độ đo phi compact và ánh xạ cô đặc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH _ Phan Văn Thanh Cảnh ĐỘ ĐO PHI COMPACT VÀ ÁNH XẠ CÔ ĐẶC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH _ Phan Văn Thanh Cảnh ĐỘ ĐO PHI COMPACT VÀ ÁNH XẠ CÔ ĐẶC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 LỜI CẢM ƠN Trong suốt trình học tập hoàn thành luận văn này, nhận hướng dẫn, giúp đỡ quý báu nhiều quý thầy cô Với lòng kính trọng biết ơn sâu sắc, xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới: Phó giáo sư –Tiến sĩ Nguyễn Bích Huy, người thầy kính mến tận tình hướng dẫn, dạy bảo phương pháp nghiên cứu khoa học tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập hoàn thành luận văn thạc sĩ Ban Giám Hiệu, phòng Sau đại học, Khoa Toán Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ trình học tập hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc, chỉnh sửa cho nhận xét quý báu để hoàn chỉnh luận văn Cuối cùng, xin gửi lời chúc sức khỏe, hạnh phúc, thành công đến tất quý thầy cô Xin chân thánh cảm ơn! Phan Văn Thanh Cảnh MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Ánh xạ compact 1.2 Bậc Brouwer 1.2.1 Bậc tôpô trường hợp ϕ ∈ C ( Ω ) ( ) 1.2.2 Bậc tôpô trường hợp ϕ ∈ C Ω 10 1.3 Bậc Leray-Schauder 13 CHƯƠNG 2: ĐỘ ĐO PHI COMPACT 17 2.1 Định nghĩa, tính chất 17 2.2 Một số độ đo phi compact 23 2.2.1 Độ đo phi compact Hausdorff không gian l p c0 23 2.2.2 Độ đo phi compact Hausdorff không gian C [ a, b] 24 2.2.3 Độ đo phi compact Hausdorff không gian Lp [ a, b] 26 CHƯƠNG 3: ÁNH XẠ CÔ ĐẶC 27 3.1 Định nghĩa, tính chất 27 3.2 Bậc tôpô ánh xạ cô đặc .34 3.3 Ứng dụng cho phương trình vi phân thường không gian Banach 38 CHƯƠNG 4: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CÔ ĐẶC 43 4.1 Tính chất phổ .43 4.2 Biểu diễn ánh xạ tuyến tính cô đặc 46 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 MỞ ĐẦU Phương pháp điểm bất động số phương pháp quan trọng hữu hiệu để nghiên cứu tồn nghiệm, cấu trúc tập nghiệm xây dựng nghiệm xấp xỉ cho nhiều lớp phương trình vi phân tích phân xuất phát từ khoa học tự nhiên cho nhiều mô hình kinh tế, xã hội Lí thuyết điểm bất động hình thành từ đầu kỉ 20, phát triển mạnh kỉ tiếp tục hoàn thiện ngày Định lí Banach điểm bất động ánh xạ co định lí Schauder điểm bất động ánh xạ hoàn toàn liên tục hai kết tìm sớm định lí quan trọng Lí thuyết điểm bất động Năm 1955, Krasnoselskii kết hợp hai định lí định lí tiếng điểm bất động tổng ánh xạ co ánh xạ hoàn toàn liên tục Cũng thời gian này, Darbo chứng minh tồn điểm bất động ánh xạ cô đặc theo độ đo phi compact Các ánh xạ co, hoàn toàn liên tục tổng chúng trường hợp riêng ánh xạ cô đặc, định lí Darbo hợp ba hướng nghiên cứu điểm bất động lớp ánh xạ khác hình thức có chất theo quan điểm độ đo phi compact Độ đo phi compact đưa từ năm 1930 nhằm nghiên cứu toán Tô pô đại cương Chỉ sau định lí Darbo tìm độ đo phi compact nhà toán học quan tâm nghiên cứu cách hệ thống Đến Lí thuyết ánh xạ cô đặc theo độ đo phi compact xây dựng hoàn chỉnh tìm ứng dụng sâu sắc nghiên cứu phương trình vi phân, tích phân Giải tích hàm,… Mục tiêu luận văn giới thiệu cách hệ thống tương đối đầy đủ Lí thuyết ánh xạ cô đặc, xây dựng bậc tôpô chúng số ứng dụng ban đầu Nội dung luận văn gồm bốn chương Chương nhắc lại đầy đủ số kiến thức ánh xạ compact, định lí bậc Brouwer định lí bậc Leray Schauder làm tảng việc xây dựng định lí bậc cho ánh xạ k-co theo tập hợp ánh xạ cô đặc Ở chương hai, định nghĩa độ đo phi compact số tính chất chúng Cũng chương giới thiệu số công thức để tính độ đo phi compact không gian đặc biệt Trong chương ba, khảo sát ánh xạ cô đặc, ánh xạ cô đặc đếm Khái quát cách đầy đủ định nghĩa tính chất chúng Đặc biệt, định lí điểm bất động ánh xạ cô đặc đếm định lí bậc cho ánh xạ cô đặc đếm được trình bày với nhiều ứng dụng cho phương trình vi phân thường không gian Banach Cuối cùng, chương bốn giới thiệu ánh xạ tuyến tính cô đặc theo độ đo phi compact phổ chúng Đặc biệt, chương giúp biểu diễn ánh xạ tuyến tính cô đặc CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số kết sử dụng làm tảng cho việc xây dựng kết luận luận văn ánh xạ compact, bậc Brouwer, bậc Leray Schauder Các kết chương chủ yếu tham khảo [1] [5, chương 1, 2] 1.1 Ánh xạ compact Định nghĩa 1.1.1 Giả sử E không gian Banach, tập M ⊂ E tập compact với { } dãy {xn }n M chứa dãy xni i x, x ∈ M hội tụ lim x= ni i →∞ Tập M ⊂ E tập hoàn toàn bị chặn với ε > 0, tồn số hữu hạn cầu n mở B1 , B2 , ⋅ ⋅ ⋅, Bn có bán kính ε cho M ⊂  Bi i =1 Tập M tập compact tương đối bao đóng M tập compact Định lý 1.1.2 Cho E không gian Banach M ⊂ E Khi đó, M tập compact M đóng hoàn toàn bị chặn Định nghĩa 1.1.3 Cho E , F không gian Banach, D tập mở E Ánh xạ f : D → F ánh xạ compact f liên tục ảnh f ( A) tập compact tương đối F A tập bị chặn D Định lý 1.1.4 (Định lý Ascoli-Azela) Cho E không gian Banach M ⊂ C ([ 0, T ] , E ) tập compact tương đối M đẳng liên tục Với t ∈ [ 0, T ]= , M (t ) {x {t} : x (⋅) ∈ M } tập compact tương đối E 1.2 Bậc Brouwer Định lý 1.2.1 (Định lý Stokes) Cho C xích hình hộp kì dị p − chiều chứa tập mở V R n ω dạng vi phân bậc p − V ∫ d ω = C ∫ d ω ∂C Bổ đề 1.2.2 (Bổ đề Sard) Cho Ω tập mở  n có đạo hàm liên tục Đặt K= {x ∈ Ω,det f ' ( x =) 0} Khi f ( K ) tập độ đo không  n Cho Ω tập mở bị chặn  n ϕ : Ω → =  n ,ϕ (ϕ1 ,ϕ , ⋅ ⋅ ⋅,ϕ n ) Giả sử ϕ ∈ C ( Ω ) Với x ∈ Ω, đạo hàm ϕ ' ( x ) ánh xạ tuyến tính từ  n vào  n có ma trận biểu diễn là: ∂ϕ1  ∂ϕ1  ∂x ( x ) ∂x ( x )  ∂ϕ  ∂ϕ x ( x) ( )  ∂x ∂ x  ⋅⋅⋅  ⋅⋅⋅  ∂ϕ  n ( x ) ∂ϕ n ( x )  ∂x ∂x2  ∂ϕ1 ( x )  ∂xn  ∂ϕ ⋅⋅⋅ ( x )  ∂xn  ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅   ∂ϕ n ⋅⋅⋅ ( x )  ∂xn  ⋅⋅⋅ Đặt J ϕ ( x ) = det ϕ ' ( x ) gọi Jacobien ϕ x Điểm x0 ∈ Ω điểm ϕ J ϕ ( x0 ) ≠ 0, điểm tới hạn ϕ J ϕ ( x0 ) = Đặt Zϕ= {x ∈ Ω, J ( x =) 0} tập hợp tất điểm tới hạn ϕ ϕ theo bổ đề Sard, ϕ ( Zϕ ) tập độ đo không  n Đặc biệt, với r > 0, y ∈  n B ( y , r ) cầu mở  n B ( y , r ) \ ϕ ( Zϕ ) ≠ ∅ Điểm y0 ∈  n giá trị ϕ ảnh ngược ϕ −1 ( y0 ) chứa điểm ϕ , giá trị tới hạn ϕ ϕ −1 ( y0 ) chứa điểm tới hạn ϕ Giá f kí hiệu sup pf= {x ∈ Ω, f ( x ) ≠ 0} f : Ω →  Một dạng vi phân ω (hay đơn giản dạng) gọi có giá compact hàm hệ số dạng ω có giá compact Ta kí hiệu n − dạng  n là: µ f ( y ) dy1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ dyn = f ( y ) dy sup pf compact ∫ µ = ∫ f ( y ) dy  ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ dyn n Nếu µ n − dạng  n ánh xạ ϕ cảm ứng n − dạng Ω, kí hiệu µ  ϕ = f (ϕ ( x ) ) J ϕ ( x ) dx Nếu ω ( n − 1) − dạng thuộc lớp C −1 có giá compact  n định lí Stokes ω ∫ d ω = = n ∑ ( −1) g ( y ) dy i −1 i i =1 n ∧d yi ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ dyn (dấu ∧ dyi để phải bỏ số hạng dyi ) vi phân d ω = ∑ i =1 ∂gi dy ∂yi Nếu µ = f ( y ) dy n − dạng  n ϕ phép biến đổi với J ϕ ( x0 ) ≠ với x ∈ Ω, từ công thức đổi biến tích phân, ta có: = ∫µ f ( y ) dy ∫ f (ϕ ( x ) ) = J ϕ ( x ) dx ∫=   n n sgn J ϕ ∫ µ  ϕ 1.2.1 Bậc tôpô trường hợp ϕ ∈ C ( Ω ) Cho Ω tập mở bị chặn  n , Ω = Ω ∪ ∂Ω ϕ : Ω →  n ,ϕ ∈ C ( Ω ) liên tục Ω Với ϕ −1 ( y0 = ) y0 ∉ ϕ ( ∂Ω ) giá trị ϕ , định lí ánh xạ ngược, tập {x ∈ Ω,ϕ ( x =) } y0 gồm điểm cô lập Ω nên ϕ −1 ( y0 ) chứa hữu hạn phần tử Đặt dy0 = ∑ xi ∈ϕ −1 ( y0 ) sgn J ϕ ( xi ) Nếu ϕ −1 ( y0 ) = ∅ dy0 = Vậy dy0 số nguyên Định nghĩa 1.2.3 Một dạng µ = f ( y ) dy n − dạng thuộc lớp C ∞ có giá chứa lân cận tốt D của= y0, D  n \ ϕ ( ∂Ω ) (nghĩa tồn g : D →  n thuộc lớp C cho g ( D ) khối lập phương  n Một lân cận D tốt y0 luôn tồn tại) ∫ µ = gọi thừa nhận y0 ϕ Với µ dạng thừa nhận được, ta định nghĩa bậc tôpô ϕ tập Ω điểm y0 deg (ϕ , Ω, y0 ) = ∫ µ  ϕ Tính hợp lí định nghĩa bậc suy từ bổ đề sau : Bổ đề 1.2.4 Giả sử µ = f ( y ) dy n − dạng thuộc lớp C ∞  n có giá chứa lân cận tốt D ∫ µ = Khi tồn ( n − 1) − dạng ω cho suppω ⊂ D d ω = µ Dưới vài tính chất bậc Mệnh đề 1.2.5 Với y1 đủ gần y0 , y1 ∉ ϕ ( ∂Ω ) deg (ϕ , Ω, y0 = ) deg (ϕ , Ω, y1 ) Chứng minh Gọi D lân cận tốt y0 Với y1 ∈ D µ dạng thừa nhận y0 µ dạng thừa nhận y1 Áp dụng định nghĩa bậc, ta có deg (ϕ , Ω, y0 = ) deg (ϕ , Ω, y1 ) Mệnh đề 1.2.6 Nếu y0 giá trị ϕ = dy0 deg (ϕ , Ω, y0 ) Chứng minh Giả sử ϕ −1= ( y0 ) {x1 , x2 , ⋅ ⋅ ⋅, xk } Tồn lân cận N i xi cách k biệt cho ϕ − lân cận Đặt N = ϕ ( N i ) N lân cận y0 i =1 Giả sử µ dạng thừa nhận có giá chứa N , ta có: deg (ϕ , Ω, y0 = ) k k k ∫ µ  ϕ= ∑ ∫ µ  ϕ= ∑ sgn J ϕ ( x ) ∫ µ= ∑ sgn J ϕ ( x =) d ( y ) i =i i =i = Ni i Chú ý 1.2.7 Do dy0 số nguyên mệnh đề 1.2.5 mệnh đề 1.2.6 suy deg (ϕ , Ω, y0 ) số nguyên Cũng mệnh đề 1.2.5, deg (ϕ , Ω, y0 ) liên tục theo y0 , có giá trị số nguyên nên deg (ϕ , Ω, y0 = ) deg (ϕ , Ω, y ) với y nằm thành phần liên thông  n \ ϕ ( ∂Ω ) chứa y0 Mệnh đề 1.2.8 (Bất biến đồng luân) Xét họ tham biến ánh xạ ϕ t ( x ) : Ω × [0,1] →  n liên tục Ω × [0,1] ϕ t ∈ C ( Ω ) với t ∈ [0,1] Giả sử y0 ∉ ϕ t ( ∂Ω ) với t ∈ [ 0,1] deg (ϕ t , Ω, y0 ) không phụ thuộc t tập A Chứng minh Do ∂Ω × [ 0,1] tập compact nên = {ϕ ( x ) | x ∈ ∂Ω, t ∈ [0,1]} tập t compact không chứa y0 Vậy tồn lân cận tốt D y0 , A ∩ D = ∅ Khi đó, deg (ϕ t , Ω, y0 ) = ∫ µ  ϕt Đây hàm liên tục theo t Do bậc có giá trị  nên deg (ϕ t , Ω, y0 ) số = deg ( I − T , Ω ,0 ) deg ( I − Tr, r −1 ( Ω ) ∩ Ω,0 ) deg ( I − Tr, r −1 ( Ω ) ∩ Ω,0 ) bậc Leray Schauder Để thấy định nghĩa hợp lí, ta chứng tỏ rằng, r1 , r2 : X → C hai phép co = deg ( I − Tr1 , r1−1 ( Ω ) ∩ Ω ,0 ) deg ( I − Tr2 , r2−1 ( Ω ) ∩ Ω,0 ) Đặt r ( t , x ) = tr1 x + (1 − t ) r2 x với ( t , x ) ∈ [ 0,1] × E Khi đó, r ( t , ⋅) : E → C phép co với t ∈ [ 0,1] Hiển nhiên x ≠ Tr ( t , x ) với ( t , x ) ∈ [ 0,1] ∂ ( r1−1 ( Ω ) ∩ r2−1 ( Ω ) ∩ Ω ) Do đó, tính đồng luân bậc Leray Schauder, ta có deg ( I − Tr1 , r1−1 ( Ω ) ∩ r2−1 ( Ω ) ∩ Ω= ,0 ) deg ( I − Tr2 , r1−1 ( Ω ) ∩ r2−1 ( Ω ) ∩ Ω,0 ) Thật đơn giản để kiểm tra ∉ r1−1 ( Ω ) ∩ Ω \ r1−1 ( Ω ) ∩ r2−1 ( Ω ) ∩ Ω Do tính cắt bậc Leray Schauder suy deg ( I − Tr1 , r1−1 ( Ω ) ∩ Ω= ,0 ) deg ( I − Tr1 , r1−1 ( Ω ) ∩ r2−1 ( Ω ) ∩ Ω,0 ) deg ( I − Tr2 , r2−1 ( Ω ) ∩ Ω= ,0 ) deg ( I − Tr2 , r1−1 ( Ω ) ∩ r2−1 ( Ω ) ∩ Ω,0 ) Do đó, ta có deg ( I − Tr1 , r1−1 ( Ω ) ∩ Ω= ,0 ) deg ( I − Tr2 , r1−1 ( Ω ) ∩ r2−1 ( Ω ) ∩ Ω,0 ) Ta định nghĩa bậc cách chọn C mệnh đề 3.1.12 Bậc trùng với bậc tính cắt bậc Leray Schauder Định lí 3.2.1 Bậc định nghĩa có tính chất sau: (1) (Tính chuẩn tắc) deg ( I , Ω,0 ) = ∈ Ω (2) (Tính giải được) Nếu deg ( I − T , Ω,0 ) ≠ x, Tx = x có nghiệm Ω (3) (Tính đồng luân) Giả sử H ( t , x ) : [0,1] × Ω → E ánh xạ cô đặc đếm liên tục, nghĩa α ([ 0,1] × B ) < α ( B ) với tập đếm B Ω, α ( B ) > H ( t , x ) ≠ x với ( t , x ) ∈ [ 0,1] × ∂Ω Khi đó, deg ( I − H ( t , ⋅) , Ω,0 ) không phụ thuộc vào t ∈ [ 0,1] (4) (Tính cộng tính) Giả sử Ω1 , Ω hai tập không giao Ω ( ) ∉ ( I − T ) Ω − Ω1 ∪ Ω Khi 35 deg ( I − T , Ω,0 = ) deg ( I − T , Ω1 ,0 ) + deg ( I − T , Ω2 ,0 ) Chứng minh (1), (2) (4) suy từ định nghĩa tính chất bậc Leray Schauder Để chứng minh (3), ta đặt ( ( ( ( )) ( = C0 conv H [ 0,1 = ] × Ω , Cn conv H [0,1] × Cn−1 × Ω ))) ∞ với n ≥ Khi đó, C =  Cn compact mệnh đề 3.1.12 H ([ 0,1] × C ) → C n =0 ánh xạ cô đặc đếm Giả sử r : E → C phép co Khi đó, x ≠ H ( t , rx ) với x ∈ ∂ ( r −1 ( Ω ∩ C ) ∩ Ω ) Do deg ( I − H ( t , ⋅) r, r −1 ( C ∩ Ω ) ∩ Ω,0 ) không phụ thuộc vào t Do đó, kết luận đạt từ định nghĩa bậc tính cắt bậc Leray Schauder Định lí 3.2.2 Giả sử E không gian Banach, Ω ⊂ E tập mở, bị chặn với ∈ Ω T : Ω → E ánh xạ cô đặc đếm liên tục Giả sử x ≠ λTx với λ ∈ [0,1) , x ∈ ∂Ω Khi đó, T có điểm bất động Ω Chứng minh Ta giả sử Tx ≠ x với x ∈ ∂Ω Đặt H ( t , x ) = tTx với ( t, x ) ∈ [0,1] × Ω đếm Dễ dàng thấy {H ( t , ⋅)}t∈ 0,1 đồng luân ánh xạ cô đặc Bởi [ ] giả thiết, ta có H ( t, x ) ≠ x với x ∈ ∂Ω Bởi vì, deg ( I − T , Ω,0= ) deg ( I , Ω,0=) nên Tx = x có nghiệm Ω Hệ 3.2.3 Giả sử E không gian Banach, Ω ⊂ E tập mở, bị chặn với ∈ Ω T : Ω → E ánh xạ cô đặc đếm liên tục Giả sử Tx < x với x ∈ ∂Ω Khi đó, T có điểm bất động Ω Chứng minh Ta giả sử Tx ≠ x với x ∈ ∂Ω Do đó, ta có Tx ≠ λ x với x ≠ ∂Ω λ ≤ Bởi định lí 3.2.2, T có điểm bất động Ω Định lí 3.2.4 Giả sử E không gian Banach T : E → E ánh xạ cô đặc đếm liên tục Khi đó, kết luận sau thỏa mãn (1) T có điểm bất động E ; (2) {x : Tx = λ x với λ > đó} không bị chặn Chứng minh Giả sử { x : Tx = λ x với λ > đó} bị chặn Lấy r > thỏa mãn 36 { x : Tx = λ x với λ > đó} ⊂ B ( 0, r ) Nếu Tx = x với vài x ∈ ∂B ( 0, r ) (1) thỏa mãn Vì vậy, ta giả sử Tx ≠ x với x ∈ ∂B ( 0, r ) Do x ≠ tTx với t ∈ [ 0,1] và T có điểm bất động B ( 0, r ) x ∈ ∂B ( 0, r ) , deg ( I − T , B ( 0, r ) ,0 ) = Bổ đề 3.2.5 Giả sử E không gian Banach vô hạn chiều ∉ ∂Ω với Ω tập mở E Giả sử T : Ω → E ánh xạ compact liên tục Giả sử Tx ≠ µ x với µ ∈ [0,1] , x ∈ ∂Ω ∉ T ∂Ω Khi đó, deg ( I − T , Ω,0 ) = Chứng minh Đầu tiên, ta chứng minh tồn ε > thỏa mãn Tx − Tε x < ε , µ x ≠ Tε x với µ ∈ [ 0,1] , x ∈ ∂Ω ε ∈ ( 0, ε ) , Tε giống bổ đề 1.3.1 Giả sử điều không Khi đó, tồn ε j → 0, x j ∈ ∂Ω, µ j → µ0 ∈ [ 0,1] cho µ j x j = Tε x j ta có Tx j − µ j x j → Ta có ∉ T ∂Ω µ0 ≠ 0, ( x j ) có dãy j hội tụ đến x0 ∈ ∂Ω Tx0 ≠ µ x với µ ∈ [ 0,1] , x ∈ ∂Ω Từ định nghĩa bậc Leray Schauder, ta có = deg ( I − T , Ω ,0 ) deg ( I − Tε , Ω ∩ F ,0 ) Với ε đủ nhỏ F ⊃ spanR (Tε ) Từ tính đồng luân bậc Brouwer suy deg ( I − Tε , Ω ∩ F = ,0 ) deg ( −Tε , Ω ∩ F ,0 ) Bởi E không gian Banach vô hạn chiều, ta chọn không gian hữu hạn chiều F E cho spanR (Tε ) không gian riêng F , deg ( −Tε , Ω ∩ F = ,0 ) deg ( −Tε , Ω ∩ F , p ) với p ∈ F với p dần tới 0, ta có deg ( −Tε , Ω ∩ F ,0 ) = Do deg ( I − T , Ω,0 ) = Định lí 3.2.6 Giả sử E không gian Banach vô hạn chiều, Ω ⊂ E tập mở, bị chặn với ∈ Ω, T : Ω → E ánh xạ cô đặc đếm liên tục S : ∂Ω → E ánh xạ compact, liên tục Giả sử tTx + (1 − t ) Sx ≠ x Sx ≥ x với x ∈ ∂Ω t ∈ [ 0,1] Khi deg ( I − T , Ω,0 ) = Chứng minh Đầu tiên, tồn ánh xạ compact, liên tục L : Ω → E thỏa mãn Lx = Sx với x ∈ ∂Ω Hiển nhiên, ta có tTx + (1 − t ) Lx ≠ x với ( t , x ) ∈ [ 0,1] × ∂Ω Do 37 deg ( I − T , Ω,0 = ) deg ( I − L, Ω,0 ) Bởi bổ đề 3.2.5, ta có deg ( I − L, Ω,0 ) = deg ( I − T , Ω,0 ) = Hệ 3.2.7 Giả sử E không gian Banach vô hạn chiều, Ω ⊂ E tập mở, bị chặn với ∈ Ω, x0 ∈ E thỏa mãn x0 > sup x , giả sử T : Ω → E ánh xạ cô đặc đếm x∈∂Ω liên tục Giả sử Tx > x Tx ≠ λ x + ( λ − 1) x0 với x ∈ ∂Ω λ > Khi đó, deg ( I − T , Ω,0 ) = Chứng minh Định nghĩa ánh xạ S : ∂Ω → E Sx = x0 Khi S compact, liên tục tTx + (1 − t ) Sx ≠ x với x ∈ ∂Ω t ∈ [ 0,1] Hiển nhiên, Sx > x với x ∈ ∂Ω Bởi định lí 3.2.6 ta có deg ( I − T , Ω,0 ) = Định lí 3.2.8 Giả sử E không gian Banach vô hạn chiều, Ωi ⊂ E , i =1,2, hai tập mở, bị chặn thỏa mãn ∈ Ω1 ⊂ Ω , x0 ∈ E cho x0 > sup x T : Ω → E ánh x∈∂Ω2 xạ cô đặc đếm liên tục Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (1) Tx ≤ x với x ∈ ∂Ω1 ; (2) Tx ≥ x Tx ≠ λ x + ( λ − 1) x0 với x ∈ ∂Ω λ > Khi T có điểm bất động Ω \ Ω1 Chứng minh Giả sử Tx ≠ x với x ∈ ∂Ω1 ∪ ∂Ω Bởi giả thiết (1), ta có x − tTx ≠ với t ∈ [ 0,1] x ∈ ∂Ω1 Do đó, deg ( I − T , Ω1 ,0 ) = Mặt khác, giả thiết (2) hệ 3.2.7, có deg ( I − T , Ω ,0 ) = Do ( ) deg I − T , Ω \ Ω1 ,0 = deg ( I − T , Ω ,0 ) − deg ( I − T , Ω1 ,0 ) = −1 T có điểm bất động Ω \ Ω1 3.3 Ứng dụng cho phương trình vi phân thường không gian Banach Ở mục này, giới thiệu vài ứng dụng cho phương trình vi phân thường không gian Banach cách sử dụng định lí bậc cho ánh xạ co Định lí 3.3.1 Giả sử E không gian Banach f ( t , x ) : [0,1] × B ( x0 , r0 ) → E ánh xạ liên tục thỏa mãn α ( f ([0,1] × B ( x0 , r ) ) ) ≤ kα ( B ( x0 , r ) ) với r ∈ ( 0, r0 ) , 38 k ∈ ( 0,1) r0 > số Khi đó, tồn t0 ∈ ( 0,1] cho toán giá trị đầu  x ' ( t ) f ( t , x ( t ) ) , t ∈ ( 0, t0 ) , =  x ( ) = x0  (2.3) có nghiệm Chứng minh Đặt { }  r  = M sup f ( t , x ) : ( t , x ) ∈ [0,1] ×= B ( x0 , r0 ) , t0 1,   M Hiển nhiên (2.3) tương đương với phương trình tích phân sau: t x ( t= ) x0 + ∫ f ( s, x ( s ) )ds (2.4) { } Đặt X = C ([0, t0 ] , E ) với chuẩn = x ( ⋅) max x ( t ) : t ∈ [0, t0 ] Khi đó, X không {x (⋅) ∈ X : x ( t =) gian Banach Ta có K= } x0 , x ( t ) − x ( t0 ) ≤ r0 Khi đó, K tập lồi, đóng, bị chặn X Bây giờ, ta định nghĩa ánh xạ T : K → K định t Tx ( t= ) x0 + ∫ f ( s, x ( s ) ) ds với x (⋅) ∈ K Dễ dàng thấy T liên tục Bây giờ, ta chứng tỏ T cô đặc Thật vậy, với tập B K α ( B ) > 0, ta có ( ) = α (TB ) sup α {Tx ( t ) : x (⋅) ∈ B} t∈[0,t0 ] t   = sup α   x0 + ∫ f ( s, x ( s ) )ds : x (⋅) ∈ B    t∈[0,t0 ]    ({ ≤ sup α ({x + tconv ( f ([0, t ] × B ) )}) ≤ sup α x0 + tconvf ( s, x ( s ) ) : s ∈ [0, t0 ] : x (⋅) ∈ B t∈[0,t0 ] t∈[0,t0 ] 0 ( ([0, t ] × B ) ) ≤ t0 sup α f t∈[0,t0 ] }) ≤ t0 kα ( B ) Do đó, T ánh xạ cô đặc Vậy T có điểm bất động K , nghĩa (2.4) có nghiệm suy (2.3) có nghiệm 39 Bổ đề 3.3.2 Giả sử H không gian Hilbert T > số Nếu u, u ' ∈ L2 ( 0, T , H ) u ( t + T ) = −u ( t ) với t ∈   T  ∫ u ' ( s ) ds  0  T u∞ ≤ t T t Chứng minh Vì u= (T ) u ( ) + ∫ u ' ( s ) ds, ta có ( t ) u ( ) + ∫ u ' ( s ) ds u = t T  1 = u (t )  ∫ u ' ( s ) ds − ∫ u ' ( s ) ds  0 t  Do đó, u (t ) ∞ T 2 T ≤  u ' ( s ) ds   ∫0  Định lí 3.3.3 Giả sử H không gian Hilbert T > số, f ( t , x ) :  × H → H ánh xạ liên tục thỏa mãn α ( f ([0, T ] × B ) ) ≤ kα ( B ) Với tập bị chặn B H , k ∈ ( 0,1) số kT < Nếu f (t + T , − x ) = − f ( t , x ) f ( t , x ) ≤ M x + g ( t ) với ( t, x ) ∈  × E , ≤ MT < số g ( ⋅) ∈ L2 ( 0, T ) , toán sau  x ' ( t ) f ( x, x ( t ) ) , t ∈  =  x (t + T ) = − x (t )  (2.5) có nghiệm Chứng minh Giả sử Cα ={x ( ⋅) :  → H liên tục, x ( t + T ) = − x ( t ) , t ∈ } Định nghĩa x= (⋅) α max {x (⋅) ∈ Cα }, dễ dàng kiểm tra Cα không gian Banach theo chuẩn t∈[0,T ] Ta có (2.5) tương đương với phương trình sau T t 1 x (t ) = − ∫ f ( s, x ( s ) ) ds + ∫ f ( s, x ( s ) ) ds 2t 20 Ta định nghĩa ánh xạ S : Cα → Cα định 40 (2.6) T t 1 Sx ( t ) = − ∫ f ( s, x ( s ) ) ds + ∫ f ( s, x ( s ) ) ds với x (⋅) ∈ Cα 2t 20 Với tập bị chặn U Cα , định lí 3.1.9, ta có {( )} α ( SU ) max α {Sx ( t ) : x (⋅) ∈ U } = t∈[0,T ] Tương tự định lí 3.3.1, ta có α ( SU ) ≤ kT α (U ) Do đó, S kT − co Bây giờ, ta chứng tỏ Sx ( ) ≠ λ x ( ⋅) với λ > x ( ⋅) ∈ Cα với x (⋅) α MT   > 1 −    −1 T 2 T  g ( t )dt   ∫0  Thật vậy, giả sử tồn x ( ⋅) ∈ Cα với MT   x (⋅) >  −    −1 T 2 T  ∫ g ( t )dt  0  cho Sx = (.) λ x (⋅) Khi đó, ta có λ x ' ( t ) = f ( t, x ( t ) ) (2.7) Nhân hai vế (2.7) x ' ( t ) lấy tích phân đoạn [ 0, T ] , ta có T T λ ∫ x ' ( t ) dt = ∫ f ( t , x ( t ) ) x ' ( t ) dt 0 T T 0 ≤ M ∫ x ( t ) x ' ( t ) dt + ∫ g ( t ) x ' ( t ) dt Bởi bổ đề 3.3.2, ta có T λ ∫ x ' ( t ) dt ≤ MT T ∫ x ' (t ) 2     dt +  ∫ g ( t )   ∫ x ' ( t ) dt  0  0  T T Nghĩa là, −1    MT     ∫ x ' ( t ) dt  ≤  −   ∫ g ( t ) dt   0  0   T 41 T Một lần nữa, bổ đề 3.3.2, ta có MT   x ( ⋅) α ≤  −    −1  T  ∫ g ( t ) dt  , 0  T điều mâu thuẫn Do đó, định lí 3.2.4, S có điểm bất động Cα , nghĩa toán (2.5) có nghiệm 42 CHƯƠNG 4: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CÔ ĐẶC Trong chương này, khảo sát ánh xạ tuyến tính cô đặc theo độ đo phi compact phổ chúng Các kết chương tham khảo [4] 4.1 Tính chất phổ Cho X , Y không gian Banach Tập hợp tất ánh xạ tuyến tính, liên tục từ X vào Y kí hiệu L ( X , Y ) , tập hợp tất ánh xạ tuyến tính, compact từ X vào Y kí hiệu CL ( X , Y ) tập hợp tất ánh xạ γ − cô đặc từ X vào Y kí hiệu Cγ ( X , Y ) Trường hợp X = Y , ta đặt L ( X , Y ) = L ( X ) , CL ( X , Y ) = CL ( X ) Cγ ( X , Y ) = Cγ ( X ) hiệu R ( S ) S= Với S ∈ L ( X ) , ta kí= ( X ) , N ( S ) Ker ( S ) co dim ( S ) = dim ( X \ S ) Định nghĩa 4.1.1 • S ∈ L ( X ) gọi toán tử Fredholm µ ( S ) dim N ( S ) < ∞ = = v ( S ) co dim R ( S ) < ∞ ( R ( S ) đóng) Lớp tất toán tử Fredholm kí hiệu Φ ( X ) • Nếu S ∈ Φ ( X ) ind= ( S ) µ ( S ) − v ( S ) gọi số S • Nếu µ ( S ) < ∞ R ( S ) đóng S gọi toán tử nửa-Fredholm, kí hiệu S ∈ Φ + ( X ) Bổ đề 4.1.2 (a) Giả sử T ∈ CL ( X ) S= I − T Khi S ∈ Φ ( X ) ind ( S ) = (b) Nếu S1 , S2 ∈ Φ ( S ) S1S2 ∈ Φ ( X ) indS = indS1 + indS2 S2 (c) Φ + ( X ) mở L ( X ) , nghĩa với S ∈ Φ + ( X ) tồn r > cho ( ) Br ( S ) ⊂ Φ + ( X ) Hơn r > chọn cho ind S = ind ( S ) với S ∈ Br ( S ) Mệnh đề 4.1.3 S ∈ Φ + thu hẹp S đến tập bị chặn đóng riêng Chứng minh Giả sử S thu hẹp đến tập đóng bị chặn riêng Khi đó, {x ∈ N ( S ) : x ≤ 1} compact µ ( S ) < ∞ Ngoài X= M ⊕ N ( S ) với M đóng Khi R ( S ) = S ( M ) S | M đơn ánh Điều suy S ( x ) ≥ c x với c > với x ∈ M từ bất đẳng thức ta có S ( M ) đóng Do S ∈ Φ + ( X ) Bây giờ, ta giả sử S ∈ Φ + ( X ) , B ⊂ X đóng, bị chặn {xn } ⊂ B cho Sxn → y với y ∈ X Bởi 43 yn + zn Sx = Syn → y Bởi S M−1 : R ( S ) → M liên tục nên X= M ⊕ N ( S ) nên x= n n yn → y0 với y0 Ngoài ra, ( zn ) dãy bị chặn không gian hữu hạn chiều ( xn ) compact Định lí 4.1.4 Giả sử S ∈ Φ ( X ) , T ∈ L ( X ) γ ( TB ) < γ ( SB ) với B ⊂ X bị chặn cho γ ( SB ) > Khi đó, S + T ∈ Φ ( X ) ind ( S + T ) = indS Đặc biệt, I − T ∈ Φ ( X ) ind ( I − T ) = T ∈ Cγ ( X ) ∩ L ( X ) Chứng minh Giả sử ( S + T ) B1 = B2 với B1 đóng, bị chặn B2 ⊂ X compact Khi đó, SB1 ⊂ B2 − TB1 γ ( SB1 ) ≤ γ ( TB1 ) Do vậy, điều kiện ' γ (TB ) < γ ( SB ) γ ( B ) > 0' suy SB1 compact tương đối Bởi mệnh đề 4.1.2, S ∈ Φ ( X ) suy B1 compact tương đối Cũng mệnh đề 4.1.2, ta có S + T ∈ Φ + ( X ) Bởi tT thỏa mãn giả thiết T t ∈ [ 0,1] , ta có ind ( S + T= ) ind ( S ) ∈  S + T ∈ Φ ( X ) Định nghĩa 4.1.5 Cho X đại số Banach phức với đơn vị e Khi đó, σ ( x) = {λ ∈  : λ e − x ∉ X } gọi phổ −1 X , ρ ( X ) =  \ σ ( x ) gọi tập giải r ( x ) sup { λ : λ ∈ σ ( x )} gọi bán kính phổ X X= Chú ý 4.1.6 (1) σ ( x ) ≠ ∅, ∀x (2) Bán kính phổ cho công thức Gelfand r ( x ) = lim x n n n →∞ Định nghĩa 4.1.7 σ Φ ( T ) =∈ {λ  : λ I − T không Fredholm} gọi phổ Fredholm Bán kính = rΦ (T ) sup { λ : λ ∈ σ Φ (T )} Bằng cách thay Φ Φ + ta có khái niệm phổ Fredholm Φ + Mệnh đề 4.1.8 Giả sử X không gian Banach phức T ∈ L ( X ) Khi đó, ta có: (a) dim X = ∞ suy σ Φ ( T ) ≠ ∅ (b) Giả sử λ0 bị cô lập σ ( T ) Khi  N (( λ I − T ) n ≥1 n ) hữu hạn chiều dim X {λ0 } < ∞ hoặc, đặc biệt, λ0 ∈ ρ Φ (T ) =  \ σ Φ (T ) (c) µ ( λ I= − T ) dim N ( λ I − T ) số cho λ đủ nhỏ, khác không T ∈ Φ ( X ) 44 (d) Nếu H thành phần ρ Φ ( T ) , µ ( λ I − T ) H ngoại trừ điểm cô lập (e) λ0 ∈ ρ e ( T ) =  \ σ e ( T ) có thành phần H ρ Φ ( T ) cho H ∩ ρ ( T ) ≠ ∅ λ0 ∈ H Chứng minh Chứng minh (d): Xét λ0 , λ1 ∈ H chọn đường cong Γ ⊂ H nối λ0 λ1 Bởi H ⊂ ρ Φ ( T ) , nên với λ ∈ Γ tồn cầu Bδ ( λ ) cho µ Bδ ( λ ) \ {λ } Γ compact nên Γ phủ hữu hạn cầu Bδi ( λi ) Do đó, µ Γ ngoại trừ λi Điều suy (d) Chứng minh (e): Nếu λ0 ∉ σ e ( T ) λ0 I − T ∈ Φ + ( X ) λ0 không điểm tụ T ) ind ( λ I − = T ) cho < λ − λ0 < δ với δ > đủ nhỏ, σ (T ) Do đó, ind ( λ0 I − = λ I − T phép đồng phôi vào X cho λ Do đó, λ0 ∈ ρ S (T ) thành phần chứa λ0 giao với ρ ( T ) Để chứng minh chiều ngược lại, ta giả sử λ0 ∈ σ ( T ) Rõ ràng, λ0 ∈ H ⊂ ρ Φ ( T ) suy R ( λ0 I − T ) đóng Tiếp theo, ind ( λ0 I − T ) = H ∩ ρ ( T ) ≠ ∅ số H Bởi µ ( λ I −= T ) H ∩ ρ (T ) λ0 điểm cô lập ( )  n  dim  N ( λ0 I − T )  < ∞ (b), nói cách khác λ0 ∈ ρ e ( T )  n≥1  Mệnh đề 4.1.9 Giả sử T ∈ L ( X ) Khi đó, rΦ= (T ) rΦ+ (T ) (T ) rS= (T ) re= Chứng minh Ta có ρ e ( T ) ⊂ ρ S (T ) ⊂ ρ Φ (T ) ⊂ ρ Φ + (T ) , bao hàm thức suy từ (6) mệnh đề 4.1.8 phần (e) Giả sử H thành phần không bị chặn ρ Φ ( T ) ý H thành phần không bị chặn ρ Φ + ( T ) Bởi mệnh đề 4.1.8 phần (e), H ⊂ ρ e ( T )  \ H compact, ta tìm λ0 ∉ H cho = λ0 max { λ : λ ∉ H } Vì λ0 ∈ ∂H ta có λ0 ∉ ρ Φ + (T ) λ0 ≤ rΦ + (T ) Nhưng σ Φ (T ) ⊂  \ H suy rΦ (T ) ≤ λ0 λ0 = rΦ (T ) + + + Định lí 4.1.10 Giả sử T ∈ L ( X ) Khi γ (T n )  n rΦ += (T ) rΦ= (T ) rS= (T ) re= (T ) lim  n →∞  45   n n   Chứng minh Giả sử δ inf  γ (T )  : n ≥ 1 Bởi chứng minh công =   ( ) thức Gelfand cho r (T ) ta chứng tỏ δ = lim γ (T n ) , γ ( T1 ) ≥ n →∞ n γ (T1T2 ) ≤ γ (T1 ) γ (T2 ) thỏa mãn với T1 , T2 ∈ L ( X ) Nếu λ > δ γ (T n ) < λ với n ( λ −1T ) γ − co chặt Do đó, suy n n λI − T ∈Φ( X ) ind ( λ I − T ) = Do đó, rS ( T ) ≤ δ Giả sử T = inf { T + K : K ∈ CL ( X )} Bởi γ (T )= γ ( T + K ) ≤ T + K với compact K , ta có γ ( T ) ≤ T δ ≤ δ1 = lim T n →∞ n n Do đó, ta cần chứng tỏ không xảy bất đẳng thức sau r= rΦ ( T ) < δ1 S (T ) Giả sử rΦ ( T ) < r < δ1 Nếu λ = ∈ Ω σ (T ) ∩ {λ : λ ≥ r}, λ ≥ re (T ) = rΦ ( T ) , λ bị cô lập λ giá trị riêng λ ∈ ρ S ( T ) ∩ σ (T ) Bởi Ω compact nên Ω ( ) tập hợp phổ Do đó, σ T |X Ω = Ω phổ Fredholm T |X Ω rỗng nên từ mệnh đề 4.1.8 phần (a) ta có dim X Ω < ∞ Giả sử P1 = PΩ P2 = Pσ (T )\Ω Khi đó, = T TP1 + TP2 , TP1 = r (TP2 ) lim (TP2 ) n n n →∞ hữu hạn chiều σ ( TP2 ) ⊂ Br ( ) Do đó, ta có ≤ r công thức Gelfand, (TP2 )= T n + k với k ∈ CL ( X ) , n nghĩa ( TP2 ) ≥ T n r ( TP2 ) ≥ δ1 > r, mâu thuẫn n 4.2 Biểu diễn ánh xạ tuyến tính cô đặc Ta biết T= T1 + T2 γ − co chặt T1 < T2 ∈ CL ( X ) Trong mục này, chứng tỏ chiều ngược Mệnh đề 4.2.1 Giả sử T ∈ L ( X ) r (T ) bán kính phổ Khi đó, với ε > cho trước, tồn chuẩn tương đương ⋅ ε thỏa mãn r (T ) ≤ T ε ≤ r (T ) + ε Trong trường hợp ( X , ⋅ ) không gian Hilbert, ⋅ ε chọn cho ( X , ⋅ ε ) không gian Hilbert Chứng minh Chọn n cho T n n ≤ r (T ) + ε định nghĩa ⋅ ε 46 = xε ( r (T ) + ε ) n +1 x + ( r (T ) + ε ) n+2 Tx + ⋅ ⋅ ⋅ + T n +1 x = Tε sup = { Tx : x ε 1} Khi đó, dễ dàng kiểm tra khẳng định Trong trường hợp ⋅ đến từ tích bên ( ⋅, ⋅) , định nghĩa ( ⋅, ⋅)ε , y )ε ( x=  r ( T ) + ε  2( n −1) ( x, y ) +  r (T ) + ε  2( n − ) (Tx, Ty ) + ⋅ ⋅ ⋅ + (T n−1 x, T n−2 y ) Mệnh đề 4.2.2 Giả sử T ∈ L ( X ) ε > Khi đó, tồn T1 , T2 ∈ L ( X ) cho T= T1 + T2 với T1 hữu hạn chiều rΦ ( T ) ≤ r ( T2 ) ≤ rΦ (T ) + ε Chứng minh Chọn r ∈ ( rΦ (T ) , rΦ ( T ) + ε ) ứng dụng bước định lí 4.1.10 Ta có r (TP2 ) ≤ r < rΦ (T ) + ε rΦ ≤ r ( TP2 ) Ω ⊂ ρ Φ (T ) Hơn nữa, T1 = TP1 hữu hạn chiều Kết hợp hai kết ta Định lí 4.2.3 Giả sử T ∈ L ( X ) γ − cô đặc Khi T= T1 + T2 với T1 , T2 ∈ L ( X ) cho T1 hữu hạn chiều rΦ ( T ) ≤ r (T2 ) ≤ T2 < 1, ⋅ tương đương với ⋅ Chứng minh Bởi định lí 4.1.4, ta có λ I − T ∈ Φ ( X ) với λ ≥ λ −1T γ − cô đặc Do đó, rΦ ( T ) ≤ Bởi mệnh đề 4.2.2, ta có T= T1 + T2 với T1 hữu hạn chiều r (T2 ) < cuối mệnh đề 4.2.1 cho ta chuẩn tương đương thỏa mãn r (T2 ) ≤ T2 < 47 KẾT LUẬN Trong luận văn này, trình bày cách hệ thống, chi tiết độ đo phi compact tính chất chúng; độ đo phi compact đặc biệt; ánh xạ tuyến tính cô đặc theo độ đo phi compact phổ chúng; lí thuyết điểm bất động cho ánh xạ cô đặc theo độ đo phi compact Bên cạnh đó, đưa vào phần chứng minh nhiều giải trình chi tiết, đưa vào luận văn vài nhận xét nhỏ trình nghiên cứu Có thể nói, luận văn tài liệu tiếng việt tương đối đầy đủ chi tiết “Độ đo phi compact ánh xạ cô đặc” để làm tài liệu tham khảo cho quý độc giả quan tâm lĩnh vực này, đặc biệt cho học viên cao học học môn Giải tích phi tuyến Qua trình nghiên cứu, viết luận văn, hiểu sâu kiến thức học Đặc biệt kiến thức Giải tích thực, Giải tích phi tuyến Phương trình đạo hàm riêng Từ vận dụng chúng để học tập vấn đề làm quen với nghiên cứu khoa học Do thời gian có hạn kiến thức cá nhân hạn hẹp nên trình hoàn thành luận văn khó tránh khỏi nhiều thiếu sót, mong nhận đóng góp, nhận xét quý thầy cô quý độc giả để luận văn hoàn chỉnh 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Lê Hoàn Hóa (2010), Định Lý Điểm Bất Động Và Ứng Dụng Để Nghiên Cứu Sự Tồn Tại Nghiệm Của Phương Trình, Trường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh Lê Hoàn Hóa (2012), Phép Tính Vi Phân Trên Không Gian Banach, Trường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh Tiếng Anh R R Akhmerov, M I Kamenskii, A S Potapov, A E Rotkina, B N Sadovskii (1992), Measure of Noncompactness and Condensing Operators, Birkhauser K Deimling (1984), Nonlinear Function Analysis, Springer Verlag Done O’ Regan, Yoel Je Cho, and Yu Quing Chen, Topological Degree Theory and Applications, copyright 2006 by Taylor and Francis Group, LLC N A Erzakova (1983), On measures of noncompactness in Banach spaces, Candidate of Science Dissertation, Voronezh V S Kozyakin (1970), On condensing and contracting operators, Trudy Mat Fakultet Voronezh Gos Univ , no 1, pp 60-70 49 [...]... t∫−r 26 CHƯƠNG 3: ÁNH XẠ CÔ ĐẶC Ở chương này, chúng tôi định nghĩa ánh xạ cô đặc và một vài tính chất của chúng Ánh xạ cô đặc đếm được cũng được định nghĩa ở đây Đặc biệt, định lí điểm bất động cho ánh xạ cô đặc đếm được sẽ có mặt trong hệ quả 3.1.13 Ngoài ra, trong chương này chúng tôi sẽ giới thiệu các định lí bậc của ánh xạ cô đặc đếm được và sử dụng các định lí bậc đó để khảo sát một vài phương trình... Ty = y Do đó T có điểm bất động 3.2 Bậc tôpô của ánh xạ cô đặc Trong mục này, tôi giới thiệu bậc cho ánh xạ cô đặc đếm được Xây dựng bậc cho ánh xạ cô đặc đếm được Giả sử E là không gian Banach và Ω ⊂ E là tập con, mở, bị chặn Giả sử T : Ω → E là ánh xạ cô đặc đếm được, liên tục và 0 ∉ ( I − T ( ∂Ω ) ) Nếu 0 ∉ ( I − T )( Ω ) , ta định nghĩa {x ∈ Ω : Tx= x} và C là tập lồi compact thỏa mãn deg ( I −... d ( = n →∞ m→∞ 2.2 Một số độ đo phi compact Trong mục này, chúng ta chứng minh một số công thức giúp ta có thể tính độ đo phi compact trong các không gian l p , c0 , C , Lp 2.2.1 Độ đo phi compact Hausdorff trong không gian l p và c0 Cho không gian l p gồm các dãy khả tổng bậc thứ p và c0 là không gian gồm các dãy hội tụ về không Khi đó, độ đo phi compact β được tính bởi công thức sau = β ( A) limsup... T được gọi là ánh xạ cô đặc đếm được nếu α ( TB ) < α ( B ) với mọi B bị chặn, đếm được chứa trong D, và α ( B ) > 0 (3) H ( t , x ) : [0,1] × D → X được gọi là đồng luân của ánh xạ cô đặc đếm được ( ) nếu α H ([ 0,1] × B ) < α ( B ) với mọi B bị chặn, đếm được chứa trong D, và α ( B ) > 0 Dễ thấy ánh xạ cô đặc là ánh xạ cô đặc đếm được 28 Định lí 3.1.8 Giả sử E là không gian Banach và B ⊂ C ([ a,... là ánh xạ liên tục và α là độ đo phi compact (1) T được gọi là k − co nếu α ( TB ) ≤ kα ( B ) với mọi B bị chặn chứa trong D và k > 0 là hằng số (2) T được gọi là ánh xạ cô đặc nếu α ( TB ) < α ( B ) với mọi B bị chặn chứa trong D và α ( B ) > 0 Nhận xét 3.1.2 (1) T được gọi là ánh xạ cô đặc nếu và chỉ nếu α ( TB ) ≥ α ( B ) suy ra α ( B ) = 0, với mọi B bị chặn chứa trong D (2) T được gọi là k − cô. .. xm )m trong tập compact K nên tồn tại dãy con hội tụ xmi i hội tụ về x ∈ K ,lim xmi = x i Do f liên tục nên lim xmi = f ( x ) và do xm − f ( xm ) < i Vậy f có điểm bất động trong C 16 1 , ∀m ∈ , nên x = f ( x ) m CHƯƠNG 2: ĐỘ ĐO PHI COMPACT Trong chương này, tôi giới thiệu định nghĩa độ đo phi compact Kuratowski và Hausdorff và khảo sát một số tính chất của chúng Sau đó mô tả một số công thức cho phép... B2 = B \ Br ( 0 ) 2 Khi đó, α (TB1 ) ≤ 2r < α ( B ) và α (TB2 ) ≤ α ({λ x : 0 ≤ λ ≤ ϕ ( r ) và x ∈ B2 }) ( ≤ α conv ϕ ( r ) B  {0} ≤ ϕ ( r )α ( B ) ) ≤ α ( B ) Do đó, α ( TB ) max {α (TB1 ) , α (TB2 )} < α ( B ) Vậy T là ánh xạ cô đặc = Định nghĩa 3.1.7 Giả sử X là không gian Banach thực, T : D → X là một ánh xạ liên tục và α là độ đo phi compact (1) T được gọi là k − co đếm được nếu α ( TB... xn xuất hiện vô hạn lần với một vài n nào đó, ta cũng chấp nhận Cách khác, bởi bước 2, ta phải lấy yn và A như trong bước 2 Bởi bước 3, A là compact tương đối, nên conv (TA) là compact tương đối Do đó { yi : i ≥ 1} là compact tương đối và vậy g là compact tương đối Mệnh đề 3.1.12 Giả sử E là không gian Banach, Ω ⊂ E là tập con bị chặn và ( ) ( ( T : Ω → E là ánh xạ cô đặc đếm được Tập = C1 conv T Ω=... = C1 conv T Ω= , Cn +1 conv T Cn ∩ Ω )) với ∞ n ≥ 1 và C =  Cn Khi đó C là lồi và compact n =1 Chứng minh Đây là trường hợp đặc biệt của bổ đề 3.1.11 Hệ quả 3.1.13 Giả sử C khác rỗng, lồi đóng, bị chặn, chứa trong E và T : C → C là ánh xạ cô đặc đếm được, liên tục Khi đó, T có điểm bất động trong C 33 Chứng minh Đầu tiên, ta giả sử T là k − cô đặc đếm được với k ∈ [ 0,1) Giả sử ∞ i 1,2, ⋅ ⋅ ⋅ Bởi... khác rỗng và T : K → K liên tục, áp dụng định lí Schauder, T có điểm bất động trong K Giả sử T : C → C là ánh xạ cô đặc đếm được Lấy x0 ∈ C và với bất kì k ∈ ( 0,1) , đặt = kTx + (1 − k ) x0 , ∀x ∈ C Khi đó, S là k − cô đặc đếm được, Vậy S có điểm bất động Sx trong C Cho kn → 1 Khi đó, tồn tại xn ∈ C thỏa mãn knTxn + (1 − kn ) x0 = xn , suy ra α ({Txn : n ≥= 1}) α ({xn : n ≥ 1}) Do T là cô đặc đếm ... chi tiết độ đo phi compact tính chất chúng; độ đo phi compact đặc biệt; ánh xạ tuyến tính cô đặc theo độ đo phi compact phổ chúng; lí thuyết điểm bất động cho ánh xạ cô đặc theo độ đo phi compact. .. chương ba, khảo sát ánh xạ cô đặc, ánh xạ cô đặc đếm Khái quát cách đầy đủ định nghĩa tính chất chúng Đặc biệt, định lí điểm bất động ánh xạ cô đặc đếm định lí bậc cho ánh xạ cô đặc đếm được trình... 2: ĐỘ ĐO PHI COMPACT 17 2.1 Định nghĩa, tính chất 17 2.2 Một số độ đo phi compact 23 2.2.1 Độ đo phi compact Hausdorff không gian l p c0 23 2.2.2 Độ đo phi compact