Độ đo phi compact và ánh xạ cô đặc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH _ Phan Văn Thanh Cảnh ĐỘ ĐO PHI COMPACT VÀ ÁNH XẠ CÔ ĐẶC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH _ Phan Văn Thanh Cảnh ĐỘ ĐO PHI COMPACT VÀ ÁNH XẠ CÔ ĐẶC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 LỜI CẢM ƠN Trong suốt trình học tập hoàn thành luận văn này, nhận hướng dẫn, giúp đỡ quý báu nhiều quý thầy cô Với lòng kính trọng biết ơn sâu sắc, xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới: Phó giáo sư –Tiến sĩ Nguyễn Bích Huy, người thầy kính mến tận tình hướng dẫn, dạy bảo phương pháp nghiên cứu khoa học tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập hoàn thành luận văn thạc sĩ Ban Giám Hiệu, phòng Sau đại học, Khoa Toán Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ trình học tập hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc, chỉnh sửa cho nhận xét quý báu để hoàn chỉnh luận văn Cuối cùng, xin gửi lời chúc sức khỏe, hạnh phúc, thành công đến tất quý thầy cô Xin chân thánh cảm ơn! Phan Văn Thanh Cảnh MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Ánh xạ compact 1.2 Bậc Brouwer 1.2.1 Bậc tôpô trường hợp ϕ ∈ C ( Ω ) ( ) 1.2.2 Bậc tôpô trường hợp ϕ ∈ C Ω 10 1.3 Bậc Leray-Schauder 13 CHƯƠNG 2: ĐỘ ĐO PHI COMPACT 17 2.1 Định nghĩa, tính chất 17 2.2 Một số độ đo phi compact 23 2.2.1 Độ đo phi compact Hausdorff không gian l p c0 23 2.2.2 Độ đo phi compact Hausdorff không gian C [ a, b] 24 2.2.3 Độ đo phi compact Hausdorff không gian Lp [ a, b] 26 CHƯƠNG 3: ÁNH XẠ CÔ ĐẶC 27 3.1 Định nghĩa, tính chất 27 3.2 Bậc tôpô ánh xạ cô đặc .34 3.3 Ứng dụng cho phương trình vi phân thường không gian Banach 38 CHƯƠNG 4: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CÔ ĐẶC 43 4.1 Tính chất phổ .43 4.2 Biểu diễn ánh xạ tuyến tính cô đặc 46 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 MỞ ĐẦU Phương pháp điểm bất động số phương pháp quan trọng hữu hiệu để nghiên cứu tồn nghiệm, cấu trúc tập nghiệm xây dựng nghiệm xấp xỉ cho nhiều lớp phương trình vi phân tích phân xuất phát từ khoa học tự nhiên cho nhiều mô hình kinh tế, xã hội Lí thuyết điểm bất động hình thành từ đầu kỉ 20, phát triển mạnh kỉ tiếp tục hoàn thiện ngày Định lí Banach điểm bất động ánh xạ co định lí Schauder điểm bất động ánh xạ hoàn toàn liên tục hai kết tìm sớm định lí quan trọng Lí thuyết điểm bất động Năm 1955, Krasnoselskii kết hợp hai định lí định lí tiếng điểm bất động tổng ánh xạ co ánh xạ hoàn toàn liên tục Cũng thời gian này, Darbo chứng minh tồn điểm bất động ánh xạ cô đặc theo độ đo phi compact Các ánh xạ co, hoàn toàn liên tục tổng chúng trường hợp riêng ánh xạ cô đặc, định lí Darbo hợp ba hướng nghiên cứu điểm bất động lớp ánh xạ khác hình thức có chất theo quan điểm độ đo phi compact Độ đo phi compact đưa từ năm 1930 nhằm nghiên cứu toán Tô pô đại cương Chỉ sau định lí Darbo tìm độ đo phi compact nhà toán học quan tâm nghiên cứu cách hệ thống Đến Lí thuyết ánh xạ cô đặc theo độ đo phi compact xây dựng hoàn chỉnh tìm ứng dụng sâu sắc nghiên cứu phương trình vi phân, tích phân Giải tích hàm,… Mục tiêu luận văn giới thiệu cách hệ thống tương đối đầy đủ Lí thuyết ánh xạ cô đặc, xây dựng bậc tôpô chúng số ứng dụng ban đầu Nội dung luận văn gồm bốn chương Chương nhắc lại đầy đủ số kiến thức ánh xạ compact, định lí bậc Brouwer định lí bậc Leray Schauder làm tảng việc xây dựng định lí bậc cho ánh xạ k-co theo tập hợp ánh xạ cô đặc Ở chương hai, định nghĩa độ đo phi compact số tính chất chúng Cũng chương giới thiệu số công thức để tính độ đo phi compact không gian đặc biệt Trong chương ba, khảo sát ánh xạ cô đặc, ánh xạ cô đặc đếm Khái quát cách đầy đủ định nghĩa tính chất chúng Đặc biệt, định lí điểm bất động ánh xạ cô đặc đếm định lí bậc cho ánh xạ cô đặc đếm được trình bày với nhiều ứng dụng cho phương trình vi phân thường không gian Banach Cuối cùng, chương bốn giới thiệu ánh xạ tuyến tính cô đặc theo độ đo phi compact phổ chúng Đặc biệt, chương giúp biểu diễn ánh xạ tuyến tính cô đặc CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số kết sử dụng làm tảng cho việc xây dựng kết luận luận văn ánh xạ compact, bậc Brouwer, bậc Leray Schauder Các kết chương chủ yếu tham khảo [1] [5, chương 1, 2] 1.1 Ánh xạ compact Định nghĩa 1.1.1 Giả sử E không gian Banach, tập M ⊂ E tập compact với { } dãy {xn }n M chứa dãy xni i x, x ∈ M hội tụ lim x= ni i →∞ Tập M ⊂ E tập hoàn toàn bị chặn với ε > 0, tồn số hữu hạn cầu n mở B1 , B2 , ⋅ ⋅ ⋅, Bn có bán kính ε cho M ⊂  Bi i =1 Tập M tập compact tương đối bao đóng M tập compact Định lý 1.1.2 Cho E không gian Banach M ⊂ E Khi đó, M tập compact M đóng hoàn toàn bị chặn Định nghĩa 1.1.3 Cho E , F không gian Banach, D tập mở E Ánh xạ f : D → F ánh xạ compact f liên tục ảnh f ( A) tập compact tương đối F A tập bị chặn D Định lý 1.1.4 (Định lý Ascoli-Azela) Cho E không gian Banach M ⊂ C ([ 0, T ] , E ) tập compact tương đối M đẳng liên tục Với t ∈ [ 0, T ]= , M (t ) {x {t} : x (⋅) ∈ M } tập compact tương đối E 1.2 Bậc Brouwer Định lý 1.2.1 (Định lý Stokes) Cho C xích hình hộp kì dị p − chiều chứa tập mở V R n ω dạng vi phân bậc p − V ∫ d ω = C ∫ d ω ∂C Bổ đề 1.2.2 (Bổ đề Sard) Cho Ω tập mở  n có đạo hàm liên tục Đặt K= {x ∈ Ω,det f ' ( x =) 0} Khi f ( K ) tập độ đo không  n Cho Ω tập mở bị chặn  n ϕ : Ω → =  n ,ϕ (ϕ1 ,ϕ , ⋅ ⋅ ⋅,ϕ n ) Giả sử ϕ ∈ C ( Ω ) Với x ∈ Ω, đạo hàm ϕ ' ( x ) ánh xạ tuyến tính từ  n vào  n có ma trận biểu diễn là: ∂ϕ1  ∂ϕ1  ∂x ( x ) ∂x ( x )  ∂ϕ  ∂ϕ x ( x) ( )  ∂x ∂ x  ⋅⋅⋅  ⋅⋅⋅  ∂ϕ  n ( x ) ∂ϕ n ( x )  ∂x ∂x2  ∂ϕ1 ( x )  ∂xn  ∂ϕ ⋅⋅⋅ ( x )  ∂xn  ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅   ∂ϕ n ⋅⋅⋅ ( x )  ∂xn  ⋅⋅⋅ Đặt J ϕ ( x ) = det ϕ ' ( x ) gọi Jacobien ϕ x Điểm x0 ∈ Ω điểm ϕ J ϕ ( x0 ) ≠ 0, điểm tới hạn ϕ J ϕ ( x0 ) = Đặt Zϕ= {x ∈ Ω, J ( x =) 0} tập hợp tất điểm tới hạn ϕ ϕ theo bổ đề Sard, ϕ ( Zϕ ) tập độ đo không  n Đặc biệt, với r > 0, y ∈  n B ( y , r ) cầu mở  n B ( y , r ) \ ϕ ( Zϕ ) ≠ ∅ Điểm y0 ∈  n giá trị ϕ ảnh ngược ϕ −1 ( y0 ) chứa điểm ϕ , giá trị tới hạn ϕ ϕ −1 ( y0 ) chứa điểm tới hạn ϕ Giá f kí hiệu sup pf= {x ∈ Ω, f ( x ) ≠ 0} f : Ω →  Một dạng vi phân ω (hay đơn giản dạng) gọi có giá compact hàm hệ số dạng ω có giá compact Ta kí hiệu n − dạng  n là: µ f ( y ) dy1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ dyn = f ( y ) dy sup pf compact ∫ µ = ∫ f ( y ) dy  ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ dyn n Nếu µ n − dạng  n ánh xạ ϕ cảm ứng n − dạng Ω, kí hiệu µ  ϕ = f (ϕ ( x ) ) J ϕ ( x ) dx Nếu ω ( n − 1) − dạng thuộc lớp C −1 có giá compact  n định lí Stokes ω ∫ d ω = = n ∑ ( −1) g ( y ) dy i −1 i i =1 n ∧d yi ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ dyn (dấu ∧ dyi để phải bỏ số hạng dyi ) vi phân d ω = ∑ i =1 ∂gi dy ∂yi Nếu µ = f ( y ) dy n − dạng  n ϕ phép biến đổi với J ϕ ( x0 ) ≠ với x ∈ Ω, từ công thức đổi biến tích phân, ta có: = ∫µ f ( y ) dy ∫ f (ϕ ( x ) ) = J ϕ ( x ) dx ∫=   n n sgn J ϕ ∫ µ  ϕ 1.2.1 Bậc tôpô trường hợp ϕ ∈ C ( Ω ) Cho Ω tập mở bị chặn  n , Ω = Ω ∪ ∂Ω ϕ : Ω →  n ,ϕ ∈ C ( Ω ) liên tục Ω Với ϕ −1 ( y0 = ) y0 ∉ ϕ ( ∂Ω ) giá trị ϕ , định lí ánh xạ ngược, tập {x ∈ Ω,ϕ ( x =) } y0 gồm điểm cô lập Ω nên ϕ −1 ( y0 ) chứa hữu hạn phần tử Đặt dy0 = ∑ xi ∈ϕ −1 ( y0 ) sgn J ϕ ( xi ) Nếu ϕ −1 ( y0 ) = ∅ dy0 = Vậy dy0 số nguyên Định nghĩa 1.2.3 Một dạng µ = f ( y ) dy n − dạng thuộc lớp C ∞ có giá chứa lân cận tốt D của= y0, D  n \ ϕ ( ∂Ω ) (nghĩa tồn g : D →  n thuộc lớp C cho g ( D ) khối lập phương  n Một lân cận D tốt y0 luôn tồn tại) ∫ µ = gọi thừa nhận y0 ϕ Với µ dạng thừa nhận được, ta định nghĩa bậc tôpô ϕ tập Ω điểm y0 deg (ϕ , Ω, y0 ) = ∫ µ  ϕ Tính hợp lí định nghĩa bậc suy từ bổ đề sau : Bổ đề 1.2.4 Giả sử µ = f ( y ) dy n − dạng thuộc lớp C ∞  n có giá chứa lân cận tốt D ∫ µ = Khi tồn ( n − 1) − dạng ω cho suppω ⊂ D d ω = µ Dưới vài tính chất bậc Mệnh đề 1.2.5 Với y1 đủ gần y0 , y1 ∉ ϕ ( ∂Ω ) deg (ϕ , Ω, y0 = ) deg (ϕ , Ω, y1 ) Chứng minh Gọi D lân cận tốt y0 Với y1 ∈ D µ dạng thừa nhận y0 µ dạng thừa nhận y1 Áp dụng định nghĩa bậc, ta có deg (ϕ , Ω, y0 = ) deg (ϕ , Ω, y1 ) Mệnh đề 1.2.6 Nếu y0 giá trị ϕ = dy0 deg (ϕ , Ω, y0 ) Chứng minh Giả sử ϕ −1= ( y0 ) {x1 , x2 , ⋅ ⋅ ⋅, xk } Tồn lân cận N i xi cách k biệt cho ϕ − lân cận Đặt N = ϕ ( N i ) N lân cận y0 i =1 Giả sử µ dạng thừa nhận có giá chứa N , ta có: deg (ϕ , Ω, y0 = ) k k k ∫ µ  ϕ= ∑ ∫ µ  ϕ= ∑ sgn J ϕ ( x ) ∫ µ= ∑ sgn J ϕ ( x =) d ( y ) i =i i =i = Ni i Chú ý 1.2.7 Do dy0 số nguyên mệnh đề 1.2.5 mệnh đề 1.2.6 suy deg (ϕ , Ω, y0 ) số nguyên Cũng mệnh đề 1.2.5, deg (ϕ , Ω, y0 ) liên tục theo y0 , có giá trị số nguyên nên deg (ϕ , Ω, y0 = ) deg (ϕ , Ω, y ) với y nằm thành phần liên thông  n \ ϕ ( ∂Ω ) chứa y0 Mệnh đề 1.2.8 (Bất biến đồng luân) Xét họ tham biến ánh xạ ϕ t ( x ) : Ω × [0,1] →  n liên tục Ω × [0,1] ϕ t ∈ C ( Ω ) với t ∈ [0,1] Giả sử y0 ∉ ϕ t ( ∂Ω ) với t ∈ [ 0,1] deg (ϕ t , Ω, y0 ) không phụ thuộc t tập A Chứng minh Do ∂Ω × [ 0,1] tập compact nên = {ϕ ( x ) | x ∈ ∂Ω, t ∈ [0,1]} tập t compact không chứa y0 Vậy tồn lân cận tốt D y0 , A ∩ D = ∅ Khi đó, deg (ϕ t , Ω, y0 ) = ∫ µ  ϕt Đây hàm liên tục theo t Do bậc có giá trị  nên deg (ϕ t , Ω, y0 ) số ( Ωi )i∈ Mệnh đề 1.2.9 Cho ∞   y0 ∉ ϕ  Ω \  Ω i  i =1   y0 ) deg (ϕ , Ω,= dãy tập mở cách biệt chứa D deg (ϕ , Ωi , y0 ) bậc trừ số hữu hạn i ∞ ∑ deg (ϕ , Ω , y ) i i =1 ∞   Chứng minh Do ϕ  Ω \  Ωi  tập compact không chứa y0 nên tồn lân cận tốt D i =1   ∞   y0 , D ∩ ϕ  Ω \  Ωi  = ∅ i =1   Trường hợp y0 điểm ϕ , ϕ −1 ( y0 ) chứa số hữu hạn điểm, ϕ −1 ( y0 ) chứa số hữu hạn Ωi Áp dụng mệnh đề 1.2.6 ta có kết Trường hợp y0 điểm tới hạn ϕ , định lí Sard mệnh đề 1.2.5, với y1 đủ gần y0 , y1 điểm ϕ deg (ϕ , Ω, y0 = ) deg (ϕ , Ω, y1 ) Mệnh đề 1.2.10 Cho Ω1 , Ω tập mở, bị chặn  n ,  p theo thứ tự ϕ1 : Ω1 →  n ,ϕ : Ω →  p liên ϕ1 ∈ C ( Ω1 ) ,ϕ ∈ C ( Ω ) tục, y1 ∉ ϕ1 ( ∂Ω1 ) , y2 ∉ ϕ ( ∂Ω ) Đặt ϕ1 × ϕ : Ω1 × Ω →  n ×  p định bởi: = ϕ1 × ϕ ( x1 , x2 ) (ϕ ( x ) ,ϕ ( x ) ) , x 1 2 ∈ Ω1 , x2 ∈ Ω Khi đó, deg (ϕ1 ,ϕ , Ω1 × Ω , ( y= deg (ϕ1 , Ω1 , y1 ) × deg (ϕ , Ω , y2 ) , y2 ) ) Chứng minh Giả sử µ1 , µ2 dạng thừa nhận y1 , y2 ϕ1 ,ϕ theo thứ tự Khi µ1 × µ2 (tích ngoài) ( n + p ) − dạng thừa nhận ϕ1 × ϕ điểm ( y1 , y2 ) ∫ ( µ , µ )  (ϕ  × n × ϕ )= ( ) ∉ ϕ ( Ω ) nên y ∫µ  p n × ϕ1 ⋅ ∫µ  × ϕ2 p Mệnh đề 1.2.11 Nếu y0 ∉ ϕ Ω deg (ϕ , Ω, y0 ) = Chứng minh Do y0 giá trị ϕ ϕ −1 ( y0 ) = ∅ nên dy0 = Áp dụng mệnh đề 1.2.6, ta có deg (ϕ , Ω, y0 )= d ( y0 )= ( ) 1.2.2 Bậc tôpô trường hợp ϕ ∈ C Ω Mệnh đề 1.2.12 Cho Ω tập mở, bị chặn  n ,ϕ : Ω →  n liên tục y0 ∉ ϕ ( ∂Ω ) Khi tồn r > cho với ϕ1 ,ϕ : Ω →  n liên tục, ϕ1 ,ϕ ∈ C ( Ω ) ϕ − ϕ i < r, i = 1,2 deg (ϕ1 , Ω, y0= ) deg (ϕ , Ω, y0 ) Ánh xạ ϕ1 ,ϕ gọi C − xấp xỉ ϕ { } Chứng minh = Đặt d y0 − ϕ ( x ) x ∈ ∂Ω r = d r > Với x ∈ ∂Ω, i = 1,2 ta có: d y0 − ϕ i ( x ) ≥ y0 − ϕ ( x ) − ϕ ( x ) − ϕ i ( x ) ≥ d − r => Xem đồng luân tϕ1 + (1 − t )ϕ , t ∈ [ 0,1] Với x ∈ ∂Ω, t ∈ [ 0,1] ta có: y0 − tϕ1 ( x ) − (1 − t )ϕ ( x ) ≥ y0 − ϕ ( x ) − t ϕ ( x ) − ϕ1 ( x ) − (1 − t ) ϕ ( x ) − ϕ ( x ) d ≥d −r = Do tính bất biến đồng luân, ta deg (ϕ1 , Ω, y0= ) deg (ϕ , Ω, y0 ) Định nghĩa 1.2.13 Cho Ω tập mở, bị chặn  n ,ϕ : Ω →  n liên tục y0 ∉ ϕ ( ∂Ω ) Ta định nghĩa bậc ϕ y0 deg (ϕ1 , Ω, y0 ) ϕ1 C − xấp xỉ ϕ Định lý 1.2.14 Cho Ω tập mở, bị chặn  n ,ϕ : Ω →  n liên tục y0 ∉ ϕ ( ∂Ω ) bậc deg (ϕ , Ω, y0 ) có giá trị nguyên thỏa mãn tính chất sau: Nếu deg (ϕ , Ω, y0 ) ≠ tồn x0 ∈ Ω cho ϕ ( x0 ) = y0 Nếu y0 , y1 thuộc thành phần liên thông  n \ ϕ ( ∂Ω ) deg (ϕ , Ω, y0 = ) deg (ϕ , Ω, y1 ) ∞   Cho ( Ωi )i∈ dãy tập mở cách biệt chứa D y0 ∉ ϕ  Ω \  Ωi  i =1   deg (ϕ , Ωi , y0 ) = trừ số hữu hạn i deg (ϕ , Ω,= y0 ) ∞ ∑ deg (ϕ , Ω , y ) i =1 Cho Ω1 , Ω tập mở, bị chặn  n ,  p tương ứng, ϕ1 : Ω1 →  n ,ϕ : Ω →  p y1 ∉ ϕ1 ( ∂Ω1 ) , y2 ∉ ϕ ( ∂Ω ) 10 i deg (ϕ1 × ϕ , Ω1 × Ω , ( y= deg (ϕ1 , Ω1 , y1 ) ⋅ deg (ϕ , Ω , y2 ) , y2 ) ) ( ) { } đặt d y0 − ϕ ( x ) , x ∈ Ω d > với ϕ1 Chứng minh Giả sử y0 ∉ ϕ Ω ,= xấp xỉ ϕ , ϕ − ϕ1 < d x ∈ Ω, ta có: y0 − ϕ1 ( x ) ≥ y0 − ϕ ( x ) − ϕ ( x ) − ϕ1 ( x ) ≥ d − d d = 2 ( ) Vậy y0 ∉ ϕ1 Ω Khi đó, từ định nghĩa bậc mệnh đề 1.2.11 ta có deg (ϕ , Ω, y0= ) deg (ϕ1 , Ω, y0=) mâu thuẫn với deg (ϕ , Ω, y0 ) ≠ Vậy tồn x0 ∈ Ω cho ϕ ( x0 ) = y0 Gọi D thành phần liên thông  n \ ϕ ( ∂Ω ) , y0 ∈ D Với y1 ∈ D, đặt { } = d y0 − ϕ ( x ) , y1 − ϕ ( x ) , x ∈ ∂Ω d > với ϕ1 C − xấp xỉ ϕ , ϕ − ϕ1 < d x ∈ ∂Ω, ta có: d d y1 − ϕ1 ( x ) ≥ y1 − ϕ ( x ) − ϕ ( x ) − ϕ1 ( x ) ≥ y0 − ϕ1 ( x ) ≥ y0 − ϕ ( x ) − ϕ ( x ) − ϕ1 ( x ) ≥ Vậy y1 , y0 thuộc thành phần liên thông  n \ ϕ ( ∂Ω ) Theo mệnh đề 1.2.5 theo định nghĩa bậc, ta có: deg (ϕ , Ω, y0 = ) deg (ϕ , Ω, y1 ) = Xét ϕ : Ω × [ 0,1] →  n định ϕ ( x, t ) ϕt ( x ) , x ∈ Ω, t ∈ [0,1] ϕ liên tục Ω × [ 0,1] { } đặt d y0 − ϕ t ( x ) , x ∈ ∂Ω, t ∈ [0,1] d > Do y0 ∉ ϕ t ( ∂Ω ) , t ∈ [ 0,1] ,= ( ) Với ψ ∈ C Ω × [ 0,1] cho ϕ − ψ < d x ∈ ∂Ω, ta có: y0 − ψ t ( x ) ≥ y0 − ϕ t ( x ) − ϕ t ( x ) − ψ t ( x ) ≥ d Vậy y0 ∉ψ t ( ∂Ω ) với t ∈ [ 0,1] ψ t C − xấp xỉ ϕ t ∞  Do y0 ∉ ϕ   Ωi  , đặt:  i =1  11 ∞   = d  y0 − ϕ ( x ) , x ∈ Ω \  Ωi  d >   i =1 Với ϕ1 xấp xỉ ϕ , ϕ − ϕ1 < ∞ d   y0 ∉ ϕ1  Ω \  Ωi  i =1   Áp dụng mệnh đề 1.2.9, deg (ϕ , Ωi , y0 = ) deg (ϕ1 , Ωi , y0 ) trừ số hữu hạn i deg (ϕ , Ω, y0= ) deg (ϕ1 , Ω, y0=) ∞ ∑ deg (ϕ1 , Ωi , y0=) ∞ ∑ deg (ϕ , Ω , y ) i =i =i { } 5.= Đặt d y1 − ϕ1 ( x ) , y2 − ϕ ( x ) , x ∈ ∂Ω1 , x ∈ ∂Ω d > Với ψ ,ψ C − xấp xỉ ϕ1 ,ϕ theo thứ tự, ψ iϕ i < d ,i = 1,2 ψ ×ψ C − xấp xỉ ϕ1 × ϕ yi ∉ψ i ( ∂Ωi ) , i = 1,2 Áp dụng mệnh đề 1.2.10, ta có: deg (ψ ×ψ , Ω1 × Ω , ( y1= , y2 ) ) deg (ϕ1 × ϕ , Ω1 × Ω , ( y1 , y2 ) ) = deg (ϕ1 , Ω1 , y1 ) ⋅ deg (ϕ , Ω , y2= ) deg (ψ , Ω1 , y1 ) ⋅ deg (ψ , Ω2 , y2 ) Định lý 1.2.5 Giả sử Ω ⊂  n tập mở, bị chặn đối xứng, ∈ Ω Nếu Ai ∈ ∂Ω đóng, Ai ∩ ( − Ai ) =∅ với= i 1,2, ⋅ ⋅ ⋅, k k A = i ∂Ω k > n + i =1 Chứng minh Giả sử ngược lại k ≤ n Đặt f i ( x ) = Ai , f i ( x ) = −1 − Ai với f = i 1,2, ⋅ ⋅ ⋅, k − 1, f i ( x= ) Ω với i= k , ⋅⋅⋅, n = ( f1 , f , ⋅ ⋅ ⋅, f n ) Mở rộng f liên tục đến Ω Khi đó, f ( − x ) ≠ λ f ( x ) ∂Ω với λ ≥ Nói cách khác f ( − x0 ) = λ f ( x0 ) với λ ≥ x0 ∈ ∂Ω Ta có λ > f ( x ) ≠ ∂Ω Vì vậy, x0 ∉ Ai ∪ ( − Ai ) với i ≤ k − f i ( − x ) = − f i ( x ) Do x0 ∈ Ak x0 ∉ − Ak , ta có − x0 ∈ Ai với i ≥ k − x0 ∈ Ai , điều mâu thuẫn Do đó, f ( − x ) ≠ λ f ( x ) ∂Ω với λ ≥ Do đó, ta có deg ( f , Ω,0 ) = 0, nghĩa f ( x ) = với x ∈ Ω đó, điều mâu thuẫn với f n ( x ) = Ω Định lý 1.2.16 (Định lý Brouwer) Cho K tập lồi đóng, bị chặn  n f : K → K liên tục Khi f có điểm bất động K Chứng minh Ta chứng minh tồn g :  n → K liên tục cho g ( x ) = x, với x ∈ K Có thể giả sử ∈ K Gọi E không gian sinh K Khi đó, tồn ánh xạ ρ : E → K liên tục cho ρ ( x ) = x, với x ∈ K 12 Giả sử dim E= k ≤ n Chọn b1 , b2 , ⋅ ⋅ ⋅, bn sở  n cho b1 , b2 , ⋅ ⋅ ⋅, bk sở n k E Với x ∈  , x = ∑αi bi , xét phép chiếu p :  → E định p ( x ) = ∑αi bi p liên n n 1 tục, p ( x ) = x, ∀x ∈ E Khi đó, đặt g ρ  p :  n → K liên tục thỏa mãn g ( x ) = x, ∀x ∈ K = Với R > đủ lớn cho K ⊂ B ( 0, R ) Ánh xạ f  g :  n → K liên tục thỏa mãn f  g ( B ' ( 0, R ) ) ⊂ K ⊂ B ( 0, R ) Vậy tồn x ∈ B ( 0, R ) cho f  g ( x ) = x Do f  g ( x ) ∈ K nên x ∈ K g ( x ) = x Vậy f ( x ) = x 1.3 Bậc Leray-Schauder Bổ đề 1.3.1 Giả sử E không gian Banach thực, Ω ⊂ E mở, bị chặn T : Ω → E ánh xạ liên tục, compact Khi đó, với ε > 0, tồn không gian hữu hạn chiều F ánh xạ liên tục Tε : Ω → F thỏa mãn Tε x − Tx < ε với x ∈ Ω Chứng minh Bởi T Ω compact tương đối E , với ε > tồn tập hữu hạn {x1 , x2 , ⋅ ⋅ ⋅, xn } ⊂ Ω thỏa mãn n T Ω ⊂  B (Txi , ε ) i =1 Tε : Ω → F span {Tx1 , Tx2 , ⋅ ⋅ ⋅, Txn } sau Bây ta định nghĩa ánh xạ= n Tε x = ∑ i =1 φi ( x ) Γ( x) φi= ( x ) max {0, ε − Tx − Txi T ( xi ) với x ∈ Ω, n } Γ ( x ) = ∑φ ( x ) Dễ dàng kiểm tra Tε i =1 i thỏa mãn điều kiện bổ đề 1.3.1 Bổ đề 1.3.2 Cho E không gian Banach , B tập đóng bị chặn chứa E T : B → E ánh xạ compact liên tục Giả sử Tx ≠ x, ∀x ∈ B Khi đó, tồn ε > thỏa mãn x ≠ tT ε1 x + (1 − t ) T ε x, ∀t ∈ [ 0,1] x ∈ B, ε i ∈ ( 0, ε ) Tε i : B → Fε i với i = 1,2 bổ đề 1.3.1 13 Chứng minh Giả sử kết không luận Khi đó, tồn x j với = j 1,2, ⋅ ⋅ ⋅ ε1j → 0, ε 2j → 0, t j → t0 , x j ∈ B cho t jTε x j + (1 − t j ) Tε x j = j Bởi T ánh xạ compact, (Tx j ) ∞ j =1 j ( có dãy con, đặt Tx jk ) hội tụ đến y ∈ E Bởi bổ đề 1.3.1, Tε jk x jk → y với i = 1,2 Do đó, x jk → y ∈ B Do T liên tục nên Tx jk → Ty Do giới hạn nên Ty = y mâu thuẫn với Tx ≠ x, ∀x ∈ B Định lý 1.3.3 (Định lý Leray) Cho K tập compact không gian Banach E Khi đó, với ε > tồn tập hữu hạn {a1 , a2 , ⋅ ⋅ ⋅, an } K ánh xạ liên tục p : K → E cho: p ( x ) − x ≤ ε , ∀x ∈ K p ( K ) ⊂ co {a1 , a2 , ⋅ ⋅ ⋅, an } Chứng minh Họ cầu mở {B ( x, ε ) , x ∈ K } phủ mở tập compact K Vậy tồn n số hữu hạn {a1 , a2 , ⋅ ⋅ ⋅, an } ⊂ K cho K ⊂  B ( , ε ) i =1 Với i ∈ 1, n, đặt ϕ i : E →  định ϕ= max {0, ε − x − } ϕ i liên tục i ( x) ϕ = x ∉ B ( , ε ) i ( x)  ϕ i ( x ) > x ∈ B ( , ε ) Suy ϕ i ( x ) x − ≤ ϕ i ( x ) ε , ∀x ∈ E  n  ϕi ( x ) > 0, ∀x ∈ K ∑   i =1 −1 Đặt p:K → E định  n  n p ( x ) =  ∑ϕ i ( x )  ∑ϕ i ( x )ai =  i 1=  i1 p liên tục p ( K ) ⊂ co {a1 , a2 , ⋅ ⋅ ⋅, an } −1  n  n Hơn nữa, p ( x ) − x ≤  ∑ϕ i ( x )  ∑ϕ i ( x ) − x ≤ ε =  i 1=  i1 Định nghĩa 1.3.4 Cho E không gian Banach ,Ω tập mở, bị chặn chứa E T : Ω → E ánh xạ compact liên tục Giả sử ∉ ( I − T ) ( ∂Ω ) Khi đó, bổ đề 1.3.2, tồn ε > thỏa mãn x ≠ tT ε1 x + (1 − t ) T ε x, ∀t ∈ [ 0,1] x ∈ ∂Ω 14 ε i ∈ ( 0, ε ) Tε i : Ω → Fε i với i = 1,2 bổ đề 1.3.1 Do đó, bậc Brouwer deg ( I − Tε , Ω ∩ Fε ,0 ) định nghĩa tốt ta định nghĩa = deg ( I − T , Ω ,0 ) deg ( I − Tε , Ω ∩ Fε ,0 ) , ε ∈ ( 0, ε ) Bởi tính bất biến đồng luân bậc Brouwer, ta có ( } ) { ( } ) { deg I − Tε1 , Ω ∩ span Fε1 ∪ Fε 2= ,0 deg I − Tε , Ω ∩ span Fε1 ∪ Fε ,0 } { Nhưng Tε i : Ω ∩ span Fε1 ∪ Fε → Fi với i = 1,2, ta có ( { } ) ( ) ( { } ) ( ) deg I − Tε1 , Ω ∩ span Fε1 ∪ Fε 2= ,0 deg I − Tε1 , Ω ∩ Fε1 ,0 deg I − Tε , Ω ∩ span Fε1 ∪ Fε 2= ,0 deg I − Tε , Ω ∩ Fε ,0 Do đó, ta có ( ) ( ) deg I − Tε1 , Ω ∩ F= deg I − Tε , Ω ∩ Fε ,0 ε1 ,0 bậc định nghĩa định nghĩa 1.3.4 tốt Trong trường hợp tổng quát, p ∉ ( I − T )( ∂Ω ) , ta định nghĩa deg ( I − T , Ω, = p ) deg ( I − T − p, Ω,0 ) Dưới số tính chất bậc Leray Schauder Định lý 1.3.5 Bậc Leray Schauder có tính chất sau: (1) (Tính chuẩn tắc) deg ( I , Ω,0 ) = ∈ Ω; (2) (Tính giải được) Nếu deg ( I − T , Ω,0 ) ≠ x, Tx = x có nghiệm Ω; (3) (Tính đồng luân) Giả sử Tt : [ 0,1] × Ω → E ánh xạ compact liên tục Tt x ≠ x với ( t , x ) ∈ [ 0,1] × ∂Ω Khi đó, deg ( I − Tt , Ω,0 ) không phụ thuộc vào t ∈ [ 0,1] (4) (Tính cộng tính) Giả sử Ω1 , Ω hai tập không giao Ω ( ) ∉ ( I − T ) Ω − Ω1 ∪ Ω Khi deg ( I − T , Ω,0 = ) deg ( I − T , Ω1 ,0 ) + deg ( I − T , Ω2 ,0 ) Chứng minh Tương tự chứng minh tính chất bậc Brouwer 15 Định lý 1.3.6 (Định lý Schauder) Cho C tập khác rỗng, lồi, đóng, bị chặn chứa không gian Banach E f : C → C liên tục cho f ( C ) tập compact tương đối Khi f có điểm bất động C Chứng minh Đặt K = co f ( C ) K lồi, compact chứa C Với m ∈  tồn tập hữu hạn {a1 , a2 , ⋅ ⋅ ⋅, an } ⊂ K ánh xạ liên tục pm : K → co {a1 , a2 , ⋅ ⋅ ⋅, an } cho pm ( x ) − x < , ∀x ∈ K m Đặt g m = pm  f|co{a1 ,a2 ,⋅⋅⋅,an } (ánh xạ thu hẹp co {a1 , a2 , ⋅ ⋅ ⋅, an } ) Ta có g m : co {a1 , a2 , ⋅ ⋅ ⋅, an } → co {a1 , a2 , ⋅ ⋅ ⋅, an } liên tục Áp dụng định lý Brouwer tồn xm ∈ co {a1 , a2 , ⋅ ⋅ ⋅, an } ⊂ K cho g m ( xm ) = xm pm  f ( xm ) − f ( xm ) < Ta có xm −= f ( xm ) , ∀m ∈  m ( ) Do dãy ( xm )m tập compact K nên tồn dãy hội tụ xmi i hội tụ x ∈ K ,lim xmi = x i Do f liên tục nên lim xmi = f ( x ) xm − f ( xm ) < i Vậy f có điểm bất động C 16 , ∀m ∈ , nên x = f ( x ) m CHƯƠNG 2: ĐỘ ĐO PHI COMPACT Trong chương này, giới thiệu định nghĩa độ đo phi compact Kuratowski Hausdorff khảo sát số tính chất chúng Sau mô tả số công thức cho phép tính cách xác độ đo phi compact Hausdorff vài không gian cụ thể Ta kí hiệu B ( x, r ) = Br ( x ) cầu đóng tâm x bán kính r Các kết mục 2.1 tham khảo [5, chương 3, trang 55-60] mục 2.2 tham khảo [3, trang 5-8] 2.1 Định nghĩa, tính chất Định nghĩa 2.1.1 (1) Cho ( X , d ) không gain mêtric A tập chứa X Khi diam( A) = sup d ( x, y ) gọi đường kính A Nếu diam( A) < +∞ A bị x , y∈A chặn (2) Cho A, B hai tập hợp bị chặn, mêtric Hausdorff H xác định H ( A, B ) = max{sup d ( x, B ),sup d ( y , A)} x∈A y∈B Giả sử B ( X ) họ tất tập X Ta có số mệnh đề sau Mệnh đề 2.1.2 Nếu A ⊂ B diam( A) ≤ diam( B ) diam( A) = diam( A) Mệnh đề 2.1.3 Giả sử X không gian Banach A, B ⊂ X Khi (1) diam(λ B ) =| λ | diam( B ) diam( B ) (2) diam( x + B ) = (3) diam( A + B ) ≤ diam( A) + diam( B ) (4) diam( conv ( A)) = daim( A) Chứng minh (1)-(3) hiển nhiên Ta chứng minh (4) Lấy x, y ∈ conv ( A) Khi tồn xi ∈ (0,1), xi ∈ X , i ∈ 1, k , ti ∈ (0,1), yi ∈ A, i ∈ 1, m thỏa mãn = x k m = s x , y ∑s y ∑ i i =i =i i i Ta có 17 k m ∑ si xi − ∑ si xi x −= y =i =i k = m k m ∑∑ si t j xi − ∑∑ si t j yi =i =j k =i =j m = ∑∑ si t j xi − yi =i =j k m = ∑∑ si t j diam( A) =i =j Do diam( conv ( A)) ≤ daim( A) Do A ⊂ conv ( A) nên diam( A) ⊂ diam( conv ( A)) Vậy diam( conv ( A)) = diam( A) Mệnh đề 2.1.4 Giả sử ( X , d ) không gian mêtric Khi ( B ( X ), H ) không gian mêtric Chứng minh Hiển nhiên H ( A, B ) ≥ với A, B ∈ B ( X ), H ( A, B ) = A = B H ( A, B ) = H ( B, A) Với A, B, C ∈ B ( X ) , ta có d ( x, B ) ≤ d ( x, z ) + d ( z, B ), d ( y , A) ≤ d ( y , z ) + d ( z, A), ∀z ∈ C , x ∈ A y ∈ B Do d ( x, B ) ≤ inf d ( x, z ) + sup d ( z, B ), z∈C z∈C d ( y , A) ≤ inf d ( y , Z ) + sup d ( z, A) z∈C z∈C Do vậy, ta có H ( A, B ) ≤ max{sup d ( x, C ) + sup d ( z, B ),sup d ( y , C ) + sup d ( z, A)} x∈A z∈C y∈B z∈C ≤ max{sup d ( x, C ),sup d ( z, A) + max{sup d ( z, B ),sup d ( y , C )} x∈A z∈C z∈C y∈B = H ( A, C ) + H (C , B ) Do ( B ( X ), H ) không gian mêtric Định nghĩa 2.1.5 Giả sử ( X , d ) không gian mêtric, B họ tất tập bị chặn X A, B ∈ B Hàm số α : β → [1, +∞ ] xác định 18 [...]... xm )m trong tập compact K nên tồn tại dãy con hội tụ xmi i hội tụ về x ∈ K ,lim xmi = x i Do f liên tục nên lim xmi = f ( x ) và do xm − f ( xm ) < i Vậy f có điểm bất động trong C 16 1 , ∀m ∈ , nên x = f ( x ) m CHƯƠNG 2: ĐỘ ĐO PHI COMPACT Trong chương này, tôi giới thiệu định nghĩa độ đo phi compact Kuratowski và Hausdorff và khảo sát một số tính chất của chúng Sau đó mô tả một số công thức cho phép... R ) Ánh xạ f  g :  n → K liên tục thỏa mãn f  g ( B ' ( 0, R ) ) ⊂ K ⊂ B ( 0, R ) Vậy tồn tại x ∈ B ( 0, R ) sao cho f  g ( x ) = x Do f  g ( x ) ∈ K nên x ∈ K và g ( x ) = x Vậy f ( x ) = x 1.3 Bậc Leray-Schauder Bổ đề 1.3.1 Giả sử E là không gian Banach thực, Ω ⊂ E mở, bị chặn và T : Ω → E là ánh xạ liên tục, compact Khi đó, với bất kì ε > 0, tồn tại không gian hữu hạn chiều F và ánh xạ liên... trong không gian Banach E và f : C → C liên tục sao cho f ( C ) là tập compact tương đối Khi đó f có điểm bất động trong C Chứng minh Đặt K = co f ( C ) thì K lồi, compact chứa trong C Với mỗi m ∈  tồn tại tập hữu hạn {a1 , a2 , ⋅ ⋅ ⋅, an } ⊂ K và một ánh xạ liên tục pm : K → co {a1 , a2 , ⋅ ⋅ ⋅, an } sao cho pm ( x ) − x < 1 , ∀x ∈ K m Đặt g m = pm  f|co{a1 ,a2 ,⋅⋅⋅,an } (ánh xạ thu hẹp trên co {a1... tắc) deg ( I , Ω,0 ) = 1 nếu và chỉ nếu 0 ∈ Ω; (2) (Tính giải được) Nếu deg ( I − T , Ω,0 ) ≠ x, thì Tx = x có nghiệm trong Ω; (3) (Tính đồng luân) Giả sử Tt : [ 0,1] × Ω → E là ánh xạ compact liên tục và Tt x ≠ x với mọi ( t , x ) ∈ [ 0,1] × ∂Ω Khi đó, deg ( I − Tt , Ω,0 ) không phụ thuộc vào t ∈ [ 0,1] (4) (Tính cộng tính) Giả sử Ω1 , Ω 2 là hai tập con không giao nhau của Ω và ( ) 0 ∉ ( I − T ) Ω −... i thỏa mãn các điều kiện của bổ đề 1.3.1 Bổ đề 1.3.2 Cho E là không gian Banach trên , B là tập đóng và bị chặn chứa trong E và T : B → E là ánh xạ compact liên tục Giả sử Tx ≠ x, ∀x ∈ B Khi đó, tồn tại ε 0 > 0 thỏa mãn x ≠ tT ε1 x + (1 − t ) T ε 2 x, ∀t ∈ [ 0,1] và x ∈ B, trong đó ε i ∈ ( 0, ε 0 ) và Tε i : B → Fε i với i = 1,2 như trong bổ đề 1.3.1 13 Chứng minh Giả sử kết không luận đúng Khi đó,... là ánh xạ compact, (Tx j ) ∞ j =1 j 2 ( có dãy con, đặt là Tx jk ) hội tụ đến y ∈ E Bởi bổ đề 1.3.1, Tε jk x jk → y với i = 1,2 Do đó, x jk → y ∈ B Do T liên tục nên Tx jk → Ty Do 1 giới hạn là duy nhất nên Ty = y mâu thuẫn với Tx ≠ x, ∀x ∈ B Định lý 1.3.3 (Định lý Leray) Cho K là tập compact trong không gian Banach E Khi đó, với ε > 0 tồn tại tập hữu hạn {a1 , a2 , ⋅ ⋅ ⋅, an } trong K và một ánh xạ. .. phép chúng ta tính một cách chính xác độ đo phi compact Hausdorff trong một vài không gian cụ thể Ta kí hiệu B ( x, r ) = Br ( x ) là quả cầu đóng tâm x bán kính r Các kết quả của mục 2.1 được tham khảo trong [5, chương 3, trang 55-60] và mục 2.2 được tham khảo trong [3, trang 5-8] 2.1 Định nghĩa, các tính chất Định nghĩa 2.1.1 (1) Cho ( X , d ) là không gain mêtric và A là một tập con chứa trong X Khi... thì p liên tục và p ( K ) ⊂ co {a1 , a2 , ⋅ ⋅ ⋅, an } −1  n  n Hơn nữa, p ( x ) − x ≤  ∑ϕ i ( x )  ∑ϕ i ( x ) ai − x ≤ ε =  i 1=  i1 Định nghĩa 1.3.4 Cho E là không gian Banach trên ,Ω là tập mở, bị chặn chứa trong E và T : Ω → E là ánh xạ compact liên tục Giả sử 0 ∉ ( I − T ) ( ∂Ω ) Khi đó, bởi bổ đề 1.3.2, tồn tại ε 0 > 0 thỏa mãn x ≠ tT ε1 x + (1 − t ) T ε 2 x, ∀t ∈ [ 0,1] và x ∈ ∂Ω 14 trong... Mệnh đề 1.2.12 Cho Ω là tập mở, bị chặn trong  n ,ϕ : Ω →  n liên tục và y0 ∉ ϕ ( ∂Ω ) Khi đó tồn tại r > 0 sao cho với mọi ϕ1 ,ϕ 2 : Ω →  n liên tục, ϕ1 ,ϕ 2 ∈ C 1 ( Ω ) và ϕ − ϕ i < r, i = 1,2 thì deg (ϕ1 , Ω, y0= ) deg (ϕ 2 , Ω, y0 ) Ánh xạ ϕ1 ,ϕ 2 được gọi là C 1 − xấp xỉ của ϕ { } Chứng minh = Đặt d min y0 − ϕ ( x ) x ∈ ∂Ω và r = d thì r > 0 Với x ∈ ∂Ω, i = 1,2 2 ta có: d y0 − ϕ i ( x ) ≥ y0... Tx < ε với mọi x ∈ Ω Chứng minh Bởi vì T Ω là compact tương đối trong E , với bất kì ε > 0 tồn tại tập con hữu hạn {x1 , x2 , ⋅ ⋅ ⋅, xn } ⊂ Ω thỏa mãn n T Ω ⊂  B (Txi , ε ) i =1 Tε : Ω → F span {Tx1 , Tx2 , ⋅ ⋅ ⋅, Txn } như sau Bây giờ ta định nghĩa ánh xạ= n Tε x = ∑ i =1 φi ( x ) Γ( x) trong đó φi= ( x ) max {0, ε − Tx − Txi T ( xi ) với mọi x ∈ Ω, n } và Γ ( x ) = ∑φ ( x ) Dễ dàng kiểm tra được Tε