (ker A¯T )∩ ¯ = ∀x ∈ Rn x∗ , v − v¯ ≤ 0, N (¯ v ; K) x∗ , Ax ¯ + λ(v − v¯) ≤ 0, x∗ , Ax ∀x ∈ Rn , v ∈ K, λ ≥ Theo (f ), ta có x∗ = Do đó, (c) 40 ∀v ∈ K Do đó: Chương Bài toán bù tuyến tính 3.1 Bài toán bù tuyến tính Định nghĩa 3.1.1 Cho ma trận M ∈ Rn×n véctơ q ∈ Rn , tìm véctơ x ∈ Rn cho: x≥0 q + M x ≥ 0, xT (q + M x) = Ta gọi toán toán bù tuyến tính kí hiệu toán LCP (q, M ) Cho LCP (q, M ), kí hiệu F EA(q, M ) = {x : q + M x ≥ 0, x ≥ 0}, SOL(q, M ) = {x : q + M x ≥ 0, x ≥ 0, xT (q + M x) = 0}, miền chấp nhận tập nghiệm LCP (q, M ) Nếu F EA(q, M ) = ∅ khối đa diện 41 3.2 3.2.1 Một số toán tối ưu liên quan đến toán bù tuyến tính Bài toán qui hoạch tuyến tính Cho ma trận A ∈ Rm×n , c ∈ Rn véctơ n chiều, b ∈ Rm Xét toán quy hoạch tuyến tính (LP): cT x → thỏa mãn Ax ≥ b (P ) x ≥ Lý thuyết qui hoạch tuyến tính x ¯ nghiệm tối ưu (P) tồn véctơ y¯ thỏa mãn y T A ≤ cT , y T (Ax − b) = 0, y ≥ 0, (y T A − cT )x = Bây ta xếp điều kiện sau: u = c − AT y ≥ v = −b + Ax x ≥ 0, xT u = 0, ≥0 y≥0 yT v = Ta định nghĩa w= u v , q= c −b , M= −AT A , z= Khi điều kiện tối ưu LP trở thành LCP (q, M ) 42 x y 3.2.2 Bài toán tối ưu bậc hai Cho Q ∈ Rn×n ma trận đối xứng, c ∈ Rn véctơ n chiều, b ∈ Rn Xét toán quy hoạch toàn phương (QP ) cT x + xT Qx → cho Ax ≥ b (P ) x ≥ Miền xác định: x ≥ 0; Ax ≥ b khối đa diện lồi Hàm số f (x) = cT x + T x Qx hàm lồi nên x ¯ nghiệm địa phương x¯ nghiệm toàn cục toán tối ưu minf (x) Theo định lý Karush-Kuhn-Tucker (KKT), x ¯ nghiệm tối ưu toán minf (x) tồn y¯ cho c + Q¯ x − AT y¯ ≥ 0, y¯ ≥ 0, y¯T (A¯ x − b) = 0, x¯T (c + Q¯ x − AT y¯) = Các điều kiện xác định toán bù tuyến tính LCP (q, M ), w= 3.2.3 u v , q= c −b , M= Q −AT A , z= x y Trò chơi song ma trận (Bimatrix Games) Cho A B hai ma trận cấp m × n Kí hiệu tập chiến lược người chơi I II T n T σm = {x ∈ Rm + : em x = 1} σn = {y ∈ R+ : en y = 1} em = (1, 1, , 1) ∈ Rm ; en = (1, 1, , 1) ∈ Rn Với x ∈ σm y ∈ σn ta biểu thị hàm chi trả người chơi I II (trò chơi hợp tác) tương ứng xT Ay xT By 43 Trò chơi hợp tác song ma trận (Kí hiệu Γ(A, B)) hiểu sau Người chơi thứ có m chiến lược "đơn" biểu thị véctơ tắc đơn vị Rm Tương tự người chơi thứ có n chiến lược "đơn" Chiến m lược x = (x1 , , xm ) ∈ σm , nghĩa xi ≥ 0, ∀i = 1, m xi = 1, i=1 thành phần xi biểu thị xác suất chiến lược đơn thứ i xuất Tương tự với chiến lược y ∈ σn người chơi thứ Hai ma trận A = (aij ), B = (bij ); i = 1, m; j = 1, n biểu thị chi phí hai người chơi phải trả cụ thể là: aij chi phí người thứ phải trả người chơi thứ chọn chiến lược "đơn" thứ i, người chơi thứ phải trả tương tự Khi hai người chơi chọn chiến lược x ∈ σm , y ∈ σn xT Ay xT By chi phí người chơi thứ 1, thứ phải trả Cặp chiến lược (x∗ , y ∗ ) với x∗ ∈ σm , y ∗ ∈ σn gọi nghiệm cân Nash (x∗ )T Ay ∗ ≤ xT Ay ∗ , (x∗ )T By ∗ ≤ (x∗ )T By, với x ∈ σm với y ∈ σn Nói cách khác, cặp chiến lược (x∗ , y ∗ ) nghiệm cân Nash người chơi thứ chọn chiến lược x∗ chiến lược y ∗ chiến lược tốt người chơi thứ chọn ngược lại Ta biểu thị nghiệm cân N ash(x∗ , y ∗ ) nghiệm toán tuyến tính LP : min(Ay ∗ )T x eT x = 1, x ≥ min(B T x∗ )T y eT y = 1, y ≥ 44 Để đưa mô hình trò chơi Γ(A, B) toán bù tuyến tính, ta giả sử A B hai ma trận thành phần aij ≥ 0; bij ≥ 0, ∀i ∈ 1, m; j ∈ 1, n Xét toán bù tuyến tính LCP u = −em + Ay ≥ 0, x ≥ 0, xT u = 0, v = −en + B T x ≥ 0, y ≥ 0, y T v = 0, Trong trường hợp này, ta có w= u v , q= −em −en , M= A BT , z= x y em = (1, , 1) ∈ Rm en = (1, , 1) ∈ Rn Có thể thấy (x∗ , y ∗ ) điểm cân Nash Γ(A, B) (x , y ) = x∗ y∗ , (x∗ )T By ∗ (x∗ )T Ay ∗ nghiệm toán bù tuyến tính LCP (q, M ) cho Ngược lại, (x , y ) nghiệm toán bù tuyến tính LCP (q, M ) (x∗ , y ∗ ) = x y , eTm x eTn y điểm cân Nash Γ(A, B) 3.3 Mối liên hệ toán bù tuyến tính với hệ ràng buộc tuyến tính Xét toán bù tuyến tính LCP (q, M ) mục 3.1 x≥0 q + M x ≥ 0, 45 xT (q + M x) = Bài toán bù tuyến tính mô tả hệ thống ràng buộc sau Đặt M q A = E ∈ R(2n)×n , b = ∈ R2n E ∈ Rn×n ma trân đơn vị K= u n n T v ∈ R × R |u ≥ 0, v ≥ 0, v u = Ta thấy x ∈ Sol(M, q) Ax + b ∈ K Đặt W = R(2n)×n × Rn xét hàm S : W ⇒ Rn định nghĩa S(w) = {x ∈ Rn |Ax + b ∈ K} ∀w = (A, b) ∈ W Vì tập nghiệm toán bù tuyến tính LCP tập nghiệm hệ ràng buộc tuyến tính Để nghiên cứu tính liên tục tập nghiệm toán bù tuyến tính ta nghiên cứu tính liên tục tập nghiệm hệ ràng buộc tuyến tính 3.4 Tính tựa Lipschitz tập nghiệm toán bù tuyến tính Để thuận tiện, ta kí hiệu tập K phần dạng K= u ui n n ∈ R × R | v vi ∈ Ki , i ∈ I = {1, 2, , n} , (3.1) Ki = ui vi ∈ R2 |ui ≥ 0, vi ≥ 0, ui vi = (3.2) Định nghĩa 3.4.1 Ta nói ánh xạ tập nghiệm Sol(.) toán ¯ , q¯), x¯) LCP thoả mãn cận bị chặn địa phương điểm ((M 46 tồn số r > 0, δ > lân cận V x ¯ cho n d(x; Sol(M, q)) ≤ r d i=1 (M x + q)i ; Ki , xi (3.3) ¯ + q − q¯ < δ với x ∈ V (M, q) thoả mãn M − M Từ (3.3) ta suy n ¯ , q¯)) ≤ r d(x; Sol(M d i=1 ¯ x + q¯)i (M ; Ki xi (3.4) với x ∈ V Chú ý (3.4) biểu thị cận bị chặn địa phương theo ¯ , q¯) nghĩa thông thường: vế trái khoảng cách từ x đến tập nghiệm S(M ¯ , q¯) (tương vế phải biểu thị cận bị chặn r > Nếu x ∈ Sol(M ứng x ∈ Sol(M, q)), vế phải (3.4) (tương ứng (3.3)) ¯ , q¯) là: Bây ta định nghĩa điều kiện quy x ¯ ∈ Sol(M ¯ , q¯), ta kí hiệu tập số: I1 = {i ∈ I = {1, 2, , n} : Với x ¯ ∈ Sol(M ¯ x¯ + q¯)i > 0} x¯i = 0, (M ¯ x¯ + q¯)i = 0} I2 = {i ∈ I : x¯i > 0; (M ¯ x¯ + q¯)i = 0} I3 = {i ∈ I : x¯i = 0; (M Rõ ràng I = I1 ∪ I2 ∪ I3 Nếu u = (u1 , , un )T ∈ Rn thỏa mãn   với i ∈ I1 , ui = ¯ T u )i = với i ∈ I2 , (M  ¯ T u )i = 0, u ≤ (M ¯ T u )i ≥ 0, với i ∈ I3 , ui = (M i (3.5) u = Ta kí hiệu L1 = {u = (u1 , , un )|ui = ∀i ∈ I1 }, ¯ T u )i = ∀i ∈ I2 }, L2 = {u = (u1 , , un )|(M ¯ T u )i = 0, u ≤ (M ¯ T u )i ≥ L3 = {u = (u1 , , un )|ui = 0, (M i 47 0, ∀i ∈ I3 } Khi L1 L2 không gian tuyến tính Rn , L3 hợp hữu hạn nón đóng Điều kiện qui (3.5) trở thành: u ∈ L1 ∩ L2 ∩ L3 ⇒ u = , (∀u ∈ Rn ) Ví dụ Cho n = 2, M = √1 x ¯= (b) q¯ = −5 x¯ = (c) q¯ = −1 x¯ = Khi ta có L1 ∩ L2 ∩ L3 (a) q¯ = −2 1 Ta xét tình sau: 0 Ở I1 = I = {1, 2} ¯ Ở I1 = I = {1, 2} detM = 0 Ở I1 = ∅, I2 = {2}, I3 = {1} chứa phần tử u = Sau kết chương ¯ , q¯) Nếu điều kiện quy (3.5) Định lí 3.4.1 Giả sử x ¯ ∈ Sol(M x¯ thoả mãn toán LCP có cận bị chặn địa phương ¯ , q¯), x¯) Hơn (3.3) có cận bị chặn địa phương (3.4) điểm ((M ánh xạ tập nghiệm Sol(.) tựa Lipschitz địa phương xung quanh ¯ , q¯), x¯) điểm ((M Chứng minh Theo định lý 2.4.2, (2.9) thoả mãn tồn số r > 0, lân cận U w ¯ lân cận bị chặn V x¯ thoả mãn d(x; S(w)) ≤ rd(Ax + b; K), (3.6) với w = (A, b) ∈ U x ∈ V Do đó, ta có (M x + q) ;K x d(Ax + b; K) = d Nhắc lại x ∈ S(w) x ∈ Sol(M, q) Do đó, theo (3.6) ¯ + q− q¯ < δ , tồn δ > cho với x ∈ V (M, q) với M − M 48 ta có d(x; Sol(M, q)) ≤ rd (M x + q) ;K x n =r d i=1 (M x + q)i ; Ki xi (3.7) Do đó, từ điều kiện (2.9), ta (3.3), (3.4) Hơn nữa, từ (3.7) tương tự chứng minh bổ đề 2.4.1 ,tồn số l = max{r, ra} thoả mãn ¯Rn Sol(M1 , q1 ) ∩ V ⊂ Sol(M2 , q2 ) + l( M2 − M1 + q2 − q1 )B ¯ + q1 − q¯ < δ M2 − M ¯ + với (M1 , q1 ), (M2 , q2 ) với M1 − M q2 − q¯ < δ Do đó, ánh xạ nghiệm Sol(.) tựa Lipschitz địa phương xung quanh điểm ¯ , q¯), x¯) ((M Để kết thúc chứng minh, ta cần (2.9) tương đương với (3.5) Lấy u v Rõ ràng u v ∈ ker A¯T ∩ N (¯ y ; K) ¯ T u + v = Do đó, ∈ ker A¯T M ker A¯T = u v ¯ Tu |u ∈ Rn , v ∈ −M (3.8) Sử dụng biểu diễn (3.1) cho K mà nón Ki cho (3.2), suy N (¯ y ; K) = N n ¯ x¯ + q¯ M ;K x¯ = N i=1 ¯ x¯ + q¯)i (M ; Ki , x¯i với N ¯ x¯ + q¯)i (M ; Ki x¯i   {0} × R i ∈ I1 , = R × {0} i ∈ I2 ,  ({0} × R) ∪ (R × {0}) ∪ Rn− 49 i ∈ I3 Do đó, (3.8), ta thấy điều kiện quy (3.5) viết lại theo dạng (2.9) 50 Kết luận Luận văn "Đối đạo hàm ánh xạ tập nghiệm hệ ràng buộc tuyến tính" đề cập đến nội dung sau Các khái niệm tính chất đối đạo hàm Ánh xạ tựa Lipschitz mối liên hệ với đối đạo hàm Tính qui mêtric mối liên hệ với tính tựa Lipschitz Tính tựa Lipschitz qui mêtric ánh xạ tập nghiệm hệ ràng buộc tuyến tính Mối liên hệ toán tối ưu toán bù tuyến tính Tính tựa Lipschitz tập nghiệm toán bù tuyến tính 51 Tài liệu tham khảo [1] Dương Thị Kim Huyền, Nguyễn Đông Yên, Coderivatives and the solution map of a linear constraint system, 2016 [2] Boris S.Mordukhovich, Variational Analysis and Generalized Differentiation I, Vol I: Basic Theory, Vol II: Applications, Springer, New York , 2006 [3] A.B.Levy , B.S.Mordukhovich, Coderivatives in parametric optimization , Math Program, 99(2004),pp.311-327 [4] Nguyễn Đông Yên, J-C.Yao, Point-based sufficient conditions for metric regularity of implicit multifunctions , Nonlinear Anal., 70(2009), pp.2806-2815 [5] Boris S.Mordukhovich , Generalized differential calculus for nonsmooth and set-valued mappings, J.Math Anal.Appl., 183(1994), pp.250-288 [6] R.T.Rockafellar and R.B.Wets , Variational Analysis , Springer, New York, 1998 52 ... đề "Đối đạo hàm ánh xạ tập nghiệm hệ ràng buộc tuyến tính" gồm chương nội dung Chương đề cập đến khái niệm tính chất nón pháp tuyến, đối đạo hàm ánh xạ đa trị Lipschitz Chương đề cập đến tính. .. tập nghiệm hệ ràng buộc tuyến tính 28 2.1 Tính qui mêtric 28 2.2 Hệ ràng buộc tuyến tính 33 2.3 Công thức đối đạo hàm ánh xạ G ánh xạ M 33 2.4 Tính tựa... qui mêtric, hệ ràng buộc tuyến tính, tính tựa Lipschitz tính qui mêtric ánh xạ tập nghiệm Chương đề cập đến toán bù tuyến tính mối liên hệ với số toán tối ưu, hệ ràng buộc tuyến tính Luận văn